河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2024-2025学年高三下学期4月二模测试（

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）学年高三下学期月二模测试

（一）数学试题2024-20254学校:姓名班级考号

一、单选题

1.设集合4={x\—2%4],B={x\x=2/c—1,fc GZ,则4n B=A.{1,3}

2.设复数z满足w为纯虚数，则怙|=（）A.1B.V2C.V3D.2C.{-1,13]A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知pab1,qa+b2,则p是q的-4A.一71B.我C.—71D.-

713334.已知一个圆锥的底面半径为遮，其侧面面积是底面面积的百倍，则该圆锥的体积为（）

5.2025年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了无数人的记忆.剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度A3（塔底视为点塔顶视为点A）,在山脚下选取了两点C,（其中A,B,C,四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为30，在点处测得点48的仰角分别为60，15°,测得CD=36（遮+l）m,则按此法测得的雷峰塔塔高为（）A.68m B.70m C.72m D.74m

6.将数列｛3九-中与数列｛6几+5｝相同的项剔除，余下的项按从小到大的顺序排列得到数列｛%｝，则数列Sn｝前1项的和为（）A.205B.234C.239D.290上;巧故=1,X=1,则％1+%3=2,故%1+%2+%3=3,C不正确;2f%一以_2s\n2x对于D,当n=3,3=2,则g%2[cos2x-2ex-sin2xex]22cos2x-sin2x即/%=e2X因为％E OJT,2%G0,2n,令g%=0,则2cos2%=sin2%,」则2=tan2x,贝Ug%=在⑹n的极值点个数,即y=2,y=tan2%图象的交点个数，如下图，故y=2,y=tan2x图象有2个交点，故D正确.故选AD.

12.-oo,0]U l,+oo【分析】移项通分，利用分式不等式的解法求解即可.【详解】由亨41得衿—140,整理得吕40,l-x1-x1-x所以产，17*,解得％0或%1,所以不等式等41的解集为—8,0]U1,+8,-

1.-*v故答案为—8,0]U1,+

813.32【分析】求出展开式的通项，再令％的指数等于5,即可得解.【详解】（2%+%2）4展开式的通项解+1=0（a%），2/=2及言”+4，令k+4=5,则k=1,所以含％5项的系数为23最=

32.故答案为:

32.

14.渔3【分析】设4P40=a,Z.PBO=可得sin匕NOM=sin乙4PB,再由三角形的面积公式将占=Si蔡化简为爆黑=蓝

①，再由SMA=S.PB=可得IOMI=篙，|°N|=篇,代入

①可得|P川21PBi2化简即可求出椭圆C的离心率.9[详解】设4PAO=ajPBO=B,故240M=m—a/N0B=；0,乙乙则乙NOM=a+/,4APB=n—a+/,所以sinzNOM=sin4APB,S_^\P^\\PB\sin/-APB_\PA\\PB\2为乙Si OM||ON|sin MON\0M\\0N\^\PA\\OM\=l\PB\\ON\=^故SMAO=SPBO=~乙CXh202所以|OM|念,|叫=舒40\PA\\PB\\PA\\PB\所以代入

①可得:\OM\\ON\两•两卜-宁],2-1所以|P川

2.\PB\2==+c+Y]X CA+令3+京=1（Q＞力＞）中％=c，所以a+京=1，解得y=±^a-c2b2即会+-c2a2-c2-c2a2-c2—+a2-c2l i-c2a2-c2-c2+2-一,+a

2.a2+1—即竺=1-e.q2a+c+1c2la-c2a1zl91+e I12-----1-1-ez-----F1-ez,a+c Ll+eLa-c a

2.Ll-e+舒即竺=1+1+2+1—2+1—/2=+4,故4=上解得？=竺993故答案为g【点睛】关键点点睛本题的关键点在于由三角形的面积公式将等二化简为|P4|2一S19\PB\2=^b\再由勾股定理求出|P4|,|P8|,代入化简即可.

915.11,3,7；2见解析；32rH•1-2一九.【分析】1根据题中条件，逐项计算，即可得出结果；2根据册=2%_i+l得到a+l=2a_i+l,进而可得出结论，求出结果；n n3根据分组求和的方法，结合等比数列的求和公式，即可求出结果.【详解】1由册=2a_+1及*=15知%=2a3+1，n1解得的=7,同理得的=3,a=

1.r2由=2a_+1知a几+1=2a+2,B|Ja+1=2a_+

1.n1zi nn1・•・{a九+1}是以的+1=2为首项，公比为2的等比数列.3a+1=%+1-2九一1,/.a+1=2n.n nS=a1+a2+@3+…+Qnn=21-1+⑵-1+23-1+…+2n-1=21+22+23+-・・+2n—n=—n=2n+1—2—n.2；j【点睛】本题主要考查递由推公式证明数列是等比数列、以及数列的求和，熟记等比数列的通项公式、求和公式即可，属于常考题型.

16.lm=

0.

035242.147710【分析】1根据频率分布直方图频率之和为1求出血；2利用百分位数的计算公式计算出中位数；3利用列举法求解古典概型的概率.【详解】1由频率分布直方图可知10x

0.01+

0.015+m+

0.03+

0.01=1,所以瓶=

0.

035.2因为前两组频率之和为

0.1+

0.15=

0.25,前三组频率之和为

0.25+

0.35=

0.6,所以中位数在［35,45中，故中位数的估计值为35+10X琮等=35+三/

42.

14.3由题可知抽出的20篇文章的作者中，年龄在［15,25的有20X

0.01x10=2人，记为的、，@2年龄在［25,35的有20x

0.015x10=3人，记为瓦、岳、%现从这5个人中选出2人，所有不同的结果有10种、匕、、打、瓦、、、瓦匕、瓦力、12Q1118210223a2b2a2b3b2b

3.至少有1人的年龄在［15,25内对应的不同的结果有7种、打、的、星、儿、、所以所求概率12◎1b212a2b2a2b3，P=R.3IT

17.IM=—4⑵2【分析】⑴根据数量积的定义及正弦定理得tanZ=-3tanB,tanC=jtanB.再结合三角形的性质tanZ=-tanB+C建立方程求解即可；2根据正弦定理及面积公式直接求解即可.【详解】1在中有前•荏=工通•丽=工近・刀.11即be-cosZ=——ac-cosB=——ab-cosC.32因为be-cosA=--ac-cosB,由正弦定理可得sinBeosA=-sin^cosB,即tanZ=-3tanB.33同理——ac-cosB=——ab-cosC,32由正弦定理可得—^sinCcosB=--sinFcosC,即tanC=-tanB.222在a ABC中有tarh4=tann—B—C=—tanB+C=解得tanA=-1,tanB=tanC=32由0Vm得1=—.42△面积S=^bcsinA,代入4=郊，b=2,整理得S=—c.242由1知tanB=tanC=即sinB=—,sinC=—.32105△/BC中，由正弦定理可得上二—一，即c=2或.sinB sinC所以s=在义2鱼=

2.

218.1证明见解析【分析】1根据面面垂直的判断定理，转化为证明4E1平面PBC；2以点4为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面4E尸和PCD的法向量，利用法向量夹角的余弦公式，求余弦值的最大值.【详解】1△48中24=48,E为PB的中点，所以4E_L PB.在正方形A3CO中，BC1AB.因为PA J■平面ABC,BCu平面ABC,1BC.又因为H4CAB=4P4/Bu平面%8,所以BC1平面％区AE PAB,即4E18C,又因为4E J_PB,PB OBC=B,PB BCc¥ffi PBC.f所以4E，平面PBC,AE u平面AEF,即平面4EF1平面PBC.2因为PAI平面ABCD,底面ABCD是正方形，所以易知AB,AD.AP两两垂直.以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐有4000,820,以220，0020，002,P3中点E1O1,设尸2,尢0,0A

2.PD=0,2,-2,DC=2,0,0,AE=1,0,1，AF=2,A,

0.设平面PC的法向量访=居y,z,由［沅.空=°,访・0C=0设平面4EF的法向量元=84c,由归.亚二°,九-AF=0取―所以平面AE/与平面PCZ的夹角的余弦值为|cos〈范元〉|=V2xV2Zz+42VZz+2令；I+2=t,t e[2,4],则|cos〈记，元〉|=j，2vtz-4t+6所以当:=:即t=3时，平面AEb与平面PCD的夹角的余弦值取得最大值日，V O乙此时平面AEF与平面PCD的夹角取得最小值E

619.1答案见解析2证明见解析【分析】1先求出导函数/%=1-一aln%,再对a的范围分类讨论，根据/%的正负即可得到了%的单调性.2方程Int—m—lt+1=可化为}1—In}+1=zn,令:=x,此题可变为当Q=1时,/x=租有两不等实根%1，%2,求证|%i-%21e+-+2-27n.当0x1时令g%=ex\nx+讨论g%的单调性、最值，可得—-zn+工+1,当%1时，令耳x=%lnx—e e2%+e,讨论以%的单调性、最值，可得%24e+l-血，两式相加即可证明.【详解】1因为/%=%1-alnx+1,定义域为0,+8,所以广%=1-a-aln%.1—n1-Cl

①当a0时，令/%=1—a—alnx=0=\nx=工解得％=e~即当％60,e-不时，/%0/%单调递增当％e+8时，/%0%单调递减；

②当Q=0时/=10%在0,+8单调递增;-I_l-an

③当a0时令尸%=1—a—alnx=0=Inx=解得％=e~,即当％W0,^^时，/%V0/%单调递减；当％ee詈,+8时，/%0%单调递增；综上当a〉0时，/%在O,ek单调递增，在ek,+8单调递减；当a=0时,f%在0,+8单调递增;当a0时，/%在0,e7单调递减，在e才,+8单调递增.2方程Int—m—lt+1=0可化为:1—In+1=m,即当Q=1时/}=m令:=%,则原问题即当=1时，f%=m有两不等实根求证l^i-^1e+-+c e2—2m由1知当Q=1时，/%在0,1上单调递增，在1,+8上单调递减.不妨设0V1V%2当0V%V1时，令gx=x]nx+工则“%=Inx+1egx在0，上单调递减，在1上单调递增，g%2gg=.所以g%i0所以％1+-+lx+l-x\nx=//=mr11e解得一工14一瓶+1+1,且当瓶=马+1时取等

①e e当%1时，令hx=x\nx—2%+e,则〃〉=Inx—

1./i%在l,e上单调递减，在e,+8上单调递增，g%ge=0所以g%2之0，所以％21n%2—2%+e0,2整理得—不+e+1x_%21n%2+1=/%2=m2解得％2e+1-m,当m=1时取等

②由

①+

②得I%1一%21=久2—V eH---F2-27n即原不等式得证.【点睛】本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题，同时也考查了构造函数解决双变量的问题，需要根据题意消去参数，再换元构造函数分析单调性与最值证明不等式，属于难题.

7.如图，已知正方形4BCD的边长为4,N点在边40上且ON=1,将△48沿80翻折至A3的位置，使得4=2四,空间四点4,B,C,D的外接球为球0,过N点作球的截面a,则a截球所得截面面积的最小值为（）

8.已知a=l.oiinini.oi—Qnl.Olln101,b=sinlnl+cosl.Ol,c=tansinl01+1,则ea,A,c的大小关系为A.abc B.bacC.cba D.cab

二、多选题

9.已知圆Cx2+y2=1,直线/y=x+1则（）9A.直线/在y轴上的截距为1B.直线/的倾斜角为4C.直线/与圆有2个交点D.圆上的点到直线/的最大距离为近

10.在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是

1.5,方差为

1.1；乙队每场比赛平均失球数是

2.1,方差是

0.4,下列说法正确的有（）A.平均来说甲队比乙队防守技术好B.乙队比甲队的防守技术更稳定C.每轮比赛甲队的失球数一定比乙队少D.乙队可能有一半的场次不失球

11.已知函数/（%）=sin（3%++sin（3%+g）+…+sin（3%+三）,其中30,n6N*,则（）A.若/（%）存在最小正周期7且T=TT,则3=2B.若a=2,则/%存在最小正周期T且T=nC.若九=3,3=2r，则gx=/%—乡一2%—1的所有零点之和为2D.若九=3,3=2,则g%=△^在OJT上恰有2个极值点

三、填空题

12.不等式竽口工1的解集为1-X

13.在2%+/4的展开式中，含项的系数为.

2214.已知椭圆C器+靠=lab0,点A,8分别为椭圆的左右顶点，点尸为椭圆的右焦点，P为椭圆上一点，且P尸垂直于x轴.过原点O作直线a的垂线，垂足为过原点作直线的垂线，垂足为M记S「S2分别为△MON,△P48的面积,若蓝二£,则椭圆的离心率为.

四、解答题

15.已知数列｛即｝满足册=2a_］+1九32,a=

15.n41求的,2，3；2判断数列｛Q九+1｝是否为等比数列，并说明理由；3求数列｛斯｝的前几项和S心

16.某报社发起“建党100周年”主题征文比赛，活动中收到了来自社会各界的大量文章，报社从中选取了60篇文章，打算以专栏形式在报纸上发表，已知这些文章的作者各不相同，且年龄都集中在［15,65］内，根据统计结果，作出频率分布直方图如图所示.频率⑵估计这60名作者年龄的中位数；结果精确到

0.01⑶为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这60篇文章中抽出20篇文章，并邀请相应作者参加座谈会，若从参加座谈会的年龄在［15,35的作者中随机选出2人作为代表发言，求这2人中至少有1人的年龄在［15,25的概率.

17.△48的内角A,B,C的对边分别为m b,c,且左•彳耳=工彳豆•丽丽32⑴求角A；2若b=2,求△4BC的面积.

18.如图，在四棱锥P—4BCD中，底面A8c为正方形，PZ_L平面ABC，PA=AB=2,E为线段P3的中点，歹为线段3C上的动点.1求证平面平面P3c2求平面AEF与平面PDC夹角的最小值.

19.已知函数/%=xl—alnx+la6R.1讨论/%的单调性;2若关于2的方程Int-m一lt+1=0有两个不相等的实根巳，求证T~Te+-+J L2e2—2m.《河南省信阳高级中学新校贤岭校区、老校文化街校区2024-2025学年高三下学期4月二模测试一数学试题》参考答案题号12345678910答案C AD DC CC AABC AB题号11AD答案

1.C【分析】利用集合的交集运算即可.【详解】••,集合4={幻―2V%V4},B={x\x=2k—1,fc GZ},所以4nB={—LL3},故选C.

2.A【分析】设复数z的代数形式，根据复数的除法运算化简复数三，根据纯虚数的概念以及复z+l数的模长公式可求出结果.［详解］设z=a+bi a,b WR,rji.rZ—1CL—l+bi a—l+bia+l—bi a—1Q+1+ZJ2+2匕i、z+l a+l+bi a+l+bia+l-bi a+l2+d2a2+b2-l,2b\，=-------------------------a+l24-/2a+l2+d2依题意得［:=0,即卜2+^2=1,则|z|=Va2+b2=

1.故选A

3.D【分析】利用特殊值以及既不充分也不必要条件的定义可得答案.【详解】当=一1,b=4时，p不能推出q；当@二-2,匕=一2时，q不能推出p,所以p是q的既不充分也不必要条件.故选D

4.D【分析】求出圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】设圆锥的母线为高为心由题意可知，圆锥的底面半径为丁=企，圆锥的侧面积为5侧=1-27irl=V37rr2,所以］=V6,故/i=V/2-r2=2,所以该圆锥的体积为U=^7ir2h=1兀，故选D.

5.C【分析】根据给定条件，利用直角三角形的边角关系列式，结合差角的正切公式求解.【详解】令直线的延长线交于点E,则4E1CE.A依题意，CE==WAE,DE=^^=—AE,tan30tan60°3而CD=36V3+1,所以於4E=36遮+1,解得/E=183+遮,v3又ZE=DEtan60°=WDE,所有DE=18V3+1,而BE=£Ftanl5°=£Etan60°-45°=DE•霖=18遮-1,所以4B=AE-BE=72m.故选C.

6.C【分析】先设数列｛3TI—1｝中第i项与数列｛6九+5｝中第7项相同，得i=27+2,进而可得数列｛J的前1项，进而可得.【详解】设数列｛34-1｝中第i项与数列｛6九+5｝中第7项相同,则3i—l=6j+5,所以i=2j+2,即数列｛3几一1｝中的第4项，第6项，第8项，…是相同的，均被剔除.所以数列｛

④J的前10项为2,5,8,14,20,26,32,38,44,

50.所以数列｛即｝前10项的和为5+等x9=

239.故选C.

7.C【分析】根据给定条件，确定球心的位置并求出球半径，再利用圆的截面性质求出截面面积最小值.【详解】如图，取BD的中点为0,由正方形4BCD的边长为4,得OB=0D=0Af=0C=2^2,因此为四面体ABCD的外接球球心，外接球半径R=2^2,设球心到平面a的距离为d,截面圆的半径为丁，则有炉=r2+d2,B|Jr=V/2—d2,当N_L截面a时，d最大，此时截面面积最小，且ON=d,在△ON中，0D=26,DN=1,AODN=4由余弦定理可得，ON=J DN2+OD2-2DN-OD-cos J=V

5.此时r=V/2—d2=V3,所以截面面积最小值为71r2=3n.故选C

8.A【分析】设/%=lnl+%-%%-1,对/%求导，得到/%的单调性的最值，结合对数函数和三角函数的性质，即可证明be0,1,再证明cl,令t=lnlnl.01,通过指数和对数函数的运算性质可证明a=0,即可得出答案.【详解】设/%=lnl+x-xx-1,广x=*-1=营%一1，当％6—1,0时，/%0；当％W0,+8时,/%V0,所以/%在一1,0上单调递增，在0,+8上单调递减，所以/%/0=0,所以lnl+%4%,b=sinlnl+cosl,01sincosl.Ol1,又b=sinlnl+cosl.01sinlnl=sinO=0,则b e0,1,C=etansinl.01+l〉],所以bC,对于Q=L0]inini.oi_Qnl.Olln101,令t=Inlnl.Ol,则lnl.01=e，此时Q=

1.01f一efln101=

1.01f-elnl01t=

1.01f-

1.01f=0,所以abc,故选A.【点睛】方法点睛对于比较实数大小方法1利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，2利用中间值“1”或“F进行比较，3构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.

9.ABC【分析】根据截距，倾斜角的定义，判断AB；根据直线与圆的位置关系，即可判断CD.【详解】A.当％=0时，y=l,直线/在y轴上的截距为1,故A正确；B.直线/的斜率为1,设直线，的倾斜角为仇tan6=1,6所以直线1的倾斜角为:，故B44正确；C圆心到直线的距离d=t=Vl,所以直线与圆相交，所以直线/与圆有2个交点，故C正确；D.根据C可知，圆C上的点到直线1的最大距离为噂+1,故D错误.故选ABC

10.AB【分析】根据比赛平均失球数及方差分别判断各个选项即可.【详解】甲队每场比赛平均失球数是

1.5；乙队每场比赛平均失球数是

2.1,平均来说甲队比乙队防守技术好,A选项正确；甲队每场比赛平均失球数方差为

1.1；乙队每场比赛平均失球数方差是

0.4,乙队比甲队的防守技术更稳定,B选项正确；甲队每场比赛平均失球数是

1.5；乙队每场比赛平均失球数是

2.1,甲队的平均失球数比乙队少，但是每轮比赛甲队的失球数不一定比乙队少,C选项错误；甲队每场比赛平均失球数是

1.5；乙队每场比赛平均失球数是

2.1,平均失球数是

3.6,乙队有一半的场次不失球则每场比赛平均失球数要小于

1.8,D选项错误.故选:AB.

11.AD【分析】由T=空=T［求出a=2可判断A；若a=2,当九=6时，/%=/%+2TT=0,3可判断B；当n=3,3=2ir时，化简/X—1=2sin2irx,即所以g%=/%—1—2%-1的所有零点之和，即y=sin2nx与y=%-1的交点的横坐标之和，画出图象可判断C；当九=3,3=2,肾则g%=,对⑺求导,令g，x=0,则2=tan2x,则g%=在0/n的极值点个数，即y=2,y2s=tan2%图象的交点个数，画出图象可判断D.【详解】对于A,若/%存在最小正周期7且T=m则T==m解得口=2,故A正确；对于B,若3=2,当几=6时，/%=sin ax+sin3%+2ii=sin3%+f+，也3%+g-sin—sinin3%+-sin a%+g0+sin3%+g+sincox+IT+sin3%+g+sin ax++sins:=0,所以/%=fx+2TI=0,故B不正确；对于C,令gx=/%—J-2%—1=0,则—=2%—1,当1=3,0=211时，/%=/%-3=sin2ir fx—0++sin2n1%-3+=+sin2H2T1T%]-3+IT,373J=sin2nx—g2TTX+g+sin2nx+sin sin2nx+§+sin2nx+g+sin2nx+IT,IT TUIT TU=sin21Txeos J—cos2nxsin—+sin2nx+sin2nxcos—+cos2nxsin—JJ JJ=2sin2irxcos-+sin2nx=sin27Tx+sin2nx=2sin2irx,3所以2sin2ir%=2%—1,即sin2n%=%-1,所以gx=/%-1一2%-1的所有零点之和，即y=sin2ir%与y=x—1的交点的横坐标之和，如下图，。