《概率的计算方法》课件

概率的计算方法探索概率的世界，掌握多种计算方法，解决实际问题课程导引与学习目标理解概率基本原理掌握多种求解方法掌握核心概念灵活应用各类公式解决实际概率问题提升问题分析能力什么是概率？主观概率个人信念与判断频率概率大量实验结果近似值经典概率等可能事件比值概率在生活中的应用天气预报降雨概率预测彩票游戏中奖机率计算保险精算风险评估基础随机试验与事件随机试验特点样本空间概念基本事件•可重复进行所有可能结果的集合不可再分的结果•结果不确定用表示样本空间的元素Ω•所有可能结果已知事件的关系并事件A∪B交事件A∩B互斥事件对立事件AA或B至少一个发生A和B同时发生不能同时发生的事件A不发生的事件概率的基本性质非负性规范性对任意事件A，PA≥0必然事件概率为1，PΩ=1可加性常见推论互斥事件A与B，PA∪B=PA+PB对立事件PA+PA=1古典概率定义等可能性基本事件计数各基本事件发生几率相等计算总数n与有利数m条件验证概率计算确保样本空间有限且等可能PA=m/n古典概率法例题投骰子1问题掷2次骰子得偶数点的概率分析偶数点

2、

4、6计算P偶数=3/6=1/2结果P两次都是偶数=1/2²=1/4古典概率法例题抽扑克牌2问题设定从一副扑克牌中取一张红桃A的概率分析构成一副牌52张，只有1张红桃A概率计算P红桃A=1/52频率概率法实验次数频率近似值实际概率100约

0.

470.51,000约

0.

4930.510,000约

0.

49870.5100,000约

0.

499760.5主观概率法主观判断+先验知识=概率估计几何概率的基本思想1D2D线段概率平面概率长度比值面积比值3D空间概率体积比值几何概率例题线段上取点1问题解答长为1的线段上随机取点，求与端点距离P=

0.4/1=

0.4大于

0.6的概率符合条件区域

0.6,1的长度为

0.4几何概率例题圆面内随机选点2条件概率定义概念已知事件B发生条件下，事件A发生的概率公式PA|B=PA∩B/PB使用条件PB0条件概率公式的推导样本空间缩小由Ω缩小为事件B事件重新衡量只关注A∩B部分比例关系计算PA|B=PA∩B/PB条件概率例题盒子选球11问题设定盒中有3白2红球，随机取2球2问题分析求第二球为白球的概率3公式应用P第二球白|第一球白=2/4=1/24公式应用P第二球白|第一球红=3/4条件概率例题患病检测2情况真实状态检测结果概率真阳性患病阳性

0.95×

0.01假阳性健康阳性

0.02×

0.99假阴性患病阴性

0.05×

0.01真阴性健康阴性

0.98×

0.99乘法公式扩展形式PA∩B∩C=PAPB|APC|A∩B公式表达PA∩B=PBPA|B应用场景多步骤随机过程概率计算乘法公式案例两次独立抽奖初始条件抽奖池100人，中奖10人单次概率P中奖=10/100=

0.1连续中奖概率P两次都中=

0.1×

0.1=

0.01独立性事件数学定义实际意义扩展形式A、B相互独立当且仅当一个事件的发生不影响另一事件多事件独立PA∩B∩C=PAPBPCPA∩B=PAPB独立事件例题投币与掷骰1问题设定投硬币得正面与掷骰子得6点计算各概率P正面=1/2，P6点=1/6验证独立性P正面∩6点=P正面P6点=1/12结论两事件相互独立独立事件例题独立与不独立区分2独立事件非独立事件•连续抛硬币结果•不放回抽取•不同人考试成绩•同一区域天气预报•不相关股票涨跌•同行业股票走势全概率公式PA=∑PBiPA|Bi总概率等于分解后的加权和完备事件组Bi互斥且穷尽所有可能条件概率PA|Bi每种情况下A发生的概率全概率公式推导事件分解A=A∩B₁∪B₂∪...∪Bₙ分配律应用A=A∩B₁∪A∩B₂∪...∪A∩Bₙ互斥事件加法PA=PA∩B₁+PA∩B₂+...+PA∩Bₙ条件概率代入PA=PB₁PA|B₁+PB₂PA|B₂+...+PB PA|Bₙₙ全概率公式例题两药物治愈率1贝叶斯公式公式PBi|A=PBiPA|Bi/PA先验概率PBi事件发生前对Bi的估计后验概率PBi|A观察到A后对Bi的更新意义信息更新导致概率调整贝叶斯公式推导过程条件概率基本公式PB|A=PA∩B/PA乘法公式应用PA∩B=PBPA|B全概率公式代入PA=∑PBiPA|Bi整合得出贝叶斯公式PB|A=PBPA|B/∑PBiPA|Bi贝叶斯案例医学检验11%95%患病率敏感性疾病在人群中的比例真阳性率98%

32.4%特异性阳性预测值真阴性率检测呈阳性者患病概率贝叶斯案例信用卡欺诈识别2先验知识•欺诈交易比例

0.1%•系统敏感性92%•误报率3%贝叶斯计算系统发出警报时，实际为欺诈的概率约为3%重难点问题一误区警示或概率常被错误计算为相加，忽略重叠部分重难点问题二条件概率陷阱混淆PA|B与PB|A检验呈阳性≠患病经典案例检验阳性P患病|阳性≠P阳性|患病解决方法使用贝叶斯公式正确计算概率方法在解题中的选择问题类型推荐方法适用条件等可能有限样本古典概率样本点等可能随机点位置几何概率连续空间问题因果关系链条件概率与乘法事件有先后关系信息更新问题贝叶斯公式需要概率反推概率计算的流程与策略划分事件明确样本空间和目标事件画树状图表示事件发展路径选择公式套用适当的概率计算方法验证结果检查概率值是否合理概率统计表与树状图树状图结构计算方法列联表分支表示可能路径沿路径相乘，不同路径相加事件之间的频率分布实际案例彩票中奖1实际案例保险赔付风险2数据收集风险分析历史赔付率、事故发生频率概率分布模型构建模型更新保费定价根据新数据调整概率模型基于风险概率确定保费实际案例交通事故概率

34.6%76%事故年发生率安全带降低伤亡每百人计算值伤亡概率减少比例12x酒驾风险倍增事故概率增加倍数生活趣题生日悖论1问题结果23人中至少两人同一天生日的概率P≈

0.

5070.5超过50%！违反直觉计算1-所有人生日各不相同的概率生活趣题蒙提霍尔问题2初始选择三门中选一门，汽车概率1/3主持人行为打开一扇有山羊的门改变选择换门胜率为2/3坚持选择不换门胜率为1/3生活趣题连续投篮概率3问题设定1投篮命中率40%，连中三球概率？独立事件分析2每次投篮结果相互独立概率计算3P=

0.4×

0.4×

0.4=

0.064结论4约

6.4%的几率概率极限定理初步大数定律中心极限定理频率收敛于概率总和近似正态分布独立同分布随机变量和的分布趋近于正态分布概率方法在人工智能中的应用机器学习贝叶斯网络决策系统概率模型预测与分类不确定性知识表示概率推理引导行为自然语言处理语言模型与词频分析概率计算软件及工具R语言Python科学计算器专业统计分析工具NumPy/SciPy概率函数内置概率分布计算常见考试题型总结选择题•概念理解题•简单计算题•公式应用题填空题•公式填写•结果计算•概念表述计算题•分步骤列式•多方法结合•结果推导验证应用题•实际情境建模•条件分析提取•结果解释应用概率计算中的易错点概念混淆条件概率与联合概率混淆计算错误忽略事件依赖性应用错误错选概率计算方法理解错误违背概率公理性质练习与拓展课后练习基础题30题，挑战题10题课程内容回顾概率基础定义、公理与基本性质计算方法古典、几何、条件概率等实际应用生活案例与实际问题结束与答疑提问环节课后联系方式欢迎咨询概率计算相关问题teacher@math.edu.cn资料获取扫描二维码下载课件。