七下用计算器探究函数图像课件

七年级下册用计算器探究函数图像欢迎大家来到七年级下册函数图像探究课程在这节课中，我们将学习如何利用计算器作为辅助工具，探究函数图像的奥秘从简单的一次函数到更复杂的函数关系，计算器将帮助我们更直观地理解和掌握函数图像的规律课程目标与核心素养应用实践能力将函数理论应用到实际问题中1数学工具运用2熟练使用计算器作为数学探究工具函数基础理解3掌握函数图像基本概念与意义本课程旨在培养学生对函数图像的深入理解，通过计算器这一现代工具来辅助学习我们将重点发展学生的数学工具应用能力，让大家能够熟练运用计算器进行函数探究，提高数学学习效率生活中的函数例子温度变化曲线快递运费与距离一天中不同时间点的温度变化可快递费用通常与运送距离有关，以用函数来表示，时间是自变距离越远费用越高，这种关系可量，温度是因变量早晨温度以用函数表示一般有起步价加低，中午升高，晚上又降低，形上与距离成正比的附加费用成一条曲线水箱水位变化水箱放水时，水位随时间下降的过程可以用函数表示放水速度均匀时，水位与时间成线性关系；有漏洞时，关系可能更复杂探究工具介绍科学计算器的优势与手工作图对比科学计算器具有函数计算功能，可以快速生成数据表格和图像手工作图需要选取多个点、计算值、绘制坐标系、描点连线，过相比普通计算器，它支持各种数学函数和运算，特别适合函数探程繁琐且容易出错而使用计算器，只需输入函数表达式，即可究自动生成大量数据点大部分科学计算器都有图形显示功能，可以直观展示函数图像，计算器可以在几秒钟内完成手工需要几十分钟的计算工作，大大让抽象概念变得更加具体可见提高了探究效率，让我们有更多时间思考数学规律本节课问题引入为什么要画函数图像？函数图像能直观展示自变量与因变量之间的关系，帮助我们理解函数性质手工绘图的困难是什么？手工绘图耗时且容易出错，特别是函数较复杂或需要高精度时计算器能解决什么问题？计算器可以快速准确地生成数据点和图像，帮助我们高效探究函数规律学习目的是什么？掌握计算器辅助探究方法，培养数学思维和分析能力什么是函数？函数的定义自变量与因变量函数是描述两个变量之间对应自变量是可以自由取值的变关系的数学概念在这种关系量，通常用表示；因变量是由x中，一个自变量的值唯一确定自变量决定的变量，通常用表y一个因变量的值示常见函数表示式函数可以用表达式表示，如（一次函数）、（二次函数）、y=2x+3y=x²（反比例函数）等y=k/x函数是数学中表达变量间依赖关系的重要工具比如，商品的总价与购买数量之间的关系，可以用函数表示，其中是单价在初中阶段，我们主要学习一y=px p次函数、正比例函数和反比例函数函数的图像基础坐标系概念点的表示直角坐标系由两条相互垂直的数轴（轴和轴）组成，它们的平面上的点用有序对表示，其中是点在轴上的投影（横x y x,y x x交点称为原点轴通常是水平方向，轴通常是垂直方向坐标），是点在轴上的投影（纵坐标）O x y y y坐标系将平面分为四个象限，顺时针依次为第

一、第

二、第

三、例如，点表示从原点出发，沿轴正方向移动个单位，再3,4x3第四象限沿轴正方向移动个单位y4函数图像是函数中所有点在平面直角坐标系中的集合，其中通过函数图像，我们可以直观地看到自变量和因变量之间的x,y y=fx关系，如递增、递减、极值点等特征表格法复习x-2-10123y=2x+1-3-11357选取自变量值为自变量选择一系列适当的值，通常包括负数、零和正数，以便全面了解函数在不x同区域的表现计算因变量值将选取的值代入函数表达式，计算出对应的值例如，当时，×x y x=-2y=2-2+1=-3整理数值表将计算结果整理成表格，清晰展示值与值的对应关系，为绘制图像做准备x y手绘函数图像小结制作数值表绘制坐标系选取自变量值，计算对应因变量值，整理画出水平、垂直坐标轴，标明单位长度和成表格原点描点连线成图根据表格中的值在坐标系中标出对x,y将所有点用光滑曲线连接，形成函数图像应点手绘函数图像虽然能帮助我们理解函数的基本性质，但也存在一些局限性首先，手工计算容易出错，特别是当函数表达式复杂时；其次，描点数量有限，难以精确反映函数的细节变化；最后，整个过程耗时较长，不利于比较多个函数或探究参数变化的影响常见初中函数类型图像与实际意义斜率与速度截距与起始状态在物理学中，位移时间图像的斜率函数图像与坐标轴的交点（截距）往-表示速度斜率越大，速度越快；斜往有特殊的实际意义例如，轴截y率为正表示正向运动，斜率为负表示距可能代表初始值或固定成本，轴x反向运动当我们看到一条倾斜的直截距可能代表平衡点或临界条件理线时，可以从其斜率判断物体的运动解这些截距的含义，有助于解释现实状态问题曲线形状与变化趋势函数图像的形状反映了变量间关系的变化趋势上升曲线表示正相关，下降曲线表示负相关，曲线的陡峭程度反映变化的快慢，拐点则表示变化趋势的改变函数图像不仅是数学概念的表达，更是解读现实世界的工具当我们将实际问题转化为函数模型时，图像能帮助我们直观理解问题本质并预测未来趋势例如，温度随时间变化的曲线可以帮助气象学家预报天气，销售额随广告投入的关系图可以帮助企业制定营销策略坐标点与图像对应选择值代入函数得到值形成坐标点x y自变量可以任意选取，是我们控制的将值代入函数表达式进行计计算结果即为因变量的值点是函数图像上的一个点x y=fx y x,y输入算函数图像上的每一个点都表示当自变量取值为时，因变量的值为例如，对于函数，点表示当时，×通过输入不同的x,y x y y=2x+32,7x=2y=22+3=7x值，我们可以得到不同的值，从而在坐标系中描绘出一系列点y理解坐标点与函数的对应关系非常重要当我们看到函数图像上的一个点时，应该能够解读出它代表的具体数值关系反过来，给定一个值，我们也应该能在图像x上找到对应的点，这种双向理解是掌握函数概念的关键练习手工绘制简单函数正比例函数一次函数y=2x y=-x+3x-2-1012x-2-1012y-4-2024y54321这是一条过原点的直线，斜率为，表示的增长速度是的倍这是一条斜率为的直线，与轴交点为，表示随着增2yx2-1y0,3x加，减小y现在请同学们尝试独立绘制这两个函数的图像首先，在坐标纸上画出坐标系；然后，根据表格中的数据在坐标系中标出点；最后，用直尺将这些点连成一条直线完成后，思考一下这两条直线有什么不同？它们与坐标轴的交点分别在哪里？斜率的正负对图像有什么影响？计算器简介基本数字键函数键模式切换键输入数字、小数点和负号，包括基本运算符（加减乘除）和特用于在不同计算模式间切换，如基0-9用于表示数值大多数计算器采用殊函数键（如、、本计算、函数计算、统计分析等sin coslog位数字键布局，类似电话键等），用于构建数学表达式找到或键可进入10MODE MENU盘模式选择表格和图像功能键用于生成函数值表和绘制函数图像，通常标记为、TABLE或带有相应图标GRAPH科学计算器是我们探究函数的重要工具与普通计算器相比，科学计算器能处理更复杂的数学表达式，支持函数计算和图像绘制在初中数学学习中，我们主要使用其函数表格生成功能，帮助我们快速获取函数的多个数值点不同品牌的计算器操作方式可能略有不同，但基本功能和原理是相通的在本课程中，我们将以常见的科学计算器为例，讲解基本操作方法输入表达式方法开启计算器按下电源键，确保显示屏正常工作，并清除之前的计算结果（通常按或键）C AC选择函数模式按或键，选择函数计算或表格模式（不同品牌可能有不同名称）MODE MENU输入表达式依次按下对应的数字和运算符号，构建函数表达式例如，输入需按y=2x+1和2X+1确认输入输入完成后，按或键确认表达式，计算器会保存该函数以供后续操=ENTER作在输入函数表达式时，需要特别注意以下几点首先，乘法符号必须明确输入，如需要按2x×，而不是直接；其次，括号的使用要配对，开括号后必须有对应的闭括号；最2X2X后，变量通常用键输入，部分计算器可能有专门的变量键X如果输入过程中发现错误，可以使用退格键（通常标记为或）删除最后一个字符，或←DEL者按键完全清除当前输入，重新开始C设置模式开启计算器按电源键启动计算器，确保电池电量充足进入模式选择按或键，显示模式选择菜单MODE MENU选择函数模式使用方向键或数字键选择或选项FUNC FUNCTION确认变量设置4确保变量设置为（部分计算器需要专门设置）X调整显示设置设置小数位数、角度单位等参数（视需要而定）正确设置计算器的模式是顺利进行函数探究的前提不同的计算器可能有不同的模式设置方式，但大多数科学计算器都提供了函数计算模式（）和表格生Function Mode成模式（）在函数模式下，我们可以输入函数表达式并计算特定值对应的函数值；在表格模式下，我们可以生成一系列值及其对应的函数值Table Modex x一些高级计算器还提供图形模式（），可以直接绘制函数图像对于没有图形功能的计算器，我们可以通过表格模式生成数据点，然后在坐标纸上手动绘制图像Graph Mode计算器数表生成功能100+

0.01数据点精确度计算器可以在几秒内生成大量函数值可设置更小步长获取精细数据30x效率提升比手动计算快倍以上30计算器的数表生成功能是函数探究的强大工具传统手算方法可能需要分钟才能计算10-156-个点，而计算器只需几秒钟就能生成几十个甚至上百个数据点这种高效率不仅节省了时间，8更重要的是让我们能够获取更多的数据点，从而更准确地描绘函数图像和发现函数规律使用数表功能时，我们通常需要设置三个参数起始值（）、结束值（）和步长Start End（）例如，将起始值设为，结束值设为，步长设为，计算器就会生成从到，Step-551x-55间隔为的个数据点及其对应的函数值通过调整这些参数，我们可以灵活地探究函数在不同111区间的表现列表模式的优势速度快1几秒钟内生成大量数据点精确性高2避免手算可能出现的计算错误覆盖范围广3可以探究函数在更大范围内的变化易于调整4方便修改参数重新计算计算器的列表模式不仅比手算更快速，还提供了更多的探究可能性我们可以轻松尝试不同的函数表达式，观察它们的数值变化和图像特征例如，想要比较、和的区别，用计算器只需几分钟就能y=2x y=2x+1y=2x-3得到完整的数据表和图像，而手算则需要很长时间此外，计算器还能处理小数和负数，允许我们设置更小的步长（如或），获取更精细的数据点这对

0.

10.01于理解函数的连续性和探究特殊点（如极值点、拐点）非常有帮助当我们需要找出函数的精确零点或者研究函数在某个区间的细微变化时，这一功能尤为重要计算器的功能table输入函数表达式在函数模式下输入如的表达式y=2x+1设置表格参数指定起始值、结束值和步长生成数值表按键或执行生成命令TABLE使用计算器的表格功能时，我们需要设置三个关键参数（起始值）、（结束值）和（步长）例如，设置，Start EndStep Start=-3，，计算器会生成从到，间隔为的个点的数值表如果想要更精细的数据，可以将步长设置得更小，如或End=3Step=1x-

33170.

50.2生成表格后，我们通常可以使用上下方向键浏览不同的数据点某些型号的计算器还允许横向切换查看不同函数的值，这在比较多个函数时特别有用记得在探究完成后记录关键数据点，这些数据将用于在坐标纸上绘制函数图像，或者分析函数的性质和规律图像功能基础视窗设置绘图命令在使用图像功能前，需要设置视窗参数输入函数表达式并设置好视窗后，使用（）这包括轴范围（绘图命令（通常是键或菜单中Window xXmin GRAPH和）、轴范围（和的绘图选项）生成图像计算器会自动Xmax yYmin）以及坐标刻度（和）计算多个点并连接它们，形成连续的函Ymax XsclYscl合理的视窗设置能确保函数图像完整显数图像示在屏幕上图像分析许多计算器提供图像分析工具，如追踪曲线（）、查找特殊点（如零点、极值点）Trace和计算导数等这些功能帮助我们深入了解函数性质计算器绘制的函数图像实际上是通过计算大量密集分布的点并连接它们形成的这与我们手工绘图的原理相同，但计算器能处理更多的点，因此图像更加平滑准确使用计算器的图像功能，我们可以直观地观察函数的整体趋势、特殊点和局部特征对于没有图形显示功能的计算器，我们可以利用表格功能生成数据点，然后在坐标纸上手动绘制图像这种结合计算器和手工绘图的方法既保持了计算的高效性，又训练了我们的图形理解能力数据查看和调整浏览数据表使用方向键或滚动按钮在表格中上下移动，查看更多数据点部分计算器支持页面翻转或快速跳转功能修改函数表达式如果需要调整函数，返回表达式输入界面，修改后重新生成表格大多数计算器保留上次输入，便于微调调整参数设置根据探究需要，调整表格的起始值、结束值和步长，或者修改图像的视窗设置，获取更合适的数据范围记录关键数据将重要数据点记录在笔记本上，特别是特殊点（如零点、极值点）和能反映函数性质的代表性点在函数探究过程中，我们常需要根据初步结果调整探究策略例如，发现函数在某个区间变化剧烈时，可以缩小步长，获取更密集的数据点；发现函数值超出预期范围时，可以调整视窗设置，确保图像完全显示这种反馈调整的过程是科学探究的重要环节记得保存探究过程中的关键数据和发现虽然计算器能快速生成大量数据，但我们的目标是理解函数规律，而不仅仅是获取数值通过记录和分析关键数据，我们可以总结出函数的基本性质和变化规律计算器取值范围与限制数值范围限制显示和精度限制大多数初中使用的科学计算器能处理的数值范围约为计算器屏幕通常只能显示有限的行数（如行）和字符数10^-995-8到超出这个范围的计算结果会显示为错误或特殊符号（如个数字）这限制了同时可见的数据点数量10^9910-12（如或溢出）E计算精度也有限制，通常为位有效数字超出这个精度10-12例如，当计算且接近时，值可能超出显示范围，计算的小数部分可能被四舍五入或截断，导致微小的计算误差在处y=1/x x0y器会显示错误信息理解这些限制有助于正确解释计算结果理高精度要求的问题时需要注意这一点除了数值和显示限制外，计算器在处理特殊函数和复杂表达式时也有一定局限性例如，一些基础计算器可能不支持分段函数、参数方程或隐函数而且，计算器生成的图像分辨率有限，可能无法准确显示函数的细微特征，如小波动或尖点理解这些限制并不是为了放弃使用计算器，而是为了更合理地运用这一工具，并在必要时结合其他方法（如理论分析、手工验证）进行全面探究计算器使用演示开启计算器并清除按电源键开启计算器，按或键清除之前的计算，确保显示屏处于初始状态AC C选择函数模式按键，选择函数计算模式（通常标记为或带有函数图标的选项）MODE FUNC输入函数表达式依次按下、、键，输入表达式注意，有些计算器需要先按或，然后再输入表达式X+1y=x+1Y=fx=进入表格模式按键或通过菜单选择表格选项，设置起始值为，结束值为，步长为TABLE-551生成并查看数据表确认设置后，计算器显示数据表，可以使用上下方向键浏览所有数据点，观察和的对应关系x y以上演示了使用计算器探究函数的基本流程通过表格数据，我们可以清楚地看到当每增加，也增加，表明这是一条斜率为的直y=x+1x1y11线我们还可以发现轴截距为（当时，），轴截距为（当时，）这些特征完全符合一次函数的性质y1x=0y=1x-1y=0x=-1y=x+1注意事项与常见错误运算符混淆括号使用不当混淆减号与负号、乘方与乘法等运算符，会导缺少或多余的括号会导致计算错误例如，输致表达式含义改变注意区分（减法）和-入时，必须确保分母部分被完整括y=1/2+x（负号）-起来取值范围不当变量设置错误设置了不合适的起止值或步长，导致关键区域使用了错误的变量或忘记设置变量模式，导致被遗漏合理设置这些参数，确保探究的完整3表达式无法正确计算确保计算器识别为X性变量除了上述常见错误外，计算器的模式设置也容易被忽视例如，在角度计算时，弧度制和角度制的区别会导致完全不同的结果使用计算器前，应确认当前的计算模式是否适合任务需求另外，某些计算器可能有特殊的输入语法，如乘方使用或键，这些细节需要熟悉清楚^x²当计算结果看起来明显不合理（如本应该是小数却得到很大的数），应该首先检查输入是否正确，而不是盲目接受结果养成验证计算结果的习惯，是科学探究的重要素质可以通过简单的测试点（如或）来快速检查函数输入是否正确x=0x=1课堂小练习练习题探究预期答案y=2x-5使用计算器输入函数表达式，设置适当的起始值、结束当时，，表示函数图像与轴的交点为，即轴y=2x-5x=0y=-5y0,-5y值和步长，生成数据表，并回答以下问题截距为-5当时，的值是多少？这代表什么几何意义？当时，，表示函数图像与轴的交点为，即

1.x=0y y=0x=

2.5x

2.5,0x轴截距为当时，的值是多少？这代表什么几何意义？

2.

52.y=0x每增加，增加多少？这反映了函数的什么性质？

3.x1y每增加，增加，表示函数的斜率为，即因变量的变化率x1y22y是自变量的倍x2完成上述练习后，同学们可以尝试在坐标纸上绘制这个函数的图像首先标出坐标轴和原点，然后根据计算器生成的数据点，在坐标系中描点并连线绘制完成后，验证图像是否过点和，并观察直线的倾斜程度是否与斜率相符0,-

52.5,02请各小组讨论如果将函数改为，图像会如何变化？斜率和截距各有什么变化？可以先猜测，然后用计算器验证这种参数y=2x+3变化对函数图像影响的探究，是理解函数性质的重要方法用计算器探究正比例函数x-5-4-3-2-1012345y=-15-12-9-6-3036912153x过原点特性斜率与比例系数从表格数据可以看出，当时，，说观察发现，每变化，变化这个变化x=0y=0x1y3明函数图像经过原点这是正比例函数率等于比例系数，表示因变量的变化k=3y的基本特征速度是自变量的倍y=kx x3象限分布当时，，函数图像在第一象限；当时，，函数图像在第三象限这是的正比x0y0x0y0k0例函数的特征通过计算器探究，我们可以快速获取正比例函数在不同值下的对应函数值从数据表可以清楚地看y=3x x出函数的变化规律自变量与因变量成正比，比值恒等于这验证了正比例函数的基本性质3y/x=k（当时）x≠0另外，我们还可以尝试探究正比例系数的变化对函数图像的影响当增大时，函数图像会变得更陡k k峭；当减小时，函数图像会变得更平缓；当为负数时，函数图像会出现在第

二、四象限这些规律可k k以通过计算器快速验证表格生成与分析绘制函数图像准备坐标纸选择适当的方格纸，确定坐标轴位置和比例尺通常将原点放在纸的中心位置，便于绘制经过各个象限的函数图像标记关键点根据计算器生成的数据表，在坐标系中准确标出多个点特别注意函数的特殊点，如与坐标轴的交点、极值点等连线成图用铅笔轻轻地连接这些点，形成平滑的曲线或直线一次函数应该形成一条直线，确保线条准确反映数据点的分布标注相关信息在图像上标注函数表达式、关键点坐标和其他重要信息，便于后续分析和比较绘制函数图像时，应注意选择合适的刻度如果函数值变化范围较大，可以使用不同的横纵轴比例；如果需要细致观察某个区域，可以局部放大该区域在实际绘制中，建议先用点表示计算器得出的数据点，确认无误后再连线，这样可以避免因连线不当导致图像失真完成图像后，检查是否符合函数的基本性质例如，一次函数应该是直线，正比例函数应该过原点，反比例函数应该是双曲线且不与坐标轴相交通过这种验证，加深对函数性质的理解，也检查绘图过程是否有误感受斜率变化反比例函数初探反比例函数的数据表反比例函数的特点y=6/x反比例函数的图像是双曲线，具有以下特点y=k/xx-4-2-1124•不经过原点，处函数无定义x=0y-

1.5-3-

6631.5•轴和轴是图像的渐近线x y•当时，函数在第

一、三象限k0从数据表可以观察到，当增大时，减小；当减小时，|x||y||x||y|•当时，函数在第

二、四象限增大当从负值变为正值时，也从负值变为正值k0x y反比例函数与一次函数有着本质区别通过计算器探究，我们可以发现反比例函数的一个重要特性恒成立（当y=6/xx·y=6x≠0时）这意味着自变量与因变量的乘积为常数，体现了一种反向变化关系一个量增大，另一个量相应减小——特别需要注意的是，当接近时，的绝对值变得非常大计算器在非常接近时可能显示溢出错误，这正是反映了渐近线的特性x0yx0这种无限接近但不相交的性质，是反比例函数独特的几何特征分组活动理解渐近线

0.

10.01接近时进一步接近x0值变得极大值增长更快y y

0.001更接近0几乎无限大yx

10.

50.

10.

010.001y=6/x612606006000渐近线是理解反比例函数图像的关键概念当值接近时，值的变化展示了函数图像与坐标轴的渐近关系从上x0y表可以看出，随着值越来越接近（从正方向接近），值变得越来越大同样，如果从负方向接近，值将变得x0y0y越来越小（负无穷）请各小组使用计算器，设置更小的步长，探究当接近时的变化情况，并记录在表格中讨论以下问题当无x0yx限接近但不等于时，会怎样变化？函数图像是否会与轴相交？为什么要使用渐近线这个概念来描述反比例00y y函数图像的特征？这种探究活动有助于深入理解函数的连续性和极限概念绘制反比例函数图像特殊点选取计算±、±、±等特殊值对应的值x=124y渐近线标记用虚线标出轴和轴作为渐近线x y曲线绘制分别在各象限连接点，形成双曲线绘制反比例函数图像时，需要特别注意以下几点首先，确保在接近的区域有足够密集的点，以准确反映曲线接近渐近线的趋势；其次，曲线在x0远离原点的区域逐渐平缓，可以适当减少这些区域的点数；最后，反比例函数的图像由两个部分组成（分布在不同象限），绘图时应分别处y=k/x理与一次函数图像（直线）相比，反比例函数图像（双曲线）展示了一种完全不同的变化模式一次函数体现的是线性变化，即自变量与因变量的变化率保持恒定；而反比例函数体现的是倒数关系，即自变量与因变量的乘积保持恒定这种本质区别使得两类函数在实际应用中具有不同的适用场景一次函数图像系统探究例题y=

0.5x+1数据表分析几何特征函数具有以下几何特征y=

0.5x+1x-4-20246•斜率为，图像是一条向右上方倾斜的直线，但倾斜程度

0.5y-101234较小•轴截距为，即图像与轴的交点为y1y0,1观察数据表可以发现，当每增加，增加，说明斜率为x2y1•轴截距为，即图像与轴的交点为x-2x-2,0，即变化的速度是的两倍

0.5x y•函数递增，但增长速度较慢小数斜率的一次函数具有特殊的几何意义当斜率在到之间时（如本例中的），表示自变量变化的速度快于因变量，直线的

010.5x y倾斜程度较小这与斜率大于的情况形成对比，后者表示因变量变化更快，直线更陡峭1y使用计算器探究小数斜率函数时，建议设置较小的步长，以便更准确地观察函数值的变化另外，绘制图像时可能需要调整坐标系的比例，使图像既不会太平缓也不会太陡峭，便于观察和分析练习题自选一次函数图像变化与参数关系参数的影响（斜率）参数的影响（截距）参数组合效应a b决定直线的倾斜程度，越大，直线越陡峭；时，决定直线与轴的交点，表示当时的值当变化和的组合决定了一次函数图像的完整形态可以理解为a|a|a0b yx=0y b a b函数递增；时，函数递减；时，函数变为常数函时，函数图像沿轴平行移动，增大时向上移动，减小控制直线的方向和陡峭程度，控制直线的起点高度a0a=0y b b ab数时向下移动通过计算器，我们可以快速尝试不同参数组合，观察函数图像的变化规律例如，固定，改变的值（如，，），可以看到函数图像沿轴平行移动；固定，改变的值（如，a=2b b=-3b=0b=2y b=1a a=-1，），可以看到函数图像绕着点旋转，倾斜程度发生变化a=

0.5a=20,1生活实际问题建模手机套餐费用模型路程与用时关系某手机套餐每月基础费用为元，包含小明骑自行车从家到学校，速度保持在每分钟50100分钟通话时间，超出部分每分钟收费元米如果从家到学校的距离为米，所需

0.5300s若表示超出的通话分钟数，表示月总费用，时间为分钟，则函数关系式为x yt t=s/300则函数关系式为（）（）y=

0.5x+50x≥0s0这是一个正比例函数模型，其中是比例1/300这是一个一次函数模型，其中是超出部分系数，表示每米所需的时间（分钟）

0.5的单价（斜率），是基础费用（轴截50y距）水箱排水模型一个水箱初始装有升水，以每分钟升的速度排水若分钟后水箱中的水量为升，则函数关系2005t v式为（）v=200-5t0≤t≤40这是一个一次函数模型，其中是排水速率（斜率），是初始水量（轴截距）-5200y实际问题建模是函数学习的重要应用通过将现实问题转化为函数模型，我们可以使用函数的性质和计算器等工具进行分析和预测例如，在手机套餐费用模型中，我们可以通过函数计算不同通话时长的费用，或者反过来，根据预算确定可通话的最长时间在建立函数模型时，关键是识别问题中的变量及其关系，明确自变量和因变量，然后根据问题描述确定函数类型和参数一次函数适合描述线性变化关系，正比例函数适合描述成比例的关系，反比例函数适合描述反向变化的关系随堂互动探究神秘函数探究步骤函数特征预测在计算器上输入函数在使用计算器验证前，请预测以下特征

1.y=-2x+6设置的取值范围为到，步长为

2.x-351•函数图像是递增还是递减？生成数据表，记录关键点坐标

3.•函数的斜率是多少？分析函数特征，包括斜率和截距

4.•函数与轴的交点坐标是？y在坐标纸上绘制函数图像

5.•函数与轴的交点坐标是？x验证预测是否正确

6.•当时，的值是多少？x=1y这个探究活动旨在培养同学们对函数表达式和图像关系的直觉理解通过先预测后验证的方式，加深对一次函数性质的认识对于函数，根据一次函数的一般性质，我们可以直接判断斜率（负数，函数递减），轴截距（函数图像与轴y=-2x+6y=ax+b a=-2y b=6y交于点）0,6完成探究后，讨论以下问题预测与实际结果是否一致？如果有差异，原因是什么？你能从函数表达式直接判断哪些函数特征？这种预测验证的探究方法对加深函数理解有何帮助？-合作讨论函数图像规律一次函数规律正比例函数规律一次函数的图像是直线，决定斜率，正比例函数是特殊的一次函数，图像y=ax+b a b y=kx b=0决定轴截距当时函数递增，时函数为过原点的直线比例系数决定直线斜率，同y a0a0k递减，时为水平直线时也是函数值与自变量的比值a=0反比例函数规律参数变化规律4反比例函数的图像是双曲线，不经过原y=k/x参数变化影响函数图像位置和形状对于一次函点，轴和轴是渐近线自变量与因变量的乘x y数，变化导致图像旋转，变化导致图像平ab积恒等于常数k移小组讨论是总结和深化函数知识的有效方式请各小组根据计算器探究的结果，讨论并总结不同类型函数的图像特征和规律特别关注参数变化对图像的影响，以及如何从函数表达式直接判断函数图像的基本特征（如增减性、交点坐标等）在讨论过程中，鼓励同学们提出自己的理解和疑问，相互启发、共同进步可以尝试归纳更多规律，如函数零点与轴截距的关系、不同类型函数的x适用场景等这种合作探究不仅加深对知识的理解，还培养了团队协作和数学表达能力引入二次函数（拓展）二次函数与一次函数图像比较变化速率对比对称性与极值一次函数的变化速率（导数）恒定为，图像是斜率恒定的直线一次函数图像没有对称性和极值点（当时）y=ax+b aa≠0二次函数的变化速率不恒定，而是随变化，导致图像是曲线具体来二次函数图像具有对称性，关于对称轴对称，并且有唯一的极值点（顶点）这个极y=ax²+bx+c x说，当值增大时，函数值变化越来越快值可能是最小值（时）或最大值（时）x a0a0一次函数图像二次函数图像实际应用一次函数图像是直线，表示线性变化关系适合描述匀二次函数图像是抛物线，表示二次变化关系适合描述不同函数适用于不同类型的实际问题选择合适的函数速运动、固定汇率兑换等场景抛物运动、加速度恒定的运动等场景模型，是建立数学模型解决实际问题的关键通过计算器探究不同类型的函数，我们可以直观地感受它们的图像特征和变化规律一次函数表示均匀变化的过程，其变化率恒定；二次函数表示变化率本身也在变化的过程，如加速或减速运动这种本质区别使得它们在应用场景上有明显差异计算器辅助画图实战函数表达式确认准确输入函数，检查表达式是否正确斜率为，轴截距为y=2x-32y-3数据表生成设置的取值范围为到，步长为，生成完整数据表特别关注与坐标轴交点附近的值x-341坐标系准备在坐标纸上绘制坐标轴，确定原点位置和比例尺考虑到函数值范围，轴和轴均取到为宜xy-66描点与连线根据数据表，在坐标系中准确标出各点，然后用直尺连接成一条直线确保线条平滑、准确图像检查与标注检查图像是否正确反映函数特征，标注函数表达式、关键点坐标等信息教师完整示范了如何结合计算器和手工绘图来绘制函数的图像通过计算器生成的数据表，我们可以看到当时（轴截距），当时（y=2x-3x=0y=-3yy=0x=

1.5x轴截距），当时，这些关键点帮助我们准确绘制函数图像x=2y=1现在请同学们跟随老师的步骤，同步操作，完成函数图像的绘制注意观察函数图像的斜率和截距，加深对一次函数几何意义的理解完成后，可以尝试修y=2x-3改函数的参数，如改为或，观察参数变化对图像的影响y=2x+1y=-2x-3校正图像定位关键点横截点纵截点特殊点计算器核查函数图像与轴的交点，又称为函数的零函数图像与轴的交点在这点上，根据函数类型不同，特殊点也有所不同使用计算器验证关键点坐标，确保函数图xyx=0点在这些点上，对于一次函数对于一次函数，纵截点坐标为例如，反比例函数没有截点但有渐近线；像准确无误可通过求解功能或表格查找y=0y=ax+b，横截点坐标为，即为轴截距二次函数有顶点和对称轴确定精确坐标y=ax+ba≠0-b/a,00,bby准确绘制函数图像的关键是找出图像的特征点，特别是与坐标轴的交点（截点）对于一次函数，横截点和纵截点是最基本的特征点，它们分别告诉我们函数值为零的值和值为零时的函数值通过计算y=ax+b xx器，我们可以精确计算这些点的坐标，避免手算可能出现的误差除了截点外，一些特殊的点也有助于校正图像例如，整数点、等容易计算且便于在坐标纸上标记对于反比例函数，可以选取的特征点，如当时，点、、等准确定1,f12,f2x·y=k k=62,33,26,1位这些关键点，有助于绘制出精确的函数图像逆向思考已知图像找函数确定函数类型观察图像形状，判断是直线、抛物线还是双曲线找出关键点标记截点、特殊点的坐标，为参数计算提供依据确定函数表达式3根据点坐标和函数类型，计算具体参数值实例直线图像验证方法观察到图像是一条直线，经过点和使用计算器输入推导出的函数表达式，生成数据表或图像，与原图像比对0,23,0分析纵截点为，说明轴截距；横截点为，可以与另一点一起确定斜率检查关键点是否吻合，例如是否经过已知的点和0,2y b=23,00,23,0计算斜率如有偏差，重新检查计算过程或尝试其他可能的函数形式a=0-2/3-0=-2/3结论函数表达式为y=-2/3x+2逆向推导函数表达式是函数学习的重要能力，它加深了我们对函数与图像关系的理解在实际问题中，我们常常需要根据观测数据或图像趋势确定合适的函数模型，这种逆向思考非常有用计算器可以帮助我们验证推导结果，通过生成函数图像与原图像比对，确认函数表达式是否正确现在请看下面的图像，尝试确定其函数表达式一条直线，经过点和提示首先确定这是一次函数，然后计算斜率，最后确定截距完成后，用计算器验证你的答案是否正确1,34,-3综合实际题探究手机流量费用问题水箱注水问题某手机套餐每月固定费用为元，包含流一个空水箱以每分钟升的速度注水，分钟后水箱5010GB5x量，超出部分每收费元小明一个月使用了中的水量为升GB20y流量，总费用为元xGB y建立函数模型y=5x建立函数模型当时，；当时，x≤10y=50x10这是一个正比例函数，比例系数表示每分钟注k=5y=50+20x-10=20x-150入的水量使用计算器探究不同时间点的水量，绘这是一个分段函数，可以使用计算器分别探究两个制函数图像区间的函数值变化温度转换问题摄氏温度与华氏温度之间的换算关系为C FF=9/5C+32这是一个一次函数，其中自变量是摄氏温度，因变量是华氏温度斜率表示温度变化的比例，截距C F9/532表示冰点对应的华氏温度使用计算器验证当时，；当时，C=0F=32C=100F=212实际应用题是函数学习的重要环节，它帮助我们将抽象的数学概念与现实世界联系起来通过建立函数模型，我们可以分析、预测和解决各种实际问题计算器在这一过程中发挥着重要作用，它能快速生成大量数据点，帮助我们验证模型的合理性，并进行更精确的计算在解决实际问题时，关键步骤是识别自变量和因变量，理清它们之间的函数关系，然后建立恰当的函数模型有时候，实际问题可能涉及到分段函数或条件限制，这需要我们更细致的分析使用计算器探究这些函数模型，可以帮助我们更好地理解问题，找出最优解决方案本节课知识回顾函数概念理解1复习了函数的定义、自变量与因变量的关系，以及函数的表示方法（表达式、表格、图像）计算器操作技能学习了计算器的基本操作，包括输入函数表达式、设置表格参数、生成数据表和检查数据函数图像探究探究了一次函数、正比例函数和反比例函数的图像特征，理解了参数变化对图像的影响实际应用问题学习了如何将实际问题转化为函数模型，并使用计算器辅助解决问题今天的课程中，我们系统学习了如何使用计算器探究函数图像我们从函数的基本概念出发，掌握了计算器的操作方法，探究了不同类型函数的图像特征，并将函数知识应用到实际问题中计算器作为数学学习的辅助工具，帮助我们更高效地探究函数规律，加深了对函数概念的理解函数图像的探究是一个从数据到图形、从具体到抽象的过程通过计算器生成大量数据点，我们能够更准确地绘制函数图像，观察函数的变化规律，理解函数参数与图像特征的关系这种探究方法不仅适用于初中阶段学习的函数，也为后续学习更复杂的函数打下了基础计算器探究优势总结100x

0.001计算效率精确度与手算相比提高了数倍的效率可设置更小步长获得精确数据10+多样性可同时探究多个函数进行对比提高探究效率计算器几秒钟内可以生成大量数据点，大大提高了函数探究的效率相比手算，我们能在有限的课堂时间内探究更多函数，发现更多规律增强数据精确性计算器避免了手算可能出现的计算错误，提供更精确的数据支持特别是处理小数、分数和大数时，计算器的优势更为明显便于比较和分析计算器可以快速生成多个相关函数的数据，便于我们比较不同函数的特征，分析参数变化对函数图像的影响聚焦于概念理解减少了繁琐计算的时间，让我们能更专注于函数概念的理解和规律的发现，提高学习的质量和深度计算器作为探究工具，不仅提高了我们学习函数的效率，更重要的是改变了我们学习数学的方式它让我们从繁琐的计算中解放出来，更多地投入到数学思维和规律探索中当我们能够快速获取大量数据、绘制精确图像时，函数的抽象概念变得更加具体可感，数学学习也变得更加生动有趣学生作品展示探究报告函数图像集实际应用模型优秀的函数探究报告应包含完整的探究过程、数精美的函数图像集展示了学生对坐标系和函数图将函数知识应用到实际问题中，建立数学模型并据记录、图像绘制和规律总结特别是对函数参像的准确把握注意使用不同颜色区分不同函验证其合理性优秀作品往往能结合生活实际，数变化规律的归纳，体现了对函数本质的理解数，标注关键点坐标，并在图例中说明各曲线对提出有创意的问题，并运用函数知识解决应的函数表达式一份优秀的函数探究作品应该具备以下特点数据记录完整且有条理，图像绘制准确美观，能清晰表达探究发现和数学规律在制作图像时，应注意坐标轴的标注、刻度的选择和比例的合理性使用不同颜色或线型区分不同函数，有助于直观比较对于那些特别创新或深入的探究，如拓展到二次函数、分段函数或实际应用问题，我们给予更高的评价这些作品不仅展示了对基础知识的掌握，还体现了创造性思维和应用能力希望同学们能从这些优秀作品中获得启发，在今后的学习中不断探索和创新拓展建议与创新实践探索更多函数尝试探究二次函数、指数函数、对数函数等更复杂的函数类型函数复合与运算研究两个函数的和、差、积、商以及复合函数的图像特征跨学科应用将函数探究方法应用于物理、生物、经济等学科问题使用先进技术学习使用更高级的图形计算器或电脑软件进行函数探究数学学习不应局限于课本内容，鼓励同学们在课后进行更广泛、更深入的探究例如，可以探索函数的实际应用，如用一次函数描述商品定价、用反比例函数描述物理定律、用二次函数描述抛物运动等这些拓展探究不仅加深对函数概念的理解，还培养了应用数学解决实际问题的能力另外，可以尝试使用更先进的数学工具，如图形计算器、、等数学软件，进行更GeoGebra Desmos复杂的函数探究这些工具提供了更强大的计算和可视化功能，能帮助我们探究更复杂的函数关系和数学规律通过这些拓展活动，培养创新思维和实践能力，真正体会数学的魅力和价值作业与课堂反思函数参数探究1探究一次函数中，不同参数、对函数图像的影响分别尝试、、的情况，以及的不y=ax+b aba0a0a=0b同取值，至少绘制个不同的函数图像，并总结规律6实际问题建模2选择一个生活中的实际问题，建立函数模型，使用计算器验证模型的合理性，并解答问题例如，水箱注水排水问题、商品定价问题或温度变化问题等学习反思3对今天的课堂学习进行反思你学到了哪些新知识？掌握了哪些新技能？还有哪些问题需要进一步探究？计算器在函数学习中发挥了什么作用？合作探究任务4小组合作探究反比例函数中，参数的变化对函数图像的影响准备一份简短的探究报告，包含数据y=k/x k表、图像和结论今天的课程我们学习了如何使用计算器探究函数图像，掌握了一种高效的数学学习工具和方法计算器和手工绘图相结合的方式，既保持了计算的高效性，又训练了我们的图形思维能力在今后的数学学习中，我们应该灵活运用这些工具和方法，提高学习效率和质量最后，请大家思考计算器虽然能大大提高我们探究函数的效率，但它是否能完全替代手工计算和绘图？为什么我们仍然需要掌握手工计算和绘图的基本技能？在数学学习中，工具的作用和局限性是什么？带着这些思考，我们结束今天的课程，下节课将继续深入学习函数的性质和应用。