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年大学统计学期末考试数据分析计算题2025库全解考试时间分钟总分分姓名
一、选择题要求本部分共10题，每题2分，共20分请从每题的四个选项中选择一个最符合题意的答案
1.设随机变量X服从参数为X的泊松分布，其概率质量函数为P{X=k}=入八k/k!屋-入，则当X=1时,P{X=2}的值为:A.
0.2B.
0.3C.
0.4D.
0.
52.设随机变量X和Y相互独立，且X N0,1,Y Nl,2,则随机变量U=2X+Y服〜〜从的分布为A.N0,5B.N2,5C.N2,2D.N0,
23.设随机变量X和Y相互独立,且X B设
0.5,Y B3,
0.3,则随机变量U=X+Y〜〜的分布为A.B5,
0.15B.B5,
0.3C.B5,
0.6D.B5,
0.
74.设随机变量X服从正态分布Nu,-2,其概率密度函数为fx=l/o下2兀屋/2/2,则u的值等于:A.0B.1C.D.o八
25.设随机变量X和丫相互独立，且X U[0,1],丫U[0,2],则随机变量Z=XY的分〜〜布为A.10,2]B.U[0,1]C.U[0,
0.5]D.U[0,1/2]
6.设随机变量X B5,
0.4,则P{X2设的值约为:〜A.
0.5B.
0.6C.
0.7D.
0.
87.设随机变量X和丫相互独立，且X N0,1,丫Nl,4,则随机变量U=X+Y的〜〜分布为A.Nl,5B.Nl,4C.N0,5D.N0,
48.设随机变量X和Y相互独立，且X U[0,1],Y U[0,1],则随机变量Z二XY的〜〜分布为A.U[0,1]B.U[0,2]C.U[0,1/2]D.U[0,1/4]
9.设随机变量X N0,1,则P{|X|W1}的值约为:〜A.
0.5B.
0.6C.
0.7D.
0.
810.设随机变量X和Y相互独立,且X B10,
0.3,Y B10,
0.3,则随机变量U=X+Y〜〜的分布为A.B20,
0.3B.B20,
0.6C.B20,
0.9D.B20,
0.15
二、计算题要求本部分共5题，每题10分，共50分
1.设随机变量X B10,
0.4,求P{X=3}的值〜
2.设随机变量X和丫相互独立，且X N0,1,丫Nl,2,求随机变量U=2X+Y的〜〜期望值和方差
3.设随机变量X U[0,2],求P{X1}的值〜
4.设随机变量X和丫相互独立，且X N0,1,丫Nl,4,求随机变量U=X+Y的〜〜分布函数F uo
5.设随机变量X Nu,-2,其中口=1,=2,求P{X4}的值〜0
四、简答题要求本部分共5题，每题5分，共25分请简要回答以下问题
1.简述随机变量的概率分布函数的定义及其性质
2.解释什么是随机变量的矩估计法，并举例说明
3.简述什么是最大似然估计法，并说明其基本原理
4.解释什么是正态分布，并给出正态分布的概率密度函数
5.简述什么是中心极限定理，并说明其应用
五、证明题要求本部分共5题，每题10分，共50分请证明以下命题
1.证明如果随机变量X和丫相互独立，且X Bn,p,丫Bm,q,则U=X+Y Bn+m,〜〜〜p*q
2.证明如果随机变量X和丫相互独立，且X N1H,厂2,丫Nu2,2-2,〜〜则陷-Y Nul-u2,厂2+2-2〜
3.证明如果随机变量X栗0,1,则P{Xz}=l-P{XWz},其中z为标准正态分布〜的分位数
4.证明如果随机变量X和丫相互独立，且X U[a,b],丫U[c,d],则随机变量U=XY〜〜U[ac,bd]〜
5.证明如果随机变量X Nu,-2,则EXn=iTn+八2nn-1/2,其中n为正整〜数
六、应用题要求本部分共5题，每题10分，共50分请根据所给条件，完成以下问题
1.某工厂生产的产品合格率为
0.95,假设每次生产的产品数量为100个，求生产100个产品中至少有95个合格产品的概率
2.某地区居民的身高服从正态分布，均值为165cm,标准差为6cm求该地区居民身高超过180cm的概率
3.某城市一年内每天的最高气温服从正态分布，均值为30℃,标准差为5℃求该o城市一年内最高气温超过35℃的概率
4.某批产品的质量指标服从正态分布，均值为100,标准差为10如果要求产品的质量指标在90到110之间，求这批产品合格的概率
5.某公司员工每月的工资收入服从正态分布，均值为5000元，标准差为1000元求该公司员工工资收入超过7000元的概率本次试卷答案如下
一、选择题
1.Bo泊松分布的概率质量函数为P{X=k}=入飞/k!小-入，当入=1时,P{X=2}=厂2/2!*屋-1=
0.5*
0.3679=
0.1844,四舍五入后约为
0.
32.Bo随机变量U=2X+Y,由于X和Y相互独立，所以U的期望值E U=E2X+Y=2E X+E Y=2*0+1=1,方差Var U=Var2X+Y=4Var X+Var Y=4*1+2=6,因此U Nl,6〜
3.Ao随机变量U=X+Y,由于X和Y相互独立,且X B2,
0.5,Y B3,
0.3,则U B2+3,〜〜〜
0.5*
0.3=B5,
0.
154.Ao正态分布的概率密度函数为fx=l/V2n7-x-2/2o-2,其中口为期望e值，为标准差由于期望值口=0,所以答案为A
5.Co随机变量Z=XY,由于X和Y相互独立,且X U[0,1],Y U[0,2],则Z的取值范〜〜围为[0,2],因此Z U[0,2]°〜
6.Co随机变量X B5,
0.4,则P{X23}=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5},使用二项分布的概〜率质量函数计算，得到P{X23}^
0.
77.Ao随机变量U=2X+Y,由于X和Y相互独立,且X N0,1,Y Nl,4,则U N2*0+l,〜〜〜2-2+/2=Nl,5o
8.Do随机变量Z=XY,由于X和Y相互独立,且X U[0,1],Y U[0,1],则Z的取值〜〜范围为[0,1],因此Z U[0,1/4]〜
9.Co随机变量X N0,1,标准正态分布的分位数表可以查得P{XW
10.8413,因此〜P{Xl}=l-P{XWl}=l-
0.8413=
0.1587,四舍五入后约为
0.
7010.Bo随机变量U=X+Y,由于X和丫相互独立，且X B10,
0.3,丫B10,
0.3,〜〜则U B10+10,
0.3*
0.3=B20,
0.09〜
二、计算题
1.P{X=3}=10!/3!7!*
0.413*
0.617弋
0.
11722.E U=E2X+Y=2E X+E Y=2*0+1=1,Var U=Var2X+Y=4Var X+Var Y=4*l+2=6,因此U N1,6〜
3.P{X1}=1-P{XW1}=1-1/2=O.
54.Fu=P{UWu}=P{X+YWu},由于X和丫相互独立，可以分别计算P{XWu}和P{YWu},然后相乘得到F后
5.P{X4}=1-P{XW4}=1-1/J2n*2*2*/_{-8/4eX-x12/4dx七1-
0.9998=
0.0002o
四、简答题
1.随机变量的概率分布函数Fx是随机变量X小于或等于x的概率，即Fx=P{XWx}其性质包括Fx是非递减的,Fx在x=-8时趋近于o,Fx在X=+8时趋近于
12.矩估计法是通过随机变量的矩来估计参数的方法例如，对于正态分布Nu,八2,一阶矩是均值U,二阶矩是方差-2,可以通过样本均值和样本方差来估计u和-
23.最大似然估计法是通过对参数的取值使得样本观察到的概率最大化的方法基本原理是，给定一组样本数据，寻找参数的取值，使得参数的联合概率密度函数最大
4.正态分布是一种连续概率分布，其概率密度函数为£收=1/》2口「-x~2/2o-2,其中u为均值，为标准差
5.中心极限定理表明，当随机变量独立同分布时，它们的和或平均值随着样本量的增大，会趋近于正态分布
五、证明题
1.由二项分布的性质,P{X=k}=Cn,k*p-k*l-p八n-k,P{Y=m}=C m,m1-qm-m=q^m因此,P{X+Y=n+m}=2[P{X=k}P{Y=n+m-k}],其中ko从0至U n+m,即P{X+Y=n+m}=2[Cn,k*p5*l—p-n—k*Cm,n+m-k n+m-k*1-q-m-n+m-k]简化后得到oP{X+Y=n+m}=Cn+m,n+m*p*q-n+m,即U Bn+m,p*q0〜
2.由于X和Y相互独立,E U=E2X+Y=2EX+EY=2u1+u2,Var U=Var2X+Y=4Var X+Var Y=4「2+2A2,因止匕U〜N U1+U2,o r2+o2-
23.标准正态分布的分位数表可以查得P{XWz}=cDz,因此P{Xz}=l-
①z
4.由于X和Y相互独立,且X U[a,b],Y U[c,d],则〜〜P{XY^u}=S[P{X=x}P{Y^u/x}I xe[a,b]],其中x从a到b,即P{XYWu}=2[l/b-a*IcWu/xWd],其中I为指示函数通过积分得到P{XY^u}o
5.对于正态分布NR,-2,EXi=Eu+oZ7,其中Z〜N0,l通过二项式展开和Z的期望值和方差,可以得到E X、=口-n+-2n n-l/2
六、应用题
1.P{至少有95个合格}=1-P{少于95个合格}=1-P{X95}=1-[P{X=k}|k=0,1,2,...,94],使用二项分布的概率质量函数计算，得到P{至少有95个合格}\
0.9999o
2.P{身高超过180cm}二1-P{身高W180cm}=l-
①180-165/6=1-
①
2.5=1-
0.9938=
0.0062o
3.P{最高气温超过35℃}=1-P{最高气温35℃}=1-中35-30/5=1-01=1-
0.8413=
0.
158704.P{质量指标在90到110之间}二P{90WXW110}二P{XW110}-P{X90},使用正态分布的累积分布函数计算，得到P{质量指标在90到110之间}^
0.9772o
5.P{工资收入超过7000元}=1-P{工资收入W7000元}=1-
①7000-5000/1000=1-02=1-
0.9772=
0.0228。
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