《数学分析》课件

数学分析课程介绍欢迎来到数学分析课程，这是一门探索数学无限奥秘的深度旅程数学分析作为数学的重要分支，专注于函数、极限、微积分等核心概念的严格推导与应用本课程将从基础出发，逐步构建起完整的数学分析体系我们将深入学习函数极限、连续性、微分学、积分学等关键内容，帮助你理解这些概念的精确定义与性质通过系统学习，你将获得解决复杂问题的能力，并培养严密的数学思维方式数学分析不仅是理工科学生的基础课程，也是深入理解现代科学技术的必要工具它在物理学、工程学、经济学、计算机科学等众多领域有着广泛应用希望通过本课程的学习，你能够掌握这一强大工具，为未来的专业发展奠定坚实基础数学分析发展简史早期微积分思想数学分析的萌芽可追溯至古希腊时期阿基米德通过穷竭法计算曲线下的面积，埃及和巴比伦的数学家也进行了初步的无穷小探索牛顿与莱布尼茨世纪，艾萨克牛顿和戈特弗里德莱布尼茨几乎同时独立发明17··了微积分牛顿的流数法注重物理背景，而莱布尼茨的符号系统更为系统化，至今仍在使用严格化时期世纪，柯西、魏尔斯特拉斯和康托尔等数学家通过引入严格19的极限概念，为微积分奠定了坚实的理论基础，建立了现代数学分析体系实数与数列的定义实数系统的完备性数列与基本概念实数系统是数学分析的基础它包含有理数和无理数，具有完备数列是从自然数集到实数集的映射，通常表示为或{an}a1,a2,性质任何柯西收敛数列都有一个实数极限这一性质使得我数列可以是有界的或无界的，递增的或递减的，这些性——a3,...们能够填补数轴上的空隙，确保连续性质对研究数列的收敛性至关重要实数的公理化定义包括域公理、序公理和完备性公理，共同构成有理数可以表示为两个整数的比，而无理数则不能如、和πe了实数系统的基础框架正是这种完备性，使得许多高等数学中都是著名的无理数有理数在数轴上是稠密的，但与无理数√2的定理能够成立相比，在测度上几乎可以忽略不计数列的极限极限的定义收敛与发散ε-N数列的极限是，当且仅当如果数列存在极限，我们称该数{an}a对于任意给定的，存在正列为收敛数列；否则称为发散数ε0整数，使得当时，列发散包括两种情况趋于无N nN|an-这个定义精确刻画了数穷大或者无规则地波动而不趋向a|ε列无限接近某个值的含义任何值极限的计算极限计算通常利用极限的各种性质，而不直接使用定义常见的收敛数列包括等比数列，当公比满足时；以及，时极限为r|r|11/n n→∞0数列极限的重要性质唯一性局部有界性若数列收敛，则其极限若数列收敛，则该数列{an}{an}唯一这保证了我们在讨论极一定有界这意味着存在常数限时不会产生矛盾证明采用，使得对所有，都有M0n反证法假设存在两个不同的这是判断数列发散|an|≤M极限，然后导出矛盾的常用方法若数列无界，则必发散四则运算律若，，则，lim an=A limbn=B liman±bn=A±B liman·bn，当时，这些性质极大地简化了极限=A·B B≠0liman/bn=A/B的计算子列与柯西数列子列定义数列{an}的子列是指从原数列中按照严格递增的下标序列n1n

2...nk...取出的数列{ank}例如，从{1,2,3,4,5,...}中取出所有偶数位置的项，得到子列{2,4,6,...}子列与极限若数列{an}收敛于A，则其任何子列也收敛于A这一性质的逆命题不成立，即子列收敛不能保证原数列收敛例如，数列{-1n}发散，但其子列{-12n}收敛于1柯西收敛准则数列{an}收敛的充要条件是对任意ε0，存在N，当m,nN时，|am-an|ε这一准则的重要性在于它只涉及数列本身的性质，不需要知道极限值实数完备性实数系统的完备性保证了任何柯西数列都收敛于实数域中的某个值这是实数区别于有理数的关键性质，也是无理数存在的理论基础例如，有理数序列可以收敛到无理数π或e数列极限实例与应用数列类型通项公式极限值收敛性等差数列不存在发散an=a1+n-1d,d≠0等比数列an=a1·qn-1当|q|1时为0；当|q|≥1时不存在当|q|1时收敛；否则发散调和数列收敛an=1/n0特殊数列收敛an=1+1/nn e≈

2.

71828...这些数列极限在科学和工程中有广泛应用例如，复利计算公式lim1+r/nn=er用于金融分析；收敛数列可用于近似计算无理数；而数列极限的思想是研究函数极限和级数的基础无穷小与无穷大无穷小定义无穷大定义如果数列的极限为，则称为如果对于任意给定的正数，总存在{an}0{an}M无穷小量例如，、、，当时，，则称为无{1/n}{1/n2}{e-N nN|an|M{an}都是无穷小量无穷小是极限理论中穷大量例如，、、都是n}{n}{n2}{en}的基础概念无穷大量计算规则无穷小的阶无穷小量的四则运算规则有限个无穷若，则称与是同limαn/βn=c≠0αnβn小量的和是无穷小量；有界量与无穷小阶无穷小；若，则是比高阶无c=0αnβn量的积是无穷小量；有限个非零阶无穷穷小；若，则是比低阶无穷c=∞αnβn小量的积是无穷小量这些规则在极限小计算中非常有用实函数极限的定义定义左右极限ε-δ函数在点处的极限是，记为，是指对任左极限定义为当从左侧逼近时的极限；右fx x0L limx→x0fx=L limx→x0-fx x x0fx意给定的，存在，使得当时，有极限定义为当从右侧逼近时的极限ε0δ00|x-x0|δ|fx-limx→x0+fx x x0fxL|ε函数在点处极限存在的充要条件是左右极限都存在且相等x0与数列极限不同，函数极限涉及到二维变量的关系，点可以例如，函数在处左极限为，右极限为，因此x0fx=sgnx x=0-11从不同方向逼近，这使得函数极限的概念更为复杂函数在点在处不存在极限x=0处可以没有定义，但仍可能存在极限x0函数极限的性质极限的运算法则夹逼定理若，，如果在的某个去心邻域内，lim fx=A lim gx=B x0则；，且lim[fx±gx]=A±B hx≤fx≤gx lim；当，则lim[fx·gx]=A·B B≠0hx=limgx=A lim时，这些这一定理在处理一些lim[fx/gx]=A/B fx=A性质与数列极限的运算法则类复杂函数极限时非常有用，如证似，是计算函数极限的基本工明limx→0sin x/x=1具极限的局部性函数在一点处的极限只与该点附近的函数值有关，与该点处函数是否有定义以及远处的函数值无关这使得我们可以在研究某点极限时，只关注该点的局部性质重要初等函数极限1e0基础极限指数极限重要结论是最基本的极限之，其中是，limx→0sin x/x=1limn→∞1+1/nn=e e≈

2.71828limx→0ex-1/x=1limx→0ax-1/x=一，可通过几何方法证明自然对数的底数，这些结论在微积分中频繁使用ln a这些极限是计算更复杂极限的基础例如，利用，可以推导出和而指数极sin x/x→1limx→0tan x/x=1limx→01-cos x/x2=1/2限在金融数学中用于计算连续复利limx→∞1+k/xx=ek连续的定义与性质连续的定义函数在点连续，当且仅当fx x0limx→x0fx=fx0局部性质2连续函数在小范围内的变化也很小邻域特性连续性可用语言精确描述ε-δ连接性连续函数的图像不会出现断裂函数连续性的概念是微积分中最重要的基础之一函数在点处连续，意味着当自变量无限接近时，函数值也无限接近这fx x0x x0fx fx0可以通过极限的方式严格定义函数在点处连续，当且仅当fx x0limx→x0fx=fx0间断点的类型可去间断点跳跃间断点无穷间断点如果存在但不等于，或如果在处的左右极限都存在但不相如果在处的单侧极限或双侧极限为limx→x0fx fx0fx x0fx x0没有定义但极限存在，则是的等，则是的跳跃间断点例如，符无穷大，则是的无穷间断点例fx0x0fx x0fx x0fx可去间断点例如，在号函数在处为跳跃间断点，左如，在处为无穷间断点无fx=x2-1/x-1sgnx x=0fx=1/x x=0处为可去间断点，因为极限存在且等于极限为，右极限为跳跃间断点在物理穷间断点通常对应函数图像的渐近线x=1-11学和经济学中经常出现，代表状态的突2变初等函数的连续性多项式函数所有多项式函数Px=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0在整个实数域上连续这是因为常数函数连续，xn连续，而连续函数的和、差与积仍然连续有理函数有理函数Rx=Px/Qx在满足Qx≠0的所有点上连续分母为零的点是有理函数的无穷间断点例如，fx=1/x-2在除x=2外的所有点上连续三角函数基本三角函数sin x、cos x在整个实数域上连续；tan x在除了x≠2k+1π/2（k为整数）外的所有点上连续复合三角函数如sin1/x在x≠0时连续，但在x=0处没有定义复合函数如果fx在点x0处连续，gy在点y0=fx0处连续，则复合函数gfx在点x0处连续这一性质使我们能够构造出更复杂的连续函数闭区间上连续函数的性质有界性定理若函数fx在闭区间[a,b]上连续，则fx在该区间上有界，即存在正数M，使得对任意x∈[a,b]，都有|fx|≤M这是连续函数基本性质之一，保证了函数值不会爆炸最值定理若函数fx在闭区间[a,b]上连续，则fx在该区间上必能取得最大值和最小值，即存在c,d∈[a,b]，使得对任意x∈[a,b]，都有fd≤fx≤fc这一定理在优化问题中有重要应用介值定理若函数fx在闭区间[a,b]上连续，且fa≠fb，则对于fa与fb之间的任意值C，存在c∈a,b，使得fc=C这一定理反映了连续函数的不间断性，确保函数能取遍两个函数值之间的所有值这些性质构成了连续函数理论的基础，并在实际应用中发挥着重要作用例如，介值定理保证了方程fx=0在适当条件下必有解，这在数值分析和优化算法中是核心原理初步微分学介绍导数的定义几何与物理意义函数在点处的导数定义为导数表示函数图像在点处切线的斜率从几何fx x0fx0=limΔx→0[fx0+Δx-fx0x0,fx0，若此极限存在这个定义刻画了函数在该点的瞬时角度看，它反映了曲线在该点的陡峭程度和变化方向fx0]/Δx变化率在物理学中，导数表示瞬时变化率例如，位移函数的导数st导数也可以用另一种等价形式表示表示瞬时速度，速度函数的导数表示瞬fx0=limx→x0[fx-vt=st vtat=vt如果导数存在，我们称函数在该点可导时加速度这种解释在自然科学和工程学中有广泛应用fx0]/x-x0可导与连续的关系可导性是比连续性更强的条件如果函数在点处可导，则在该点必定连续这可以通过极限运算证明fx x0fxlimx→x0fx=limx→x0[fx0+x-x0·fx0+ox-x0]=fx0然而，连续函数不一定可导经典反例是函数在处连续但不可导，因为左右导数不相等从几何角度看，可导函数的图像fx=|x|x=0在该点有唯一切线，表现为光滑；而连续但不可导的函数在该点可能出现尖角或垂直切线基本求导法则函数导数适用条件常数常数的导数总是c00适用于任意实数xn nxn-1n所有实数sin x cos xx所有实数cos x-sin xx所有实数ex exxln x1/xx0除了基本函数的导数公式外，还有重要的运算法则（和差法f±g=f±g则）；（乘积法则）；（商法则）这些f·g=fg+fg f/g=fg-fg/g2法则使我们能够计算复杂函数的导数高阶导数与应用一阶导数表示函数的变化率，几何意义为切线斜率二阶导数表示一阶导数的变化率，反映曲线的凹凸性三阶及以上导数描述更高级的变化特性，在泰勒展开中有重要应用高阶导数是通过对函数反复求导得到的例如，二阶导数表示函数的加速度，在物理学中对应位移的加速度正fnx fxfx=fx的二阶导数表示函数图像向上凹，负的二阶导数表示函数图像向下凹高阶导数在泰勒公式中扮演关键角色，用于构造函数的多项式近似例如，函数在点附近的泰勒展开式为fx afx=fa+fax-a+fax-a2/2!+...+fnax-an/n!+...微分的概念微分定义函数的微分定义为，其中是自变量的微分（即增量）y=fx dy=fxdx dxx微分是线性主部，近似表示函数的增量当很小时dyΔy=fx+Δx-fxΔx几何意义微分代表函数图像上点处切线的纵坐标增量当很小时，与实dy x,fx dx dy际函数增量非常接近，这是微分在近似计算中的理论基础Δy应用微分在近似计算、误差分析和物理建模中有广泛应用例如，相对误差公式，以及物理学中的微分方程模型都基于微分概念|Δy/y|≈|fx/fx||Δx|微分与导数的联系导数是比值，而微分是一个量在形式fx=dy/dxdy=fxdx上，微分可看作是导数的一种重新表达，但在应用中，微分更适合处理变量的微小变化函数的可微性等价于可导性，因此可微函数必定连续罗尔定理定理陈述证明与应用如果函数满足在闭区间上连续；在开区间罗尔定理的证明利用了连续函数在闭区间上必取最大值和最小值fx1[a,b]2a,b内可导；，则存在至少一点∈，使得的性质如果最大值或最小值在开区间内部取得，由可导函数在3fa=fbξa,b极值点处导数为零的性质，立即得出结论；如果最大值和最小值fξ=0都在端点取得，则由知函数为常数，其导数恒为零fa=fb罗尔定理的几何意义是如果一条光滑曲线的两个端点在同一水平线上，那么曲线上至少有一点的切线是水平的从物理角度看，如果物体从某点出发，经过一段时间后回到原位置，则在这罗尔定理是微分学中重要的基本定理，是证明中值定理等其他定过程中至少有一个时刻物体的速度为零理的基础在实际应用中，罗尔定理可用于证明方程在某区间内解的存在性和唯一性，以及估计迭代算法的收敛速度拉格朗日中值定理定理陈述几何解释物理意义应用实例如果函数fx在闭区间[a,b]上连续曲线上必存在一点，其切线与连接物体在某一时刻的瞬时速度等于其用于证明不等式、误差估计和函数且在开区间a,b内可导，则存在至端点的割线平行平均速度性质分析少一点ξ∈a,b，使得fb-fa=fξb-a拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定理之一，它揭示了函数增量与导数之间的关系当我们取特殊函数时，可得到许多重要结论例如，对于fx=xn，可得到不等式bn-an/b-a=nξn-1，其中aξ柯西中值定理定理陈述几何解释应用与重要性如果函数和在闭区间上连在参数曲线上存在一点，其切柯西中值定理在极限计算中有重要应fx gx[a,b]gt,ft续，在开区间内可导，且对任意线与连接端点和的用，尤其是求解形如的不定a,b ga,fa gb,fb fx/gx∈，，则存在至少一点割线平行这一解释将中值定理从平面式它也是洛必达法则的理论基础，通x a,b gx≠0∈，使得曲线推广到空间曲线的情况对于平面过将不定式转化为导数之比，简化了复ξa,b[fb-fa]/[gb-柯西中值定理是拉格曲线，当时，柯西中值定理退化杂极限的计算在泰勒公式的推导中，ga]=fξ/gξgx=x朗日中值定理的推广为拉格朗日中值定理柯西中值定理也起到关键作用函数单调性与极值单调性判别极值必要条件如果函数在区间上可导，且对任意如果函数在点处可导且取得极fx I fx x0∈，有，则在区间上单调值，则这是判断极值点的必x Ifx0fx Ifx0=0递增；如果，则单调递减要条件，但不是充分条件满足fx0fx这是判断函数单调性的基本方法的点称为函数的驻点fx0=0二阶导数判别法一阶导数判别法如果且，则为fx0=0fx00fx04如果在左侧为正，右侧为负，则fx x0极大值；如果且，则fx0=0fx00为极大值；如果在左侧为fx0fx x0为极小值当时，判别fx0fx0=0负，右侧为正，则为极小值fx0法失效凹凸性与拐点凹凸性定义判别方法与拐点如果函数在区间上的图像位于任意两点间的割线下方，则称如果函数在区间上二阶可导，且对任意∈，有，fx Ifx I x Ifx0在区间上是凹的（向上凹）；如果函数图像位于任意两点间则在上是凹的；如果，则在上是凸的这是判fx Ifx Ifx0fx I的割线上方，则称在区间上是凸的（向下凹）断函数凹凸性最常用的方法fx I数学上，如果对区间上任意两点和任意∈，有如果函数在点的某邻域内二阶可导，且在处变Ix12λ0,1fx x0fx x0，则在上是凸的；如果号，则点是函数图像的拐点拐点是函数图像凹凸性fλx1+1-λx2λfx1+1-λfx2fx Ix0,fx0不等号方向相反，则在上是凹的改变的位置，通常对应的点（但并非所有的fx Ifx0=0fx=0点都是拐点）洛必达法则应用技巧适用条件洛必达法则的关键是正确识别未定式，并确保规则陈述洛必达法则适用于0/0型和∞/∞型的未定式每次求导后仍满足应用条件如果反复应用后设函数fx和gx在点x0的某去心邻域内可对于其他类型的未定式，如0·∞、∞-∞、问题变得更复杂，可能需要尝试其他方法如泰导，gx≠0，且

00、∞0和1∞，需要先通过适当变形转化为勒展开或变量替换例如，limx→0sin x/xlimx→x0fx=limx→x0gx=0（或∞），则0/0或∞/∞型后再应用洛必达法则例如，对可用洛必达法则计算，得到limx→0cosx=1；当极限limx→x0fx/gx存在时，有于0·∞型，可取其中一个因子的倒数，转化为而limx→0ex-1-x/x2则需要两次应用洛必达limx→x0fx/gx=limx→x0fx/gx这分数形式法则一法则可以反复应用，直到得到确定的极限泰勒公式与麦克劳林公式泰勒公式麦克劳林公式如果函数在点的某个邻域内当泰勒公式中的展开点时，fx aa=0有阶导数，则在点的得到麦克劳林公式n+1fx an阶泰勒展开式为fx=f0+f0x+f0x2/2!这是fx=fa+fax-a+fax-+...+fn0xn/n!+Rnx泰勒公式的特例，常用于近似计a2/2!+...+fnax-，其中是余算和函数展开an/n!+Rnx Rnx项常见展开式；ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+Rnx sin x=x-x3/3!+x5/5!-...+-；1nx2n+1/2n+1!+R2n+1xcos x=1-x2/2!+x4/4!-...+-1nx2n/2n!+R2nx泰勒公式是微积分中的一个核心结果，它允许我们用多项式函数局部近似任意光滑函数这种近似在工程计算、数值分析和理论物理中有广泛应用通过增加展开项数，可以提高近似的精度，但同时也增加了计算的复杂性泰勒公式的余项形式拉格朗日余项Rnx=fn+1ξx-an+1/n+1!积分余项Rnx=∫axfn+1tx-tn/n!dt皮亚诺余项Rnx=ox-an柯西余项Rnx=fn+1ξx-an+1/n+1!1-θn+1拉格朗日余项是最常用的余项形式，其中ξ是介于a和x之间的某个值它直观表明了近似的误差与函数高阶导数和自变量增量的关系通过估计fn+1ξ的大小，可以得到误差的上界例如，当估计sin x时，由于|sinn+1ξ|≤1，所以n阶麦克劳林展开的误差不超过|x|n+1/n+1!积分余项形式在某些理论推导中更为方便，而皮亚诺余项则强调了余项是比x-an高阶的无穷小量泰勒展开的收敛性取决于余项Rnx当n→∞时是否趋于零，这与函数的解析性质密切相关泰勒公式应用近似计算极限计算牛顿法泰勒公式可用于计算复杂函数的近似值泰勒公式可用于求解复杂的不定式极限牛顿迭代法是求解方程的一种高效fx=0例如，计算可以使用展开式例如，计算时，可以算法，基于泰勒一阶展开其迭代公式e

0.1limx→0ex-1-x/x2，取前几项得到利用的麦克劳林展开式实际上是用切线近ex=1+x+x2/2!+...ex xn+1=xn-fxn/fxn，误差不超，代入得到似代替曲线当初始值选择合适时，牛顿e

0.1≈1+

0.1+

0.12/2=

1.105ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...过这种方法在计算机无法直接求法通常具有二阶收敛速度，这使它在数值

0.0002limx→0x2/2!+x3/3!+.../x2=1/2值或需要快速计算时特别有用计算中广泛应用不定积分基本概念原函数与不定积分基本积分公式如果在区间上，函数的导数为，即，则称；；I Fx fx Fx=fx∫xndx=xn+1/n+1+C n≠-1∫1/xdx=ln|x|+C为在区间上的一个原函数函数在区间上的所有原；；；Fx fxIfxI∫exdx=ex+C∫sin x dx=-cos x+C∫cos x dx=sin x+C函数构成的集合称为的不定积分，记作，其；fx∫fxdx=Fx+C∫tan x dx=-ln|cos x|+C∫sec2x dx=tan x+C中是任意常数C不定积分满足线性性质；∫[fx+gx]dx=∫fxdx+∫gxdx根据微积分基本定理，连续函数必有原函数如果和，其中为常数这些性质使我们能够将复杂F1x F2x∫kfxdx=k∫fxdx k都是的原函数，则它们只相差一个常数，即积分拆分为基本积分的组合，简化计算过程fx F1x-这一性质确保了不定积分形式的唯一性（除常数项F2x=C外）换元积分法换元基本原理设是的可导函数，且连续，则换元积分法的核心思想是将复杂积分通过变量替换转化为更u=φxxφx∫fφxφxdx=∫fudu简单的形式成功应用的关键在于识别合适的替换变量，使得原积分能够有效简化第一类换元针对被积函数中含有复合函数的情况，如，令，则，原积分化为例如，计算∫fgxgxdx u=gx du=gxdx∫fudu时，令，则，积分变为∫cos3x+2dx u=3x+2dx=du/31/3∫cos u du=1/3sin u+C=1/3sin3x+2+C第二类换元针对被积函数中含有根式的情况，如，可以通过适当的替换简化例如，计算时，令，则∫fx,√ax+bdx∫x√x2+1dx u=x2+1，原积分转化为dx=du/2x1/2∫√udu=1/2·2/3u3/2+C=1/3x2+13/2+C三角换元对于含有、或的积分，可以分别使用、或进行换元例如，计算√a2-x2√a2+x2√x2-a2x=a·sinθx=a·tanθx=a·secθ时，令，则，原积分化为∫dx/√4-x2x=2sinθdx=2cosθdθ∫2cosθdθ/2cosθ=∫dθ=θ+C=arcsinx/2+C分部积分法基本公式分部积分法的基本公式是，其中∫uxvxdx=uxvx-∫uxvxdx ux和是可积函数这一公式源自乘积求导法则的积分形式，vx uv=uv+uv本质上是将一个复杂积分转化为另一个可能更简单的积分使用策略分部积分法的关键是正确选择和一般原则是选择为易微ux vxux难积的函数，如对数函数、反三角函数；选择为易积难微的函vx数，如指数函数、三角函数目标是使变换后的积分比原积分更容易计算一个常用的记忆口诀是，表示选择的优先顺序对数、LIATE uL反三角、代数、三角、指数I AT E典型应用分部积分法常用于计算以下类型的积分、∫xn·eaxdx、、、或∫xn·sinaxdx∫xn·cosaxdx∫xn·lnaxdx∫eax·sinbxdx例如，计算时，选，∫eax·cosbxdx∫x·sinxdx ux=x，则vx=sinx∫x·sinxdx=-x·cosx+∫cosxdx=-x·cosx+sinx+C有理函数积分有理函数是指两个多项式的商，其中和是多项式，且有理函数的积分通常通过部分分式分解简化计算首Px/Qx PxQx Qx≠0先，若分子的次数不小于分母，需要进行多项式长除法，将其分为多项式部分和真分式部分然后，将真分式分解为简单分式之和根据分母的因式分解情况，部分分式分解有几种基本形式对于不可约一次因子，对应分式；对于重复一次因子Qx1x-a A/x-a2，对应分式；对于不可约二次因子，对应分式；对于重x-ak A1/x-a+A2/x-a2+...+Ak/x-ak3x2+px+q Ax+B/x2+px+q4复二次因子，分解为多项式形式x2+px+qk三角函数积分积分类型常用方法示例降幂公式、换元∫sinnx·cosmx dx∫sin2xdx=1-cos2x/2+C积化和差公式∫sinax·sinbx dx∫sinax·sinbx dx=sina-bx/2a-b-sina+bx/2a+b+C降幂公式、换元∫tannx dx∫tan2xdx=tan x-x+C递推公式∫secnx dx∫sec2xdx=tan x+C计算三角函数积分的关键是使用适当的三角恒等式和变换技巧常用策略包括1利用降幂公式如sin2x=1-cos2x/2和cos2x=1+cos2x/2将高次幂转化为低次；2对于奇次幂，可提取一个因子并利用基本公式；3使用三角恒等式如sin2x=2sin x·cos x进行变换；4对某些情况，使用万能代换t=tanx/2可大大简化计算有理型三角函数积分万能代换法万能代换法是处理有理型三角函数积分的强大工具令，则有，，通过这t=tanx/2sin x=2t/1+t2cos x=1-t2/1+t2dx=2dt/1+t2一替换，任何仅含有、、的有理式积分都可转化为有理函数积分sin xcos xdx特殊代换对于某些特定形式的积分，可以使用针对性更强的代换当被积函数为时，可令；当被积函数为时，可令1Rsin xu=sin x2Rcos x；当被积函数为时，可令这些特殊代换通常能比万能代换更有效地简化计算u=cos x3Rtan xu=tan x常见技巧处理三角函数有理式积分的其他技巧包括利用三角恒等式如进行化简；对于含和的积分，利用关系1sin2x+cos2x=12tan xsec x；对于特殊形式如或，可通过适当的三角变换和代换求解sec2x=1+tan2x3∫dx/a+b·sin x∫dx/a+b·cos x例如，计算，使用万能代换，得到，，原积分变为∫dx/1+sin xt=tanx/2sin x=2t/1+t2dx=2dt/1+t2∫2dt/1+t2/1+2t/1+t2=∫2dt/1+t2·1+t2/1+t2+2t=∫2dt/1+2t+t2=∫2dt/t+12=−2/t+1+C=−2/tanx/2+1+C有界函数的定积分定积分的定义几何与物理背景设函数在闭区间上有界，将区间分成个小区间从几何角度看，当时，表示函数的图像与fx[a,b][a,b]n fx≥0∫abfxdx fx x，其中，每个小区间的长度为轴及、两条直线所围成的平面图形的面积这一解释可[xi-1,xi]a=x

01...n=bΔxi=xi-x=a x=b在每个小区间上取一点，构造和式以扩展到有正有负的情况，此时积分值等于曲线上方部分的xi-1[xi-1,xi]ξi fx面积减去曲线下方部分的面积Sn=Σfξi·Δxi如果当所有小区间的长度的最大值时，和式的极限存在从物理角度看，定积分可以表示位移（速度对时间的积分）、功λ→0Sn且与分点的选择和的取法无关，则称此极限为函数在区间（力沿路径的积分）、电荷（电流对时间的积分）等物理量黎ξi fx上的定积分，记作曼和（）的定义形式反映了将连续量离散化再求[a,b]∫abfxdx Riemannsum和的物理思想，这在许多物理和工程问题中有直观对应定积分性质线性性质，其中和是常数这一性质表∫ab[αfx+βgx]dx=α∫abfxdx+β∫abgxdxαβ明定积分对于被积函数的线性组合满足分配律，是计算复杂积分的基础区间可加性若这一性质反映了定积分作为累加量的本aabfxdx=∫acfxdx+∫cbfxdx质，允许将积分区间分割成小区间分别计算后求和比较性质若在区间上，则这一性质允许我们通过比[a,b]fx≤gx∫abfxdx≤∫abgxdx较被积函数的大小来估计定积分的值，在不等式证明和误差分析中特别有用对称性若是奇函数，则；若是偶函数，则fx∫-aafxdx=0fx∫-这些性质源于函数的对称性，可以简化对称区间上的积aafxdx=2∫0afxdx分计算牛顿莱布尼茨公式-基本定理表述1设Fx是fx的一个原函数，则∫abfxdx=Fb-Fa，通常记作[Fx]ab定理证明基础基于微积分基本定理和积分的可加性连接微分与积分揭示了微分和积分互为逆运算的关系实际应用4大幅简化了定积分的计算过程牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理）是微积分中最重要的结果之一，它将定积分的计算转化为寻找原函数并计算其在积分区间端点处的值之差这一结果大大简化了定积分的计算，使我们不必每次都回到定义进行极限计算例如，计算∫0π/2sin xdx时，由于cos x是sin x的一个原函数，根据牛顿-莱布尼茨公式，∫0π/2sin xdx=[-cosx]0π/2=-cosπ/2--cos0=0--1=1此公式的发现标志着微积分作为一门系统学科的正式形成定积分的计算方法分部积分法换元积分法定积分的分部积分公式为牛顿莱布尼茨公式-对于形如的积分，可令∫abfgxgxdx∫abuxvxdx=[uxvx]ab-最基本的方法是应用牛顿-莱布尼茨公式u=gx，则dx=du/gx，从而原积分化∫abuxvxdx例如，计算∫01x·exdx∫abfxdx=Fb-Fa，其中Fx是fx的为∫gagbfudu在应用换元法时，积时，取ux=x，vx=ex，则ux=1，一个原函数这要求先求出被积函数的不分限也要相应变换例如，计算应用分部积分公式得vx=ex定积分，然后计算端点处的值之差例时，令，则∫0π/4sin2xdx u=2x∫01x·exdx=[x·ex]01-∫01exdx=e-0-如，∫12x2dx=[x3/3]12=8/3-1/3=7/3dx=du/2，积分变为1/2∫0π/2sin u[ex]01=e-e-1=1du=1/2[−cos u]0π/2=1/20--1=1/2定积分的应用

（一）定积分的应用

（二）盘法（垂直轴旋转）壳法（平行轴旋转）一般情况当平面区域绕轴旋转时，所得旋转体的体当平面区域绕与积分变量垂直的轴（如对于更复杂的情况，如区域绕任意直线旋x y积可用盘法计算，其轴）旋转时，可用壳法计算体积转，可以使用平行轴定理或分段计算的方V=π∫ab[fx]2dx中是区域的边界曲线例如，抛物，其中是区域的法例如，若区域绕直线（）旋y=fx V=2π∫abx·fxdx y=fx x=k kb线和直线之间的区域绕轴旋转边界曲线例如，区域转，可用公式计y=x2y=4x{x,y|0≤x≤1,V=2π∫abk-x·fxdx得到的旋转体，其体积为绕轴旋转所得旋转体的体积为算当旋转体的边界由参数方程给出时，V=π∫-224-0≤y≤x2}y也可以通过参数变换将问题化为标准形x22dx=π·16·4-V=2π∫01x·x2dx=2π∫01x3dx=2π·[x4/式16·4/3+16/5=π·64-4]01=2π·1/4=π/264/3+16/5≈

41.58π定积分的应用

（三）曲线弧长曲面面积若函数在区间上具有连续当曲线绕轴旋转所得旋转曲面y=fx[a,b]y=fxx导数，则其图像在该区间上的弧长为的面积为这一公式源这一L=∫ab√1+[fx]2dx S=2π∫abfx·√1+[fx]2dx于微分几何中的弧长元素公式考虑了曲面上每个点的生成圆半径和弧长微元例如，函数在区ds=√dx2+dy2=√1+dy/dx2d y=x2例如，抛物线在区间间上绕轴旋转所得曲面的面积为x y=x2/2[0,1][0,1]x上的弧长为L=∫01√1+x2dx S=2π∫01x2·√1+4x2dx物理应用变力沿直线做功的计算公式为，其中是位置处的力例如，弹W=∫abFxdx Fxx簧拉伸时做功的计算质量为的不均匀杆的质心位置可由公式m计算，其中是线密度函数压力作用于垂直平面上的总xc=1/m∫abx·ρxdxρx力可表示为，其中是深度处的压力，是该深度处平面F=∫abpy·wydy pyy wy的宽度微积分基本定理1第一基本定理2第二基本定理如果函数在区间上连续，如果函数在区间上连续，fx[a,b]fx[a,b]定义函数，则在是的任意一个原函数，则Fx=∫axftdt FxFxfx上可导，且这表这就是牛顿[a,b]Fx=fx∫abfxdx=Fb-Fa明定积分的上限变量的导数等于被莱布尼茨公式，它将定积分的计算-积函数在该点的值，揭示了积分和转化为寻找原函数并计算其在积分微分的互逆关系区间端点处的值之差3物理意义从物理角度看，第一基本定理表明速度是位移对时间的导数，第二基本定理表明位移是速度对时间的积分这种累积量的变化率等于瞬时量的关系在物理学中广泛存在，如功率与功、电流与电荷等微积分基本定理是微积分中最重要的结果之一，它揭示了微分和积分这两个看似独立的数学分支之间的内在联系基本定理的发现是牛顿和莱布尼茨的伟大贡献，标志着微积分作为一门系统学科的正式形成通过基本定理，我们理解了为什么寻找导数和计算积分是互逆的过程，这极大地简化了数学分析的理论结构和实际计算反常积分反常积分是指积分区间无界或被积函数在积分区间内有无界间断点的积分根据问题类型，反常积分可分为无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分无穷区间上的反常积分定义为极限，例如，若此极限存在且为有限值，则称此反常积∫a+∞fxdx=limb→+∞∫abfxdx分收敛；否则称为发散对于被积函数有无界间断点的情况，如在点处，则定义，若两个极限c fx→∞∫abfxdx=limε→0+∫ac-εfxdx+limε→0+∫c+εbfxdx都存在且为有限值，则称原反常积分收敛反常积分的收敛性可通过比较判别法、极限判别法等方法判断例如，当且仅当∫1+∞1/xpdx时收敛；而当且仅当时收敛p1∫011/xpdx p1数项级数的概念级数定义数项级数是形如a1+a2+...+an+...的无穷多项之和，记作Σan或Σn=1∞an部分和序列定义Sn=a1+a2+...+an为级数的前n项和，形成部分和序列{Sn}收敛定义若limn→∞Sn=S存在且为有限值，则称级数收敛，S为级数的和发散定义若部分和序列{Sn}不收敛或趋于无穷，则称级数发散收敛级数的一个基本性质是若Σan收敛，则limn→∞an=0这是级数收敛的必要条件，但不是充分条件例如，调和级数Σ1/n的通项趋于零，但级数本身发散级数的基本运算包括若Σan和Σbn收敛，则Σan±bn也收敛，且Σan±bn=Σan±Σbn；若Σan收敛且c为常数，则Σc·an也收敛，且Σc·an=c·Σan正项级数及其判别法判别法收敛条件适用情况比较判别法若0≤an≤bn且Σbn收敛，则通过与已知收敛性的级数比较Σan收敛；若an≥bn≥0且Σbn发散，则Σan发散比值判别法若limn→∞an+1/an=ρ，则当级数项包含阶乘、幂次ρ1时收敛，当ρ1时发散，当ρ=1时不确定根判别法若limn→∞√nan=ρ，则当通项含有n次幂ρ1时收敛，当ρ1时发散，当ρ=1时不确定积分判别法若fx在[1,+∞上非负递减，通项可用连续函数表示且an=fn，则Σan与∫1+∞fxdx同敛散p级数Σ1/np是一类重要的正项级数，当且仅当p1时收敛利用这一结果，可以判断许多级数的收敛性例如，判断Σ1/n·ln n·ln lnnp的收敛性时，可以通过积分判别法，计算∫e+∞dx/x·ln x·ln lnxp，并最终归结为p级数的收敛性问题交错级数与阿贝尔定理交错级数绝对收敛与条件收敛交错级数是指相邻项符号交错变化的级数，通常形如若级数收敛，则称该级数绝对收敛；若发散但收Σ-1n-1anΣanΣanΣ|an|或，其中最著名的交错级数判别法是莱布尼茨敛，则称该级数条件收敛绝对收敛级数具有良好的性质其项Σ-1nan an0判别法若单调递减且，则交错级数可以任意重排，重排后的级数仍收敛且和不变{an}limn→∞an=0Σ-收敛1n-1an条件收敛级数则不具有这种性质根据黎曼重排定理，条件收敛莱布尼茨判别法还提供了交错级数和的估计若是级数和，级数的项可以重排成收敛于任意给定值，甚至可以重排成发散级S Sn是前项和，则，且与同号这意味着部分和数例如，交错调和级数是条件收敛的，因为n|S-Sn|≤an+1Sn SΣ-1n-1/nΣ1/n在级数和的两侧交替逼近例如，交错调和级数发散阿贝尔定理指出，如果幂级数在处收敛，则它Sn SSΣ-1n-Σanxn x=1是收敛的，它的和为在时绝对收敛1/n ln2|x|1幂级数及其收敛半径幂级数定义1形如的级数称为幂级数，其中是展开中心Σanx-x0nx0收敛半径2存在，使得当时级数发散R≥0|x-x0|0|R边界点收敛性3当时，需单独讨论级数在这些点的收敛性|x-x0|=R计算幂级数收敛半径的常用方法有通过比值判别法，；通过根判别法，例如，对于级数1R=1/limn→∞|an+1/an|2R=1/limn→∞√n|an|，利用比值判别法，有，因此，即此幂级数只在处收敛Σn!·xn limn→∞|n+1!/n!|=limn→∞n+1=∞R=0x=0幂级数的重要性质包括在收敛域内，幂级数可以逐项求导和逐项积分，所得新级数的收敛半径与原级数相同，但边界点的收敛性可能改变幂级数在其收敛区间内表示的函数是无穷阶可导的，这使得它们在近似计算和数值分析中有广泛应用例如，函数在整个实数轴上可由泰勒ex级数表示ex=Σxn/n!常用函数的幂级数展开∞1指数函数三角函数ex=Σn=0∞xn/n!=1+x+x2/2!+x3/3!sin x=Σn=0∞-1nx2n+1/2n+1!=x-x3/3!+...收敛半径R=∞+x5/5!-...R=∞1对数函数ln1+x=Σn=1∞-1n-1xn/n=x-x2/2+x3/3-...R=1幂级数展开在科学计算和工程应用中有重要价值通过选取合适的展开项数，可以用多项式近似复杂函数，计算物理量和数值解例如，使用ex的前几项可以高精度计算小数值的指数；利用arctan x=x-x3/3+x5/5-...可以通过arctan1/5-arctan1/239计算π/4函数组合的幂级数可以通过代入法或乘积法得到例如，e-x2的展开可以通过在ex的展开中替换x为-x2得到复合函数的展开通常更复杂，可能需要使用多项式乘法、求导等技巧某些广义展开如傅里叶级数，则可以表达更广泛的函数类课程总结与展望核心概念回顾数学思维方法数学分析以实数系统为基础，通过极学习数学分析不仅在于掌握计算技巧，限、导数和积分等核心概念建立起严密更要培养严谨的证明能力和抽象思维的理论体系这些工具使我们能够研究通过极限思想、局部线性化和无穷小分函数的连续性、可微性和可积性，理解析，我们能够解决许多实际问题，建立函数的局部和整体行为数学模型实际应用课程衔接数学分析的应用几乎遍及所有科学和工数学分析是许多后续课程的基础，包括4程领域，从物理中的运动方程到经济学复变函数、微分方程、泛函分析和拓扑中的成本优化，从信号处理到人工智能学等这些领域进一步拓展了分析思算法，都能看到数学分析的影子想，应用于更广泛的数学和物理问题在这门课程中，我们从实数系统出发，系统学习了极限、连续、微分、积分和级数理论，这些是数学分析的基本框架通过理解这些概念之间的内在联系，尤其是微积分基本定理揭示的微分与积分的对偶关系，我们建立了对数学分析的整体认识希望大家能继续深入探索这一美丽的数学分支，将其应用到自己的专业领域中。