比例和百分比应用题教学课件

比例和百分比应用题教学课件本课件旨在帮助学生掌握比例和百分比的核心概念，培养解决实际问题的能力通过系统学习和大量练习，学生将能够灵活运用这些数学工具解决日常生活中的各种实际问题课程目标掌握比例和百分比概念熟练解决常见应用题培养实际问题的建模能力理解比例和百分比的基本定义，掌握比例和百分比应用题的解题能够准确识别并表达各种形式的思路和方法，能够分析问题、提比和百分比，熟悉它们的数学意取关键信息并正确应用公式解决义和应用场景实际问题比例基本概念定义比的写法及表示方法比例是表示两个量之间的相对关系的一种方式它表示一个比可以用冒号表示，如3:5（读作3比5）数与另一个数的比值，常写作A:B的形式也可以用分数形式表示，如3/5比例反映了两个量之间的相对大小关系，而不是它们的绝对还可以用比值形式表示，即两个数相除的结果，如

0.6值这使得比例成为比较不同单位或不同数量级的数据的有效工具在实际应用中，我们根据需要选择适合的表示方式百分比基本概念百分比定义表示部分与整体之间的比例关系计算方法部分÷整体×100%百分号%的意义表示除以100百分比是日常生活中最常见的数学概念之一，它将一个比例乘以100并加上百分号来表示这种表示方法使得数据更加直观，便于理解和比较当我们说40%的学生喜欢数学时，意味着每100名学生中有40名喜欢数学，或者说喜欢数学的学生人数与总人数的比值是

0.4比例与分数的关系比的形式如3:4转换过程将冒号改为除号分数形式如3/4比例和分数本质上表达的是同一种数学关系当我们将比例A:B写成分数形式时，就变成了A/B这种转换帮助我们在不同的数学情境中灵活应用比例概念例如，比例2:3可以写作分数2/3，意味着第一个量是第二个量的2/3，或者第二个量是第一个量的3/2理解这种关系有助于我们更好地解决比例应用题百分比与小数、分数互化百分比小数分数25%

0.251/450%

0.51/275%

0.753/4100%11125%

1.255/4百分比、小数和分数是表示同一数量关系的三种不同方式掌握它们之间的转换是解决百分比应用题的基础从百分比转换为小数，只需去掉百分号并除以100；从小数转换为百分比，则乘以100并加上百分号例如

87.5%可以转换为小数

0.875，也可以转换为分数7/8在实际应用中，我们可以根据问题的需要选择最合适的表示方式应用比例解决问题基本思路找出数量关系仔细阅读题目，找出题目中涉及的各个量之间的比例关系识别出已知条件和需要求解的未知量列式求解根据比例的性质建立等式，如果A:B=C:D，则有A/B=C/D，或者AD=BC利用这些关系列出方程计算结果解方程得到未知量的值，注意计算过程中的单位换算和结果的合理性检验答案将得到的答案代回原题，检查是否满足题目中给出的所有条件和比例关系应用百分比解决问题基本思路明确基数与百分数选择合适公式确定什么是整体（基数），什么是部根据已知条件选择正确的公式分（百分数）检验结果代入计算核实结果的合理性将已知数值代入公式求解百分比问题的关键在于确定整体是什么，也就是百分比的基数许多学生在解题时最容易混淆的就是百分比的基准问题，特别是在涉及增长率或减少率的计算时常用比例公式比值公式成正比例关系表达式A:B=A/B如果y与x成正比例，则y=kx这是最基本的比例表达式，表示A与B的比值等于A除以B的结果其中k为比例系数（常数）两组对应值满足a/b=c/d等比例关系比例的性质若A:B=C:D，则有若A:B=m:n，则A/B=C/D或AD=BC（交叉相乘）A+B:B=m+n:nA:A+B=m:m+n常用百分比公式基本百分比公式百分比=部分/整体×100%部分=整体×百分比整体=部分÷百分比增减百分比计算增长率=新值-原值/原值×100%减少率=原值-新值/原值×100%新值=原值×1+增长率新值=原值×1-减少率连续变化百分比连续增长最终值=初始值×1+r₁×1+r₂×...连续降低最终值=初始值×1-r₁×1-r₂×...其中r₁,r₂,...表示每次的变化率比例应用题题型一简单比值问题题型特点解题步骤已知两个量的比例关系和其中一个量的值，求另一个量的

1.明确题目中给出的比例关系值

2.确定已知量和未知量或已知两个量的和（差）及其比例关系，求各个量的值

3.根据比例的性质列出方程

4.解方程得到答案这类问题通常直接应用比例的基本性质求解例题小明和小红的年龄比是3:5，如果小明今年12岁，那么小红今年多少岁？解析设小红的年龄为x岁，根据题意，小明与小红的年龄比为3:5，即12:x=3:5根据比例的性质，有12/x=3/5，解得x=20所以小红今年20岁比例应用题题型二比的分配问题按比例分配金额按比例分配资源按投资比例分配利润例如将一笔奖金按照员工工作表现比比如学校按各班级人数比例分配教学设合伙企业按各股东的投资比例分配年终例分配这类问题需要找出每一份所占备解决这类问题时，需要先求出总份利润这类问题通常利用总量乘以比例的具体数值数，再计算每份的值计算各部分的值比例应用题题型三比例尺问题1:1001:10000建筑图纸比例尺地形图比例尺常用于建筑室内设计图，表示图纸上1厘米代中比例尺地图，适合表示区域地形表实际100厘米1:1000000全国地图比例尺小比例尺地图，用于表示大范围区域比例尺是地图或模型上标示的图上距离与实际距离之间的比例关系在解决比例尺问题时，常用的基本公式是图上距离=实际距离÷比例尺分母，或实际距离=图上距离×比例尺分母例如一张地图的比例尺是1:50000，如果地图上两点之间的距离是5厘米，那么实际距离是多少米？解实际距离=5×50000=250000厘米=2500米百分比应用题题型一增长减少问题/增长率/减少率计算求解变化前后的百分比根据变化率求原值/现值已知变化率和一个值求另一个值连续增长/减少计算多次变化的复合效果增长和减少问题是百分比应用中最常见的类型关键是要明确基数是什么，即用什么作为计算百分比的分母在这类问题中，原值通常是基数，变化量与原值的比值就是变化率例如某商品去年的销量是200件，今年的销量是260件，求增长率解增长率=260-200/200×100%=30%百分比应用题题型二折扣问题折扣价计算原价计算折扣价=原价×1-折扣率原价=折扣价/1-折扣率折扣率计算如原价100元，打8折，则如折扣价75元，打

7.5折，折扣率=折扣额/原价×折扣价为100×

0.8=80元则原价为75÷

0.75=100元节省金额计算100%节省金额=原价-折扣价折扣率=1-折扣价/原价×100%节省金额=原价×折扣率百分比应用题题型三利率计算简单利息公式复利公式利息=本金×利率×时间到期本息总额=本金×1+利率^时间到期本息总额=本金+利息其中时间是计息周期的数量例如，如果按年复利，时间就是年数；如果按季度复利，时间就是季度数到期本息总额=本金×1+利率×时间复利计算中，每期除了本金产生利息外，前期产生的利息在这种计算方式下，只有本金产生利息，之前的利息不再产生下一期也会产生新的利息新的利息利率问题是百分比的重要应用领域，特别是在金融和投资方面理解简单利息与复利的区别对解决此类问题至关重要比与比例实例解析一比与比例实例解析二例题某公司决定将年终奖金20万元按照3:5:2的比例分给甲、乙、丙三个部门其中乙部门有15名员工，人均可得多少元奖金？解析

1.总比例份数=3+5+2=10份

2.乙部门获得奖金=20万元×5/10=10万元

3.乙部门人均奖金=10万元÷15人=

6666.67元/人比与比例实例解析三建筑图纸比例尺实例地图比例尺实例模型比例尺实例建筑图纸上标注比例尺为1:100，图纸某城市地图的比例尺是1:50000，图上火车模型的比例尺是1:87，如果模型长上量得一堵墙长

5.2厘米，那么实际这两地相距6厘米，实际这两地相距多少25厘米，那么实际火车长多少米？堵墙长多少米？千米？百分比实例解析一原始价格第一次变动第二次变动最终价格某商品原价200元涨价15%降价10%例题某商品原价200元，先涨价15%，然后又降价10%，求最终价格解析第一次变动后价格=200×1+15%=200×

1.15=230元第二次变动后价格=230×1-10%=230×

0.9=207元所以最终价格为207元，比原价增加了7元，涨幅为

3.5%注意先涨后降的最终结果并不等于原价连续的百分比变化需要逐步计算，不能简单地将百分比相加或相减百分比实例解析二普通折扣满减活动折上折商品标价500元，打8消费满300元减50商品原价400元，先折，实付多少钱？元，买了320元商打9折，再打8折，最品，实付多少？终价格？解实付金额=500×

0.8=400元解实付金额=320-解最终价格=400×50=270元

0.9×

0.8=288元商品折扣计算是百分比的重要应用在实际购物中，我们经常需要计算各种促销活动下的实际支付金额理解折扣的本质对于判断哪种促销方式更划算非常有帮助百分比实例解析三题型多样化训练一判断题1判断题2如果A:B=2:3，那么A比B小40%一件商品打8折后又打9折，相当于直接打

7.2折•分析A:B=2:3，则A=2B/3•分析打8折又打9折，即最终价格•A比B少的部分是B-A=B-2B/3=B/3是原价的

0.8×

0.9=

0.72倍•这部分占B的比例是B-A/B=•这相当于直接打

7.2折，所以该说B/3/B=1/3=

33.3%法正确•所以A比B小

33.3%，不是40%，该说法错误判断题3如果一个数增加25%后再减少20%，结果等于原数•分析设原数为x，则变化后的结果为x×1+25%×1-20%•=x×

1.25×

0.8=x×1=x•所以该说法正确题型多样化训练二1单选题12单选题2一件衣服先打8折，然后又打9甲、乙两人的年龄比为5:3，两折，相当于直接打（）折人年龄和为64岁，则甲的年龄是（）岁A.

0.17折B.

1.7折C.

7.2折D.17折A.24B.40C.30D.25答案C解析先打8折再打9折，相当于原价乘以答案B解析设甲为x岁，则

0.8×

0.9=

0.72，即

7.2折甲:乙=5:3，即x/64-x=5/3，解得x=403单选题3某商品定价为120元，现在促销打

8.5折，则顾客可以节省（）元A.18B.102C.12D.85答案A解析折扣价=120×

0.85=102元，节省=120-102=18元题型多样化训练三填空题填空题填空题123已知A:B=3:5，B:C=2:7，则某商品标价为240元，如果利润率为如果将一个长方形的长和宽同时扩大A:B:C=________25%，那么成本为________元20%，则面积增加________%解析由A:B=3:5，得A=3B/5；由解析设成本为x元，则售价=成本解析设原长方形的长为a，宽为b，B:C=2:7，得B=2C/7×1+利润率，即则原面积S₁=a×b240=x×1+25%=

1.25x，解得将B=2C/7代入A=3B/5，得扩大后的长为

1.2a，宽为

1.2b，新面x=192所以成本为192元A=3×2C/7/5=6C/35积S₂=

1.2a×

1.2b=

1.44ab=

1.44S₁所以A:B:C=6C/35:2C/7:C=6:10:35面积增加比例=S₂-S₁/S₁=

1.44S₁-S₁/S₁=

0.44=44%题型多样化训练四应用题应用题12某超市促销，购买同一种商品满3件打8折小红买了5件，甲、乙两人合伙投资，甲投入8万元，乙投入12万元年底每件原价为40元，应付多少钱？获利6万元，应如何分配？解析解析3件打折商品的价格3×40×

0.8=96元甲投资比例8/8+12=8/20=2/5剩余2件原价2×40=80元乙投资比例12/20=3/5总计96+80=176元甲应得利润6×2/5=

2.4万元乙应得利润6×3/5=

3.6万元解题技巧一读题找关键数据识别比例关键词如比、比例、分配、按照...的比例等这些词表明题目涉及比例关系，需要确定各个量之间的比值识别百分比关键词如百分之、百分比、增长率、折扣、利率等这些词表明题目涉及百分比计算，需要明确基数和百分数标注关键数值在阅读题目时，用笔标出所有数值及其单位，明确已知量和未知量，避免遗漏重要信息准确理解题意是解决比例和百分比应用题的第一步通过识别关键词和关键数据，我们可以迅速判断题目类型，确定解题方向，从而正确建立数学模型解题技巧二列表辅助思考数据表格法对比列表法步骤列表法将题目中的数据整理成表格，按照不同将相关联的量放在一起对比，特别是在对于复杂计算，按照解题步骤列出每一对象或不同时间点排列，使数据关系更处理前后变化或不同情况下的值步的计算过程和结果，避免混淆和计算加清晰可见这样可以直观地看出哪些时，这种方法可以帮助我们更好地把握错误这种方法也有助于后期检查计算是已知量，哪些是未知量变化关系是否正确解题技巧三单位统一化处理识别不同单位题目中可能同时出现米、厘米、元、角、吨、千克等不同单位，需要仔细辨别选择统一单位根据题目要求的答案单位或计算方便程度，确定统一换算的目标单位换算转换使用恰当的单位换算关系，将不同单位的数据转换为统一单位计算与结果表示使用统一单位进行计算，最后根据题目要求转换为合适的单位表示结果解题技巧四防范常见陷阱百分比基数混淆明确计算百分比的基数是什么增长与减少混淆2区分增长率和减少率的计算方法折扣理解不清弄清折扣数字的准确含义比例和百分比应用题中存在一些常见的误区，需要特别警惕其中最常见的是百分比基数混淆，例如在计算增长了多少百分比时，基数是原始值；而计算是原来的百分之多少时，也是用新值除以原值另一个常见陷阱是不同时期的百分比变化不能简单相加减例如，先涨价20%再降价20%，最终价格并不等于原价，而是原价的96%易错分析一比例中前后颠倒错误示范正确解法例题甲、乙两人的年龄比是3:5，如果甲今年21岁，那么甲:乙=3:5，所以乙=甲×5/3乙今年多少岁？乙=21×5/3=35岁错误解法正确的比例关系是当A:B=m:n时，A=B×m/n，B=A×甲:乙=3:5，所以乙=甲×3/5n/m乙=21×3/5=

12.6岁掌握正确的比例关系表达式，避免前后顺序颠倒引起的错误这个答案明显不合理，因为题目说甲比乙年龄小，结果却得出乙比甲小易错分析二百分比基数误用增长率基数错误折扣计算错误原价计算错误错误某商品从80元涨到100元，增长错误原价100元，现价80元，折扣是错误现价120元，比原价增加了率是100/80=125%80%20%，则原价是120-120×20%=96元正确增长率=100-80/80=25%正确折扣是80%，但这表示打八折，正确120=原价×1+20%，原价即现价是原价的80%=120/

1.2=100元易错分析三忽略单位与总量单位混淆总量认识不清忽略长度单位米/厘米或货币单位元在分配问题中混淆总量与部分量/角的转换计算精度问题4时间单位错误小数点位置错误或舍入不当在利率计算中忽略年、月、日的区别例如储蓄1000元，月利率

0.35%，一年后利息是多少？错误计算为1000×

0.35%=

3.5元实际上应该是1000×

0.35%×12=42元这是因为忽略了给出的是月利率，需要乘以12个月才能得到年利息概念链接比例、分数、百分比比例表示两个量之间的关系例如3:5分数表示部分与整体的关系例如3/5百分比3将分数转化为百分之几的形式例如60%比例、分数和百分比是三种密切相关的数学概念，它们都用来表示数量关系，只是表达方式不同理解它们之间的转换关系对于灵活运用这些概念解决实际问题非常重要例如，甲与乙的比例为3:5可以表示为分数形式甲是乙的3/5，也可以表示为百分比形式甲是乙的60%不同的表达方式适用于不同的情境，选择合适的表达方式可以让问题解决更直观、更简便拓展应用一生活中的比例问题生活中的比例应用非常广泛，以下是几个典型例子烹饪配方制作糖醋排骨需要糖与醋的比例为2:1，如果用20克糖，则需要10克醋在烹饪中，正确的配料比例直接影响菜肴的口感和风味中药配方传统中药常按特定比例配制，如某药方需要黄芪、党参、白术按3:2:1的比例配制，若需要用黄芪30克，则需党参20克，白术10克建筑材料混凝土配制通常需要水泥、沙子、石子按一定比例混合，如1:2:4的比例，这直接关系到混凝土的强度和耐久性拓展应用二百分比在数据分析中拓展应用三国际新闻中的百分比学生分组互动一比例分配比赛分组活动设计将学生分成4-5人小组，每组模拟一个投资团队，进行投资分配决策任务说明每组获得虚拟资金100万元，需要在房地产、股票、债券、黄金四种投资品中进行合理分配策略制定小组需要讨论不同投资品的风险和收益，制定最优的投资比例方案方案展示每组派代表展示投资分配比例及理由，全班评选最合理的投资方案这一活动能帮助学生在实际情境中运用比例知识，培养团队协作和决策能力通过讨论和分析，学生可以更深入地理解比例在资源分配中的应用价值学生分组互动二生活中的百分比调查制定调查计划小组确定调查主题，如班级同学每天使用手机时间分布收集数据设计调查问卷，收集班级或学校的相关数据整理分析将收集到的数据整理成百分比形式，制作图表汇报展示向全班展示调查结果和分析，提出相关建议这一活动让学生有机会在真实场景中应用百分比知识，培养数据收集、整理和分析能力通过亲身参与调查过程，学生可以更好地理解百分比在日常生活和社会研究中的重要作用问题导入实际生活场景电商满减活动实体店打折比较分析某电商平台推出满200元减50元的促同一件衣服在实体店标价240元，打8折如果想购买两件同样的衣服，电商平台销活动，小李想购买一件标价240元的优惠，实付多少钱？哪种方式更划算？和实体店各种方式的总花费分别是多衣服，参加此活动后实付多少钱？少？此时哪种购买方式更划算？拓展题挑战一综合性问题训练综合题目解题步骤小明和小红参加投资，比例为3:2项目完成后，小明分得

1.设总投资为x元，则小明投资3x/5元，小红投资2x/5元9000元，获利率为20%问项目的总投资额是多少？小红分

2.小明获利9000元，获利率20%，则小明投资额为得多少钱？她的获利率是多少？9000/20%=45000元

3.小明投资占总投资的3/5，所以3x/5=45000，解得x=75000元

4.小红投资2x/5=2×75000/5=30000元

5.总利润=9000/3/5=15000元，小红分得15000-9000=6000元

6.小红获利率=6000/30000=20%这道综合题目要求学生同时应用比例和百分比的知识，需要分步骤清晰地分析解题通过这种综合性训练，可以帮助学生融会贯通，提高解决复杂问题的能力拓展题挑战二跨学科应用物理学中的比例化学中的比例物体的重量与体积成正比，某材料配制浓度为12%的盐水300克，需密度为

7.8g/cm³一块体积为要多少克盐和多少克水？如果浓度50cm³的该材料重多少克？如果要降至8%，需要再加入多少克水？制作一个重量为1kg的物体，需要多大体积？生物学中的比例人体不同组织细胞的代谢速率与细胞体积的比例关系如果细胞体积增大一倍，其表面积与体积比会发生什么变化？这对细胞代谢有什么影响？比例和百分比概念在各个学科中都有广泛应用通过解决不同学科的问题，学生可以认识到数学作为工具学科的普遍价值，增强学习兴趣和应用意识学生展示与讲解学生展示与讲解环节可以大大提高学习效果和参与度让学生担任小老师角色，向全班讲解自己解决的比例或百分比问题，不仅可以加深讲解者对知识的理解，还能为其他同学提供多样化的解题思路教师可以选择几位同学展示不同类型的题目解法，如简单比值问题、比的分配问题、百分比增减问题等每位展示者讲解完毕后，其他同学可以提问或补充，形成良好的课堂互动氛围通过这种同伴教学方式，学生可以从不同角度理解问题，发现自己思路中的不足，提高批判性思维能力小结回顾一知识结构框架实际应用能力解决实际问题的综合运用解题方法与技巧各种题型的解题思路和方法公式与计算3比例和百分比的基本计算公式基本概念比例和百分比的定义及表示方法本课程的知识结构按照由基础到应用的顺序展开首先介绍了比例和百分比的基本概念，包括定义、表示方法与相互转换；然后学习了相关的计算公式与解题方法；接着通过大量例题和练习，掌握不同题型的解题技巧；最后通过实际应用和拓展，提升综合应用能力小结回顾二常见模型与通用方法等比例模型百分比增减模型互化模型部分-整体模型如果A:B=C:D，则有增加x%后的值=原比例、分数、小数、部分/整体=百分A/B=C/D或AD=值×1+x%；减少百分比之间的相互转比，这一基本模型是BC这一模型广泛x%后的值=原值×换这一模型有助于理解和应用百分比的应用于相似比例关系1-x%这一模型灵活选择最适合的表核心的问题中适用于各种增长和减达方式少问题课堂小测一选择题选择题选择题112233一件商品标价为120元，如果利甲、乙两人投资比例为2:3，共一块长方形地毯，长宽比为润率为25%，那么成本是（）获利5000元，则甲分得（）3:2，面积为30平方米，则地毯的周长为（）A.90元B.96元C.100元A.2000元B.3000元C.D.150元1000元D.4000元A.22米B.20米C.24米D.26米选择题选择题4455某产品今年销售量比去年增长25%，去年比前年增长某地图比例尺为1:50000，图上两地相距6厘米，则实20%，则今年比前年增长（）际距离为（）A.45%B.50%C.40%D.55%A.3千米B.30千米C.300千米D.

0.3千米课堂小测二综合应用题1综合应用题2某商场推出两种优惠方式方案A为打8折；方案B为满300元减60甲、乙、丙三人合伙经营，投资比例为2:3:5，一年后获利60000元小李想购买一件标价320元的商品，选择哪种方案更划算？如元如果按规定甲应额外获得5000元管理费，剩余利润按投资比例果她想购买两件相同的商品，选择哪种方案更划算？分配，求三人各自应得多少元？解析解析方案A320×

0.8=256元先扣除管理费60000-5000=55000元方案B320-60=260元甲应得5000+55000×2/10=16000元购买一件商品，方案A更划算乙应得55000×3/10=16500元购买两件方案A320×2×

0.8=512元丙应得55000×5/10=27500元方案B320×2-60=580元检验16000+16500+27500=60000元购买两件商品，方案A仍更划算课后作业与提升建议基础巩固作业拓展提升建议完成课本第45页习题1-5，重点练习搜集生活中的比例和百分比应用案例，比例和百分比的基本转换和计算如购物优惠、银行利率、统计数据等整理笔记，制作比例和百分比的知识思维导图，帮助系统化记忆尝试用Excel或在线工具制作百分比图表，展示数据的分布情况思考题思考为什么先打8折，再打9折不等于直接打7折？挑战如果一个商品先涨价x%，再降价x%，最终价格与原价相比如何变化？请推导公式并解释原因课后作业设计注重多层次、多类型，既有基础巩固题，也有拓展提升题，还有开放性思考题鼓励学生在实际生活中寻找应用案例，增强学习的趣味性和实用性学习心得与问题答疑常见问题收集详细解答汇总学生学习过程中的疑难点针对共性问题进行深入讲解教师总结提炼学习心得分享归纳共性问题和解决思路学生交流学习方法和体会学习心得与问题答疑环节可以帮助学生解决学习中的困惑，交流学习方法和经验教师可以组织学生分享各自的学习策略，如何理解比例和百分比的本质，如何识别和解决不同类型的应用题等针对学生提出的问题，教师不仅要给出解答，更要引导学生思考问题的本质，培养分析问题和解决问题的能力通过这种互动交流，可以促进学生间的相互学习，提高整体学习效果课程总结与展望基本概念掌握通过本课程的学习，我们已经掌握了比例和百分比的基本概念、表示方法和转换关系这些是解决相关问题的基础解题技能提升我们学习了多种类型的应用题解法，包括比例分配、百分比增减、折扣计算等，掌握了相应的解题技巧和方法实际应用拓展通过实例分析和拓展应用，我们认识到比例和百分比在生活、商业、科学等各个领域的广泛应用未来学习方向比例和百分比是后续学习函数、相似形、概率统计等高级数学概念的基础希望同学们在未来的学习中能够灵活运用这些知识，解决更加复杂的问题。