《函数复习精讲》课件

函数复习精讲欢迎来到函数复习精讲课程本课程专为高中学生设计，旨在帮助同学们系统梳理函数知识，掌握重要概念和解题技巧我们将从基础定义出发，逐步深入探讨各类函数的性质、图像特征及应用方法，为高考数学复习提供全面指导什么是函数函数的定义映射的概念函数是描述两个变量之间特定对应关系的数学概念具体而言，从集合角度看，函数可视为从集合到集合的映射，通常记为X Yf:若对于定义域中的每一个元素，按照对应法则，在值域中有唯映射强调了一个输入对应唯一输出的本质特征x X→Y一确定的元素与之对应，则变量是变量的函数y y x关系式为，其中表示对应法则，为自变量，为因变y=fx f x y量函数的三要素对应法则确定输入如何转化为输出的规则值域函数输出值的集合定义域函数输入值的集合函数的三要素互相关联且缺一不可定义域是函数的基础，确定了函数的适用范围；对应法则决定了函数的行为和特性，是函数的核心；值域则是函数映射的结果，反映了函数的输出特征函数的表示方法列表法图象法通过有序数对列表形式展示通过在坐标系中绘制函数图像直x,y函数对应关系，适用于离散型函观展示函数关系，便于观察函数数或数据点有限的情况例如整体趋势和特征图像法是理解表示一个只包函数性质的重要工具，能够直观{1,3,2,5,3,7}含三个数据点的函数显示单调性、奇偶性等特征解析式法常见函数符号

1、、fx gxhx最常见的函数符号，表示不同的函数关系通常用于区分不同f,g,h函数，便于在同一问题中处理多个函数2Fx常用于表示的原函数，即，在积分问题中经常使用fx Fx=fx3复合函数fgx表示函数复合，先计算的值，再将结果代入计算，得到最终输gx f出4f^-1x函数的定义域求法无理函数对于根式函数如，要求被开方数；对于偶次根如∜，同样要√fx fx≥0fx求；对于奇次根如∛，则对无特殊要求fx≥0fx fx分式函数对于分式函数，关键是确保分母，即使的值这是fx/gx gx≠0x≠gx=0分式函数定义域的基本限制条件对数函数对于对数函数，需满足两个条件底数且，以及真数log_afx a0a≠1这是由对数函数的本质特性决定的fx0分段函数分段函数的定义域是各分段定义域的并集需分别考虑每一段函数的限制条件，然后综合确定完整定义域函数的值域求法定义法直接求解根据函数定义，将定义域中的值代入函数表达式，得到对应的函数值集合适用于简单函数或有明确边界的情况换元法令，将用表示，确定的取值范围这种方法在处理复合函数y=fx x y y时特别有效导数法利用导数确定函数的单调区间，进而确定最大值和最小值，从而得出值域适用于可导函数判别式法对于二次函数或可转化为二次形式的问题，利用判别式确定函数的最Δ值，从而得出值域范围函数的单调性增函数的定义减函数的定义若对于定义域内的任意，都有，则称在该若对于定义域内的任意，都有，则称在该x₁x₂fx₁fx₂fx x₁x₂fx₁fx₂fx区间上是增函数增函数的图像从左到右是上升的区间上是减函数减函数的图像从左到右是下降的例如，函数在区间上是增函数，因为当值增大例如，函数在区间上是减函数，因为当值增大y=x²0,+∞x y=1/x0,+∞x时，函数值也随之增大时，函数值反而减小函数单调性的判定导数判别法利用导数正负判断函数增减性数表法构造函数值表格分析变化趋势定义法直接验证定义中的不等式关系导数判别法是最常用的方法若在区间上，导数，则函数在该区间上单调递增；若，则函数单调递减对于不可导的函I fx0fx fx0数或更简单的情况，可采用数表法，通过计算特定点的函数值，观察函数值的变化趋势在高考题中，判断函数单调性通常是解决问题的关键步骤，尤其在求解函数值域、方程解的个数等问题时，正确判断函数的单调区间能够大大简化解题过程函数的奇偶性奇函数满足的函数奇函数图像关于原点对称，通过原点例如、f-x=-fx y=x³y=sin x偶函数满足的函数偶函数图像关于轴对称例如、f-x=fx y y=x²y=cos x非奇非偶函数既不满足奇函数也不满足偶函数条件的函数例如、y=x²+x y=e^x判断函数奇偶性的方法代入法图像法将代入函数表达式，比较与或-x f-x fx观察函数图像是否关于原点或轴对称y的关系-fx复合函数判断代数运算法利用奇偶函数的复合规律判断分析函数表达式中各项的奇偶性周期函数周期函数定义常见周期函数周期函数性质若存在一个正数，使得对于函数三角函数是最典型的周期函数例周期函数在每个周期区间内的图像T的定义域内任意，都有如，和的周期为，完全相同；周期函数的导数、积分fx xsin xcos x2π，则称为周期函和的周期为此外，也是周期函数；两个周期函数的fx+T=fx fxtan xcot xπ数，其中最小的正数称为的最复合函数的周期为和、差、积、商（分母不为零）也T fx y=sinωx+φ小正周期是周期函数2π/|ω|简单常用函数分类函数在数学中占据核心地位，可根据表达式复杂度和性质进行分类常见的基本函数包括一次函数（线性函数），图像为直线；二次函数，图y=kx+b y=ax²+bx+c像为抛物线；指数函数且，对数函数且；以及由多个不同表达式组合而成的分段函数y=a^xa0a≠1y=log_axa0a≠1这些基本函数是构建更复杂函数的基础，理解它们的性质和图像特征对于学习高等数学至关重要在高考中，这些函数既会单独出现，也会以复合形式或参数形式考查学生的综合分析能力一次函数的性质正斜率的一次函数负斜率的一次函数与坐标轴的交点当时，函数单调递增，图像从当时，函数单调递减，图像从一次函数与轴交点坐标为，k0y=kx+b k0y=kx+b y=kx+b y0,b左下方向右上方延伸越大，直线越陡左上方向右下方延伸越大，直线下降与轴交点坐标为当这些交k|k|x-b/k,0k≠0峭，表示自变量每增加个单位，因变量越陡峭，表示自变量每增加个单位，因点在解决一次函数应用问题时具有重要意x1yx1增加个单位变量减少个单位义k y|k|二次函数的图像a-b/2a二次项系数对称轴决定抛物线开口方向和宽窄开抛物线关于直线对称，是理a0x=-b/2a口向上，开口向下；越大，抛解抛物线性质的关键a0|a|物线越窄4ac-b²/4a顶点坐标y结合对称轴坐标，确定顶点位置x-b/2a,4ac-b²/4a二次函数的性质二次函数题型分析二次函数与直线交点问题将二次函数与直线联立，转化为一元二次方程求解，判断交点个数及位置关系解题关键是分析判别式的正负，确定方程根的情况Δ二次函数最值问题利用二次函数的顶点坐标公式，确定函数的最大值或最小值在实际应用中，常需将实际问题转化为求二次函数的最值二次函数恒成立问题使用待定系数法或利用二次函数的判别式，确定函数满足特定条件的参数取值范围这类问题考查对二次函数性质的深入理解函数与方程1函数零点与方程根的关系函数的零点，即满足的值，正是方程的根这fx fx=0x fx=0建立了函数与方程之间的本质联系2利用函数性质解方程通过分析函数的单调性、奇偶性等性质，可以判断方程根的存在性、个数及分布规律，简化方程求解过程3函数图像法解方程将方程转化为函数与图像的交点问题，通fx=gx y=fx y=gx过分析两函数图像的交点情况判断方程解的情况指数函数定义与图像指数函数定义指数函数的一般形式为y=a^x，其中a0且a≠1，x为自变量当01时，函数单调递增指数函数的定义域为R（实数集），值域为0,+∞它在x=0处的函数值恒为1，即a^0=1指数函数的性质1定义域与值域指数函数的定义域为全体实数，值域为这意味着指y=a^xa0,a≠10,+∞数函数可以接受任意实数作为输入，但输出始终为正数2单调性当时，在上单调递增；当a1y=a^x R03特殊点和渐近线所有指数函数图像都经过点当时，，故轴是指数函数0,1x→-∞a^x→0x图像的水平渐近线这在求解不等式和分析函数行为时非常重要4增长特性当时，随着的增大，函数值的增长速度越来越快，呈现越增长越a1x a^x快的特性；当0对数函数定义与图像底数大于的对数函数底数小于的对数函数常用对数函数11当时，函数在定义域当特别关注常用对数以为底和自a1y=log_ax0,+∞0y=lgx10上单调递增图像从左到右上升，穿过点然对数以为底，它们在科学和工y=lnx e，且具有垂直渐近线程计算中最为常用，都属于底数大于的情1,0x=01况对数函数的性质定义域与值域单调性与图像特点对数函数的定义当时，在上单调y=log_axa0,a≠1a1y=log_ax0,+∞域为，值域为这意味着对数递增；当0,+∞R0函数只接受正数作为输入，但可以输•y轴即直线x=0是对数函数的垂直出任意实数渐近线•真数必须大于0，这是对数定义的•函数增长/减小速度随x增大而变缓必要条件•对数的底数必须是正数且不等于1与指数函数的关系对数函数是指数函数的反函数，两者的图像关于直线对称这y=log_ax y=a^x y=x一性质在函数变换和方程求解中非常有用•指数方程与对数方程可相互转化与恒成立•a^{log_ax}=xx0log_aa^x=x指数与对数互化定义式互化性质互化1若，则；若，指数函数和对数函数的性质具有对应关系y=a^x x=log_ay y=log_ax则这是指数与对数互为反函数的直指数函数的定义域是对数函数的值域，反之a^y=x接体现亦然常见错误点方程互化需注意底数与真数的限制条件，避免定义域指数方程与对数方程可通过取对数或求指数错误；转化过程中注意等价条件，防止引入相互转化，简化求解过程例如可a^x=b或遗漏解转化为x=log_ab幂函数与反比例函数幂函数反比例函数幂函数的一般形式为，其中为常数，为变量不同的反比例函数是幂函数的特例，其图像为双曲y=x^a ax a y=k/xk≠0a=-1值会导致幂函数具有不同的性质和图像特征线，定义域为，值域为{x|x≠0}{y|y≠0}•当a0时，定义域为0,+∞，函数单调递增•当k0时，函数在x0和x0的区间上均为单调递减•当a0时，定义域为0,+∞，函数单调递减•当k0时，函数在x0和x0的区间上均为单调递增•当a为正整数时，定义域可扩展为R•x轴和y轴是反比例函数图像的渐近线•特例y=xa=1为正比例函数，y=x²a=2为二次函数•反比例函数的图像关于原点对称分段函数与定义法则分段函数定义1在不同区间有不同表达式的函数定义域处理各分段定义域的并集构成总定义域连续性分析3特别关注分段点的函数连续性分段函数是在不同区间由不同解析式定义的函数，它在每个分段区间内都表现为相应的函数特性在书写分段函数时，需要清晰标明每个表达式对应的定义区间，通常使用大括号表示分段函数的典型示例是绝对值函数，它可以表示为当时；当时这种分段表达清晰地展示了函数在不同区间的y=|x|y=x x≥0y=-x x0行为分析分段函数时，需特别关注分段点处的函数连续性和可导性，这通常是理解函数性质和解决相关问题的关键绝对值函数图像与性质绝对值函数是最基本的分段函数之一，其解析式可表示为；它的图像呈现形，在处有一个拐点y=|x|y=xx≥0y=-xx0V x=0绝对值函数具有以下重要性质定义域为，值域为；函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；函数图像关于R[0,+∞-∞,00,+∞y轴对称，是一个偶函数绝对值函数的变形包括（水平平移）、（垂直平移）、（伸缩）等这些变形保留了绝对值函数的基本特征，但y=|x-a|y=|x|+b y=k|x|改变了拐点位置或函数的增减范围理解绝对值函数的性质对解决含绝对值的方程和不等式问题至关重要函数的素描图像问题特征点法确定函数的特征点，如零点、极值点、拐点等，然后连接这些点绘制图像这种方法适用于分析多项式函数、有理函数等变换法通过对基本函数图像进行平移、伸缩、对称等变换，得到目标函数的图像这种方法特别适合处理由基本函数变换而来的复杂函数性质分析法分析函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，结合定义域和值域约束，确定函数图像的大致形状这种方法适用于性质明显的函数图像平移问题水平平移垂直平移平移组合对于函数，若进行水平平移，得到对于函数，若进行垂直平移，得到函数表示先将函数的图像y=fx y=fx y=fx-h+k y=fx，则图像沿轴正方向平移个单，则图像沿轴正方向平移个单沿轴方向平移个单位，再沿轴方向平y=fx-h xh y=fx+k yk xh y位或沿轴负方向平移个单位位或沿轴负方向平移个单位移个单位平移不改变函数图像的形状，h0x|h|k0y|k|k这相当于每个点的横坐标加上这相当于每个点的纵坐标加上只改变其位置h0h k0k图像伸缩与翻转k1/m纵向伸缩横向伸缩表示将的图像沿轴表示将的图像沿y=kfxk0fx y y=fmxm0fx x方向伸缩，时拉长，轴方向伸缩，时压缩k1001-1图像翻转表示关于轴翻转，表y=-fx xy=f-x示关于轴翻转y复合函数复合函数定义定义域确定复合函数表示先计算内层函数满足两个条件在的定义域内，且fgx xg的值，然后将结果代入外层函数在的定义域内gx f gx f典型例子性质分析

4、、等都是复合函复合函数的性质与原函数有关，需结合lnsin xe^x²√1+x3数具体情况分析函数的反函数反函数定义求反函数的步骤对于函数，若存在函数，使得对于所有∈的首先确认原函数是否存在反函数，即验证其是否为单射函数（在y=fx ggfx=x x f定义域成立，且对于所有∈的值域成立，则称为的定义域内是否单调）若存在反函数，则交换函数关系式中的fgy=yyfgfx反函数，记作和，再解出的表达式f^-1yy=f^-1x从几何角度看，函数与其反函数的图像关于直对于分段函数或复杂函数，可能需要分别求各部分的反函数，然y=fx y=f^-1x线对称这一特性是识别和理解反函数图像的重要工具后合并结果注意反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值y=x域是原函数的定义域反函数性质对称性函数与其反函数的图像关于直线对称这一性质源于反函y=fxy=f^-1xy=x数中自变量和因变量角色的互换，是理解反函数图像的关键定义域与值域反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域这f^-1f种互换关系反映了函数与反函数之间的本质联系单调性若函数在其定义域上单调递增，则其反函数也单调递增；若单调递减，f f^-1f则也单调递减单调性是函数存在反函数的必要条件f^-1复合性质函数与其反函数的复合满足和这一性质是反函ff^-1x=xf^-1fx=x数定义的直接体现，常用于验证求得的反函数是否正确函数的分段构造函数的分段构造是高中数学中的重要题型，要求在不同区间上定义不同表达式以满足特定条件常见的分段构造问题包括确保在分段点处函数连续；确保在分段点处导数连续（光滑连接）；满足特定的函数值或导数值条件；使函数具有特定的性质如奇偶性、周期性等解决分段构造问题的关键步骤是明确构造要求和条件；利用连续性条件在分段点处建立方程；根据其他条件（如导数连续、函数值等）建立方程组；解方程组确定待定参数高考中常见以分段构造为背景的选择填空题和解答题，需要灵活应用各种函数知识描述性与应用性函数人口增长模型物理运动模型经济学应用人口增长通常可用指数函数模型物体运动常用函数描述，如自由落体的位经济学中的供需关系、成本利润分析等都描述，其中是初始人口，移函数，其中为重力加速度，可用函数模型描述如线性需求函数Pt=P₀e^rt P₀r st=1/2gt²g p=a-是增长率，是时间该模型在人口统计、为时间通过函数可以预测物体的位置、，其中为价格，为需求量，和为常t tbq pq ab城市规划中有重要应用速度和加速度数含参函数问题参数取值函数性质图像特征单调递增无极值点m2先减后增一个极小值点1m2恒等于常数水平直线m=1先增后减一个极大值点0m1单调递减无极值点m≤0含参函数问题是高中数学的重要内容，研究的是含有参数的函数表达式在不同参数取值下的性质变化解决含参函数问题的关键是分析参数对函数性质的影响，包括定义域、值域、单调性、极值点、零点个数等常见的分析方法包括讨论参数对函数解析式形式的影响；利用导数分析单调性和极值；利用判别式分析方程根的情况；结合函数图像直观理解含参函数问题在高考中常以选择题、填空题和解答题形式出现，是考察学生数学分析能力和综合应用能力的重要题型函数的最大最小值端点与特殊点导数法求驻点计算函数在区间端点及不可导点处的值，确定求值范围计算函数的导数fx，令fx=0求出驻将所有可能的最值点结果进行比较，确定明确函数定义域及需要求最值的区间注点，再通过导数符号判断极值点导数法最终的最大值和最小值意区分闭区间最值和函数极值的概念，区是求解可导函数最值的最常用方法间端点也需考虑函数的对称性问题关于轴对称关于原点对称关于直线对称y若函数满足，则若函数满足，则函数的图像还可能关于特f-x=fx f-x=-fx其图像关于轴对称，这是其图像关于原点对称，这定直线对称，如关于直线y偶函数的特征例如是奇函数的特征例如对称，或关于直线x=ay=b、等都是关、等都是关对称确定对称轴是分析y=x²y=cosx y=x³y=sinx于轴对称的函数于原点对称的函数函数性质的重要步骤y关于点对称函数图像可能关于平面上的某一点对称，如关于点对称这种对称性通a,b常需要通过坐标变换或具体计算来验证函数方程的构造确定方程类型设置未知参数建立参数方程求解与验证分析问题要求，确定需要构在函数表达式中引入未知参根据函数需满足的条件，建解出参数值，代入原表达式造的函数类型及其可能的表数，准备通过已知条件确定立关于未知参数的方程或方得到函数，并验证是否满足达式形式参数值程组所有条件函数图像与性质综合逆向思考与验算逆向推导假设法从题目结论出发，逆向推导可能的条件假设某种情况成立，推导其结果是否符或过程，特别适用于构造题或证明题2合题目要求，常用于证明题或参数讨论结果验证反证法4将解答结果代回原问题验证，确保没有假设命题结论不成立，推导出矛盾，从计算错误或逻辑漏洞而证明原命题成立函数与数列结合问题函数数列化数列函数化将函数与自变量∈结合，定义数列，其中将数列视为函数在整数点上的取值，通过寻找合适的fx x=nn N{a_n}{a_n}fn这种方法可以将函数的性质转化为数列的性质，如将函数表达式，将数列问题转化为函数问题这种方法特别适a_n=fn fx函数的单调性转化为数列的单调性用于求数列的通项公式例如，对于函数，可以定义数列，即例如，等差数列可以表示为函数；等比数fx=x²a_n=n²{a_n}fn=a_1+n-1d，这是一个二次数列通过研究的性质，我们可列可以表示为函数通过函数的连续性、{1,4,9,16,...}fx{a_n}fn=a_1·q^n-1以更容易地分析数列的性质导数等性质，可以更深入地研究数列的性质{a_n}函数与不等式结合利用单调性解不等式利用最值解不等式图像法解不等式当函数在区间上单调时，不等式对于形如或将不等式转化为函数fx Ifx0fxm fx fxgx hx=fx-（或）的解集可以通过求解方程，然后通过分析函数的图像与fx0gx0hx x，然后结合函数的单调性分析确定轴的位置关系，确定不等式的解集图像fx=0这是利用函数性质解不等式的核心思想法直观且有效，适合处理复杂不等式函数零点问题零点存在性判断零点个数判断利用介值定理判断函数零点的存在性结合函数的单调性或导数性质判断零点若函数在闭区间上连续，且个数单调函数在区间上至多有一个零fx[a,b]，则存在∈使得点；利用导数可以分析函数的单调区间，fa·fb0c a,b这是判断方程有解的重要方法进而判断零点个数fc=0•检查函数在区间上的连续性•利用单调性分析零点唯一性•计算区间端点的函数值•通过二次函数判别式判断零点个数•判断函数值是否异号•复杂函数可结合高阶导数分析零点近似解法对于无法用代数方法求解的方程，可以使用近似方法如二分法、牛顿迭代法等求解其零点这些方法在实际计算中非常有用•二分法连续缩小包含零点的区间•切线法利用函数图像与切线性质•迭代法构造收敛到零点的数列简单函数建模1问题分析明确问题的实际背景、已知条件和求解目标，提取关键数学关系这是建模的第一步，也是最关键的步骤建立模型选择合适的函数类型（如线性、二次、指数等），将实际问题抽象为数学模型根据实际情况确定变量和参数的含义求解模型利用数学方法（如方程求解、求导、积分等）对建立的模型进行处理，得出数学结果注意保留求解过程中的关键步骤结果解释将数学结果转化为实际问题的解答，并验证结果的合理性检查结果是否符合实际约束条件，如是否为正数、是否在合理范围内等高考函数题型总览25%30%45%选择题占比填空题占比解答题占比函数相关选择题通常考察基础概念、性质函数填空题侧重参数确定、函数值计算和函数解答题强调综合分析、多性质结合和判断和简单应用性质分析实际应用能力函数专题易错点剖析函数学习中的常见错误包括定义域判断不完整，尤其是分式、无理式和对数函数的定义域容易漏掉条件；奇偶性判断混淆，如将f-x=-写成等；单调性分析片面，如仅根据导数符号而忽略导数不存在的点；函数值域估计不准确，特别是复合函数和分段函数的fxf-x=f-x值域分析其他易错点还包括反函数求解错误，如忘记检验原函数的单调性；复合函数计算顺序混乱；图像变换理解不清，特别是横向拉伸与压缩的混淆；参数讨论不全面，忽略特殊情况避免这些错误需要理解函数概念本质，掌握正确的分析方法，并通过大量练习巩固常考题型满分模板1函数性质分析模板先明确函数表达式和定义域，然后按照定义域值域单调性奇偶性周期性的→→→→顺序系统分析，每个结论给出简要证明过程，最后总结函数的主要特征2函数图像描绘模板先确定特征点（如零点、极值点、不连续点），分析函数在各区间的单调性和凹凸性，然后描绘出图像的大致形状，注明坐标轴、特征点坐标和渐近线等关键信息3含参函数讨论模板先分析参数对函数表达式形式的影响，分类讨论不同参数取值下的函数性质，使用不等式或方程构建参数取值的临界条件，最后归纳总结不同取值范围的结论函数应用题模板先明确问题中的变量和已知条件，建立合适的函数模型，利用函数的性质（如单调性、最值等）求解问题，最后解释结果并验证其合理性函数题型刷题建议题目选择策略解题方法优化高效刷题流程优先选择经典题型和高考真题，注重题目培养多角度分析问题的能力，如代数法、建立预习做题错题分析总结复习→→→→的典型性和覆盖面从基础题到综合题，几何法和分析法相结合注重解题思路的的完整刷题流程对做错的题目进行深入循序渐进，逐步提高难度针对薄弱环清晰性和逻辑性，避免计算冗长和思路混分析，找出错误根源定期归纳总结函数节，如参数讨论、函数构造等，进行专项乱对于难题，学会拆解问题，先解决简的解题方法和技巧，形成个人知识体系训练单情况再推广复习备考策略建议夯实基础知识系统梳理函数概念、性质和方法分类专项练习针对各类函数题型进行有针对性训练归纳错题与总结建立个人错题本和知识框架体系模拟实战演练4通过模拟测试检验和巩固学习成果总结与提问核心知识总结学习建议与互动本课程全面回顾了函数的基本概念、分类、性质及应用，重点强希望同学们在今后的学习中能够关注函数的本质含义，而不仅调了定义域、值域、单调性、奇偶性等核心性质的分析方法，系是公式记忆；重视函数的图像理解，培养空间想象能力；加强解统梳理了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等常见函数题过程的规范性，提高推理证明能力；多做题、勤总结，形成个的特征和应用场景人的知识网络同时，我们还详细讲解了函数图像变换、复合函数、反函数等重现在，我们开放问答环节，欢迎同学们就课程内容或函数学习中要知识点，以及函数与方程、不等式的结合问题通过多种解题遇到的具体问题进行提问也可以分享自己的学习心得和困惑，策略和方法的介绍，帮助同学们建立了完整的函数知识体系我们一起探讨解决方案。