第02讲 常用逻辑用语（五大题型）（讲义）（解析版）

①VxwR,犬+2〉0；

②V XENINI；

③女6公九31；@3XE^X2=

3.A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】V XGR,A2+220,

①正确；当x=0时，x4=0

②错误；当x=0时，V=0i,

③正确；由于（±括）2=3,而-6,6都是无理数，

④错误,所以正确命题的个数为

2.故选B【典例3-2]（2024•高三•北京通州•期中）下列命题中的假命题是（）IY1A.—0VXGR,B.*wR,丫

5、丫C.VxeR,2H1D.玉wR,tanx1i Y【解析】对于A,因为指数函数的值域为（,+）,所以VxeR,-0,A对;【答案】C对于B,当x=!时，=--4⑷24B对;对于C,当x=0时,2凶=2°=1，C错;对于D,tan x=tan—=731,D对.故选C.【方法技巧】

1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要理解汉字意思，又要使用数学结论.

2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断相对简单，注重细节即可.【变式3・1】下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（）A.3xeR,l+sirL¥0B.每个等腰三角形都有内切圆C.Vxe R,x2+2x-1D.存在一个正整数，它既是偶数又是质数【答案】D【解析】B与C均为全称量词命题，A与D均为存在量词命题，BC错误；因为Vx£R,l+sim;20,贝『勺]£11+4四0”是假命题，A错误；正整数2既是偶数又是质数，则“存在一个正整数，它既是偶数又是质数”是真命题，D正确.故选D【变式3・2】（2024•广东东莞•三模）已知全集和它的两个非空子集A,3的关系如图所示，则下列命题正确的是（）C.Hre B,A D.\/x^B,XE A【答案】B【解析】由图可知BgA,且A,B非空，则根据子集的定义可得对于A,3x^A,不正确，对于B,\/x^A,正确，对于C,3xeB,xeA不正确，对于D,Ex色B,xeA不正确，故选B.【变式3・3】（2024•福建厦门•模拟预测）已知集合M,N满足McNwO,贝I」（）A.V XGA/,xeN B.VxG A7,x^NC.3xeM,XEN D.BxeM,x色N【答案】c【解析】对于A,取={1,2},N={1},满足McNwO,而2$M,2eN,A错误;对于B,取〃={1,2},7={1},满足McNwO,而I CMJEN,B错误；对于C,根据集合交集的定义可知玉£〃，xeN,故C正确，对于D,取加={1},N={1,2},满足AfcNw0,但玉:xeN不成立，D错误,故选C题型四根据命题的真假求参数的取值范【典例4・1】（2024•全国•模拟预测）已知命题“对于Vx£（0,4w）,e〉奴+1”为真命题，写出符合条件的的一个值—.【答案】-1（答案不唯一）【解析】对于D X£（0,+8）,e、l,当〃0时，对于Vx«0,+8）,办+11,则可取任意负数，如-1；故答案为-

1.7T TT【典例4・2】（2024•高三•湖北武汉•期末）若命题,tan2%+22机”是假命题，则实数加_86的取值范围是.【答案】（3,也）jr TT【解析】若命题,tan25+22，是真命题，可得（tan2A+2）而之机即可;O Oo兀71易知=tan2%0+2在/£上单调递增，_86（\所以（tan2x°+2）min=tan2x-+2=3,可得加《3；又因为该命题是假命题，所以可得相3,即实数机的取值范围是（3,y）・故答案为（3,+8）【方法技巧】

1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，若哪个是假命题，去求真命题的补集即可.

2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题，要注意端点是否可以取到.【变式4・1]若命题“VxwR,S+D^+x+lNO，，是真命题，则实数的取值范围为一.3【答案】ci——4【解析】因为命题“VX£R,（+1卜2+%+危0，，是真命题，当+1=0,即a=_1时，不等式为尤+120,显然不满足题意，；f+103当4+1W0,即T时，所以“_4（Q+1）0，解得心3故答案为一

3.4【变式4・2】（2024•辽宁•三模）若“土«0,小），使f一以+40”是假命题，则实数的取值范围为.【答案】（-8,4]【解析】因为“4«0,+8）,使解-1+40”是假命题,所以“X/X£（0,+8）,/一0¥+420”为真命题，其等价于W X+士在（0,+”）上恒成立，4又因为对勾函数/（x）=x+在（0,2]上单调递减，在⑵+⑹上单调递增，所以〃无L=〃2）=4，所以44,即实数的取值范围为（-,4].故答案为（-^4].【变式4・3】（2024•辽宁•模拟预测）命题人存在加«-15，使得函数/（x）=f-2〃a在区间,,+a））内单调，若〃的否定为真命题，则的取值范围是—.【答案】（—,—1）【解析】命题〃的否定为任意相«-15，使得函数/）=/-2如在区间[2+⑹内不单调，由函数/（x）=%2-2mx在（ro,回上单调递减，在（仇+00）上单调递增，则〈根，而加得V-1,故答案为（-00,-1）题型五全称量词命题与存在量词命题的否定【典例5・1】（2024•内蒙古赤峰•一模）命题“VXER,3neN,〃/，，的否定形式是（）A.V鹿£N*，nx2B.3xeR,0nwN*,nx2VXGR,C.3xeR,nx2D.BxeR,,nx2【答案】C【解析】由全称量词命题与存在量词命题的否定可知命题“VxwR,〃〉f，，的否定形式是Hr R,X/neN,nx29,.G故选C【典例5・2】（2024•陕西商洛•三模）命题“对任意的XERN—Y+INO，，的否定是（）A.不存在XER,d—Y+iwo.存在XER,/—B]2+]40〉C.存在工£艮了3一]2+]0D,对任意的XER/-V+I【答案】c【解析】“对任意的XER/3—/+G，，的否定是存在XER/3—%2+]

0.故选C.【方法技巧】含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论.【变式5・1】（2024•四川成都•模拟预测）命题玉«-1,1]/+|九|0的否定是（）A.3xe[-l,l],x+x0B.Vxe[-l,l],x+x0C.X/X£f9,-1D1,+8,X+x0D.VX£—8,-lUl,+8,X+X0【答案】B【解析】因为命题玉«-U],x+M0,则其否定为1』,1+忖

20.故选:B【变式5・2】已知命题6£0,-,cos广匕sin町词则A.e0,—,cos6sin6sin9c°s£,且T7是真命题\B.-.p:\Z0e0,-,cos^sinSsin^c°s\且是假命题C.「pHejo*],cosnSsin^c°s\且力是假命题D.-ip:V9e0,,cos11，且T7是真命题I4J【答案】D八八JT【解析】由勺£0,-,cosesE”sin88sJ\4/则「p:X/9£cos8严e〉sin83,兀、由夕£，则有0sin9cos61,I4JIn cosIn sin9等价于cos sincos1sinOy，等价于sin Bincos^cos^ln sin令/x=gOxvl，则尸司=匕绊X X则Ovxvl时，恒成立,故/%在0,1上单调递增,乂0sin6cos01,,,Ineos Insin故-------------------cos0sin0即cosy esin，故原命题错误，则力是真命题.故选D.Inx.l-A B.3x\,\nx---^A.Vxl,33d33d11D.3xl,\nx---lnx---------733x333x3【变式

5.3]224・贵州遵义・一模已知命题Pl,心〉；-止，则7为【答案】D【解析】由命题〃:Dxl,lnx1—Jy可知,M为3x〉l,lnx---、，故D正确；ABC错误;33x故选D

1.2024年高考全国甲卷数学理真题已知向量Z=X+1,X,B=X,2,则A.x=—3”是“alh”的必要条件B.x=—3”是a/lb”的必要条件C.“x=0”是“打户的充分条件D.x=-1+也”是“，//户的充分条件【答案】C【解析】对A,当时，则Z.B=o，所以x・x+l+2x=0,解得x=o或_3,即必要性不成立，故A错误；对C,当x=0时，a=l,OI=O,2,故B=0，所以即充分性成立，故c正确；对B,当Z//B时，则2尤+1=心解得光=1土百，即必要性不成立，故B错误；对D,当x=—i+G时，不满足2x+l=V,所以]/区不成立，即充分性不立，故D错误.故选C.

2.2024年新课标全国H卷数学真题已知命题pVxeR,1%+1|1；命题g Bx0,则A.〃和q都是真命题B.T7和^都是真命题C.p和F都是真命题D.r7和r都是真命题【答案】B【解析】对于〃而言，取尸-1,则有|x+l|=Ol,故是假命题，力是真命题，对于4而言，取x=l,则有l3=13=1=X,故q是真命题，F是假命题，综上，^和q都是真命题.故选B.

3.（2022年新高考天津数学高考真题）“x为整数”是“2x+l为整数”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】由为整数能推出2x+l为整数，故“x为整数”是“2x+l为整数”的充分条件，由x=1,2x+l为整数不能推出x为整数，故为整数”是2x+l为整数”的不必要条件，综上所述，“X为整数”是“2x+1为整数”的充分不必要条件，故选A.

4.（2022年新高考浙江数学高考真题）设XER,贝广sinx=l”是“cosx=0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为sin x+cos x=1可得当sinx=l时，cosx=0,充分性成立；当cosx=0时，sinx=±l,必要性不成立；所以当R,sinx=l是cosx=0的充分不必要条件.故选A.

1.设集合A=｛九U满足条件〃｝,8=｛九满足条件

（1）如果那么p是q的什么条件？

（2）如果那么p是q的什么条件？

（3）如果A=3,那么〃是q的什么条件？试举例说明.【解析】

（1）若则有即每个使〃成立的元素也使夕成立,即〃=心所以〃是q的充分条件.如A={x|xl},3={x|x0},x〉l是x0的充分条件.2若则有即每个使q成立的元素也使〃成立，即9nP,所以〃是学的必要条件.如A={x|x〉},B={X\X\}则9尤0是xl的必要条件.3若A=3,则所以〃是q的充要条件.如A=3={x|xl},xl是元1的充要条件.

2.在下列各题中，判断p是q的什么条件请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答lp:三角形是等腰三角形均三角形是等边三角形；⑵在一元二次方程中，P ax1+bx+c=0有实数根，q b2-4ac..0;⑶pa£PcQ,q:a eP；44pa£PDQ,q:awP；55p:x y,q:x2y

2.【解析】1因为等腰三角形是特殊的等边三角形，故〃是9的必要不充分条件.⑵一元二次方程依2+法+0=0有实数根则判别式八二6一加.故P是^的充要条件.3因为PcQ,故£尸且QEQ；当£尸时QEQ不一定成立.故〃是q的充分不必要条件.4因为£PuQ,故p或6Q,所以a wp不一定成立；当Q£P时Q£P DQ一定成立.故p是夕的必要不充分条件.5当x=1,y=-2时，满足］V但/V不成立.当户-2,尸1时，满足Vy2但Qy不成立.故〃是q的既不充分又不必要条件.

3.设力,c分别是△ABC的三条边,且源必.我们知道，如果ULBC为直角三角形，那么/+〃=，勾股定理.反过来如果片+〃=2,那么AAHC为直角三角形勾股定理的逆定理.由此可知,为直角三角形的充要条件是/+〃=/.请利用边长〃力,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明.【解析】解1设，力，分别是△ABC的三条边，且QWbWcMABC为锐角三角形的充要条件是4+/〉.证明如下:必要性:在AABC中,/C是锐角，作为垂足，如图

1.显然4^2=AD2+DB2=AC2-CD2+CB-CD2=AC2-CD2+CB2+CD2-2CB・CD=AC2+CB2-2CB CDAC2+CB2c2a2-^-b

2.充分性:在^ABC中,+/〉，，...NC不是直角.假设/C为钝角，如图

2.作AD1BC,交BC延长线于点D.]\\\AB2=AD2^BD2=AC2-CD2+BC^CD2=AC2-CD2^BC2^CD2^2BCCD=AC2+BC2+2BC CDAC2+BC

2.即〉/+/,与+从Ac”矛盾.故/C为锐角，即AABC为锐角三角形.⑵设4力工分别是AABC的三条边，且为钝角三角形的充要条件是证明如下:必要性:在△ABC中,/C为钝角，如图⑵,显然AB2=AD2-^-BD2=AC2-CD2^-CD+CBy=AC2-CD2+CD2^CB2^2CDCB=AC2+CB2+2CD CBAC2+CB

2.BP a1+Z2c

2.充分性:在△ABC中2,c・•・NC不是直角，假设/C为锐角，如图1,则AB2=AD2+DB2=AC2-CD2+CB-CD2=AC2-CD2+CB2+CD2—2CD・CB=AC2+CB2-2CDCBAC2+CB

2.BP a2+h2，，这与“c^+b1c2”矛盾，从而/C必为钝角，即为钝角三角形.

4.写出下列命题的否定，并判断它们的真假DV IER,一元二次方程*2一奴_]=0有实根；⑵每个正方形都是平行四边形；3Bm e N,y/nr+1eN;4存在一个四边形ABCD其内角和不等于

360.【解析】一元二次方程必一批―i=o没有实根，假命题，因为A=/+4O,方程恒有根；⑵存在一个正方形不是平行四边形，假命题，因为任何正方形都是平行四边形；3\fmeNN府+史N，假命题，因为加=0EN时，J6r石=lwN；4任意四边形A3CD其内角和等于360°，真命题.■答题模板\\易错点混淆充分条件与必要条件易错分析对于条件p，q，如果p=q,则〃是4的充分条件，9是〃的必要条件，如果〃=7，则〃是7的充要条件.解题时最容易出错的就是混淆充分性与必要性，因此在解决这类问题时，一定要分清条件和结论，根据充分必要条件的定义，选择合适的方法作出准确的判断，常借助反例说明.答题模板充分条件与必要条件的判断、模板解决思路1解决充分与必要条件问题时，首先是确定条件和结论，然后通过条件和结论的互推确定它们之间的关系.、模板解决步骤2第一步确定题中的条件p和结论第二步判断“p=q”的真假.第三步判断“q np”的真假.第四步得出结论.【易错题1】2024•江西•模拟预测“Ovavl,Ovbvl”是“方程—勿2表示的曲线为椭圆,，的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】［解法一］方程〃工2=1即方程办2+勿2=1,表示椭圆的充分必要条件是〃0力〉0,〃氏显然“Ovavl,Ov〃vl”是“〉力,“既不充分也不必要条件，故04vl”是“方程加=1-犷表示的曲线为椭圆,,的既不充分也不必要条件，［解法二］当〃=/==时满足Ovavl,0Zr\此时题中方程可化为/+,2=也表示的曲线是圆而不是椭标导航考情透视”考点要求考题统计考情分析从近几年高考命题来看，常用逻辑用语没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式出现在其2024年新高考n卷第2题，5分他考点的题目中.重点关注如下两占•八•

（1）必要条件、充分条件、2023年新高考I卷第7题，5分

（1）集合与充分必要条件相结合问题的解题充要条件;2023年天津卷第2题，5分方法；

（2）全称量词与存在量词;2023年全国甲卷第7题，5分

（2）全称命题与存在命题的否定和以全称命

（3）全称量词命题与存在量2022年天津卷第2题，5分题与存在命题为条件，求参数的范围问题.词命题的否定.2021年全国甲卷第7题，5分复习目标

1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；

2、理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系;

3、理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.工+上=1圆，当=1/=4时，不满足o/7r\只是题中方程可化为120丫，表示中心在原点,半长轴为1,半短轴为;的椭圆，故“Ovavl,1”是“方程0=1_加2表示的曲线为椭圆,,的既不充分也不必要条件，故选D【易错题2】2024•高三•贵州贵阳•阶段练习二次函数”x=++2x-1在区间F,1上单调递增的一个充分不必要条件为A.a1B.a-2C.——tz0D.OVQVI2【答案】C【解析】因为二次函数“x=*+2x-l在区间e,l上单调递增，Q0,所以解得—14〃

0.因为只有C是其真子集，a故选C若p=1且夕#则p瓜夕的充分不必要条件若且4=;,则〃是g的必要不充分条件,充分条件、必要条件.充要条件若pn«il4支,则〃是夕的的充要条件,若p#7且夕分P，则户是《的既不充分也不必要条作全称量词与全称量词命题全称量词与存在量词存在量词与存在量词命题常用逻辑用语全称量词命题p:Vxe M,p.v的否定Y为三v£M,r〃Cv含有一个量词的命题的否定存在量同命题〃:三V£M,p*o的否定为Vx0M,^px如={x\px},B={x\qx}，若4G3则〃常用结论设/={x|px}1={x]«x},若/^B,则〃=[且夕分p设/=代/x}出={x|1工},若/=H贝加0q知识点:充分条件.必要条件,充要条件

11、定义如果命题“若p,则/为真记作则P是4的充分条件；同时夕是P的必要条件.

2、从逻辑推理关系上看1若〃=4且p,则p是的充分不必要条件；2若p匕乡且q=〃，则p是9的必要不充分条件；3若〃=夕且〃，则P是q的的充要条件也说〃和q等价；4若〃4夕且74P，则〃不是q的充分条件，也不是q的必要条件.对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质pnq,则〃是夕的充分条件，同时q是〃的必要条件.所谓“充分”是指只要p成立，q就成立；所谓“必要”是指要使得p成立，必须要9成立即如果夕不成立，则p肯定不成立.【诊断自测】2024•北京西城•二模已知贝广加7〉1”是十〃2”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当而1时,贝！访2,当且仅当々=6时取等,所以充分性成立,取〃=-4*=1,满足片+匕22,但必1,故必要性不成立，所以“ab1”是“+〃〉2”的充分不必要条件.故选A.知识点全称量词与存在量词21全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对加中的任意一个x,有px成立”可用符号简记为读作“对任意工属于有px成立力2存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号叮”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个与，使M/成立可用符号简记为F0£M,PX L读作“存在〃中元素为，使〃%成立“存在量词命题也叫存在性命题.X O【诊断自测】下列命题中的假命题是A.3xeR,log x0B.BxeR,cosx=l2C.R,x20D.Vx R,2A0VJCG G【答案】C【解析】因为log2g=TcosO=U2=0,所以选项A、B均为真命题，选项C为假命题；因为y=2在R上的值域可知20,所以D为真命题；故选C知识点含有一个量词的命题的否定31全称量词命题p:DxeM,px的否定为女£“，「〃/・2存在量词命题〃:玉£M,pXo的否定—p为X/x£M,「px.【诊断自测】2024•全国•模拟预测已知命题P XEZ/NO,则为A.3x e Z,%20B.3x gZ,x20D.eZ,x20D.Z,x20【答案】C【解析】由题意，全称量词命题的否定是存在量词命题，可得命题p:VxeZ,x220的否定为一为天£乙％

2.故选C.解题方法总结

1、从集合与集合之间的关系上看设A={x|p%},5={%|qx}.1若AqB,则〃是q的充分条件Q p=q,q是〃的必要条件；若则〃是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件，即〃=夕且44p;简记“小二大”.2若B=则是9的必要条件，夕是的充分条件；3若A=B,则与q互为充要条件.

2、常见的一些词语和它的否定词如下表原词语等于任意至多至多是都是大于小于«=所有有一个有一个否定词语不等于小于等于不是不都是某个一个都大于等于至少有两个没有1要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素x证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0,使得其不成立即可.2要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个与使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题./----------------HHHJ-u\JJ题型一充分条件与必要条件的判断【典例1・1】2024•浙江宁波•二模已知平面d/，7,oc/=/,则“/是且/的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由于口尸=/,所以/ua,/u，，若/J_八则aJ_/,£_!_/,故充分性成立，若_L/,工/,设戊口/=机，/A/=n,，则存在直线使得_根，所以_L由于/u，故，/,L Q同理存在直线匕uy,使得/_!_〃，所以Z_L/7,由于/u分，故由于不平行，所以力是平面7内两条相交直线，所以/,人故必要性成立，故选C【典例1・2】2024•湖南•二模已知实数d60,则下列选项可作为Q-bl的充分条件的是A.y[a-y[b=1B.一，=!b a2C.2a-2h=1D.log6z-log/=l22【答案】C【解析】取Q=4,h=T,满足6-〃=1,但是推不出故排除A；取=2,b=l,满足------------=G，但是推不出-人＜1，故排除B；b a2取=4,b=2,满足Iog2i-log2人=1，但是推不出一人＜1，故排除D；由2—2〃=1，a＞b＞0,可推出2“=2+1＜

2、即即一＜1,故充分性成立.故选C.【方法技巧】

1、要明确推出的含义，是P成立4一定成立才能叫推出而不是有可能成立.

2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.【变式1・1】（2024•辽宁沈阳•二模）已知向量2=（2,4）出=（3,-1）,则“2=应”是“（£+助_L（1助”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当■仅一助时，（2+助・仅一助=，即7一左2石2=o，故（22+42）-2[32+（_Q2]=O,解得4=±故“k=^”是“（2+助助”的充分不必要条件.a b【变式1-21（2024•福建福州•模拟预测）设,/eR,则“而＜0”是“同+同二0的故选AA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C[a＞0[a＜Q a b门【解析】当必＜0时，k八或二八，则n+T=°，即充分性成立；也＜0[Z＞0a bc1^1h当n+nj=°时，H=一—＞°，则必＜o,即必要性成立；ab二0”的充要条件.综上可知，“必＜0”是“向+可同\b\14故选C.【变式1・3]（多选题）已知P是一的充分而不必要条件，9是一的充分条件，s是一的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是（）A.r是q的充分条件B.〃是q的充分条件C.一是^的必要而不充分条件D.r是s的充分而不必要条件【答案】AB【解析】由已知得〃n-，q=r,ms,s=q,所以厂=9且9=J故A正确，C不正确；P=q,B正确；〃=s且s=r,D不正确.故选:AB.题型二根据充分必要条件求参数的取值范围【典例2・1】设xeR,ab若是“d+%一2”的充要条件，则匕一的值为（）9A.0B.-3C.3D.2【答案】C【解析】解不等式炉+x—2V0可得一2VXV1,由题意可知〃=一2,b=l,因此，b-a=

3.故选C.【典例2・2】给出如下三个条件

①充要

②充分不必要

③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上.已知集合={+1x«5},S={x|2-mx3+2/n},存在实数加使得“工£尸”是“xwS”的条件.【答案】

②，

③【解析】

①“XEP”是£S»的充要条件，则2-m=-1,3+2加=5,此方程无解，故不存在实数机，则不符合题意；

②P”是“xwS”的充分不必要条件时，2-mW-l,3+2m5,2-m3+2m；解得根23,符合题意;

③“XEP”是£S»的必要不充分条件时，当S=0,2-m3+2m,得〃g；当Sw0,需满足2-根（3+2根，2—mN—l,3+2根05,解集为—根41；综上所述，实数用的取值范围-!工相！.故答案为

②，

③.【方法技巧】

1、集合中推出一定是小集合推出大集合，注意包含关系.

2、把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点能否能取到，容易出错.【变式2-1］已知命题Q“方程方2+2X+I=至少有一个负实根若，为真命题的一个必要不充分条件为6/m+l,则实数机的取值范围是—・【答案】m0【解析】若命题p“方程以2+2x+1=0至少有一个负实根，，为真命题，Q=0时，2x+l=0,x=-；,符合题意；21当QVO时，△=4-40,且％+工,玉工一，一aa2=——2=则此时方程公+2x+1=0有一个正根和一个负根，符合题意；2当0时，由A=4—4=0,解得=1,止匕时方程为+2x+l=（x+l）2=0,尤=一1符合题意；21由△=4一40解得1,止匕时不+电=——,不工0,a-aOva2=—则此时方程以2+2工+1=0有两个负根，符合题意.综上所述，〃为真命题时，的取值范围是（-8』.若P为真命题的一个必要不充分条件为a772+1,贝772+11,

7710.lj故答案为根〉0【变式2-2]已知集合A=B=[x\x2-2ax+a2-\0],若％e A”是“xe3”的必要非充分条件，则实数，的取值范围是—・【答案】⑷―『+；【解析】由题意可得A=,%o}={x—2x4},B=^x x2-2ax+a2-loj={x|a-lj;a+l）,若“x eA”是“x e夕’的必要非充分条件，则集合B是集合A的真子集，则广二二2,且等号不能同时成立,解得[fz+l4所以实数〃的取值范围是⑷―故答案为⑷―【变式2・3】已知命题〃4-X6,9XN Q-1,若〃是4的充要条件，则〃=.【答案】-1【解析】由题意得，〃:4—x«6,得2,设4=卜52—2},B={x\xa-1}由〃是4的充要条件，得A=3,9即a—1=—2,得a=—l.故答案为-1题型三全称量词命题与存在量词命题的真假【典例3・1】下列正确命题的个数为（）。