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年高三数学秋季开学考试（河北专用）2024注意事项
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合4=卜£2|国42},3=例若AcB中有3个元素，则的取值范围是（）A.[0,1]B.[0,1）C.（0,1）D.[1,2]【答案】B【分析】求出A={-2,—再利用交集含义即可得到【详解】A={xeZ||^2}={-2-l0,l,2},要使AcB中有3个元素，9只需A B={-2-1,0},所以故选B.
2.已知复数z=i（l—i）,则|z|=（）A.2B.V2C.5D.75【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再利用复数的模长公式即可求解.【详解】因为z=i（l-i）=i-i2=l+i,所以|z|=,付+产=血故选B
3.若向量〃=（2,3）,/=（-1,1）,则b在Q上的投影向量的坐标是（）
（23）（
23、
（23）
（23）A，B・C.D.1jr;由/Ab8=5,得椭圆半焦距c=l,则长半轴长〃=正节^=2，所以E的方程为《+上=
1.432显然直线PQ不垂直于y轴，设直线PQ的方程为x=，2+l,冷弘,2，%，fx=my4-1r r由L242s消去尤得3+4y+6〃2y-9=0,显然△，-6m-9直线”的方程为〃=占“+2,13x+4y=12令x=4,得点的纵坐标加=£、=—%,同理点N的纵坐标以二—X[+2my+3my+3[2因此他=近.九=_—=_一-----------------------------------------------------3m2+4=T为定值,2-9-6mrrr-----------F3m3m2+4・33my,+3my+3in yy+3my+y+2x2t2所以％此为定
17.15分在四棱锥P-ABC中，底面ABCD是矩形，PA_L平面A3CZ,%N分别是45,PC2的求证中MNLCD；⑶若PQ与平面A3CO所成的角为45，求证MNJ_平面PCD【答案】
（1）证明见解析⑵证明见解析⑶证明见解析【分析】
（1）取PD中点E,连接AE,NE,由线面平行的判定定理即可得证；
（2）先由线面垂直的判定定理证明平面PAD,得到C£J_AE,再由
（1）即可得证;⑶先由题意得到N/W）=45，AELPD,由线面垂直的判定定理证明平面尸CD,从而得证.【详解】
（1）取PO中点E,连接AE,NE,N为PC的中点，.NE//CD,NE=、CD,M是A3的中点，底面43CZ）是矩形，・•.AM//C，AM=^-CD9・•.AM//NE且AM=NE,，四边形AWE为平行四边形，所以MN//AE,又AEu平面PAO,M7VN平面PAD,MTV//平面
240.2P4JL平面A8CZ,CDu平面48C，Q4J_CZ,又•.底面A8CQ是矩形，・•.C0_LAO,又AD P4=A,AZ,P4u平面R4，CZ_L平面PA，AEu平面PAT,..CQ_LAE,由1可知AMN LCD.3PAJL平面ABC，所以/尸D4为BD与平面A5CD所成的角,/.ZPDA=45°,又24,4,Q4=AD,即.24为等腰三角形，•；E为PD中点,/.AEA.PD,又由2可得A£_LCZ,CDcPD=D,CD,PDu平面PCD,・•.AK_L平面PCD,由
（1）可知脑7〃4石，・・・肱丫_1_平面.
18.（17分）已知函数/（x）=x・e—；d.⑴求“X）在（0
（0））处的切线方程；
（2）当时，若2+x恒成立，求实数％的取值范围.【答案】（i）y=x；【分析】
（1）利用导数的几何意义求解即可；x Y2_1「、--x2e
（2）根据题意将问题转枇为人‘
2、1在［1,y）恒成立，构造函数g（q二e
2、x x利用导数求出其最小值即可.【详解】
（1）由/（x）=e「得0）=0,对了⑴求导得尸（x）=（x+l）e“-六2,乙（）••r o=i,\/（x）在（,/（））处的切线方程为y=x；
（2）,当时，恒成立，即时，X・匕*一,/22+工恒成立，x_1y2_i「、e.心V2在［L+8）恒成立，X令〃2x=x_lev+i,则加x=xe-1,xl,加%0恒成立・•・当时，mx=x-lev--%2+1单调递增,mxml=—0,2二当1》时，Xp-_j_2_1r・•・当时，gQ=--单调递增,【点睛】关键点点睛此题考查导数的综合问题，考查导数的几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第
（2）问解题的关键是分离参数，然后构造函数，将问题转化为利用导数求函数的最值，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题.
19.（17分）某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有〃（〃£N）份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式方式一逐份检验，需要检验〃次；方式二混合检验，将其中左心£川月42）份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这攵份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为化+1）次.假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为〃（O v〃v1）.⑴现有5份不同的血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中%（攵£可‘旦女22）份血液样本,记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为;采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为多.
①若E（q）=E），求P关于左的函数关系式P=f（k）；
②已知p=l_e*，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？参考数据In2=
0.693,In25=
3.219,In26=
3.258,In27=
3.296,In28=
3.
332.3【答案】⑴记⑵
①〃=11口工（攵22且攵EN*）,
②答案见解析【分析】
（1）根据题意确定3次检验的事件，利用有序排列，利用样本空间法，即可求解;2
①根据和幺的取值，求两个随机变量的期望，利用期望相等，求解〃=/优；
②根据
①的结果，比较后劲和石仁的大小，通过构造函数/a=lnx-2xN2,xeR,8利用导数判断单调性，比较大小，从而得到结论.【详解】1设恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件A,事件A分为两种情况，一种是前两次检验中，其中一次检验出抗体，第三次检验出抗体，二是前三次均无抗体，；所以，PA=GR+A.A；10所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为奈；2
①由已知得后够=3多的所有可能取值为1，攵+1，所以P值=1=1—p,p^=k+\=\-[\-p\,2所以矶5二1-〃『+攵+1[1-1一〃[=攵+1-攵1一〃,若E4J=E，贝必=2+1—左1一”,所以%1-〃y=1,1-〃1=；,所以得〃=1/口工，所以P关于攵的函数关系式〃=/女=ld攵22且人N;
②由
①知“=左，石©=攵+1—Ae8，若£＞石仁储则左＞Z+1—小，所以1-屋＜0，得屋＞1，k所以In女一石＞0攵22且%£1^*O令/x=lnx_\xN2,XGR,贝lj rx=，_，=^^x22,XGR,8x S8x当2＜xv8时，/rx＞0,当x＞8时，/zx＜0所以/x在[2,8上单调递增，在8,+oo上单调递减，因为2=ln2-2=
0.693-
0.250,/26=In26-—«
3.258-
3.250,8827〃27=In27-京六
3.296-
3.3750,所以不等式£（）＞Eg）的解是k G［2,26］且丘N*,所以左£［2,26］且人N*时，采用方案二混合检验方式好，人［27,+8）且丘N*时，石（）＜£但），采用方案一逐份检验方式好，【点睛】关键点点睛本题第二问的关键是求石（）和£俗），从而才可以建立等量关系或是不等式，为后面构造函数打下基础.【答案】B【分析】根据向量的坐标运算可得同=/，力=晨再结合投影向量的定义运算求解.【详解】因为4=（2,3）,〃=（一1,1）,则同=寿=如,〃力=一2+3=1,所以b在a上的投影向量=]]=-（a J1313J故选B.
4.ABC的内角A、B、的对边分别为、b、，若〃=2,b=3,cos（A+5）=!，则A.V17B.4C.V15D.3C二（）【答案】A【分析】由已知利用三角形内角和定理，诱导公式可求cos的值,求进而利用余弦定理即可解c的值.【详解】解因为=2,b=3,cos（A+B）=|=cos（7i-C）=-cosC,所以cosC=—g,贝！J由余弓玄定理可得c=Ja2+/—2cosC=j4+9—2x2x3x（—；）=Vi
7.故选A.
5.已知正方体的棱长为2,则该正方体的内切球的体积为（）r R4/28\/2n3仃A ArA.
4、/3兀B,--------Ti C.-------7i D.-7t333【答案】D【分析】根据正方体内切球特点即可得到球的半径，再利用球的体积公式即可.【详解】由正方体内切球的直径是正方体的棱长，所以2R=2,即H=l,44则球的体积丫=彳兀々=兀，33故选D.
6.已知变量X与变量y线性相关，X与y的样本相关系数为-
0.8,且由观测数据算得样本平均数元=5,9=6,则由该观测数据算得经验回归方程可能是（）B.§=x+lA.y=
0.8x+2C.y=-
0.8x+9D.y=-x+ll【答案】D【分析】根据相关系数的性质以及经验回归方程过样本中心点（5,6）逐项分析判断.【详解】因为X与y的样本相关系数为-
0.80,可知X与y为负相关，故A,B错误；又因为经验回归方程过样本中心点（5,6）,对于y=-
0.8x+9，贝iJ-O.8x5+9=5w6,故C错误；对于y=—X+U，贝|J—5+11=6,故D正确.故选D.
7.已知函数〃x）=（2Y+办+[e若在x=-2处取得极小值，则〃的取值范围是（）A.（4,+oo）B.[4,+oo）C.[2,+oo）D.（2,+oo）【答案】A【分析】利用求导得到导函数的零点-5和-2,就参数分类讨论，判断函数/（力的单调性，即可分析判断，确定参数的范围.【详解】由题意得，/⑺=（2%2+以+々）己+（4x+a）ev=[2Y+（a+4）x+2a]ev=（2x+a）（x+2）e，，由八x）=0可得，x=—微或x=—2,
①若-=-2,即Q=4时，/z（x）=2（x+2）2ex0,显然不合题意；
②若一3一2,即4时，当；或x—2时，f（f x）0,即“X）在（华,一9和（―2,+o））上单调递增；当*x—2,八刈，/（在（一1一2）上单调递减，故X）在x=-2处取得极小值，符合题意；
③若2,即4时，当xv—2或%二时，八]）0,即“外在（―8,—2）和（―£+8）2a2上单调递增；当-2x-5，/V）0,/⑴在（-2,-9上单调递减，故/（力在1=-2处取得极大值,不符题意.综上所述，当4时，力在x=-2处取得极小值，故的取值范围是（4,+）.故选A.
8.在平面直角坐标系xQy中，直线/方+勿=1上有且仅有一点P,使QH=2,则直线/被A.2B.273C.4D.473圆C/+y2=i6截得的弦长为（）【答案】D【分析】运用点到直线的距离公式，结合弦长公式求解即可.【详解】/办+卧=1,化为一般式，即/+勿-1=0,直线/改+by=l上有且仅有一点尸，使=2,则圆心到直线的距离d=|O尸=2],即d=2=，C:x2+y2=16圆心0,0/=
4.I弦=2〃一储2716-4=
473.=故选D.
二、多项选择题本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得分.
9.已知等差数列｛q｝的公差dwO,前〃项和为S〃，若S8=S14,则下列结论中正确的有（）A.^=—B.S=022d2一C.当d0时，/+%〉D.当d0时-，|%||%|【答案】BC【分析】对于A,由等差数列求和公式结合已知即可验算；对于B,由等差数列求和公式结合^=一4即可验算；对于CD,由等差数列性质即可验算.a2二o8x7,f14x13」「【详解】对于A,因为尸L4+丁=+2=「所以子=一11,故A错误;d wO,,,0M22x21722x21,22x21,八皿一心对十B,S”=22qd-------------d=-----------d H---------d=Q,故B止确；22221对于C,当d时，%+47=2q+22d=2x~—d+22d=d0,故C正确;、221对于D,当d0时，一*=q+642-q+16d『=J+16J——d+6d2I272=--d——d=—10/0,即故D错误.）\2J\2故选BC.
10.平面内到两个定点AB的距离比值为一定值的点尸的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”.已知平面内点A（L0）I（4,0）,O（0,0）,动点2满足慢=J,记点P的轨迹为「，则下列命题正确的是（）A.点的轨迹工的方程是V+y2=4B.过点N（l,l）的直线被点P的轨迹z所截得的弦的长度的最小值是26C.直线％—y+4=0与点p的轨迹7■相离D.已知点”是直线£x-y+4=上的动点，过点〃作点p的轨迹T的两条切线，切点为C，则四边形CMD面积的最小值是4【答案】ACD【分析】对于A设点P（x,y）,结合题意分析求解即可；对于B分析可知点在圆O内，结合圆的性质分析求解；对于C求圆心到直线的距离，即可判断；对于D分析可知当M_LL时，|河|取到最小值，四边形0cM面积取最小值，运算求解即可.【详解】对于选项A设点尸（x,y）,1PAiJ（x-l）2+/1因为身=[、=彳，整理可得Y+y2=4,故A正确；\PB\41）2+V2对于选项B因点P的轨迹方程是f+y2=4,圆心是，半径是r=2,ja|ON|=Vl2+l2=V22,可知点在圆内，过点N（l,l）的直线被圆所截得的弦最短时，点N（l,l）是弦的中点，「根据垂径定理得弦的最小值是2J，TON=2能,故B错误；对于选项C圆心至1J直线L x—y+4=o的距离d=\=2jl2=r,所以直线与圆相离，故c正确；对于选项D因为四边形OCMD面积S=2S=2xlx2|CM|=2^OM\2-4,OCM由数形分析可知当时，|闾取到最小值1=2夜，所以四边形CM面积取最小值2仙同二4=4,故D正确;故选ACD.【点睛】方法点睛对于BD先判断点、线与圆的位置关系，进而结合圆的性质分析最值.
11.已知P（A）=
0.3,P（国=
0.7,P（A3）=
0.1,则关于事件A与事件5,下列说法正确的有（）A.事件A与8可能相互独立B.事件A与B一定不互斥C.P（Au3）=
0.9D.P（A）=P（B）【答案】BCD【分析】根据独立事件概率乘积公式判断A选项，根据互斥事件定义判断B选项，根据和的概率公式求解即可判断C选项，应用对立事件概率和为1判断D选项.【详解】由尸（A）・P（B）=
0.21wP（AB）,可知事件A与B不是相互独立事件，故A不正确;由P（AB）=O.1,可知事件A与B一定不互斥，故B正确;P（Au3）=P（A）+P
（8）—P（A3）=
0.9,故C正确；P（A）=l-P（A）=
0.7=P（B）,故D正确.故选BCD.
三、填空题本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（x+2y）5的展开式中dy2的系数是.（用数字作答）【答案】40【分析】利用通项中x，y的指数确定人然后可得.【详解】因为x+2y5展开式的通项=C,~2yy,所以含丁丁的项为第3项，即〃=2,所以丁产的系数是22亡=
40.故答案为
4013.已知函数/%=加-x+a+1,若|/刈42对任意1网恒成立，则实数〃的取值范围为.【答案】卜【分析】运用绝对值不等式解法求解，然后参变分离，结合导数和二次函数求最值即可.【详解】函数〃力=方3_%++1,若|〃到2对任意X£[-1可恒成立，即以3_1+4+142对任意X«-l叫恒成立，即-24加_%+〃+142对任意工«-1，3恒成立,即一3ax3-%+tz1对任意x£[-1,OR旦成立,即-3tzx3+l-xl对任意x e[-1,0卜恒成立,即冗—31+1工工+1对任意工£[—1,0卜恒成立.当户T时，-400,显然成立;Y—3v-11x-3下+1—x—33/-2/+9/+1_9-2xJ+1令gx=，则，x=x3+l x3+12x3+12x3+12当一T]时，一功八匹+】化为二小门恒成立•由于%£-1,0],贝!Jg%0,则gx在-1,0]上单调递增,则g%max=g0=—
3.X+1_1_1X+1%2—X+1r-X4_1z___J_\2+g，~24则x e-1,0]时，hx单调递增,则/tx/i-l=g.minY Y4]1因此‘产7=对于任意X£[-1,0]时恒成立，则-3〃x+1x+13故答案为卜工!.
14.已知A5是圆O:f+y2=3的直径，M,N是圆上两点，且NMON=120,则（0M+2ON\AB的最小值为.【答案】-673【分析】设圜+2溺=3注，分析可知点E为线段MN靠近N的三等分点，OE=1，再结合数量积的定义分析求解.【详解】由题意可知圆的半径为百，设MN的中点为C,因为NMON=120,OM=ON,则OCJ_M7V,OC=V3sin3O°=—,MN=2NC=273cos30°=3,2设OM+2ON=3OE，则°A/-OE=2（OE-ON）,g[J EM=2NE，可知点E为线段MN靠近N的三等分点，则=二,OE=JOC2+CE=T，o2设向量OE与A3的夹角为（08K兀），可得（OM+2ON yAB=3OE-AB=31OE|I cos6^=6辰os0,且cos«—1』，所以（OM+ON）・A3的最小值为-
673.故答案为-6^
3.
四、解答题本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）如图，在ABC中，AB=3娓,〃=是BC边上一点，且乙⑴求AO的长；⑵若8=10,求sinNDAC.【答案】1AD=62sin/DAC=正14【分析】1在△ABZ中，利用正弦定理即可得解;2在一ACD中，先利用余弦定理求得AC,再利用正弦定理即可得解.2冗7E【详解】1在.ABC中，/AOC=一，则445=一，334n3y/~6_ADA R.二在△ABD中，二当，即F,得AO=
6.sin ZADBsin Bsin—sin—342IT2因为在一AC中，AZ=6,CD=10,Z4£C=—,i、所以AC=AO2+CO2—2AO,COCOS/ADC=36+100—2X6X10X——=196,、2则AC=14,10果，解得sm/.二拽/CD AC乂--=--------------------sin ZDACsin ZADC即sin ZDACsin143所以sin ZDAC=^-.2143=la〉b〉0,过点0,6,A,3分别是£的左顶点和下r
216.15分已知椭圆E:二十TTCT顶点，尸是E右焦点，ZAFB、.1求£的方程;2过点F的直线与椭圆E交于点P,Q,直线AP,其分别与直线x=4交于不同的两点M，N.设直线厂”，bN的斜率分别为占，Q求证勺攵2为定值.22【答案】⑴土+匕=1；432证明见解析.【分析】1根据给定条件，求出即可得后的方程.2设出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，由直线ARAQ求出M,N的坐标，利用韦达定理结合斜率的坐标表示计算即得.无2y2【详解】1由椭圆E:J+a=lQb0过点0,6,F。
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