珠海市实验中学李晓东课件

珠海市实验中学李晓东课件介绍欢迎使用李晓东老师精心编制的教学课件系列本课件旨在为珠海市实验中学的学生提供系统化、清晰化的学习体验，帮助同学们更好地把握数学核心知识点课件涵盖了从函数、几何到概率统计等多个数学领域的重要内容，每个主题都经过精心设计，包含概念讲解、图形分析、案例解析和练习题等多种教学环节作为珠海市实验中学的骨干教师，李晓东老师将自己多年的教学经验融入其中，希望这套课件能成为同学们学习的得力助手，让数学学习更加高效、更有趣味李晓东老师简介教育背景教学经验教学理念李晓东老师毕业于华南师范大学在珠海市实验中学任教十五年，秉持激发兴趣、启发思考、培养数学系，获应用数学硕士学位，曾获广东省特级教师、珠海市能力的教学理念，注重培养学生随后在北京师范大学完成教育学优秀教育工作者等荣誉称号，指的数学思维和解决问题的能力，博士后研究，专注于中学数学教导学生多次在全国数学竞赛中获将抽象的数学概念与生活实际相学方法创新研究奖结合课件使用说明了解课件结构本课件共分为九个主要章节，每章包含核心知识点讲解、图例分析和配套练习题，按照由浅入深的学习顺序编排学习建议先通读核心概念，理解基本定义和性质，然后观察例题解析，最后尝试独立完成练习题，形成完整的学习闭环做好笔记记录建议在学习过程中记录关键知识点和解题思路，定期回顾复习，巩固所学内容，形成自己的知识体系及时解决疑问遇到不理解的内容时，可查阅相关参考资料，或在课堂上向李老师请教，避免知识断层影响后续学习第一章函数掌握应用能力能够运用函数知识解决实际问题理解函数性质掌握函数的单调性、奇偶性和周期性熟悉函数图像能够绘制和分析常见函数图像理解基本概念明确函数定义、表示方法和基本要素函数是数学中的核心概念之一，是描述两个变量之间对应关系的数学工具本章我们将从函数的定义出发，逐步探讨函数的表示方法、基本性质以及实际应用，为后续数学学习打下坚实基础知识点定义与性质1函数的定义函数的表示方法定义域与值域函数是从一个非空数集到另一个数集•解析法用数学公式表示，如y=定义域是函数自变量x所有可能取值的的对应关系，其中第一个集合中的每2x+3集合；值域是当x取遍定义域中所有值个元素都有且仅有一个元素与之对时，函数值y所有可能取值的集合确•列表法用数值表格列出对应关系应这种对应关系通常表示为y=定定义域要考虑公式中的限制条件，•图像法用坐标平面上的曲线表示fx，其中x是自变量，y是因变量如分母不为零、根号下非负等知识点函数图像2函数图像的绘制步骤常见函数图像

1.确定函数的定义域一次函数y=kx+b，图像为直线

2.计算特殊点的坐标（如截距、顶点等）二次函数y=ax²+bx+c，图像为抛物线

3.分析函数的单调性、奇偶性等反比例函数y=k/x，图像为双曲线

4.绘制坐标系并标出特殊点

5.连接各点，绘制完整曲线指数函数y=aˣ，图像随a值变化特征不同正确绘制函数图像是理解函数性质的直观途径，也是解题的对数函数y=logₐx，是指数函数的反函数重要工具三角函数正弦、余弦等，图像呈周期性变化知识点函数性质3单调性函数在区间内的增减性质若对区间内任意两点x₁＜x₂，都有fx₁＜fx₂，则函数在此区间上单调递增；反之，若fx₁＞fx₂，则单调递减判断单调性可通过求导，若fx＞0，则增；若fx＜0，则减奇偶性若对任意x∈定义域，都有f-x=fx，则fx为偶函数，其图像关于y轴对称；若f-x=-fx，则fx为奇函数，其图像关于原点对称判断奇偶性需检验定义域关于原点是否对称，然后代入函数验证周期性若存在一个正数T，使得对定义域内任意x，都有fx+T=fx，则T为函数fx的周期最小的正周期称为基本周期三角函数是典型的周期函数，如sinx和cosx的基本周期为2π，tanx的基本周期为π知识点函数性质（续）3奇偶性判定性质判定方法代入-x进行验证单调性判定求导分析•检查定义域是否关于原点对称•求函数的导数fx•计算f-x并与fx比较•解不等式fx0或fx0•若f-x=fx，则为偶函数•确定函数的增减区间•若f-x=-fx，则为奇函数性质应用周期性判定解题技巧与简化寻找重复规律•利用奇偶性简化计算•尝试验证fx+T=fx•利用单调性确定最值•求出可能的T值•利用周期性处理区间问题•确定最小正周期练习题1题目1已知函数fx=2x³-3x²+1，求fx的定义域、单调递增区间和单调递减区间解答定义域R（全体实数集）fx=6x²-6x=6xx-1当x0或x1时，fx0，函数单调递增当0题目2判断函数gx=x²+ln|x|的奇偶性解答g-x=-x²+ln|-x|=x²+ln|x|=gx由g-x=gx，且函数定义域关于原点对称所以函数gx为偶函数练习题2进阶题目设函数fx=xsin1/xx≠0，f0=0，探究fx在x=0处的连续性和可导性解题思路首先研究函数在x=0处的左右极限，然后判断连续性；再求导数，分析导数在x=0处的左右极限，判断可导性详细解答因为|sin1/x|≤1，所以|xsin1/x|≤|x|当x→0时，|x|→0，由夹逼定理得limx→0fx=0=f0，所以fx在x=0处连续对于x≠0，fx=sin1/x-cos1/x/x当x→0时，cos1/x/x在[-1/|x|,1/|x|]之间振荡，不存在极限，因此fx在x=0处不可导第二章几何几何学的起源几何学源于古埃及和巴比伦的土地测量，后由欧几里得在《几何原本》中系统化，成为数学中最古老的分支之一学习目标掌握平面几何基础知识，熟悉常见几何图形的性质，能够运用几何定理解决实际问题，培养空间思维和逻辑推理能力章节内容本章将介绍平面几何基础，重点探讨三角形和四边形的性质及应用，包括特殊图形的识别、面积计算和定理证明等内容知识点平面几何基础1点线面点是几何中最基本的元素，直线是点的轨迹，只有长平面是由无数条直线构成的没有大小，只有位置点通度，没有宽度两点确定一二维空间，有无限的长度和常用大写字母A、B、C表条直线线段是直线上两点宽度，但没有高度三个不示点是构成其他几何元素之间的部分，包括这两个端共线的点确定一个平面的基础点射线是从一点出发沿某一方向无限延伸的部分角角是两条射线从同一个点出发所形成的图形角的大小用度数表示，一周为360度角可分为锐角、直角、钝角、平角和周角等知识点三角形2三角形的定义与分类三角形的基本性质三角形是由三条线段首尾相连构成的封闭图形根据边的关三角形的内角和为180度，外角等于与它不相邻的两个内角系，可分为的和•等边三角形三边相等三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边•等腰三角形两边相等•不等边三角形三边不等等边三角形的三个内角均为60度，三条边相等，三条高相等根据角的关系，可分为等腰三角形的底角相等，顶点到底边的高平分底边•锐角三角形三个角都是锐角•直角三角形有一个直角直角三角形满足勾股定理a²+b²=c²，其中c为斜边长度•钝角三角形有一个钝角知识点三角形（续）2180°31/2三角形内角和特殊线段数量面积公式系数任何三角形的内角和恒等于180度，这三角形有三条中线、三条角平分线、三三角形面积计算的基本公式为S=1/2×底是欧几里得几何中的基本定理条高线和三条垂直平分线×高，表示为底边与对应高的乘积的一半三角形的面积可以通过多种方法计算

1.基本公式S=1/2×底×高

2.海伦公式S=√[ss-as-bs-c]，其中s=a+b+c/

23.三角函数公式S=1/2×ab×sinC，其中C为ab所夹的角

4.行列式公式S=1/2|x₁y₂-y₃+x₂y₃-y₁+x₃y₁-y₂|知识点四边形3平行四边形矩形菱形平行四边形是指两组对边分别平行的四矩形是一种特殊的平行四边形，其四个菱形是四条边都相等的平行四边形其边形其特性包括对边相等且平行；内角均为直角矩形的特性除了具有平特性除了具有平行四边形的全部特性对角相等；对角线互相平分；对角线将行四边形的全部特性外，还有对角线外，还有四条边相等；对角线互相垂四边形分为面积相等的两个三角形相等且互相平分；对角线长度等于两边直平分；对角线分别平分对应的两个平方和的平方根角知识点四边形（续）31四边形的判定方法2矩形的判定判断平行四边形两组对边分别平行；两组对边分别相等；一个角为直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；对对角线互相平分；一组对边平行且相等边平行且相邻两边垂直3菱形的判定4面积计算公式四边相等的四边形；对角线互相垂直平分的四边形；对边平平行四边形S=底×高；矩形S=长×宽；菱形S=对行且四边相等角线乘积÷2；梯形S=上底+下底×高÷2练习题1题目1已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边长和面积解答根据勾股定理，斜边长c=√3²+4²=√9+16=√25=5；三角形面积S=1/2×3×4=6题目2判断一个四边形是否为平行四边形的方法有哪些？请列举并简述理由解答判断平行四边形的方法1两组对边分别平行；2两组对边分别相等；3对角线互相平分；4一组对边平行且相等每种判定方法都反映了平行四边形的不同几何特性练习题2定理应用题计算应用题作图应用题证明在三角形中，三条中线的交点到一个等腰梯形，上底为8厘米，下底为如何仅用圆规和直尺作一个等于给定角三个顶点的距离平方和等于三条边长平12厘米，高为4厘米求梯形的面积以的角？请描述作图步骤并解释原理方和的3/4及对角线长度这道题考查基本作图方法，需要利用等这个命题涉及到三角形的中线性质和重解答梯形面积S=8+12×4÷2=40平方腰三角形底角相等的性质和圆的性质来心概念，需要运用向量分析和坐标几何厘米对于对角线长度，需要建立坐标完成的知识进行证明系，利用距离公式进行计算第三章概率基本概念学习计算方法掌握了解随机事件、样本空间、概率的定学习古典概型、几何概型和统计概率义及基本性质的计算方法实际问题应用事件运算理解4能够运用概率知识解决生活中的实际掌握事件的并、交、差运算及概率加问题法公式概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，它为我们理解不确定性提供了科学工具本章将从基本概念出发，逐步探讨概率的计算方法和应用，帮助同学们建立随机思维，培养统计观念知识点概率的基本概念1随机试验在相同条件下可重复进行，结果不确定但可能结果明确，并能判断是否发生的试验如掷骰子、抛硬币等随机试验具有可重复性、结果不确定性和结果可预测性三个特点样本空间随机试验E的所有可能结果组成的集合，记为Ω样本空间中的元素称为样本点例如，掷一枚骰子的样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6}样本空间可以是有限集、可数无限集或不可数无限集随机事件随机试验E的样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件事件可以看作是试验结果的某种特性基本事件是只含一个样本点的子集必然事件是样本空间本身，不可能事件是空集概率的定义概率是对随机事件发生可能性的度量，它满足三条公理非负性、规范性和可列可加性概率取值在0到1之间，0表示不可能发生，1表示必然发生概率可以通过频率来估计知识点事件的运算2事件的关系事件的运算条件概率包含关系若A发生必导致B发生，则和事件并A∪B表示事件A或B发生已知事件B发生的条件下，事件A发生称A包含于B，记为A⊂B的概率，记为PA|B相等关系若A⊂B且B⊂A，则A=B积事件交A∩B表示事件A与B同时计算公式PA|B=PA∩B/PB，其发生中PB0互不相容若A∩B=∅，则称A与B互不相容或互斥差事件A-B表示事件A发生但B不发条件概率同样满足概率的三条公理，生是概率的延伸定义对立事件若A∩B=∅且A∪B=Ω，则称A与B互为对立事件，B也记为A̅对立事件A̅表示事件A不发生乘法公式PA∩B=PB·PA|B=PA·PB|A知识点3概率计算古典概型适用条件试验结果有有限个，每个结果等可能发生计算公式PA=事件A包含的基本事件数/样本空间中基本事件总数常用计数方法排列组合、分布计数原理•排列数An,m=n!/n-m!•组合数Cn,m=n!/[m!n-m!]几何概型适用条件样本点有无限多个，分布在某区域内且均匀分布计算公式PA=事件A对应区域的度量/样本空间对应区域的度量度量可以是长度、面积、体积等，根据问题具体情况选择经典例题针问题、贝特朗悖论、随机点问题等贝叶斯公式用于求解已知结果，反推原因类型的概率问题基本公式PB|A=PA|BPB/PA完全形式PBi|A=PA|BiPBi/[∑PA|BjPBj]应用场景医学诊断、机器学习、决策分析等练习题1练习题2题目一个袋子中装有3个红球和2个白球，从中随机取出2个球，求1取出的两球都是红球的概率；2取出的两球颜色不同的概率；3已知取出的第一个球是红球，求第二个球也是红球的概率解析这是一个典型的古典概型问题，可以用组合知识求解样本空间从5个球中取出2个球的所有可能结果，共有C5,2=10种1取出的两球都是红球从3个红球中取2个，共有C3,2=3种情况2取出的两球颜色不同从3个红球中取1个，从2个白球中取1个，共有C3,1×C2,1=6种情况3条件概率问题，需考虑剩余球的情况答案1P两红=C3,2/C5,2=3/10=

0.32P不同色=C3,1×C2,1/C5,2=6/10=

0.63P第二个是红|第一个是红=2/4=

0.5第四章数列应用与扩展求和公式与实际应用问题数列通项公式2各类数列的通项公式推导特殊数列等差数列、等比数列及其性质基本概念数列定义、递推关系、单调性数列是按照一定顺序排列的数的序列，是研究数的有序集合的重要工具本章将从数列的基本概念入手，重点讲解等差数列和等比数列的性质，以及数列通项公式和求和公式的推导方法，最后探讨数列在实际问题中的应用知识点数列的基本概念1数列的定义数列是按照一定顺序排列的数的序列，通常用{an}表示其中an表示数列的第n项，称为通项数列可以是有限的，也可以是无限的每一项与它的位置项数之间的对应关系可以用通项公式表示递推关系有些数列的每一项与前面若干项之间存在某种关系，这种关系称为递推关系例如，斐波那契数列的递推关系为F₁=1，F₂=1，Fn=Fn-1+Fn-2n≥3通过递推关系可以依次求出数列的各项数列的性质单调性若a₁≤a₂≤...≤a≤...，则称数列{an}单调递增；若a₁≥a₂≥...≥a≥...，则称数列ₙₙ{an}单调递减有界性若存在常数M，使得|a|≤M对所有n成立，则称数列{an}有ₙ界数列的极限如果数列{an}的项无限接近于某个常数A，则称A为数列{an}的极限，记作limn→∞an=A或an→An→∞收敛数列必有界，但有界数列不一定收敛知识点特殊数列2等差数列等比数列定义从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数定义从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数d，这个常数d称为等差数列的公差q，这个常数q称为等比数列的公比通项公式a=a₁+n-1d通项公式a=a₁·q^n-1ₙₙ等差中项对于任意三个等差数列的相邻项，中间项等于两等比中项对于任意三个等比数列的相邻项，中间项的平方端项的算术平均值等于两端项的乘积前n项和公式S=na₁+nn-1d/2=na₁+a/2前n项和公式当q≠1时，S=a₁1-q^n/1-q；当q=1时，ₙₙₙS=na₁ₙ等差数列的性质等差数列中，任意相邻两项的算术平均值等于这两项的中项等比数列的性质等比数列中，任意相邻两项的几何平均值等于这两项的中项练习题1题目1已知数列{an}中，a₁=2，an+1=3an-2求a₁0的值和数列前10项的和S₁₀求解步骤1首先利用递推关系，依次求出数列的前几项a₁=2，a₂=3×2-2=4，a₃=3×4-2=10，a₄=3×10-2=28观察数列，发现可能存在规律求解步骤2猜想通项公式，并用数学归纳法证明假设a=2×3^n-1，验证a₁=2×3^0=2，符合ₙ已知条件假设对于某个k，ak=2×3^k-1成立，那么ak+1=3ak-2=3×2×3^k-1-2=2×3^k-2=2×3^k答案通项公式为a=2×3^n-1，所以a₁₀=2×3^9=2×19683=39366对于求和，利用等比ₙ数列求和公式S₁₀=21-3^10/1-3=21-3^10/-2=3^10-1=59048练习题2等差数列应用等比数列应用综合应用已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S₃=12，某等比数列前n项和Sn满足S₂=3，S₄=5求数列的首数列{an}满足a₁=1，a₂=3，且对于n≥3，an=an-1+an-S₆=36求数列的首项a₁和公差d，并计算S₁₀的值项a₁、公比q以及S₈的值2求数列的通项公式及前10项和解析根据等差数列前n项和公式，S₃=3a₁+33-解析设首项为a₁，公比为q，则解析这是一个斐波那契型数列可以依次求出1d/2=3a₁+3d，S₆=6a₁+66-1d/2=6a₁+15d由S₂=a₁+a₁q=a₁1+q=3，S₄=a₁1+q+q²+q³=a₁1-q⁴/1-a₃=a₂+a₁=3+1=4，a₄=a₃+a₂=4+3=7，S₃=12得3a₁+3d=12，即a₁+d=4；由S₆=36得q=5（q≠1）由S₂=3得a₁1+q=3，即a₁=3/1+q代a₅=a₄+a₃=7+4=11，发现规律较为复杂通过特征方6a₁+15d=36解方程组得a₁=1，d=3因此，通项公入S₄=5得31-q⁴/[1+q1-q]=5，化简得31-程法可以求出通项公式，或者通过观察发现与斐波那式为a=1+n-1×3=3n-2，S₁₀=10a₁+1010-q⁴/[1+q1-q]=5，进一步解得q=1/2因此契数列的关系，从而求出前10项和ₙ1d/2=10×1+10×9×3/2=10+135=145a₁=3/1+1/2=3/3/2=2S₈=a₁1-q⁸/1-q=2[1-1/2⁸]/1-1/2=21-1/256/1/2=41-1/256≈4第五章向量向量基本概念向量运算向量的内积与外积向量的应用向量是同时具有大小和向量加法三角形法则内积（点积）向量可以应用于几何问方向的量，可用有向线或平行四边形法则；向a·b=|a||b|cosθ，其中θ是题求解、物理问题分段表示向量的模表示量减法a-b=a+-b；数两向量的夹角；外积析，以及计算机图形学向量的大小平行向量乘向量λa表示方向不（叉积）a×b表示垂直等领域通过向量可以方向相同或相反，互相变（λ0）或相反于a、b所在平面的向简化许多复杂的几何证平行零向量没有确定（λ0），大小变为原来量，其大小为明，使解题过程更加清的方向，与任何向量平的|λ|倍|a||b|sinθ，方向由右手晰和直观行法则确定知识点向量的坐标表示1平面向量坐标表示空间向量坐标表示在平面直角坐标系中，向量a可以表示为a=x,y或a=x,yT，在空间直角坐标系中，向量a可以表示为a=x,y,z或其中x、y分别是向量在x轴和y轴上的投影，称为向量的坐a=x,y,zT，其中x、y、z分别是向量在x轴、y轴和z轴上的标投影向量的模|a|=√x²+y²向量的模|a|=√x²+y²+z²单位向量e=a/|a|，表示与a方向相同，大小为1的向量向量的方向余弦cosα=x/|a|，cosβ=y/|a|，cosγ=z/|a|，其中、、分别是向量与三个坐标轴的夹角αβγ方向角向量与正x轴的夹角α，满足cosα=x/|a|，sinα=y/|a|两向量夹角cosθ=a·b/|a|·|b|平行判定两个非零向量a=x₁,y₁，b=x₂,y₂平行的充要条向量的投影向量a在向量b方向上的投影为|a|cosθ，其中θ件是x₁/x₂=y₁/y₂（假设x₂≠0，y₂≠0）是两向量的夹角知识点向量的应用2共线与平行判定利用向量平行条件判断直线平行或点共线垂直关系证明利用向量内积为零证明垂直关系距离与面积计算利用向量计算点到直线距离、三角形面积等方程推导与化简利用向量简化直线、平面方程的推导向量在几何问题中有广泛应用例如，可以用向量证明三角形中线的性质三条中线交于一点，且该点到各顶点的距离平方和最小还可以用向量方法推导距离公式点Px₀,y₀到直线Ax+By+C=0的距离为d=|Ax₀+By₀+C|/√A²+B²向量还可以用来计算多边形面积、判断点的位置关系等练习题1题目1已知向量a=2,1，b=3,-2，求1|a|;2|b|;3a+b;42a-3b;5a·b;6a与b的夹角解答1|a|=√2²+1²=√52|b|=√3²+-2²=√9+4=√133a+b=2,1+3,-2=5,-142a-3b=22,1-33,-2=4,2-9,-6=-5,85a·b=2×3+1×-2=6-2=46cosθ=a·b/|a|·|b|=4/√5·√13=4/√65θ=arccos4/√65≈

60.5°题目2判断向量a=1,2,-1，b=2,-3,4，c=3,-1,3是否共面，并解释理由解答三个向量共面的充要条件是它们的混合积为0，即a×b·c=0计算a×b=2×4--3×-1,-1×3-1×4,1×-3-2×2=8-3,-4-4,-3-4=5,-8,-7再计算a×b·c=5×3+-8×-1+-7×3=15+8-21=2≠0因此，向量a、b、c不共面练习题2三角形中的向量四边形中的向量点到直线距离已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A1,2，已知平行四边形ABCD的顶点坐标为A1,1，用向量方法求点P2,3到直线L3x-4y+8=0的距B4,1，C2,5试用向量方法求证三角形ABC的B4,2，C5,5，用向量方法求出顶点D的坐标，并离三条中线交于一点，并求出该点的坐标计算平行四边形的面积解析直线的法向量为n=3,-4，单位法向量为解析设三角形的三个顶点对应的位置向量为a、解析在平行四边形中，对角线相交于中点，即n₀=n/|n|=3,-4/5点P到直线L的距离等于点P的b、c，则三条中线的中点坐标分别为b+c/

2、O=A+C/2=B+D/2，其中O是对角线交点由此位置向量在法向量方向上的投影与直线到原点距离a+c/

2、a+b/2三条中线可以表示为从顶点到可以求得D=2O-B计算之差的绝对值，即d=|n₀·OP-n₀·OA|，其中A是直线对边中点的向量形式可以证明这三条中线相交于O=1+5,1+5/2=6/2,6/2=3,3，所以D=23,3-上任意一点计算得d=|3×2+-4×3+8|/5=|6-点G=a+b+c/3，即三个顶点坐标的算术平均值，4,2=6,6-4,2=2,4平行四边形的面积可以用12+8|/5=|2|/5=2/5即G7/3,8/3向量叉积计算，即S=|AB×AD|=|3,1×1,3|=|3×3-1×1|=|9-1|=8第六章立体几何知识点空间点、线、面位置关系1直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系•相交两直线有且仅有一个公共点•相交直线与平面只有一个交点•平行两直线不相交且在同一平面内•平行直线与平面没有公共点•异面两直线不相交且不在同一平面内•包含直线完全在平面内判定方法若两直线对应方向向量平行，且判定方法若直线的方向向量与平面的法向两直线上各一点的连线与方向向量不共面，量垂直（内积为零），则直线与平面平行或则两直线异面；若连线与方向向量共面，则被平面包含；若不垂直，则直线与平面相两直线平行或相交交平面与平面的位置关系•相交两平面交于一条直线•平行两平面没有公共点•重合两平面完全重合判定方法若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合；若不平行，则两平面相交相交直线的方向向量垂直于两个平面的法向量，可由法向量的叉积确定知识点多面体2四面体立方体由四个三角形面构成的多面体，有4个顶由六个完全相同的正方形面构成的多面点、6条棱和4个面体，有8个顶点、12条棱和6个面棱锥棱柱一个面为多边形，其余各面为三角形且两个面是全等多边形且平行，其余各面有一个公共顶点的多面体为矩形的多面体多面体是由若干个多边形围成的立体图形，这些多边形称为多面体的面，多边形的边称为多面体的棱，多边形的顶点称为多面体的顶点对于凸多面体，欧拉公式指出V-E+F=2，其中V是顶点数，E是棱数，F是面数常见的多面体体积计算公式棱柱体积V=底面积×高；棱锥体积V=底面积×高÷3；球的体积V=4/3πr³，其中r为球的半径练习题18180°1/3正方体顶点数三角形内角和棱锥体积系数正方体有8个顶点、12条棱、6个面，满空间中的任何三角形内角和仍为180°棱锥的体积为底面积×高的三分之一足欧拉公式V-E+F=2题目1已知正方体的棱长为a，求1正方体的表面积；2正方体的体积；3正方体对角线的长度解答1正方体的表面积S=6a²；2正方体的体积V=a³；3正方体的对角线长度d=a√3题目2已知三棱锥S-ABC的底面为等边三角形ABC，边长为2，顶点S到底面的距离为3求该三棱锥的体积和侧面积解答底面积S₁=√3/4×2²=√3；体积V=S₁×h÷3=√3×3÷3=√3侧面积需要计算三个三角形的面积总和，可利用三角形面积公式进行计算练习题2异面直线距离点到平面距离已知空间直线l₁x-1/2=y-2/1=z-空间直线夹角求点P1,2,3到平面2x-y+2z=6的距离3/2和l₂x-4/1=y-5/2=z-6/3，求已知空间直线l₁的方向向量为这两条直线间的距离解答平面的法向量为n=2,-1,2，其模a₁=1,2,2，直线l₂的方向向量为a₂=2,1,-为|n|=√2²+-1²+2²=√9=3点P到平面解答直线l₁的方向向量a₁=2,1,2，直2，求这两条直线的夹角的距离d=|2×1+-1×2+2×3-6|/|n|=|2-线l₂的方向向量a₂=1,2,3首先计算解答两直线的夹角θ可以通过它们的2+6-6|/3=0/3=0，所以点P在平面上a₁×a₂=1×3-2×2,2×3-2×1,2×2-1×1=3-方向向量的夹角计算4,6-2,4-1=-1,4,3点A1,2,3在l₁上，cosθ=a₁·a₂/|a₁|×|a₂|=1×2+2×1+2×-点B4,5,6在l₂上，AB=3,3,3两异面2/√1²+2²+2²×√2²+1²+-2²=2+2-直线间的距离4/√9×√9=0/9=0，所以θ=90°，即两d=|AB·a₁×a₂|/|a₁×a₂|=|3,3,3·-直线垂直1,4,3|/√-1²+4²+3²=|-3+12+9|/√26=|18|/√26=18/√26=18/√26第七章函数的导数导数的应用1函数极值、单调性与拐点分析导数计算导数公式、求导法则与高阶导数导数性质连续性与可导性关系、中值定理基本概念导数定义、几何意义与物理意义导数是微积分中的核心概念，它描述了函数在某一点的变化率本章将学习导数的定义及其几何意义，掌握基本函数的导数公式和求导法则，并学习如何应用导数研究函数的性质，为后续学习积分打下基础知识点导数的定义与意义1导数的定义导数的几何意义导数的物理意义函数y=fx在点x₀处的导数定义为函数y=fx在点x₀,fx₀处的导数fx₀在物理学中，导数表示变化率例表示曲线在该点处切线的斜率如fx₀=limΔx→0[fx₀+Δx-fx₀]/Δx切线方程y-fx₀=fx₀x-x₀速度是位移对时间的导数vt=ds/dt也可表示为fx₀=limx→x₀[fx-fx₀]/x-x₀法线方程y-fx₀=-1/fx₀x-x₀（当加速度是速度对时间的导数fx₀≠0时）at=dv/dt=d²s/dt²如果上述极限存在，则称函数fx在点x₀处可导；如果函数在区间内每一点图像上的水平切线对应着导数为零的在经济学中，边际成本、边际收益等都可导，则称函数在该区间内可导点，也可能是函数的极值点概念也是基于导数导数也可用其他符号表示，如导数的符号反映了函数的增减性在其他领域，导数都表示某一物理量dy/dx、dfx/dx、fx、ẏ等fx0表示函数在该点处递增；fx0随另一物理量变化的快慢程度表示函数在该点处递减知识点导数的计算2基本初等函数导数导数的运算法则高阶导数常数函数C=0和差法则[fx±gx]=fx±gx函数fx的导数fx的导数称为fx的二阶导数，记为fx或幂函数xⁿ=nxⁿ⁻¹乘法法则[fx·gx]=fx·gxf^2x+fx·gx指数函数aˣ=aˣln a，特别地以此类推，n阶导数表示为eˣ=eˣ除法法则[fx/gx]=[fx·gxf^nx，表示对函数求n次导数-fx·gx]/[gx]²，其中gx≠0对数函数log_a x=1/x·ln常见函数的高阶导数eˣ^n=a，特别地ln x=1/x复合函数法则{f[gx]}=eˣ，sin x^n=sinx+nπ/2f[gx]·gx三角函数sin x=cos x，cos莱布尼茨公式uv^n=x=-sin x，tan x=sec²x反函数法则若y=fx的反函数∑_{k=0}^n Cn,k·u^k·v^n-k为x=gy，则gy=1/fx反三角函数arcsin x=1/√1-x²，arccos x=-1/√1-x²，arctan x=1/1+x²练习题1题目1求函数fx=x³-3x²+2x-1的导数解答利用导数的运算法则和基本导数公式fx=x³-3x²+2x-1=3x²-6x+2-0=3x²-6x+2题目2求函数gx=sin²x·lnx+1的导数解答利用乘法法则[fx·gx]=fx·gx+fx·gx令fx=sin²x，gx=lnx+1fx=2sinx·cosx=sin2x gx=1/x+1所以gx=sin2x·lnx+1+sin²x·[1/x+1]=sin2x·lnx+1+sin²x/x+1题目3求函数hx=e^tanx的导数解答利用复合函数求导法则{f[gx]}=f[gx]·gx令fu=e^u，gx=tanx fu=e^u，gx=sec²x所以hx=e^tanx·sec²x练习题2问题描述求函数fx=x³-3x²+2在区间[0,3]上的单调区间和极值求导数fx=3x²-6x=3xx-2求fx=0的点fx=0，得x=0或x=2分析单调性x∈0,2时，fx0，fx单调递减；x∈2,3时，fx0，fx单调递增确定极值x=0时，f0=2；x=2时，f2=-2；所以fx在x=2处取得极小值-2第八章概率分布

0.53正态分布峰值概率密度常见分布类型数标准正态分布在均值处的概率密度函数最大值本章重点介绍三种基本离散概率分布二项分约为

0.4布、泊松分布和几何分布68%正态分布68%规则在正态分布中，约68%的数据落在均值一个标准差范围内概率分布是描述随机变量取值规律的数学模型，是概率论与数理统计的核心内容本章将学习常见的离散型概率分布（如二项分布、泊松分布）和连续型概率分布（如正态分布），掌握其数学特征和应用场景概率分布的学习对于理解随机现象、进行数据分析和统计推断具有重要意义通过本章学习，同学们将能够识别实际问题中的概率分布类型，并应用相关知识解决实际问题知识点离散型概率分布1二项分布泊松分布几何分布二项分布描述n次独立重复试泊松分布描述单位时间或空间几何分布描述首次成功所需试验中成功次数的概率分布如内随机事件发生次数的概率分验次数的概率分布如果每次果每次试验成功的概率为p，布随机变量X~Pλ，其中试验成功的概率为p，则随机则随机变量X~Bn,p，其概率λ0为单位时间或空间内事件变量X~Gp，其概率质量函数质量函数为PX=k=的平均发生次数其概率质量为PX=k=1-p^k-1·p，Cn,k·p^k·1-p^n-k，其中函数为PX=k=λ^k·e^-其中k=1,2,3,...几何分布的期k=0,1,2,...,n二项分布的期望λ/k!，其中k=0,1,2,...泊松望EX=1/p，方差DX=1-EX=np，方差DX=np1-分布的期望和方差均为λ典p/p^2典型应用场景如抽奖p典型应用场景如投掷硬型应用场景如电话呼叫次数、直到中奖的次数等币、质量检验等网站访问量等超几何分布超几何分布描述从N个物体中（包含M个特殊物体）不放回地抽取n个物体，其中特殊物体的个数的概率分布随机变量X~HN,M,n，其概率质量函数为PX=k=[CM,k·CN-M,n-k]/CN,n，其中k=max0,n-N-M,...,minn,M期望EX=n·M/N典型应用如质量抽检等知识点连续型概率分布2均匀分布指数分布均匀分布描述随机变量在区间[a,b]上均指数分布描述事件之间的等待时间或空匀分布的情况随机变量X~Ua,b，其间间隔随机变量X~Expλ，其中λ0概率密度函数为fx=1/b-a，当为事件发生的平均速率其概率密度函x∈[a,b]；fx=0，当x∉[a,b]均匀数为fx=λe^-λx，当x≥0；fx=分布的期望EX=a+b/2，方差0，当x0指数分布的期望EX=1/λ，DX=b-a²/12典型应用如随机数生方差DX=1/λ²指数分布具有无记忆成器、舍入误差等性，即PXs+t|Xs=PXt典型应用如设备寿命、顾客到达时间等正态分布正态分布（高斯分布）是最重要的连续型概率分布随机变量X~Nμ,σ²，其中μ为均值，σ²为方差其概率密度函数为fx=1/√2πσ²·e^-x-μ²/2σ²当μ=0，σ=1时，称为标准正态分布N0,1正态分布具有对称性，其中

68.27%的数据落在μ±σ范围内，

95.45%的数据落在μ±2σ范围内，

99.73%的数据落在μ±3σ范围内（三西格玛法则）练习题1练习题2正态分布计算二项分布近似指数分布应用某高中学生身高服从正态分布，均值为170厘米，某种产品的合格率为p=

0.9，从产品中随机抽取100某电子元件的寿命（以小时计）服从参数λ=

0.001标准差为6厘米求1一个随机选中的学生身高件进行检验，问至少有85件合格产品的概率是多的指数分布，求1该元件寿命超过1000小时的超过180厘米的概率；296%的学生身高在哪个范少？概率；2已知该元件已使用500小时且仍能正常工围内？作，求其再使用800小时以上的概率解析该问题可以用二项分布B100,

0.9求解，但解析将X~N170,36标准化为Z~N0,1对于问计算较为复杂当n较大时，二项分布可以用正态解析1PX1000=e^-

0.001×1000=e^-1≈题1，PX180=PZ180-170/6=PZ

1.67≈分布近似设X为合格产品数量，则X~B100,

0.

90.3682利用指数分布的无记忆性1-

0.9525=

0.0475对于问题2，需要找到z值使近似服从Nnp,np1-p=N90,9求PX≥85=PX500+800|X500=PX800=e^-得P-z PZ≥85-90/3=PZ≥-

1.67≈

0.9525注意实际

0.001×800=e^-

0.8≈

0.45计算时应使用连续性校正第九章统计推断抽样与描述统计参数估计了解抽样方法、数据特征测度掌握点估计与区间估计方法统计推断应用假设检验3能将统计方法应用于实际问题学习统计假设检验的基本步骤统计推断是根据样本数据对总体特征进行推测的方法，是数理统计学的核心内容本章将介绍统计推断的基本概念和方法，包括抽样技术、描述统计、参数估计、假设检验等，帮助同学们掌握从样本到总体的推断思维和方法知识点抽样与描述统计1抽样方法描述统计数据可视化简单随机抽样从总体中随机抽取样本，集中趋势度量频数分布表将数据分组并计算每组的频每个个体被选中的概率相等数和频率-算术平均数x̄=Σxi/n系统抽样按照一定的间隔从总体中选取直方图表示连续数据分布的柱状图，横-中位数将数据排序后处于中间位置的样本，如每隔k个选取一个轴为数据区间，纵轴为频数或频率值分层抽样将总体分为不同层次，从每层散点图显示两个变量之间关系的图，每-众数出现频率最高的数据值中按照一定比例抽取样本个点代表一对数据值离散程度度量整群抽样将总体分成若干群组，随机选箱线图显示数据分布特征的图，包含最取完整的群组作为样本-极差最大值与最小值之差小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值抽样误差样本统计量与总体参数之间的-方差s²=Σxi-x̄²/n-1差异，一般随样本量增大而减小茎叶图既保留原始数据又显示分布形状-标准差s=√s²的图-变异系数CV=s/x̄知识点参数估计2参数估计基本概念参数估计是根据样本数据对总体参数（如均值、方差、比例等）进行推断的方法点估计用样本统计量的单一值来估计总体参数的方法区间估计构造一个区间，使总体参数以一定的概率落在此区间内常用估计方法4矩估计法、最大似然估计法和贝叶斯估计法等点估计常用方法包括样本均值x̄用于估计总体均值μ；样本方差s²用于估计总体方差σ²；样本比例p̂用于估计总体比例p等好的估计量应具备无偏性、有效性和一致性区间估计的核心是构造置信区间，常见的有正态总体均值μ的置信区间为x̄±zα/2·σ/√n（σ已知）或x̄±tα/2·s/√n（σ未知）；总体比例p的置信区间为p̂±zα/2·√[p̂1-p̂/n]置信水平1-α表示区间包含真实参数值的概率练习题1题目1某班级50名学生的数学考试成绩如下（单位分）85,92,78,65,70,88,92,75,80,85,68,72,90,82,76,84,79,88,94,77,81,74,83,90,86,71,79,83,87,76,93,80,75,88,82,77,84,91,78,85,69,87,94,81,76,89,74,83,90,79请计算1平均成绩；2中位数；3众数；4标准差；5将数据分成5组，绘制频数分布表解答1平均成绩x̄=85+92+78+...+79/50=

81.8分2中位数对数据排序后，位于中间的两个数的平均值为

81.5分3众数出现频率最高的成绩是88分，共出现3次4标准差s=√[Σxi-x̄²/n-1]≈

7.2分5频数分布表组距94-65/5=

5.8≈6分组[65-71,[71-77,[77-83,[83-89,[89-95频数5,8,15,13,9练习题2问题描述某厂家宣称其生产的灯泡平均寿命超过1200小时为验证这一说法，随机抽取36只灯泡进行测试，测得平均寿命为1230小时，标准差为90小时在显著性水平α=

0.05下，检验厂家的说法是否可信建立假设原假设H₀μ≤1200（灯泡平均寿命不超过1200小时）备择假设H₁μ1200（灯泡平均寿命超过1200小时）这是一个右侧检验计算检验统计量z=x̄-μ₀/σ/√n=1230-1200/90/√36=30/15=2确定临界值在显著性水平α=

0.05下，右侧检验的临界值为z₀.₀₅=

1.645得出结论由于z=2z₀.₀₅=

1.645，拒绝原假设H₀有足够的证据支持厂家的说法，即灯泡的平均寿命确实超过1200小时案例分析实际问题解决11问题理解与分析一个圆柱形水箱，底面半径为2米，高为3米，现往箱内注水，水以每分钟

0.5立方米的速度均匀流入求水深ht与时间t的函数关系，并计算水深达到2米时所需的时间2数学模型建立设水深为ht，时间为t分钟水箱为圆柱形，其底面积S=πr²=π×2²=4π平方米t分钟内注入的水体积V=

0.5t立方米，同时V=S×h=4π×h3求解过程由4πh=

0.5t，得ht=

0.5t/4π=t/8π米当水深达到2米时，求解t2=t/8π，得t=16π≈

50.27分钟4结果验证与延伸检验当t=16π分钟时，h=16π/8π=2米，验证正确延伸思考如果水箱不是圆柱形而是锥形，函数关系会如何变化？案例分析拓展应用2最优化问题金融数学应用数据分析应用一家工厂生产两种产品A和B，每件A产品需要2小小李计划每月存入1000元，银行年利率为

3.6%某学校对一组学生的学习时间与考试成绩进行了调时加工和3小时装配，每件B产品需要1小时加工和4（按月复利），问5年后本息总额是多少？如果他查，数据如下表所示分析学习时间与考试成绩之小时装配工厂每周可用于加工的时间为80小时，想在5年后获得10万元，每月应存入多少钱？间是否存在线性相关关系，并建立回归方程用于装配的时间为180小时如果A产品利润为90这类问题涉及等额投资的终值计算，需要应用几何元/件，B产品利润为70元/件，问工厂应如何安排级数求和公式或使用年金公式，考察复利计算和金这类问题需要计算相关系数，建立回归方程，并对生产以使总利润最大？融数学的基本概念回归方程的显著性进行检验，属于统计学中的相关这是一个典型的线性规划问题，需要确定决策变分析和回归分析内容量、目标函数和约束条件，然后通过图解法或单纯形法求解案例分析综合练习3综合练习题某工厂生产的零件直径服从正态分布N5,

0.01，规格要求为5±

0.15厘米1计算合格率；2如果每天生产1000个零件，平均每天合格零件数量的期望和标准差是多少？3如果连续抽查10天的合格零件数，其中至少有一天合格零件数量低于980个的概率是多少？这道题目综合了正态分布、二项分布以及概率计算等多个知识点，需要将零件直径转化为标准正态分布，计算合格率，然后将合格零件数量视为二项分布，计算期望和方差，最后利用概率知识解决实际问题课件总结函数与分析几何与向量函数的定义、性质、图像分析与应用平面几何、立体几何与向量方法•掌握函数的基本概念与表示方法•掌握平面图形的性质和计算方法•理解函数的单调性、奇偶性和周期性•理解空间几何体的性质和体积计算•能够分析常见函数的图像特征•能够运用向量方法解决几何问题概率与统计微积分基础概率理论、分布和统计推断方法导数的定义、计算与应用4•理解随机事件和概率的基本概念•理解导数的几何意义和物理意义•掌握常见概率分布的特征与应用•掌握基本求导法则和导数公式•能够进行简单的统计推断•会用导数分析函数的性质学习建议与展望夯实基础知识数学学习是一个循序渐进的过程，基础知识是进一步学习的关键建议同学们重视每一个基本概念和定理，理解其内涵和适用条件，而不只是机械记忆公式可以通过构建知识图谱的方式，将各个知识点之间的联系可视化，形成系统的知识网络加强解题训练数学能力的提升离不开大量的练习，但练习应该有针对性建议按照基础题→中等难度题→挑战题的顺序，循序渐进地提高解题能力在解题过程中，培养良好的解题习惯理解题意、分析条件、列式、求解、检验、反思特别注重总结不同题型的解题思路和方法培养数学思维数学不仅是一门学科，更是一种思维方式建议同学们在学习过程中注重培养逻辑思维、空间想象力、抽象思维和创新思维可以通过阅读数学史、数学文化类书籍，了解数学家的思考方式；也可以尝试从多角度思考问题，探索不同的解题方法，提高数学思维的灵活性拓展数学应用数学与现实世界有着密切的联系，许多实际问题都可以通过数学建模来解决建议同学们关注数学在物理、经济、信息技术等领域的应用，尝试用所学知识分析和解决生活中的实际问题参加一些数学建模竞赛或项目，将理论知识应用于实践，体会数学的魅力和价值感谢使用与反馈衷心感谢各位同学使用李晓东老师的数学课件！本套课件凝聚了老师多年的教学经验和心血，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握数学知识，提高解题能力和数学素养课件内容会根据教学实践和同学们的反馈不断完善和更新如果在使用过程中有任何问题、建议或发现错误，请随时与李老师联系可以通过电子邮件、微信或在课后直接交流的方式提供您的宝贵意见学海无涯，数学之美需要不断探索和发现希望这套课件能成为同学们学习数学的良师益友，祝愿每位同学在数学学习的道路上取得优异成绩！。