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第练等差、等比综合54【基础练】2sL（2023・全国•高三专题练习）记S〃为数列｛为｝的前〃项和.已知—+〃=24+
1.n（）证明｛%｝是等差数列；1
（2）若4，7，9成等比数列，求S〃的最小值.
2.（2023・湖南永州•统考一模）已知数列｛4｝,｛永｝满足:4=4=1,且=.4+2%-3⑴若数列｛%｝为等比数列，公比为=求｛｝的通项公式；4⑵若数列｛%｝为等差数列，向-〃求也｝的前〃项和小=1,
3.（2023•江西南昌・统考模拟预测）已知公差大于的等差数列｛%｝满足％=1,且%2，4成等比数列.⑴求数列｛%｝的通项公式；（）令求数列出｝的前〃项和.22=2*,
4.（2023春・辽宁•高三校联考期中）已知公差不为0的等差数列｛%｝中，4=1,且%，%一2,生成等比数列.⑴求数列｛｝的通项公式；4（）设讶,求数列也｝的前“项和2a=3S”.
5.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝,前〃项和为5〃，且满足〃+1=24-a,-,n2,H GN\q+%=14,5=70,等比数列｛a｝中，b=12,且々也+6,b成等差数列.7｝3（）求数列｛%｝和也｝的通项公式;1⑵记的为区间（%也］（〃£N*）中的整数个数，求数列｛c〃｝的前n项和P.n
6.（2023・河南・马店第一高级中学校联考模拟预测）已知数列｛%｝的前〃项和为S”，满足S〃〃一=2%+
4.⑴求数列｛%｝的通项公式；b所以广%3a.ZZ+1n2,ne Nbna〃一1〃〃-1〃〃从而勿bn-\bn-2b2A-2a a2_P1{22一乙---------a a.〃7+l〃+1n又满足上式,=1n\,ne N2〃=21-J-3/1+1J〃+l2n土//T故小初
3.⑴4=〃G2〃+IG⑵一^-【分析】
（1）根据基本量与等比中项的性质求解即可；
（2）根据等比数列的前几项和公式求解即可.【详解】
（1）设公差为，因为《，2，4成等比数列，则好二％%，即（l+d）2=lx（l+3d）,储—d=0，解得d=l,d=o（舍），所以%=4+（〃_1=1+〃_1=〃；
（2）b.m b、=2,所以也｝是以2为首项，4为公比的等比数列，所以S=4+4+…+a=2x
（1）=22，，+1-
2.〃,2〃1-43（）
4.l a=3n-2n⑵S”总（27-1）【分析】
（1）由题意结合等差数列的通项公式求得数列的｛q｝的公差即可确定其通项公式；
（2）结合
（1）中数列的通项公式和等比数列前〃项和公式即可求得数列也｝的前〃项和.2【详解】（）由已知得（=，即（囚『（）（）1%-2726+34-2=6+d q+5d,%—d3d+19又因为所以屋解得或（舍去），4=1,-3d+l=l,d=34=所以%=3〃-
2.卜）435+1-3
（2）由
（1）得％=337,因为—=_^=27,b337n所以也）是以々为首项，以为公比的等比数列，=127所以s.=匕丝=，（27-1）.〃1-
2726、
2345675.⑴〃=3九-2,勿=3〃3向-3-3/+〃因为乙也成等差数列，所以侬+6,22+6=4+4,即加+々+丽与联立得夕或舍去+26=2,41+9=12=30且伉故仇=刖〃」=〃，=3,32由题意得c〃为3〃一2,31〃£1中的整数个数，【分析】
（1）根据4川=24-a,-,H2,〃EN*得到｛%｝为等差数列，根据通项公式和求和公式基本量计算出首项和公差，得到｛｝的通项公式，再利用等比数列通项公式基本量计算出44=3和公比，求出｛%｝的通项公式；
（2）在第一问的基础上得到％=3〃-3〃+2,分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式求出答案.【详解】
（1）〃+[=2%—a-,n2,n e N,即〃〃+i—〃一1，〃22,〃e N,故｛｝为等差数列，设公差为4d,故4+%=24+4d=14,S7=7q+21d=70,解得d=3,4=1,所以%=q=1+3（〃-1）=3〃-2,设等比数列色｝的公比为q,4+a=4（i+9）=i2,故%=3〃-3〃-1+1=3〃-3〃+2,Jj/f以4=q+2+3++=3—3+2+3~—6+2++3—3〃+
2.“/、3-3向〃3+3〃=3+3-++3-3+6++3〃+2〃=—j---------------------------1-2〃_32-3-3/+〃—•
26.⑴%=2〃+1；,、n\+n\小-」.24【分析】利用向向计算，然后构造等比数列求数列｛%｝的通项公式;1=S-s”直接根据等差数列求和公式求和即可.2【详解11♦:S〃=2a+〃一4,/.S〃+]=2什]+〃一3,n两式相减,得%+i=2az-2a+1,/.a+1=2%,zi n+l%+i T=24T,=2,Un1又当九=1时，q=2q-3,即q-1=2,・••数歹！J{%—1}是以2为首项，2为公比的等比数列，・・・〃-1=2〃,即%=2〃+1；2V log^-l=n,2・・・数歹lj{log^-l的前n项和T=业小.2n
7.⑴4=2；,、121『+不〃.2乙乙【分析】
（1）根据给定条件，求出数列｛%｝的首项即可求解作答.
（2）利用
（1）的结论求出/，再利用等差数列求和公式计算作答.【详解】
（1）在数列｛q｝中，由;得而《尸，则数列｛4｝是公比为的等比数列，2因〃2，%+2,4成等差数列，即2（%+2）=%+%,有84+4=24+84,解得4=2,所以数列｛a｝的通项公式为%=2x2一=2〃.n
（2）由
（1）得a=k）g22〃=〃，有，％一切=（〃+1）一〃=1,即数列也｝是等差数列，所以数列低｝的前〃项和7；=彳・〃=12+/.
8.⑴4=4〃-3也=3〃（）25266【分析】
（1）利用等差数列的通项公式求数列｛%｝的通项公式，根据2,（的关系求数列也｝的通项公式；
（2）利用等差数列的前〃项和公式求解.【详解】
（1）设等差数列｛%｝的公差为，则等差数列｛%｝通项公式为%=4+（fd=a「d+dn,所以+-d+dn=dn2+4〃+q-d=4rr+n+k,d=4d=4所以v%=1所以％=1,所以％=l+4〃-1=4〃—3,k=-3a-d=k]又因为27；=32—3,所以当及22时，2T两式相减可得,即令〃则々=解得2a=3%a=3%.|,=1,234—3,2=3,所以数列｛%｝是以为首项，为公比的等比数列，33所以勿=3〃.2由1可知94=1,生=5,生=9,,生1=81,,50=197,=201,%2=205,瓦也=也々=39=27e=81,=243,所以数列匕｝的前项为数列｛%｝的前项去除50523=9,%=81,所以数列｛%｝的前项和50=1+5+9++205-9-81=521+205-90=
5266.S50证明见解析；
9.12—；⑶上我88【分析】利用构造法，得到可证明｛%｝是等比数列；14+2=34_1+2,+2根据等比数列的通项公式，求出〃，进而可求｛%｝的通项公式；24+2=35直接写出工的具体展开式，根据巴,利用等比数列的前几项和公式，直接计算32”i=i5一可得答案.»2/=1【详解】⑴4=3《-+4〃22,等式两边同时加上2,得又-4+2=3%_]+2,q=l,q+2=3则｛｝为首项是公比的等比数列%+23,9=3由得，｛｝为首项是公比的等比数列，21%+23,9=
3.・・〃+2=3〃，故氏二3〃一
2.53:=4+/+%+%+9=3+3,+3’+37+3—2x5=唱―、3830=|9--*i=\证明见解析2【分析】由〃与凡的关系公式得出数列｛%｝是一个等比数列，并求其通项.1S利用反证法，先假设数列｛%｝中存在三项为…%,〃满足已知条件，结合通项公式推理2出矛盾得出结论.【详解】令〃得1=1,4=—
3.当〃22时，S_=2%+3
①，n｛又S.=2a,,+3
②,
①②两式相减，得〃〃=，所以数列｛〃“｝是首项为一公比为的等比数列，3,2所以〃〃=—〃3X2T2假设数列｛q｝中存在三项数列《〃，4，%其中加〈kp成等差数列，贝U2%=%〃+%,由12x-3x2-1=-3x2-1+-3x2^,即2=2/T+27】，两边同时除以2e,得2〜山=1+2〃T〃*，因为*式右边为奇数，左边为偶数，所以*式不成立，假设不成立.所以数列｛｝中得任意不同的三项均不能构成等差数列.
411.1/=2〃-2,b=Tn〃的值为或234【分析】由，得到%再根据许求解；选
①，根据1S5=5q=2=4,=204+4=6,々+=两式相除得到求解；选
②，由其=得到打再结合24,q*2=64,=4,々+d+=14求解；选
③，由b；=A，得再结合打一打=12求解.q力2一力
（2）由
（1）得到％=,=1=，再利用作差法,bn2由其单调性求解.【详解】
（1）解由55=5/=20=4=4,又因为卬=20,4+2d=4q=0所以4+10d=20[d=2所以4=a\+〃_ld=2/1-2,设数列出｝的公比为,则“1,选
①，因为4+人2=6,4+〃4=24,所以华=伪+优12=*4=9=2,乂伪+々2=41+9=3=6=4=2,所以=2,所以2=如1=2〃,若选
②，b bb=Z2-64,]23所以期=4,4打+=—夕=即4+F4+414,2/—5g+2=0,-q所以二或92因为“1,所以^=2,则4=仇/一2=2〃.若选
③，由〃；=,得=二\“3又“一仇=q_四=夕4一42=]2,q解得q-=4,因为所以“1,9=2,所以白=贴〃-3=]〃=2〃,2由1得=.0+2〃2=/_八,〃2S”n2-n所以％=瓦=丫,因为C C，_5+12+/一〃〃2+_2,_〃畸一〃〃+1〃22〃22〃+i所以当〃=1或2时，％+1%；当〃=3时，％+］=c；当几24时,%vc,n n所以G cc=ccc•••,23456所以使得〃取得最大值时〃的值为或
34.
12.la〃=2x3〃T⑵证明见详解.【分析】利用等比数列的通项公式和前〃项和公式即可求出数列｛为｝的通项公式;1利用等比数列的前〃项和公式即可完成证明.2【详解】因为｛〃“｝是等比数列，公比为一则%%夕1q1,%=46,7—a、q,341所以生乌=!4=F=］，解得4=3,由可得解得卬=S4=%+62,41-,=962,2,1-3所以数列｛〃.｝的通项公式为怎=〃2X3T.证明由知，乙=/=；，212,2x1-—则等比数列也｝的前〃项和为1=——^=3x1-—1--33因为］，所以1—51，所以［
3.J J
13.la=4n-3判断答案见解析n921926【分析】
（1）根据等数列的前〃项和公式和通项公式可求出｛%｝的通项公式，根据等比数列的定义可判断｛〃｝是否为等比数列；
（2）结合等差数列的前〃项和，等差数列与等比数列的通项公式可求出结果.【详解】
（1）•・•｛%｝是等差数列，4=1,且前四项和为28,3x4解得A S=4x1+——xd=28,d=424/.a=1+4（〃-1）=4〃-
3.n•・・2S〃=3%-3J当心2时，2s,i=3%-3两式相减得22=32—3%（心2）,即b=3々_]（〃22）,又2b、=3b-
32.b=32n]｝•・・当之=时，数列｛%｝的通项公式为么二
0.不是等比数列当;10时，数列｛2｝是首项为，公比为3的等比数列，・・・.（）由（）知〃，则也21a=3a=81=243因为内）=4x30—3=127,所以々＜%）＜么，所以，仆中要去掉｛｝的项最多项，即243,9,27,81,其中9,81是｛4｝和也｝的公共项,所以数列｛5｝的前30项和T由｛%｝的前32项和，去掉39,81,/、/、32x1+125岂=q+a+・・・+Q32-9+81=---------------90=19262所以数列｛q7｝的前30项和73为
1926.（）证明见解析
14.127【分析】
（1）根据题意构造数列证明等比，求出首项及公比即可,（）由（）求出｛〃〃+｝的通项公式，与题中等式联立，求出｛可｝通项公式，进而211-3%求出前〃项和为代数使得＜即可求出〃的最大值.2023【详解】
（1）证明因为〃+「2〃〃=31a〃+2—3〃+]2Q〃+]+3〃一3%+]_____________11-3--a----------3”x故见+「3%a向122所以巴+2一2《川=3〃4=；向—J・3i,乙乙3〃一—二？J・3〃—J an+i乂则%=4=2,5,4—3a[=—1故｛｝是以一为首项为公比的等比数歹e-3%1,2U.
（2）由⑴得4+「3%=-2-
①,又%+
②「2%=3T,
②—
①得4=2一+3〃\故S〃=卬+私++〃=2°+2,++2〃T+3+3]++3〃T=2n-l+-3,!-l=2n+—2V722易得｛〃｝为递增数列，S又S=12202023,S=35352023,78S〃2023,故〃的最大值为
7.
15.⑴%=-lx2i⑵求数列｛10g（^-l））的前n项和T.2n
7.（2023春・安徽滁州•高三安徽省定远中学校考阶段练习）已知数列｛4｝满足=°（〃且〃EN），且2，3+2,4成等差数列.⑴求数列｛%｝的通项公式；
（2）若，=咋2〃（〃0N）求数列｛b｝的前〃项和T.H n
8.（2023•吉林白山•抚松县第一中学校考模拟预测）已知等差数列｛%｝满足（〃+1）4=4/+〃+%,ksR,数列出｝的前n项和T满足2T=3b-
3.n n n⑴求数列｛〃〃｝和也｝的通项公式;⑵对于集合4B,定义集合A-5=｛x|x£A且xw3｝・设数列｛%｝和也｝中的所有项分别构成集合4B,将集合A-笈的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列｛%｝，求数列£｝的前项和50SQ
9.（2023秋•上海浦东新•高二上海师大附中校考期末）已知数列｛%｝满足4=1,册（）=3%+4/
2.⑴求证:数列｛｝是等比数列;4+2⑵求数列｛%｝的通项公式；5⑶写出出的具体展开式，并求其值.21i=l
10.（2023・江苏•校联考模拟预测）设数列｛%｝的前〃项和为s〃，且满足S〃=24+
3.⑴求数列｛%｝的通项公式；⑵证明数列｛｝中的任意不同的三项均不能构成等差数列.4【提升练】1L（2023・福建厦门•厦门一中校考模拟预测）在
①4+4=6,4+d=24；@a+2+么=14,姑2々=64；
③斤二%,d-包=12三个条件中选择合适的一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知是等差数列｛%｝的前〃项和，S5=%=20,数列也｝是公比大于的等比数列，且.1【分析】
（1）设等比数列的公比为q（qwl）,由%-4=-8%+84求出q,再由等比数列求和公式求出外,即可得解;
（2）由
（1）可得2=2（〃-1）,即可得到数列也｝的特征，令〃0,求出〃的取值，即可得到｛为以为首项，为公比的等比数列，再由等比数列求和公式计算可得.qj24【详解】（）解:设等比数列的公比为1因为%-4=-8出+8%,即=-8（/一4）,即/=_8,所以q=一2,即=21，解得4=T1--2所以％=—（广=（—）曝〃，1x—212
（2）解由
（1）可得2=log2a；=log2（（—l）〃x2〃T『=log222GT=2（/7—l）,则数歹支勿｝为、、、、……，偶数组成的数列，又令〃,则〃为正偶数，246所以q=2,c=23,c=25,1,c=22,/-1,23n所以｛%｝为以为首项，为公比的等比数列,24所以止二空二7=
51.〃1-
4316.⑴4=2〃（）22772〃.为奇数2
（2）结合
（1）得二,进而分组求和即可.上，为偶2【分析】
（1）由题知数列数｛4｝是等比数列，公比为2,首项为4=2,进而得4=2〃；【详解】
（1）解因为S〃+2=2a〃,所以，当〃时，凡解得=1+2=4+2=24,4=2,当〃22时，S7+2=2a,Si+2=2a_,n n x所以%=2a-,即a=2a_,nnn]所以，数列｛｝是等比数列，公比为首项为42,4=2,所以，数列｛%｝的通项公式为〃=2”.解由知为21=2”,记也｝前项的和为兀,122I1-212+F=j=
2772.1-22所以，S=27+289+210+27+29+211+2+4+6+8+10+12127181所以，Q〃+i乙I
1717.Da=n8+20x+〃一404Jx5⑵S〃=V20-20x-n——,n65-13【分析】1由题知数列卜是首项为4+^=1，公比为:的等比数列，进而得1丫一[3由题知2等式两边同加上（得所以,4因为,Qi=——5数列是首项为+卜，公比岭的等比数列,4所以,所以,an=
4、n-
（2）解因为%+i〃\4J0,即知+i%―工为单调递减数所以，a列,544J51024540965所以，〃v7时，〃〉0,（31记｛%｝的前〃项和为,3Y_1——=4-4xn5丫320-20x-n所以，当〃《时，〃＞，.61cS〃=9=4-4X——n=5当〃时，卜*,270,1=q+%+…+%+%■16S〃=q+Q++々6—%——所以，
①+
②得S廿4=24,40-40x-1220-20x-n8+20x+〃一40S=2T-T=xn6n8+20x-+〃一40Jx
18.1〃=3〃一,〃《N;b n=3n-2,HGN*9⑵一°°戛.【分析】
（1）设等比数列｛%｝的公比为,由次=28求得公比，再由q=1求解；进而由2=3噢3（%）+1求解.
（2）由％三—对于任意的〃£N*恒成立，令/仇）=/—,HGN\求得其最小值即3〃-2,73〃-2可.【详解】
（1）解设等比数列｛%｝的公比为q,由显然尹所以富=解得m=28,1,28,9=3,51-4由于卬=1,所以｛%｝的通项公式为〃=3-，〃EN*;所以勿=31og%+1=31og33i+1=3几—2,〃£N*,3所以也｝的通项公式为a=3〃-2,〃N*.3〃
（2）因为几234恒成立，即对于任意的〃£N*恒成立.3/1-23〃令//=-----v73〃一23〃_3〃・6冏—73〃+13n-23〃+13〃一2当心1时，/（〃+1）〉/（〃），所以/⑴〃2）vf⑶v/
（4）v・・・,即/（〃）的最小值为〃2）1，所以实数力的取值范围为-8,T.I4J2-119♦⑴〃=2〃+1,26=3・41；i=2i⑵（I）证明见解析；（II也=2〃,前，项和为2m-
2.【分析】
（1）由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得4=3]=2,据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前〃项和公式计
（2）
（1）利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当21〃2-1时，b a,k n取〃=
2、当2A1时，册b「取〃=2一—1,即可证得题中的不等式；（H）结合（I）中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前〃项和公式即可计算其前〃项和.q=3【详解】
（1）由题意可得d=2《则数列｛｝的通项公式为+（〃—几+4q=41”=21,2〃T2n-l求和得£4=E（2i+l）=2Z i+（2〃-1-2〃T+1）=2gi+（2〃T+1）+（2〃T+2）++（2〃-3++2i=3,4f2
（2）（I）由题意可知，当1时，ba,k n取〃=则为%即人+当工〃2i,j=2x2i+l=2+l,421,22工时，％21—1取〃=2^-1,此时%=2（2〃T—1）+1=21,据此可得人-为，21综上可得2—（II）由（I）可知:2〃—1＜々＜2+1,2一＜%＜21+1c3h2k+l+103k+]则数列低｝的公比满足42—-----q=—--------=2+,人+21当k eN\k+8时,2-32,2+2+2k2k-l0I2+1所以々即2-12-2+1,b i2k~[~2T2-.1-2,2+-2,所以4二2,2^2+l b2A-12A-1k所以数列的通项公式为2=2〃,其前〃项和为S『（I）*-.〃1-2【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前〃项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益.
20.⑴4=3〃⑵证明见解析【分析】
（1）根据比=碟可得/=琛［两式相除可得两边取对数可得比结合〃=2时求得%=9,可得等=毕=恒3,可得n21是常数列,即可求得答案.
（2）由
（1）的结论可得2=44的解析式，从而求得了〃，结合放缩法以及等比数列的前〃+1〃项和公式确定〃的范围.T【详解】
（1）由题意知S”为正项数列｛q｝的前〃项的乘积，且S〃=必当〃=2时，S；=（乎2）2=靖，所以（3%）2=母，解得2=9；又S；=a广
①,S3=
②,〃〃+2
②①得，:常/即%册♦+1=所以lg〃3=lg*即〃Igam=〃+llg〃〃,所以足*=固川+1n所以竽=竿=33,结合粤煦％,可知数列［.］是常数列，冏+1n In J所以四％=用=恒3,所以lg%=Mg3=lg3〃，所以〃=3〃.n1⑵由⑴可得广3，，+广二“+12\
2、
2、则Z=1一_.—+1---—++1--------------------=〃-111b+lA+J+3+1[3+1J32+lJ3〃+“G_n14〃11A11111113」Hl123”2331+132+13〃+13*323〃111A故7；=〃-2-—+--++-------------------〉〃-1,且7〃b+132+l3〃+U所以〃—即—1,〃.
21.1〃=2〃,N*ne⑵4£-2,6两式相减并化简后可得2,【分析】1由64+1=4S”，可得a_a=45^/nxn用=4〃22,后分奇偶情况可得知；由等比数列前〃项和公式可得心表达式；方法--1,Zi2方法1,由题a=一3・2,注可得弓Zl表达式.后注意到弓，7的单调性，利用意到％_+%=2・3，44可得答案.・•.j〃=4Si〃
22.【详解】1a,〃+i=4S〃，4尸°，・•・%一%=4论
2.・,・%%-%T=4%〃22,乂4=2,4,・,・数列｛%｝的奇数项，偶数项分别是以2,4为首项，4？Q]=4S],••为公差的等差数列.—当〃=2%_]时，a_=4k-2=22k-1^；当〃=2%时，a2k=4k=2・2k.2k x综上，〃，%=2e Nn2方法一b=一1〃3〃—1=―3〃一―1〃=—3〃+-1〃,n_-3[1-«]l--ir_3«-3l--ir_3«-2-iy-l〃1--31--1424方法二・「2=—1〃3〃T,伊+%-1+-1=
2.321,F=2+
2.33+2-35+4I=-砥=-F—1=；1一8，.，.〃=2左，左eN*时，T“=39_为递增数歹U,几=22-1,丘N*时，7；=T=；1-9为递减数列，若者有成立，只需使亿「=一则〉一且、X/kcN*,B2122/lllOA0=，|l
6.・•・2«-2,6不存在
22.1%=2x3i2【分析】l由题意知｛%｝为等比数列，取〃=
1、2代入等式即可解出小q,即可写出明.2根据题意结合第一问先写出么的通项公式，假设存在，解出〃
2、k、夕结果与题意矛盾，则不存在.【详解】1由题意知当几=1时qq=2q+2
①⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式；S（）记或=,，求使取得最大值时〃的值.2gbn
12.（2023・广东•高三专题练习）已知等比数列｛%｝的前〃项和为S”，其公比9工―1,⑴求数列｛a｝的通项公式;n⑵等比数列｛2｝的前〃项和为小其公比々=4,求证，
3.q（•福建厦门,厦门一中校考二模）已知等差数列｛｝满足且前四项和为
13.20234q=1,28,数列｛b｝的前〃项和S〃满足25〃=3^-32（2e R）.n⑴求数列｛%｝的通项公式，并判断抄“｝是否为等比数列；⑵对于集合4B,定义集合A—3=｛x|x£A且^母,若兄=1,设数列｛%｝和也｝中的所有项分别构成集合将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列｛%｝,求数列4A-3匕｝的前项和乙.
3014.（2023•河南•校联考模拟预测）若数列｛%｝满足4=2〃e-2氏=3i.⑴证明:｛用｝是等比数列；4-3%⑵设｛%｝的前n项和为S”，求满足S”2023的〃的最大值.（春,上海•高二专题练习）记〃为公比不为的等比数列｛〃〃｝的前〃项和，
15.2023S1%—4=—83+8q,=
21.⑴求｛｝的通项公式;4⑵设；，若由｛｝与也｝的公共项从小到大组成数列也｝，求数列匕｝的前〃项2=log24和（秋•四川成都•高三成都外国语学校校考期末）已知〃为数列｛%｝的前〃项
16.2023S和，3+2=2a.n⑴求数列｛a｝的通项公式;n为奇数（）记或=2噫〃为偶数求同刖项的和•4,12（,全国•模拟预测）在数列｛%｝中，
17.20234=$4%+]=3%-1⑴求｛｝的通项公式；4⑵求数列｛㈤｝的前几项和加
18.（2023・广东梅州•梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）已知等比数列｛%｝的前〃S项和为s〃，且4=1,肃=28,数列低｝满足a=3噢3（*+
1.d3⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式;⑵若对任意的〃EN*，恒成立，求实数4的取值范围.【能力练】
19.（2023・天津・统考高考真题）已知｛%｝是等差数列，出+生=16,%-3=
4.2-1⑴求｛%｝的通项公式和£生.i=2n-l⑵已知也｝为等比数列，对于任意建若太—则为%%,N*,21421,（I）当左22时，求证2—1%2+1；（II）求｛2｝的通项公式及其前〃项和.
20.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛%｝中，〃0,4=3,记数列｛%｝的前〃项的乘积为S〃，且S〃=夜.（）求数列｛%｝的通项公式；1⑵设么=矢!,数列帆｝的前〃项和为小求证〈£（〃—）.
21.（2023,全国•高三专题练习）已知数列｛%｝的前〃项和为工，囚=2,为工，anan^\=45〃・⑴求凡;
（2）设d=（—1）〃・（3〃—1）,数列也｝的前〃项和为T〃，若者K有成立，求实数之的范围.
22.（2023•安徽安庆・安徽省桐城中学校考一模）已知等比数列｛见｝的前〃项和为S〃，且*=2S〃+2（〃N*）.求数列｛%｝的通项公式.1在知与〃用之间插入几个数,使这〃个数组成一个公差为乙的等差数列，在2+2数列｛4｝中是否存在3项4〃，4，dp,其中加，k,P成等差数列成等比数列？若存在，求出这样的项，若不存在，请说明理由.
323.2023•江西吉安・江西省安福中学校考模拟预测已知数列｛可｝满足4=6,a=-
3.21若〃+,用=2%+2〃GN
①设勿=〃〃+「4，求证数列也｝是等比数列;
②若数列｛%｝的前〃项和〃满足邑求实数的最小值；S若数列｛%｝的奇数项与偶数项分别成等差数列，且%2求数列｛｝的通项公式.%+%=-33,
424.2023・辽宁沈阳・东北育才学校校考一模如图，已知曲线G y=fx0及曲线G y=xo.从G上的点匕，£N作直线平行于1轴，交曲线G于点〃，再从点〃作直线平行于轴，交曲线于点…点的横坐标构成数列y G2｛｝彳.24⑴试求明+i与〃之间的关系，并证明%,一心;%〃〃£N；若=,求的通项公式.24■*【磨尖练】
25.2023・天津•高三专题练习已知数列｛%｝满足〃+「q=2,其前8项的和为64；数列也是公比大于0的等比数列，匕=3,0-仇=
18.求数列｛%｝的前〃项和neN\⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式;〃+i-12-a,n=2k-l,k⑵记fjg=⑶记4=2+1*2n-------,n-2k,攵£N求S2n=8k.k=\%
226.（2023・北京•高三专题练习）已知等比数列｛4｝的公比为（qwl），其所有项构成集合4等差数列｛4｝的公差为d（dwO）,其所有项构成集合反令C=AB,集合中的所有元素按从小到大排列构成首项为的数列｛%｝.C1（）若集合｝写出一组符合题意的数列｛叫和也｝；1C=3,4,5,6,7,9,⑵若4=2〃T（〃£N*）,数列也｝为无穷数列，AcB=0,且数列匕｝的前5项成公比为的等比数列.当仇时，求夕的值；p⑶若数列｛%｝是首项为的无穷数列，求证〃存在无穷数列｛｝使的充要条件是⑵是14,正有理数〃.（•全国•模拟预测）如图为一个各项均为正数的数表，记数表中第行第/列的数
27.2023i1•••620为〃））,已知各行从左至右成等差数列，各列从上至下成公比相同的等比数列.⑴若亿力=求实数对（）；100,（）证明所有正整数恰在数表中出现一次.
228.（2023・全国•高三专题练习）如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大A学生中随机调查了人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布100100表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过元）3000消费金额（单位百元）[0,5]5,10]10,15]15,20]20,25]25,30]频数2035251055⑴由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额（单位元）近似地服从z正态分布其中〃近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值，X二）.现从该市任取名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在元至元之66203902370间的人数为求的数学期望；X,X
（2）A市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是在某张方格图100上标有第格、第格、第格、…、第格共个方格.棋子开始在第格，然后掷一126061枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是:，其中）若掷出正面，将棋子向4=1,前移动一格（从左到左）若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从攵到人+）.重复+1,2多次，若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关成功”，并赠送元充值饭卡；若59500这枚棋子最终停在第格，则认为〃闯关失败〃，不再获得其他奖励，活动结束.60
①设棋子移到第〃格的概率为求证当几时，｛《-匕-｝是等比数列；
②若某2,14459大学生参与这档〃闯关游戏〃，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.参考数据若随机变量4服从正态分布则「（4—bJ〃+b）=
0.6827,配〃+配〃+—2b2cr=
0.9545,—3cr3cr=
0.
9973.参考答案:
1.
（1）证明见解析;⑵—
78.§,〃二10【分析】⑴依题意可得说+/=+〃，根据:作差即可得到〃29-6i=l，从而得证；
（2）法一由
（1）及等比中项的性质求出外,即可得到｛%｝的通项公式与前〃项和，再根据二次函数的性质计算可得.2S【详解】
（1）因为一+〃=2%+1,即2S“+〃2=2〃4+〃
①，n当〃22时,25^+（n-l）2=2（n-l）a_+（n-l）n1得,2S〃+n2_2S〃_］—（〃-1）=2na〃+〃一2（九一1）,一—（〃一1）,lip2a〃+2〃—1—2ml〃—2（〃—1）q_］+19即2（〃一1）%-2（〃-=2（n-l）,所以〃〃一=1,几22且〃wN*,所以｛｝是以为公差的等差数列.41
（2）［方法一］:二次函数的性质由
（1）可得〃4=4+3,%=4+6,9=4+8,又出,〃7，〃9成等比数列，所以:之二％，为，即（《+6『=（4+3）.（4+8）,解得4=-12,丫
1.25125625所以〃=人一13,=—n~-----------------------------------n=—\n---------------22212J8所以，当〃=12或〃=13时，（SJmin=-
78.［方法二］:【最优解】邻项变号法由
（1）可得%=q+3,%=q+6,%=4+8,又出,〃7，〃9成等比数列，所以/,二%，%，即4+62=6z+3・4+8,解得％=-12,f所以〃=〃一即有］＜生＜＜］＜13,20,13=
0.则当〃=12或〃=13时，（S,L二一
78.【整体点评】
（2）法一根据二次函数的性质求出s〃的最小值，适用于可以求出S〃的表达式；或〃法二根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解.【分析】⑴先求出生毛或|,从而求出公比，根据题干条件得到方即他｝是等比数列，从而求出通项公式;（）先求出｛%｝的通项公式，再用累乘法求出抄/的通项公式，再利用裂项相消法求和.2【详解】
（1）因为数列｛4｝为等比数列，公比为4,且q=l,|q-13所以％=］或%=；所以=幺=;或，9422又“〃+一〃也=2%1所以AS，即数列｛｝是以4=1为首项，7为公比的等比数列,-，,4Y故b n=4〃T或22依题意得公差d=l,即%=1+〃—1=〃,——为单调递减数列，再根据4，%0，分〃46和〃27两种2\J/T12H-\!/7=a-9/LVy4情况讨论求解即可;【详解】1解因为在数列｛4｝中，4q川=3%—,。
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