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2021-2022学年贵州省铜仁地区统招专升本高数自考模拟考试（含答案）学校:班级:姓名:考号:
一、单选题（题）
101.已知函数八.『）=」、，则/〃士,1«•JC
2.x已知级数则下列结论正确的是A.若lima”=0则收敛♦一2JB.若部分和数列｛SJ有界.则工人收敛C.若收敛，则lim〃〃=0H-L JD.若夕〃“收敛,则V||收敛
3.函数》=・的水平渐近线是j,+zsinzA.=0B.v=4-C.y=4J
324.下列级数收敛的是Y缶A.V]nsin—D-公〃C V3々/+1sin\rln1+，dflnl+§inD•Zsinrcosz【精析】原式=lim［答案］
18.
119.〃cf+///.【精析】由于丁=•eJ/=.故y=［er/\eJ=e二尸e，+e/”eD•eJ=eTf+e2jr/z eJ.
20.e
21.Y［答案］7【精析】因为/Q在「一
1.门上连续.在一
1.1内可导.且八一1=/1=1,所以/#在［-
1.门上满足罗尔中值定理.［答案］X【精析】=八八/为达到降阶的目的需令=S♦=p.
23.Y【精析】.所以收敛，且收敛于erLr=-e~=1ctr L J00J
024.N［答案］x/
3.］「，I【精析】1—、丁|dr=1—x dj,+|1—J-|d、r=1—.rd、r+.-M.—M Ji«-H-1d,r=pr-yr2\_4+-.r\_=
10.
25.N【精析】当〃为奇数时.数列收敛于i当〃为偶数时.数列收敛于工o•故该数列发散.OJ
26.N［答案］X*土］【精析】/I=---------------J=7^---------♦所以x=2・1=-1是间断点.1=
1、厂—j—
2.r—
2.r+1不是间断点.
27.N【精析】反例取/J=Hgar=—1，当M f8时,//,gjr均无极限，但/jf+gx=0有极限.
28.Y——D【精析】当a、f1时,/■—If，工3—2/+1f O.lim=lim—-=1X♦11一1J.l1存在，可以使用洛必达法则•故正确.
11.sin2i lim-■-r-1AoV*sin Lr乙【精析】
29.N
30.N［答案］X【精析】Vjr=7一
2、r,・“=/一2,当1£［―
5.—J2］时,丁0单调递增;当
①e一也，口时，t/v o.y单调递减.
31.【精析】因为/（）-=，则/（k）=一八cosr=sin1—cos1「1所以/
（1）=（1—1）d/=上—9，,+a乙又尸（得0）=0c=
0.所以/（J）=1—yjr
2.
32.【精析】原方程的特征方程为/—6厂+9=0•即尸一32=0,有两个相等实根小=A=
3.故原方程的通解为y=C；+C-e将初始条件
①=了=1代人,得G=1,♦又/=Ge+3C+GE」•将初始条件才=
0.7=2代人.得2+3G=2,故的=2-3c=-1;故原方程满足初值条件的存解为｝=1一.Qc.原式=上【精lim=lim-析】1--tanr=lim=lim——-n—，3厂=lim—
434.
二、【精析】设1—3=/.则原级数化为X〜n4十1J小十―评[〃++口_4112r=%收敛半径=上R一同1当,=一4时，级数化为产平，也是收敛的.I故44+1的收敛域为当/=时•级数化为/是收敛的.4g3“所求级数总品_+1的收敛域为由一丁一得一式
44.3W4,1Wi
7.1b163-21322【精析】AB-2A=A3B-2E=1—1-3-812—-2-1720—110151«129-
235.111121=AB11-1-215因为=A，所以A是对称矩阵，因此
36.【精3M_11+y—2J y1-y1H-方=1+y--vTF析】1所以_]【证明】对/T在［0“门上应用拉格朗口中值定理得fa-/0=«即有/a=3,0V SVa再时八在十加上应用拉格朗口中值定理得fb+a=/W+/卬a,6V rfa+b因为广⑺单调减少，且所以有/卬，而a
0.故，/£•于是fa+〃/力+a/9=/6+/a.
38.【证明】要证即证一
①成立即可,V lnl+1,l+ilnl+z01+1设/其中x=l+jrlnl+z—z,10,则/1=lnl+z+1—1=lnl+x0,E0,所以在［上为单调增加函数,/x0,4-00fCr/0=0,即当工时故原不等式成立.0，1+zlnl+l—0,JT
39.【精析】设行驶的距离为s公里,可视为已知量•且可知S0口0•行驶距离S所用的总费用为c,时间为W•则由题意可知3S［八八s12s1100ST2500z12500z〃aS100S/J
10、u/,/1,200c=西一==由FSI=西+FS・x c令“=0’则可得唯一驻点］=50,且七50=T^-S0,，乙J U所以、r=50是极小值点，乂因实际问题最值一定存在，可知该点也是最小值点.故最经济的行驶速度是50公里/小时.【精析】当时，.故所求旋转体体积为o1八「匕=六\1+/_L,八/J1+.r1+
2.rr2jr=7t1d.r+RJbJ Ju1+J-1+ln1+.r2=TT式.=1+ln
241.【精析】设面积八=兀，，厂=10cm,△r=
0.05cm.丁•△五厂•△厂=兀兀因此加热后金A%cLA=dn/=22X10X
0.05=cm.属圆片面积增大了五cm.
42.【精析】设零售价为父元，利润为L元，则有.°尸L.r=•200+10001^-30=6000-lOO^X.r-
30.■B-Z/x=-
100.r-30+6000-lOO,r=-2OOw+9OOO,令Lzx=0,解得w=45,L=-
2000.故/.•在w=45处取得极大值，又由极值点唯一且为实际问题,可知该点也为最大值点，所以当每件售价为45元时,该超市利润最大.
43.【精析】本题为求函数Z=/Cr^u/+y-2h+2y+8在条件x+j-8=0下的条件极值.方法一用拉格朗日乘数法总成本fx.y=+y-
2.r+2y+8,约束条件夕、r,«y=1+«y—8=0,作辅助函数F-r,v=V+歹一2/+2丫+8+入1+-8,产=—2+2=0,令3-2y+2+4一0,B—”+y—8—
0.解得*=5…=
3.由于驻点
5.3唯一.实际中确有最小值,所以当才=5千件.3•43千件时使总成本最小.最小成本为小5,3=38千元；方法二化条件极值为无条件极值总成本为之=/Q,y=x2+y—2x+2v+81约束条件1+y—8=0,将了=81代人/彳~中，得7=/+81产2i+28i+8=2/201+88,zf=4I—20,令J=•得1=5,因为J=40g所以工=5时口取极小值.又因为极值点唯一，所以1=5时口取最小值.此时y=3,故1=5千件,y=3千件时9总成本最小.最小成本为最小成=38千元.
5.All+工、2+/％3=
0.
9.设齐次线性方程组J不+2+必=0，的系数矩阵为4,且存在3阶方阵3/0,使4+12+^3=0bAB=O,则A.a=一2且|B|=0BU=一2且|B|#0CJ=1且|B|=0D.A=一1且|B|片A.—1C.1D.
06.
7.2/+3v=0，空间直线LJ“与平面31—2丫+7,=8的位置关系是]7y+2冬=0A,垂直B.斜交C.直线在平面上D.平行
8.以,=cQ+托”为通解的二阶常系数齐次线性微分方程为A./—16丁+64了=0及，-16/-64了=0C./+16丁+6\y=0D./+61v=
09.已知函数了=V+1m,则d.v=A.2x+1d.iB.2,drC.O+才d、rD,/
2.r+y VLr
10.、…fl-z--々＜0,设函数/i=在]=0处连续，则k=[2J+k.才》0D.e-1+1A.e+1B.e-1-1C.e-1
二、填空题题
1011.已知两点和则方向和罚一致的单位向量为A
4.
0.557,
1.
3.2在口，3］上的平均值为
13.由方程arctan上=In J£*+句确定的隐函数y=y^的导数5」=JT14设函数*=心由方程+v2d+2v=1确定.则〉/=lim
15.”将展开成一的事级数是1l
16./sin才山lnl+1极限吧一^―-lim】.i rsm
17.
18.已知函如在的某邻域内连续，且〃尸则极限生工x x=00=0,0=-2,lim2sin xD设、=/二阶可导•则1Q/9j=求极限lim1+sin x”=.
20.J
三、判断题题
1021.在区间［-1J］上•函数人］=满足罗尔中值定理.乙小一1否是A.B.
22.已知、；=/.r,，.令v=/,则=p半.-.dy否是A.B.广义积分LFn收敛.否是
23.A.B.
24.|1一/|d.r=
3.J3否是A.B.数列｛尸｝是收敛的.才日-1A DA.台2J.JD.7E
26.产—11=1是函数/1=一一三的第一类间断点.才—一T-Z否是A.B.”作某过程中，若均无极限•则无极限.人不//,41/.r+giZ/•A.~~是B.才二才3—2/+13/一212+1lim rr=lim-----------=
1.=呵X-
128.JT-1一11A.否B.极限胆lim g=
2.否是
29.2s,n4r A.B.
30.A函数了=1一在区间［―5,口上单调减少.（否是A.B.
四、计算题（题）6，设（）=且/（）.求/（）/cos sin”,0=
0.J-
31.
32.求微分方程/-6，+9y=0满足初值条件5（）=l,y
（0）=2的特解.广“’求极限加
11.1itanF二斐）；）求帮级数w的收敛域（考虑端点的情况）.设，求及从A=11-1=-1-243AB-2A A1已知二元函数
五、证明题（题）
237.设八彳）在［
0.门上有定义,/（，）存在且单调减少.八0）=0,证明对于0a+〃W c•恒有八以+〃）＜f（a）+/（〃）.证明不等式外,其中工＞6—Vln（l+
0.
38.1+7
六、应用题（题）
539.已知汽车行驶时每小时的耗油费用元）与行驶速度公里/小时）的关系是V=舄,若汽车行驶时除耗油费用外的其他费用为每小时100元,求最经济的行驶速度（假设汽车是匀速行驶）.
40.1+/
25.已知函数y（x）=.求由,y=/（了），.r=
0.x=l.y=0所围成图形绕工轴旋M转一周的旋转体的体积.
41.半径的金属圆片加热后,半径伸长了问其面积增大了多少？10cm
0.05cm.
42.某大学城超市按批发价每件30元买进一批丁恤，若零售价定为每件50元,预计可售出1000件,若在此基础上每件降价2元，则可多售出200件.问每件零售价定为多少，该超市可以获得最大利润？
43.某公司的甲、乙两厂生产同一种产品•月产量分别是八M千件），甲厂的月生产成本是（；=1—2N+5（千元），乙厂的月生产成本是C=+2y+3（千元）.若要求该产品每月总产量为8千件,并使总成本最小.求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本.参考答案
1.C［答案J【精析】
2.C匚答案1C【精析】lim“.=0是的必要条件,故应选C.选项B中,需要求W；〃”为正项级数;选项应改为若|小收敛.则收敛.D I•I-I!1-L
3.D［答案1D【精析】lim.y=lim:—=lim-----------------------L—=1,则其水平渐近线为了=1,故应■・•」・•J■十ZSIDJ*」・•_|_p smw,r选D.
4.C［答案］C3【精析】因为lim匚」=3,而\上收敛•所以由比较判别法的极限形式知“71r rrw_1〃-■.S白7是收敛的•故选c.七犷+1U-I［答案1C【精析】因为O.AB=O,所以AX=O有非零解，故|A|=0且A不为零矩阵.A1A2即1/1=入-1产=0•解得久=
1.11A若I5I#0,则B1存在,AB•=A=O.显然矛盾.故|5|=0,故选C.竽=I—smj
1.1-cos.r【精lim-=lim
0.二四LO析】1-•2IJ
6.D［答案1D.［答案］Ai jk【精析】因230=6,—4,14,故直线的方向向量可取§=3,—2,7•平面法向072量〃=3,—2,7•可知直线与平面垂直.
8.A［答案］A【精析】由通解=Cd+C27a的形式知，厂=8为二阶常系数齐次线性微分方程所对应的特征方程的二重根.满足特征方程「—8”=r-16r+64=
0.故所求方程为yf—16」+64y=
0.，［答案］D【精析】工，所以十—故应选y=2+dy=b,D.』
9.D I
110.B【精析】函数在
①=处连续，则,即一工/x0lim/.r=lim fx=/0lim1w±一一才—+-jr，=lim1—1―一=e-1=lim2,+£=1+/,故A=『一
1.不-»*r♦0-
11.j
3.1,2i［答案
11.\/TT/n/HI【精析】血=〈3/，一2,|五百|=73-+I2+-22=，而,所以与R声同向的单位向量为｛岛.后,一宗卜
12.13/3［答案1v■j「313/dr—【精析】在闾上的平均值为明一=王一=孕.y=/116—1L
613.彳+y1—y也”也；;工=一!・【精析】两边对1求导•得-------------------♦整理1+（当2Zr2+v22G.j得/=土./，-y
14.2十32-/+2乙丫+2【精析】将My+/1+2），=1两端关于1求导得.2wy4-:r2y+2xyyf+y2+2y=0,整理得（、，+2工y+2）/+（
2、ry+y）=
0.因此a=--------x十ixy+1犷+lim，43〃+9=5+告+自=
2.（I*,•〃lim〉■•:11【精析】
15.21-4尸［答案1S m
3、丁一4）”【精析】y（-r）=1=T—1一7=T--------------------------F•因为夫=2（-1）3•所以.r44-,r—44,..7—414-.r1-\-----..14/⑺=竺（-=S,一4），，£（0・8）.。
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