高三开学学情调研卷01（摸底考试）（原卷版）（北京专用）

年高三数学秋季开学考试（北京专用）2024注意事项

1.本试卷满分150分,考试时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合A=,3={H—2WXW3},则A B=（）A.{x|Ox3}B.{x\-2x4]C.{0,1,2,3}D.{-2,-1,0,1,2,3,4）

2.已知复数z=^（i是虚数单位），则z的虚部是（）2+1A.1B.75C.i D.V5i（i A

43.二项式x+-的展开式中常数项是（）A.1B.4C.6D.

04.设〃是非零向量,则Z=或”厂是“（〃+»•（〃叫=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知函数〃x）=4cos2（W-口-13〉0）,若I2（对任意的实数，，/（x）在区间印+方上的值域均为[7,3],则的取值范围为（）A.（0,2）B.（0,3）C.（2,+8）D.（3,包）

6.已知标准椭圆上P,两点的切线方程分别为2x+石丁-1=0,2小+丁-1=0,则直线PQ的斜率为（）A.5/3B.—\[3C.2D.一25兀

7.若一圆锥的侧面展开图的圆心角为,则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（）6B-1c.A.D.

1213228.已知「丹分别为双曲线C»3）的左、右焦点，过々的直线与双曲线的左支交于A3两点，若|A周=2|耳到=4,|/网=忸闻，则双曲线的焦距为（）A.B.C.—D.2y/3332/、（—ci—5）x—2,x2/、

9.函数小）=[，2（）2,若对任意外，“小川，都有,（王）一/（々）成立,则实数的取值范围为（）X）-x2（A.[-4,-1]B.[-4,—2]C.―5,—1]D.[-5,—4]

10.已知集合4=14,-3,-2,；,；,；,2,3｝,若a,ceA且互不相等，则使得指数函数y=优,对数函数y=log/,幕函数y=必中至少有两个函数在（0,+）上单调递减的有序数对（力]）的个数是（）A.36B.42C.72D.84

二、填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知A3是圆O:Y+y2=3的直径，M,N是圆上两点，且NMON=120,则（OM+2ON）・A3的最小值为.

12.与家庭电路不同，从发电厂到用户端的高压电路只有三根火线而没有零线.实际上，发电厂通常采用三相正弦交流进行发电，三根火线的瞬时电流表达式分别为=公也创,1/sin cot+—•2TI（2\/sina+不2兀.假设三根火线的电流分别进入用户端并通过一根75）3c零线流出，则零线瞬时电流，=+%+心=

13.（x+2y）5的展开式中dy2的系数是.（用数字作答）

14.已知数列｛%｝的前〃项和为S”，满足卬=1,£二—£=2,则%=

15.经研究发现任意一个三次多项式函数/（司=以3+乐2+=+2的图象都有且只有一个对称中心点（用5）），其中/是/（力=0的根，/（X）是/（x）的导数，/（X）是「（另的导数.若函数〃x）=d+*2+x+9图象的对称中心点为（-1,2）,且不等式e，—皿+1）之［/）一/—对任意恒成立，则加的取值范围是•

四、解答题本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（13分）记ABC的内角A、B、的对边分别为m b,c,已知sinC=J^cos8，a2+从-c2=42ab⑴求3；

（2）若ABC的面积为3+6，求

17.（13分）如图，平面四边形A3CD中，AB=8,CD=3,AD=50ZADC=90°,2一1NA4D=30点E,/满足AE=1A，AF=-AB,将△AEF沿£/翻折至！防，使得PC=.

（1）证明EF±PD；

（2）求平面PCD与平面尸5尸所成的二面角的正弦值.

18.（14分）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案方案

一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人10人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.（T）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;（II）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（III）将该校学生支持方案二的概率估计值记为P，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为Pi，试比较P与A的大小.（结论不要求证明）

19.（15分）已知函数〃耳=三+办+匕的图象是曲线C,直线丁=+1与曲线相切于点（1，3）.

（1）求函数/（尤）的解析式；（15分）〃〉0）的左顶点为4（—3,0）,右顶点为3（3,0）,椭⑵求函数*x）=〃x）-2x-3在区间［0,2］上的最大值和最小直4r2圆上不同于点4B己的知一椭点圆满C:足=+kpA-1^=--.Pcr

（1）求椭圆的方程;

（2）过点（2,0）的直线/交椭圆于“、N两点，直线交于点Q,证明点在定直线上.

21.（15分）已知数列{4},{%}的项数均为〃M机2）,且4也£{1,2,也}的前〃项和分别为4,纥，并规定4=纭=.对于此{（M2，*，定义〃=max{i［g4£{0,1,2,,训},其中，maxM表示数集例中最大的数.⑴若q=2,%=1，3=3,4=1也=3也=3,求石,不々弓的值;2若“2/且2＜*I+J，=1,2,,m-l,,求小

（3）证明存在，,4,印£{0,1,2,,m},满足使得4，+1=4+a.。