第02讲 常用逻辑用语（五大题型）（讲义）（原卷版）

114.2022年新高考浙江数学高考真题设XER,则“sinx=l”是“cosx=0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件0力课本典例高考素材\\・

1.设集合A={%|x满足条件〃},3={尤1%满足条件1如果AgB,那么〃是9的什么条件？2如果8g4,那么〃是q的什么条件？3如果A=3,那么〃是9的什么条件？试举例说明.

2.在下列各题中，判断〃是^的什么条件请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答1〃:三角形是等腰三角形©三角形是等边三角形；⑵在一元二次方程中，P ax2+/zx+c=0有实数根，q^b2-4ac..0;⑶；p:a ePcQ,q:a eP〃；4a£PuQ,q:a eP⑸p:x〉y,g:r,

3.设力，分别是ABC的三条边,且源必.我们知道，如果4ABe为直角三角形，那么/+〃=/勾股定理.反过来，如果片+〃2=2,那么为直角三角形勾股定理的逆定理.由此可知，为直角三角形的充要条件是1+廿二廿.请利用边长，力,,分别给出ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明.

4.写出下列命题的否定，并判断它们的真假:lVtzeR,一元二次方程好一_1=有实根;⑵每个正方形都是平行四边形；3Bm e N,4+1eN;府\\⑷存在一个四边形A5CD其内角和不等于

360.易错点混淆充分条件与必要条件易错分析对于条件p，q,如果〃则〃是夕的充分条件，9是〃的必要条件，如果〃则〃是q的充要条件.解题时最容易出错的就是混淆充分性与必要性，因此在解决这类问题时，一定要分清条件和结论，根据充分必要条件的定义，选择合适的方法作出准确的判断，常借助反例说明.答题模板充分条件与必要条件的判断

1、模板解决思路解决充分与必要条件问题时，首先是确定条件和结论，然后通过条件和结论的互推确定它们之间的关系.

2、模板解决步骤第一步确定题中的条件〃和结论

9.第二步判断n的真假.第三步判断n的真假.第四步得出结论.【易错题1】2024•江西•模拟预测“Ovovl,Ov〃vl”是“方程加=1—勿表示的曲线为椭圆,，的2A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【易错题2】2024•高三•贵州贵阳•阶段练习二次函数/%=2+2%-1在区间-0,1上单调递增的一个充分不必要条件为A.61B.a-2C.--aQ D.0^12标导航考情透视”考点要求考题统计考情分析从近几年高考命题来看，常用逻辑用语没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式出现在其2024年新高考n卷第2题，5分他考点的题目中.重点关注如下两占•八•

（1）必要条件、充分条件、2023年新高考I卷第7题，5分

（1）集合与充分必要条件相结合问题的解充要条件;题方法；2023年天津卷第2题，5分

（2）全称量词与存在量词;2023年全国甲卷第7题，5分

（2）全称命题与存在命题的否定和以全称

（3）全称量词命题与存在量2022年天津卷第2题，5分命题与存在命题为条件，求参数的范围问题.词命题的否定.2021年全国甲卷第7题，5分复习目标

1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；

2、理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系;

3、理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.若p=1且夕#则p瓜夕的充分不必要条件若且4=;,则〃是g的必要不充分条件,充分条件、必要条件.充要条件若pn«il4支,则〃是夕的的充要条件,若p#7且夕分P，则户是《的既不充分也不必要条作全称量词与全称量词命题全称量词与存在量词存在量词与存在量词命题常用逻辑用语全称量词命题p:Vxe M,p.v的否定Y为三v£M,r〃Cv含有一个量词的命题的否定存在量同命题〃:三V£M,p*o的否定为Vx0M,^px如={x\px{x\qx}，若4则〃},B=G3常用结论设/=若/^B,则〃=[且夕分{x|px}1={x]«x},p设/=代/出=工},若/=贝加0qx}{x|1H知识点:充分条件.必要条件,充要条件

11、定义如果命题“若p,则仁为真（记作则P是斗的充分条件；同时夕是P的必要条件.

2、从逻辑推理关系上看

（1）若〃=4且p,则p是夕的充分不必要条件；

（2）若24乡且q=则p是9的必要不充分条件；

（3）若〃=夕且〃，则〃是q的的充要条件（也说〃和q等价）；

（4）若〃4夕且74P，则〃不是q的充分条件，也不是夕的必要条件.对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质pnq,则〃是9的充分条件，同时Z是〃的必要条件.所谓“充分”是指只要p成立，q就成立；所谓“必要”是指要使得p成立，必须要9成立（即如果夕不成立，则p肯定不成立）.【诊断自测】（2024•北京西城•二模）已知£R/WR.贝广加7〉1是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件知识点全称量词与存在量词2

（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中的任意一个x,有p（x）成立”可用符号简记为“\/X£M，P（X）»,读作“对任意X属于，有p（x）成立

（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个“在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的一个餐,使M/）成立”可用符号简记为“王£用,（天））”，读作“存在〃中元素%,使M/）成立”（存在量词命题也叫存在性命题）.【诊断自测】下列命题中的假命题是A.3xGR,log x0B.BXGR,COSX=12C.VJCG R,x20D.Vxe R,2v0知识点含有一个量词的命题的否定31全称量词命题PVX£M，PX的否定为玉£〃，「〃%.2存在量词命题p:Hxo£A/,pOo的否定—p为.【诊断自测】2024•全国•模拟预测已知命题p:\/x£Z,/20,则力为A.3x eZ,x20B.3x gZ,x20C.Bx GZ,x20D.3x Z,x20解题方法总结

1、从集合与集合之间的关系上看设A={x|px},5={%|qx}.1若AqB,则p是q的充分条件〃=“，9是p的必要条件；若则p是q的充分不必要条件，9是p的必要不充分条件，即〃=乡且44P；简记“小n大”.2若3=A,则〃是9的必要条件，q是p的充分条件；3若4=3,则p与9互为充要条件.

2、常见的一些词语和它的否定词如下表原词语等于任意至多至多是都是大于»小于=所有有一个有一个否定词语不等于不是不都是某个一个都小于等于大于等于至少有两个没有1要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素工证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合”中的一个x，使得其不成立即可.2要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个与使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.题型洞察题型一充分条件与必要条件的判断【典例1・1】（2024•浙江宁波•二模）已知平面a/，7，ac/=/,则是“a，/且/_L7”的（）A.充分不必耍条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【典例1・2】（2024•湖南•二模）已知实数a50,则下列选项可作为a-bl的充分条件的是（）A.y/a-y/b=1B.7--=7-b a2C.2a-2h=1D.log4z-log/=l22【方法技巧】

1、要明确推出的含义，是〃成立9一定成立才能叫推出而不是有可能成立.

2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.【变式（2024•辽宁沈阳•二模）已知向量〃=（2,4）1=（3,—1）,则％=忘”是“（a+闷乂加的”的（）A.充分不必要条件B,必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件a h【变式1・2】（2024•福建福州•模拟预测）设，bwR,则“必0”是“向+同=°»的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【变式1・3］（多选题）已知p是〃的充分而不必要条件，q是〃的充分条件，s是一的必要条件，^是s的必要条件，下列命题正确的是（）A.r是^的充分条件B.p是^的充分条件C.一是q的必要而不充分条件D.r是s的充分而不必要条件题型二根据充分必要条件求参数的取值范围【典例2・1】设xeR,ab,若是+X一240”的充要条件，则―〃的值为（）A.0B.-3C.3D.2【典例2・2】给出如下三个条件

①充要

②充分不必要

③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上.已知集合「二卜|一1x5},S={x\l-mx3^2m\,存在实数加使得“xs P”是“尢wS”的条件.【方法技巧】

1、集合中推出一定是小集合推出大集合，注意包含关系.

2、把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点能否能取到，容易出错.【变式2-1］已知命题〃，方程2+21+1=0至少有一个负实根若〃为真命题的一个必要不充分条件为【变式2-2］已知集合A=禺0卜3=卜,一2以+/—1｝,若“xeA”是“xeB”的必要非充分am+l,则实数机的取值范围是条件，则实数的取值范围是【变式2・3］已知命题p:4-1,若，是9的充要条件，则=题型三全称量词命题与存在量词命题的真假【典例3・11下列正确命题的个数为（）

①VxcR,犬+20；

②VxwMxji；

③*EZ,X31；@3^GQ,^2=

3.A.1B.2C.3D,4\_玉B.wR,X2X【典例3-2］（2024•高三•北京通州•期中）下列命题中的假命题是（）C.VXGR,2|v|1D.HXGR,tanx1【方法技巧】

1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要理解汉字意思，又要使用数学结论.

2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断相对简单，注重细节即可.【变式3・1】下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（）A.3xeR,l+sirLr0每个等腰三角形都有内切圆B.C.Vxe R,x2+2x-1D.存在一个正整数，它既是偶数又是质数【变式3・2】（2024•广东东莞•三模）已知全集U和它的两个非空子集A,B的关系如图所示，则下列命C.BxeB,x^AD.Ex B,A史XE【变式3・3】（2024•福建厦门•模拟预测）已知集合W,N满足McNwO,则（）B.Vxe A/,x N史D.3xeM,x N色题型四根据命题的真假求参数的取值范围【典例4・1】（2024•全国•模拟预测）已知命题“对于Vx40,y）,e〉+l为真命题，写出符合条件71兀【典例4-2]（2024•高三•湖北武汉•期末）若命题“Dx°£tan2%+22〃产是假命题，则实数加86的的一个值:的取值范围是.【方法技巧】

1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，若哪个是假命题，去求真命题的补集即可.

2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题，要注意端点是否可以取到.【变式4・1]若命题“VXER,（〃+l）d+x+120，，是真命题，则实数的取值范围为—.【变式4・2】（2024•辽宁•三模）若“土£（0,小），使f一仪+40”是假命题，则实数，的取值范围为.【变式4・3】（2024•辽宁•模拟预测）命题〃存在相«-1』，使得函数/（%）=X2—2如在区间段,收）内单调，若〃的否定为真命题，则的取值范围是—.题型五全称量词命题与存在量词命题的否定【典例5・1】（2024•内蒙古赤峰•一模）命题“VxcR,3/te7V\〃Y，，的否定形式是（）A.VXGR,V〃wN*，nx2B.HXGR,壬zc N，rKx2C.3xeR,\/nwN,nx2D.HxeR,\!nwN*,nx2【典例5-2]（2024•陕西商洛•三模）命题“对任意的x eR,x3-%2+12”的否定是（）A.不存在-x2-F10C.存在一/+10B,存在X£R,X3—%2+IWD.对任意的XG R,x3-x2+102（2024年新课标全国H卷数学真题）已知命题pVXER,|X+H1；【方法技巧】含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论.【变式5・1】（2024•四川成都•模拟预测）命题王4-1』/+|乂的否定是（）A.3xe[-l,l],x+x0B.Vxe[-l,l],x+x0（）（）C.X/X£f9,-1D1,+8,X+x0D.VX£（—8,-l）U（l,+a）,X+X0（兀、【变式5・2]已知命题（cos8广“«（sine广相则（）A.-1〃三£0,—,（cos6）s，n6（sin/9）c°s£,且力是真命题B.「〃、夕/,],（cosn（sin^）c°s\且B是假命题C.「pHejo*],（cos片〉（sin）,*且力是假命题\47D.r:V6e0,,（cos）〉（sin6）3,且可是真命题【变式5-3】（224・贵州遵义・一模）已知命题pl,八士一，则,为（）A.Vx1,lnx-——L C「33dI I11B.3xl,\nx------------r33dC.3xl,lnx---D.3xl,lnx-——33x333d㈤42练命:同,贝.2（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量〃=（x+l,x）力二（乂2）,则（）A.％=-3”是的必要条件B.“x=-3”是，//厂的必要条件C.“x=0”是%，厂的充分条件D.“尢=-1+6”是“Q//0”的充分条件命题q3x0,x=x，则A.〃和夕都是真命题B.T7利q都是真命题c.〃和都是真命题D.一^和r都是真命题

3.（2022年新高考天津数学高考真题）x为整数”是2x+l为整数”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要。