高三一轮同步分层训练第32练 二项式定理

i Yi Y1Y6m对于D,X-一\的展开式的通项公式为r x,当6f—_[=C2V V2yjxJ I2厂=0,2,4,6时，展开式的项为有理项，所以有理项有4项，所以D正确，故选ACD

11.AC【分析】根据二项式定理丫的通项公式为T=C；28~k-1/产2,对于A,令％=4进k+]行判断;对于B,令左=3和左=5计算判断即可;对于C,因为〃=8,所以各项的二项式系数之和为28=256可进行判断;对于D,令x=l即可进行判断.【详解】根据二项式定理的通项公式为心=晨21-1『产，对于A,常数项为CQ4-=1120,故A正确；对于B,第四项的系数为C；23_iy=_]792,第六项的系数为cVR-iy=-448,故B错误;对于C,因为〃=8,所以各项的二项式系数之和为28=256,故C正确；对于D,令x=1,各项的系数之和为1,故D错误.故选:AC.

12.ACD【分析】利用二项式定理求出的值，可判断A选项；利用赋值法可判断BD选项；利用二项式系数和可判断C选项.【详解】对于A选项,a=a=2022〃=-8088,可得=-4,A对、}C/22,对于B选项，因为1一4%2022=%+a}x+a2x2H-F tz2022x2022,所以/4+〃1+%---------------------卜％022=-3=320229B错；对于C选项，二项式系数的和为C对；22°22,/\2022z\202211对于D选项，幺+之十…+黑=1—4XL—Q=1-4x1-l2022=0,D对.222220222I2故选ACD.

13.60【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式2=-l*x264xCfxd』，令［VC打J【详解】展开式的通项公式1用18-44=2确定左的值，然后计算一项的系数即可.令18-4%=2可得，k=4,一则/项的系数为14X26-4XC=4x15=

60.故答案为

60.

14.-60【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】％-2丁+15=[1+1-2y了，设该二项式的通项公式为=仁・广〃・x—2y-=G・x—2y〃，因为x、的次数为3,所以令r=3,二项式尤-2»的通项公式为[川=《・//._2城\令/=1,所以fy项的系数为2=-60,故答案为-

6015.70【分析】先由二项式系数最大确定〃，再由通项公式求含/项的系数即可.【详解】由只有第5项的二项式系数最大可得〃=

8..,.通项公式*=—宁，3令8-y=2,解得r=

4.•・•展开式中含/项的系数为-11C；=

70.故答案为

70.

16.-84【分析】求出展开式有几项，并写出G-4T的展开式的通项，即可得到展开式中的常数\X项.【详解】由题意，1丫在x-\中，展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，I x J・・・C=C,解得〃=9,/1因此x-4的展开式的通项为c，—「-

1、2=_

1.，一，\x故心--V1的展开式中的常数项为-13玛=-

84.X-故答案为-

84.【B级】提升训练

1.D【解析】l+x2+l+x3+…+1+%9的展开式中/的系数是C；+C；+C++C；,借助组合公式C；，+C—逐一计算即可.【详解】l+x『+l+x3++l+x9的展开式中犬的系数是C；+C；+C++C；因为禺I+C=C禽且C；=C；,所以C；+C；=C；+C；=C；,所以《+《+《=c+c；=c；,以此类推，C；+C；+C；++C；=《+《=C==

120.3x2x1故选D.【点睛】本题关键点在于使用组合公式+C=以达到简化运算的作用.

2.B【分析】根据各项系数和求出〃，再由二项展开式通项公式求解即可.【详解】当x=l时,3〃=243,解得〃=5,则/+的展开式第厂+1项乙=Gd产,•二仁产3-2/=G2y一5令15—5〃=0,解得r=3,所以C；23=10X8=80,故选B

3.A…3【分析】根据条件可得〃=

12.写出展开式的通项7；M=c2i2-”3y,则当〃是偶数时，该项为有理项，求得所有的有理项的系数，可解出Z的值.【详解】由已知可得，〃=

12.根据二项式定理，知展开式的通项为显然当r是偶数时，该项为有理项，r=0时，7；=C；2212y2=4096X“；尸=2时，7；=C；22,ox9=67584^9；〃=40寸，7=Ct28x6=126720x6；〃=6时、Cf26x3=59136x3；27；=2r=8时,7；=C；24=7920；r=10时,7；=C；；22%-3=264%-3；21厂=12时，7]=C；^2°X-6=X-

6.3经比较可得，r=4,即Z=5时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大.故选A.

4.A【分析】令UX+1,可得x=-1,可得出（3T广川+〃+生、利用展|=4+2/+02，°2开式通项可知当〃为奇数时，丹0,当〃为偶数时，^0,然后令/=-1可得出|〃|+同+|%|+的值.+“2021【详解】令/=x+l,可得x=l,则[2-（，-1）了冈二（3-，户4-t7/2021,21=%++%/+202二项式（3T）2°2I的展开式通项为4M=C^-3202l-ri-t）r,则a,=C；-32O2,-r.（-l）r.O21当广为奇数时，%0,当厂为偶数时，%，2021因此，+14〔+61++|劣1=+的—=（3+1）=2^.0210—“2（Pi故选A.【点睛】结论点睛一般地,若/（力=%+4%++4/.2X2+1

（1）%=〃0）；

（2）展开式各项系数和为/

（1）=（）+q+%++〃；3奇数项系数之和为a0+%+%+L J⑴[”；4偶数项系数之和为4+/+%+L J⑴1T.

5.ABD【分析】变换得到2x-5『=[-l+2x-2了，令工=3,可得A正确，%=8盘=672,B正确，令x=l,计算C错误，两边同时求导，令x=3,得到D正确，得到答案.【详解]2%—5“=一1+2九一2]=/+q%—2+2x—21++tz x-29,9展开式的通项为51=G-

1、.-5丫，对选项A令x=3,可得4+4+2++%=2x3-59=1,正确；对选项B7；=8C；x-2»所以％=8C；=672,正确；对选项C令1=1,可得%-4+%--9=-39,错误；对选项D2x—59=4+4X-2+4九一22+/2，++tz x-29,两边同时求导，得182x-51-a9x+2%工一2+3〃3工一22++9a x-28,令x=3,9q+2a2+3a3++9c%=18,正确.故选ABD

6.BC【分析】根据给定的条件，把％5写成口-1-幻『，再利用二项式定理结合赋值法，逐项计算判断作答.【详解】依题意，令/=炉=[1—1一幻]5=%+〃«—x+%l—X2+…+生1-4，对于A,a=fl=l A错误;09对于B,%是口-I-%按1—x展开的第4项系数，因此生=《・-13=-10,B正确；对于C,%+e+4+生++々5=/0，/—+的一4+%—%=/2，所以弓+4+%=幽二殴=上2=-16,C正确；对于D,q+/+弓+%+%=/°一％=°-1=一1，D错误.故选BC

7.60【分析】由二项式定理及13a=7匕列方程求得〃2=6,再确定『V的系数即可.【详解】由题设知a=C/,/=C；3,则13cM=7源，即13』（2-）!=Zrlj!,解得m=6,m\m\6!x7!而（炉+%+y）6=［（%2+x）+y6,又含y2项为C淞2+x）4y2,又（犬十%了=%41十］）4,含%7项为4『，故的系数为4CJ=

60.

758.16的展开式的通顶公式分别求出它的Y系数与常故答案为60数项，再与俨+1）的系数相结合即可得卜3+1）仁一展开式中/的系数.【分析】令x=l求得〃=6,/【详解】因为（1+1）X的展开式中各项系数之和为（1丫I令x=l,得2x—1=—，所以“=

6.（丫\6--6--cr展开式的通顶公式为（用=晨3（一D42一

（2）32令6=3,得厂=2;令6=0,得〃=4,因为乙乙/1\4/1\275所以展开式中/的系数为C；x1+C x1or\0G

16、乙）、乙）【c级】能力训练

1.B【分析】根据（X+1）（X—1）5=X（X—1）5+（X—I）,,结合二项式定理求解即可.【详解】因为（X+1）（X—1）5=X（X—1丫+（工—I》,（X—炉展开式第〃+1项加=2；产’一1「=6一1「产「,当厂=3时,/C；—l3/=—iod,当〃=2时，C^-l2x3=10x3,故〃3/=-1/+10/=0,即%=

0.故选B

2.C【分析】根据对数运算以及作差法，整理代数式Ina-In构造函数=x-lnl+x,利用函数单调性，可得的大小关系；根据二项式定理以及中间执法，整理3°,〃°,可得答案.【详解】由In a=In=

0.1,Inb=In而=In

1.1,ln6z-lnZ=

0.1-lnl.l=

0.1-lnl+

0.1,4/x=x-lnl+x,fx=l-1+x1+x当x«0,+a时，则单调递增,由严=-=1+o.J=1+C；O.l+C O.l2+；；+c o.r°Uo ooJ故

0.1-lnl.l0,可得lnalnb,即a〃；=l+lOxO.l+Cf O.l2++C；JO.11O=2+CJ O.12++C；JO.11O2,oO且c/°=L92,则〃即匕〉c..上9abc.故选C.

3.B【分析】构造函数/x=e、-x-1,利用导数与函数单调性的关系证得人〉c；利用二项式定理证得01+

0.1,再构造函数gx=x-sinx证得

0.1sin

0.1,从而得到构造函兀、51数/zx=sinx—三大0x-,证得sin

0.l7，从而得到d;由此得解.o V16【详解】令〃x=e-x-心0,则ra=e「le°-l=0,所以〃x在0,+s上单调递增，^/W/O=e°-0-1=0,即e——10,所以e”x+l,则e

0.01+1=

1.01,即』〉

1.01:故人c；因为c=

1.0严=1+

0.01”,所以其展开通项公式为兀1=产隈

0.0球=01Cfo,故4=

0.0101=1,W=O.Ol，Co=O.l,£+1〉，所以c=L0严=1+

0.01101+

0.1,令gx=x-sinxx0,则gfx=l-cosx0,所以gx在0,+8上单调递增，则gxgo=，即x〉sinx,,则”x=cosx-3,871令//X=smx--x\0x-所以

0.l〉sin

0.1,故cl+

0.ll+sin

0.1,即c〉；jr—cosx1,Pl!j cosx—9故因为所以2286/、所以〃x在]向上单调递增，则/2力〉/10=0,BPsinx x,T易矢口O.le0，F,所以sin

0.l*x

0.1=-L,pliJl+sinO.l1+—,即〃d；8161616综上bcad.故选B.

4.ACD【分析】A选项，由题意得到国+34以+外变形得到卜一切一区―3；B选项,举出反例即可；C选项，求出a=〃，利用等差数列求和公式求出答案；D选项，分析得到【详解】对于A,由定义“卜卜表示不大于x的最大整数可知，[可+3[x+y],故[x][x+^]-[y],-1被3除余数为分组求和后得到M其被3除余数为1011,而1011+3=337,故D正确.用％一y代换x,即得|/-小-[习,故A正确.\y]1对于B,不妨设=-1,x=2,满足界=彳W2但止匕时|x—y|=3l,B错误.641+64x64则==2080,故C正确.〃=1对于C,由+,〃+12,可得《Vma+1〈几+1,故么=力,221—1=221—1当攵=1时,221—1=1，即221—1被3除余数为

1.对于D,对任意自然数比与『均不是整数，且三+笄=中当攵22时,221=2x3+1i=23一+C3-2+.・.+以二3+.3+1,2・221—1=201+c.32+C333+…+c^3+c”3+1则23—1被3除余数为1,2324220212022+…+4-3r由上述分析知其被3除余数为1011,而1011+3=337,即M能被3整除，故D正确.故选ACD.【点睛】函数新定义问题的方法和技巧1可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；2可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；3发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；4如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.

5.ACD,n-\11【分析】对A根据C；+C i=C%运算求解；对B可得下丁二一—”，结合排列数分析运算；对C根据组合数分析运算；对D构建十力1十=1十］广，利用炉的系数结合二项展开式的通项公式分析运算.【详解】对A C；+C+C；+L+C o=C+C+C；+L+C o=C；+C；+L+C=・・・=Ct=330,A正确；89+…+A90八23489A90故工=A；；；x C901町氏-A；；n\H-I!n!A A；A90Qf!••4==45X89!其个位数字是0,22A90故x=2也-1的个位数字是9,B错误;c:;;n\〃+1!对若心〃，，则萧=正Clx〃2!〃一根！〃+1根+1![〃+1—根+1]!n+\2正确;对D•••1+xn的展开式为T=CxL x/=C・£/=0,1,2,…”.・・i+尤=C；+c+・・・+c x〃,+]故i+X〃1+xn展开式的敢的系数为c c+de/+…+C C又..・c=c;r，则c c+de/+…+C；C=©『+c；J+©『+L+c『,同理可得l+x2〃的展开式为7；；=6〃义12〃-3，=€，,r=0」,24・・,2〃,即1+犬户展开式的/的系数为C%,2由于1+X〃1+X〃=1+X2〃，故C『+CJ+CJ+…+C=C£〃，D正确;故选ACD.2_2为点到a2一的距离的平方，结合几何意义即可得解.、【分析】根据展开式求出系数和得％=5〃-2〃，求出=d,将5-2+3-2+2转化5〃—2〃2丫，考虑/〃=〃0,n GN*,2〃+25n，15--------=I-【详解】an为x+4〃一%+1〃的展开式的各项系数之和，即D.-1C.86B.74A.11I的展开式中，下列结论正确的是（）

9.（2023春・福建泉州•高二校考期中）在

二、多选题B.奇数项的二项式系数和为256A,第6项和第7项的二项式系数相等D.有理项有2项C.常数项为

8410.（2023秋・重庆•高三校联考开学考试）已知x-的展开式中共有7项，则（）A.所有项的二项式系数和为64B.所有项的系数和为1C.二项式系数最大的项为第4项D.有理项共4项/［、口B,第四项和第六项的系数相等A.常数项是1120D.各项的系数之和为256C.各项的二项式系数之和为

25611.（2023春・广东广州•高二校联考期中）在2x—的展开式中，下列说法正确的是（）\xJ

12.（2023春・广东惠州•高二校考阶段练习）（1+词皿+平+%£+…+若2=%）22—22,Q2022A.a=T B.劭+q+g+…+2022=T4工421-2022=0C.二项式系数的和为2皿D.2万+梦十…+2皿24=—8088,则下列结论正确的有（）

三、填空题

13.（2023・天津•统考高考真题）在（2尤的展开式中，龙项的系数为------------3_）

214.（2023春・广东广州•高二校联考期中）（工-2丫+1）5展开式中含/y项的系数为,2+1〃+1|“〃+12〃+0”N*递减,小215n所以f n=n e72丫,I c.n2-n所以n-n=n-195〃5b=1+2+・・.+力—1=-----,〃2〃一2+d-2+炉=/l2+—2+，可以看成点一~2~\7X的距离最小值的平方,、212+1-2由图可得即求点（L0）或（2』）到直线x+y-2=o的距离的平方，即故答案为J【点睛】此题考查求二项式系数，数列增减性与求和，通过儿何意义转化求解代数式的最值,涉及转化与化归思想和数形结合思想.☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆《全国高中数学教研微信系列群》简介1群内定期分享高中数学资料，包括word教案、ppt课件、教学设计、名校资源、模拟试卷、教辅图书、名师讲义、培优课程等等！2欢迎各位高中数学老师加入，共同交流，实现资源共享！3由于是教研群，仅限高中数学老师加入，学生谢绝加入，谢谢！

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15.（2023・四川遂宁•校考模拟预测）在卜的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含/项的系数为（1丫

16.（2023•吉林长春,东北师大附中校考模拟预测）已知x-4的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为.【B级】提升训练

一、单选题

1.（2023秋・江苏南京.高三南京市第九中学校考阶段练习）（l+x），（l+xy++（l+x『的展开式中一的系数是（）A.60B.80C.84D.

1202.（2023・四川宜宾・宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）已知（7+二）〃的展开式中各x项系数和为243,则展开式中常数项为（）A.60B.80C.100D.

1203.（2023•全国•高二专题练习）若二项式2x+J=的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第左项的系数最大，则左=（）A.5B.6C.7D.

84.（2023・广西南宁・南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）已知（2-J；）2021=（%+1）+々2（%+1）2+…+々（^+1）2021，则|同+同+二0+4]20210|++|%021|（）A.24042B.1C.22021D.0

二、多选题

5.（2023春・湖北襄阳•高三襄阳五中校考阶段练习）已知（2x—5）9=%+勾（X-2）+^（A-2）2+6Z（A:-2）3+-4-（7（x-2）9,则下列结论成立的是239A./+q+氏+L+=1B.%=672（）=39D・q+2cl2+3/++9a—

186.（2023春・新疆哈密•高二校考期中）若％5=1+4（1-万+生（1一幻2+・・・+%（1一5,其中q（i=0,l・・・,5）为实数，则（）A.a0=0B.%=-1°C.4+%+5=-16D.4+2+.1+〃5=1

三、填空题

7.（2023春・全国•高二期中）设加为正整数，（x+y产〃展开式的二项式系数的最大值为〃,（x+y）”展开式的二项式系数的最大值为若13a=7b,则（V+x+yJ〃的展开式中，/V的系数为.

8.（2023春・浙江嘉兴・高二校考阶段练习）若（/+1）（3一；］的展开式中各项系数之和（2yjX）为上,则展开式中/的系数为________.32【C级】能力训练

一、单选题

1.（2023春•黑龙江双鸭山•高二双鸭山一中校考期中）已知（X+1）（X-1）5=4+々］工+212+%/+4/+5/+工6,则〃3的值为（）A.-1B.0C.1D.

22.（2023秋•广东东莞高三校考阶段练习）已知=e°L h=^,炳，则（）A.cb aB.b ac C.abc D.a cb

173.（2023・全国•高三专题练习）Q=l+sin

0.1,b=e°L c=

1.0110,d=—a,b,c,d间169的大小关系为（）.A.b ad cB.b ca dC.b c d aD.h acd

二、多选题

4.（2023重庆・校联考三模）“卜卜表示不大于x的最大整数，例如［

3.8］=3,♦B•若出,则打一丁|1=-2,［T］=T.下列关于［x］的性质的叙述中，正确的是（）C.若数列也｝中，b=3+l,〃EN*,则2〃=2080」=\n Ln「严22~|D.M=—+—+—+…+㈢一被3除余数为

5.（2023•江苏常州•江苏省前黄高级中学校考模拟预测）下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（）A.C；+C+C+L+C0=330（234RQB.设x=A■x R+Q+,则1的个位数字是6）\A3A AA9045〃［+］0C.已知〃〉加，则等式上」=上皿对任意正整数〃，加都成立m+1n+1D.等式（CW+（Cj+©）2+..+（C）2=《〃对任意正整数〃都成立

三、填空题

6.（2023•辽宁沈阳・东北育才学校校考模拟预测）设〃£N*,〃〃为（x+4）〃一（x+l）〃的展开式的各项系数之和，b=a+［冷］+...+［等］（印表示不超过实数x的最大整数），则nt£R的最小值为+/〃-2+/2☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆《全国高中数学教研微信系列群》简介

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1.C【分析】求得展开式的通项公式为且厂

（5）,即可求得X+匕与（4»展开式的乘积为或C；/，y+2形式，对〃分别赋值为3,1即可求I x得丁）户的系数，问题得解.【详解】（x+»展开式的通项公式为配产（r$N且Y5）（y2\所以X+—的各项与*+»展开式的通项的乘积可表示为x）I22y r5-r r r4-rr,2=C xy=C xyX X在口旬=）6-？「中，令r=3,可得XT=Clx3y3,该项中dy3的系数为10,422在二中，令〃可得匕＞该项中的系数为5=i,7；=3y3,dy3X X所以的系数为］0+5=1513y3故选c【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.

2.C【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定一的系数即可.【详解】（6-2『展开式的通项公式为加=44＞（—2丫=（-2丫）当，5—r1令一r=2可得r=l,则/的系数为（―2）C=（—2）x5=—

10.故选C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中〃和一的隐含条件，即〃，“匀为非负整数，且佗〃如常数项指数为零、有理项指数为整数等）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.

3.C【分析】（1-©8=（工-1）8=［（1+力-2『，然后根据二项式展开式项的系数计算即可.[详解]1—X8=X—18=[1+X—2]8=%+ql+X+%l+X2++/l+x8,；（）4=C.-22=

112.故选C.

4.C【分析】利用二项式定理将式子展开即可求解.【详解】利用二项式定理展开得（6Z-x）（2+^）6=（6z-^）（Cj26+C；25x+C^24x2+C^23x3+C^22x4+Cj2^+C^x6）贝1丁的系数为2一C；2=12,...a=

6.故选C.

5.D【分析】先由，3=-27求得〃=—3,再通过赋值法令x=l和m—1求得/+%+4即可.【详解】由题意知a x3=C}ax3=\OaW则10々3=一270,解得々=—3；令x=l,则31-3=/+4+/+%+%+5=-32，令4一1,则1+35=%一4+%-=+4一%=「24,两式相力口得2%+%+%=992,则a+%+a=

496.4故选D.

6.D【分析】由题可得《=《，再利用赋值法即得.【详解】由题意可得二盘，/.n=

4.令x——19得-3+1=—4+a2—/+4=2569%—4+Q2—…+―1Q”—

256.故选D.

7.C【分析】化简已知代数式，利用二项式展开式的通项公式可以求出展开式中/的系数.【详解】因为1+!1+X6=1+X6+4X1+X6,则l+x6展开式中含/的项为X XC2=15X2；4X1+X6展开式中含/的项为」XC%4=15/,故/的系数为厂X15+15=30,故选C.

8.B【分析】利用二项式定理分别求出x-2『与1-Ip一次项的系数，再相加即可.【详解】对于x-23其展开通项公式为|=^产「-2\令5——=1,得厂=4,故4=C；x—24=80%,对于x-if,其展开通项公式为兀=或”_球，令6—k=l,得k=5,故=C x-l5=_6x,所以4=80—6=

74.故选B.

9.BC【分析】根据二项式展开式的特征，即可结合选项逐一求解.【详解】卜+十的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A错误；由已知可得二项式系数之和为2，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，所以奇数项的二项式系数和为28=256,故B正确；,1Y9占3展开式的通项为+i=CJ9T x2；x2,0r9,reN,令9—5r=0,解得r=

6.=C故常数项为C；=C；=84,故C正确；有理项中x的指数为整数，故r=0,2,4,6,8,故有理项有5项，故D错误.故选BC

10.ACD【分析】由题意可得〃=6,对于A,所有项的二项式系数和为2〃，对于B,令可求出所有项的系数和，对于C,由二项式展开式的系数特征求解即可，对于D,求出二项式展开式的通项公式，【详解】因为的展开式中共有7项,可求出所有的有理项所以〃=6,对于A,所有项的二项式系数和为26=64,所以A正确,1V1对于B,令x=l,则所有项的系数和为1--,所以B借误，I2J64对于C,由于二项式的展开项共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，所以C正确，。