线性代数课件-课堂练习

线性代数课堂练习课件欢迎来到线性代数课堂练习课程本课件涵盖了线性代数的核心概念，从向量基础运算到高级矩阵分析我们将通过实践练习深化理解，提升解题能力每张幻灯片包含一个关键问题，引导您逐步掌握线性代数的精髓这些练习题从基础向量运算开始，逐步深入到特征值、子空间和矩阵分解等高级主题建议在解答过程中积极思考，不仅要得到正确答案，还要理解背后的数学原理让我们一起开始这段线性代数的探索之旅！向量基础操作题

1.题目解题步骤已知向量，向量加法是将对应分量相a=1,2,3b=，求加对于向量4,5,6a+b a=和a₁,a₂,a₃b=，它们的和b₁,b₂,b₃a+b=a₁+b₁,a₂+b₂,a₃+b₃操作过程a+b=1,2,3+4,5,6=1+4,2+5,3+6=5,7,9向量减法练习

2.理解向量减法向量减法是将第一个向量的各分量减去第二个向量的对应分量应用公式b-a=b₁-a₁,b₂-a₂,b₃-a₃计算结果4,5,6-1,2,3=3,3,3从几何角度理解，向量减法表示从向量的终点指向向量终b-a a b点的向量这在物理学中可以用来表示位移、速度变化等物理量向量数乘运算

3.数乘定义标量与向量的数乘运算表示将向量的每个分量都乘以标量k vkv vk问题解析计算需要先分别计算和，然后进行向量减法2a-3b2a3b计算过程2a=21,2,3=2,4,63b=34,5,6=12,15,18最终结果2a-3b=2,4,6-12,15,18=-10,-11,-12向量点积计算

4.实际计算过程几何意义理解a·b=1,2,3·4,5,6=1×4+2×5+3×6=4点积的数学定义点积，其中是两个向θθa·b=|a|·|b|·cos+10+18=32两个向量的点积（内积）是对应分量乘积量的夹角点积可用于判断两向量的垂直的和对于向量和关系（点积为时垂直）或计算一个向量a=a₁,a₂,a₃b=0，它们的点积在另一个向量方向上的投影b₁,b₂,b₃a·b=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃求两个向量的夹角

5.夹角计算公式向量模长计算两个向量和之间的夹角向量的模长θa b a=a₁,a₂,a₃|a|=可以通过点积计算√a₁²+a₂²+a₃²θcos=a·b/|a|·|b||a|=√1²+2²+3²=√1+4+9=√14其中和分别是向量和|a||b|a的模长b|b|=√4²+5²+6²=√16+25+36=√77夹角的求解θθcos=a·b/|a|·|b|=32/√14·√77θcos=32/√1078≈32/

32.83≈

0.9748θ≈

12.88°三维向量叉积

6.叉积运算a×b=a₂b₃-a₃b₂,a₃b₁-a₁b₃,a₁b₂-a₂b₁计算步骤分别计算叉积的三个分量几何意义垂直于两向量所在平面，模长为平行四边形面积具体计算过程如下a×b=1,2,3×4,5,6第一分量2×6-3×5=12-15=-3第二分量3×4-1×6=12-6=6第三分量1×5-2×4=5-8=-3因此a×b=-3,6,-3向量线性关系判断

7.线性相关定义问题分析两个向量线性相关，当且仅当存在不全为零的数判断与是否线性相关a=1,2,3b=4,5,6λλ使得λλ₁,₂₁a+₂b=0判定方法实际判断两个非零向量线性相关，当且仅当一个是另一个检查是否存在常数使得或k a=kb b=ka的数乘对于向量和，我们检查是否存在常数使得a=1,2,3b=4,5,6k a=kb如果存在这样的，则，即，，k1,2,3=k4,5,61=4k2=5k3=6k这意味着，但这些比值不相等，所以不存在这样的k=1/4=2/5=3/6=1/2k因此，向量和线性无关a b三向量共面性判定

8.共面向量的特点三个向量共面当且仅当它们线性相关判定方法计算三个向量组成的行列式值是否为零具体计算三向量共面的充要条件是混合积为零我们来判断向量、和是否共面1,0,22,1,13,1,3方法一计算混合积[a bc]=a×b·c方法二直接计算行列式|102|211|313|=1·1·3-1·1-0·2·3-1·3+2·2·1-3·1=1·2-0·3+2·-1=2-0-2=0行列式值为零，因此这三个向量共面坐标变换中的向量表示

9.坐标旋转变换原理示例计算当直角坐标系绕原点逆时针旋转角度时，原坐标系中的对于向量，如果是在二维平面上旋转，我们只θa=1,2,3向量在新坐标系中的表示为考虑前两个分量x,y1,2假设旋转角度，则θθθx=x·cos+y·sin=90°，θθθθy=-x·sin+y·cos cos=0sin=1这可以用旋转矩阵表示x=1·0+2·1=2θθθθ[x]=[cos sin][x][y][-sin cos][y]y=-1·1+2·0=-1所以旋转后的向量在新坐标系中为（坐标不变）2,-1,3z平面方程中的法向量判断

10.21-3系数系数系数x yz法向量第一个分量法向量第二个分量法向量第三个分量平面方程的一般形式中，向量就是该平面的法向量法向量与平面上的任意向量垂直，确定了平面的朝向Ax+By+Cz+D=0n=A,B,C对于平面方程，将其改写为标准形式，其中2x+y-3z=52x+y-3z-5=0A=2,B=1,C=-3,D=-5因此，该平面的法向量为法向量的长度可以进一步计算n=2,1,-3|n|=√2²+1²+-3²=√4+1+9=√14矩阵加法运算

11.矩阵矩阵相加结果A BA=

[12]

[34]B=

[01]

[10]A+B=[1+02+1][3+14+0]=

[13]

[44]矩阵加法是将对应位置的元素相加两个矩阵相加的前提是它们具有相同的维度矩阵加法满足交换律和结合律，这与数的加法类似矩阵数乘

12.矩阵的数乘运算将矩阵的每个元素都乘以该数计算需要先分别计算和，然后将结果相减3A-2B3A2B3A=3·

[12]=

[36]

[34]

[912]2B=2·

[01]=

[02]

[10]

[20]3A-2B=

[36]-

[02]=

[34]

[912]

[20]

[712]矩阵乘法

13.矩阵乘法定义两个矩阵相乘时，第一个矩阵的行与第二个矩阵的列进行点积运算若是矩阵，是矩阵，则是矩阵A m×n Bn×p ABm×p注意事项矩阵乘法通常不满足交换律，即不一定等于只有在特殊AB BA情况下，如其中一个是单位矩阵时，交换律才成立计算示例，A=

[12]B=

[01]

[34]

[10]AB=[1·0+2·11·1+2·0]=

[21][3·0+4·13·1+4·0]

[43]BA=[0·1+1·30·2+1·4]=

[34][1·1+0·31·2+0·4]

[12]单位矩阵识别

14.矩阵转置性质

15.原矩阵A A=

[12]

[34]转置后A^T A^T=

[13]

[24]原矩阵B B=

[01]

[10]转置后B^T B^T=

[01]

[10]A+B^T A+B^T=

[14]

[34]A^T+B^T A^T+B^T=

[13]+

[01]=

[14]

[24]

[10]

[34]矩阵的转置操作是将矩阵的行与列互换对于矩阵，其转置记为转置满A A^T足多种性质，包括和等A+B^T=A^T+B^T AB^T=B^T·A^T特别地，当时，称为对称矩阵在本例中，矩阵恰好是对称矩B=B^T BB阵对称矩阵在许多应用中都有重要意义，如二次型表示、特征值问题等矩阵对应线性变换理解

16.矩阵代表的变换几何直观理解A矩阵表示一个线性变换我们可以观察单位正方形的四个顶点在变换后的位置A=

[12]

[34]它将标准基向量映射为，将映射（原点不变）e₁=1,01,3e₂=0,1•0,0→0,0为2,4•1,0→1,3这个变换包含了旋转和缩放的复合效果可以通过求特征•0,1→2,4值和特征向量来分析其具体几何意义•1,1→3,7变换后，单位正方形变成了一个平行四边形，表明这是一个剪切和缩放的组合变换零矩阵运算

17.零矩阵加法性质零矩阵乘法性质对任意矩阵，有对任意适当维度的矩阵A A+0=A，其中表示与和，有和0+A=A0B A·0=00·B=维度相同的零矩阵这类，其中表示相应维度的A00似于数字运算中的零矩阵这类似于数字运算a+0=中的a a×0=0零矩阵特殊性质零矩阵不可逆，因为其行列式为此外，零矩阵的秩为，它的00零空间是整个向量空间零矩阵是所有元素都为的矩阵在矩阵的集合中，零矩阵是加法0n×m运算的单位元素在线性变换的角度看，零矩阵表示将所有向量都映射到原点的变换行列式计算（阶）

18.2阶行列式公式2对于阶矩阵其行列式2A=[a b][c d]|A|=ad-bc代入计算A=

[34]

[21]|A|=3×1-4×2计算结果|A|=3-8=-5行列式具有几何意义，阶行列式的绝对值等于由矩阵的两列（或两行）向量构成的平2行四边形的面积在本例中，面积为平方单位，而符号则与向量的取向有关5行列式为非零时，矩阵可逆；行列式为零时，矩阵不可逆行列式的值还可以用来计算矩阵的特征值、线性方程组的解等行列式计算（阶）

19.3设定阶行列式3计算|A|=|123||014||560|选择计算方法2可用对角线法、按行列展开、或余子式展开/执行计算3按第一列展开1·M₁₁-0·M₂₁+5·M₃₁对于这个阶行列式，我们选择按第一列展开3|A|=1·|14|-0·|23|+5·|23||60||60||14|=1·1·0-4·6+5·2·4-3·1=1·-24+5·8-3=-24+5·5=-24+25=1因此，行列式|A|=1行列式性质应用

20.行列式的基本性质性质证明示例行列式具有多种重要性质，其中对于阶行列式，2|a b|=ad-交换两行（或两列）会使行列式，而bc|c d|=cb-ad=-ad-变号是最基本的性质之一这一这直接验证了交换bc=-|a b|性质在行列式计算和理论证明中两行导致行列式变号的性质都有广泛应用对于高阶行列式，证明可通过初等变换或归纳法完成应用场景这一性质在高斯消元法求解行列式、研究矩阵特征值和特征向量、以及线性方程组求解中都有重要应用例如，在化简行列式时，可以利用这一性质将某些行或列变换为更简单的形式展开行列式

21.选择展开行或列运用余子式公式1通常选择元素最多的行或列展开按第行展开Σⱼᵢⱼᵢⱼ0i-1^i+j·a·M合并计算结果计算子行列式按展开公式求和得到最终结果递归计算每个余子式的值以阶行列式为例，按第行展开3|123||456||789|1|A|=1·-1^1+1·|56|+2·-1^1+2·|46|+3·-1^1+3·|45||89||79||78|=1·5·9-6·8-2·4·9-6·7+3·4·8-5·7=1·45-48-2·36-42+3·32-35=1·-3-2·-6+3·-3=-3+12-9=0判断矩阵是否可逆

22.判断的几何意义可逆性判断标准从几何角度看，矩阵可逆意味着其对应的线A可逆矩阵的定义对于阶方阵，以下条件等价性变换没有将任何非零向量映射到零向量，且n A矩阵是可逆的（或称非奇异的），当且仅当变换是双射的行列式不为零表示变换不会降A是可逆的•A存在矩阵使得，其中是单位矩低空间的维数B AB=BA=I I的行列式不为零阵此时，称为的逆矩阵，记作•A|A|≠0B A A^-1的秩等于•A n的零空间仅包含零向量•A线性方程组仅有零解•Ax=0矩阵逆的计算（阶）

23.2阶矩阵逆公式21[a b]^-1=1/ad-bc·[d-b;-c a]计算行列式|A|=2×3-1×5=6-5=1应用公式A^-1=1/1·[3-1;-52]对于矩阵，首先计算其行列式A=

[21]

[53]|A|=2×3-1×5=1由于，所以可逆使用阶矩阵求逆公式|A|≠0A2A^-1=1/|A|·[a₂₂-a₁₂;-a₂₁a₁₁]代入得A^-1=1/1·[3-1;-52]=[3-1;-52]验证A·A^-1=

[21]·[3-1]=[2×3+1×-52×-1+1×2]=

[10]

[53][-52][5×3+3×-55×-1+3×2]

[01]矩阵逆乘验证

24.验证矩阵与其逆矩阵相乘是否得到单位矩阵是检查逆矩阵计算正确性的重要步骤对于矩阵和其声称的逆矩阵，需要同时验A A^-1证和是否成立A·A^-1=I A^-1·A=I以上一题中计算得到的结果为例，，A=[21;53]A^-1=[3-1;-52]验证A·A^-1

[21]·[3-1]=[2×3+1×-52×-1+1×2]=

[10]

[53][-52][5×3+3×-55×-1+3×2]

[01]验证A^-1·A[3-1]·

[21]=[3×2+-1×53×1+-1×3]=

[10][-52]

[53][-5×2+2×5-5×1+2×3]

[01]线性方程组求解（基础）

25.方程组代入法求解结果求解线性方程组从第二个方程得到因此，，解为x=1y=1，代入第一个方{x+y=2{x-y=0x=y1,1程，得到y+y=2y=1线性方程组求解的本质是寻找满足所有方程的向量对于这个简单的两元线性方程组，我们可以用代入法、消元法或矩阵法求解从几何角度看，每个线性方程表示平面中的一条直线，方程组的解是这些直线的交点在本例中，两条直线相交于点1,1对于较复杂的线性方程组，我们通常使用高斯消元法、矩阵消元法或克拉默法则线性方程组矩阵表达

26.矩阵表达的基本形式案例分析线性方程组可以写成矩阵形式，其中对于方程组AX=b{x+y=2{x-y=0是系数矩阵，包含方程组中各变量的系数矩阵形式为•A

[11][x]=

[2][1-1][y]

[0]是未知数向量，包含所有待求解的变量•X这里是系数矩阵是未知数向量A=[11;1-1]X=[x;y]b是常数向量，包含方程右侧的常数项是常数向量•b=[2;0]这种表示法使我们能够应用矩阵理论来分析和求解线性方当可逆时，解为A X=A^-1b程组克拉默法则应用

27.克拉默法则原理计算步骤克拉默法则（）是对于方程组Cramers Rule{x+2y=5{3x+y=4一种使用行列式求解线性方程组的计算系数行列式

1.D=|12|=1×1-方法对于个方程个未知数n n2×3=1-6=-5|31|的线性方程组，若系数行列式不为计算零，则每个未知数可以由一个分数

2.Dx=|52|=5×1-2×4=5表示，分母是系数行列式，分子是-8=-3|41|将系数矩阵中对应未知数的列替换计算

3.Dy=|15|=1×4-5×3=4-为常数项后得到的行列式15=-11|34|求解结果根据克拉默法则x=Dx/D=-3/-5=3/5y=Dy/D=-11/-5=11/5因此方程组的解为，x=3/5y=11/5高斯消元

（一）

28.构建增广矩阵将线性方程组写成增广矩阵形式{x+y+z=6{2x+y+z=9{x+2y+z=8[111|6][211|9][121|8]进行行变换，得到R₂=R₂-2R₁[111|6][0-1-1|-3][121|8]，得到R₃=R₃-R₁[111|6][0-1-1|-3][010|2]化简方程组，得到R₂=-R₂[111|6][011|3][010|2]，得到R₃=R₃-R₂[111|6][011|3][00-1|-1]回代求解从最后一个方程得到z=1代入第二个方程，得到y+1=3y=2代入第一个方程，得到x+2+1=6x=3因此解为3,2,1方程组解的类型

29.无解情况唯一解情况无穷多解情况当矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，方当矩阵的秩等于增广矩阵的秩且等于当矩阵的秩等于增广矩阵的秩但小于程组无解几何上表示平行线或异面未知数个数时，方程组有唯一解几未知数个数时，方程组有无穷多解直线例如是无何上表示线或面相交于一点例如几何上表示线或面重合例如{x+y=1{x+y=2{2x-解的有唯一解有无穷多解{x+y=3{x-y=12,1y=0{4x-2y=0x=t,y=2t齐次线性方程组解空间维数

30.n r未知数个数系数矩阵的秩方程组中变量的数量线性方程组的有效约束数量n-r解空间的维数解集的自由变量个数对于齐次线性方程组，其解空间是一个向量空间根据线性代数基本定理，若是一个AX=0A矩阵且其秩为，则方程组的解空间维数为m×n rAX=0n-r这个维数等于自由变量的个数，也等于基础解系中线性无关解向量的个数解空间的维数还等于系数矩阵的零空间（或称核空间）的维数A例如，对于方程组，系数矩阵的秩为，未知数个数为，因此解{x+y+z=0{2x+2y+2z=013空间维数为，解空间是一个二维平面3-1=2秩的基础计算

31.矩阵秩与解的关系

32.矩阵秩的计算1矩阵的秩是矩阵中线性无关的行（或列）向量的最大数目计算矩阵的秩通常通过行阶梯形变换实现系数矩阵与增广矩阵秩的关系对于线性方程组，设的秩为，增广矩阵的秩为AX=b ArA[A|b]r[A|b]解的情况判断若，则方程组无解rAr[A|b]若（为未知数个数），则方程组有唯一解rA=r[A|b]=n n若，则方程组有无穷多解，解空间的维数为rA=r[A|b]n n-rA向量组极大无关组求解

33.确定向量组假设有向量组，其中，，S={v₁,v₂,v₃}v₁=1,0,1v₂=2,1,3v₃=5,2,7构建矩阵2将向量作为矩阵的列，得到矩阵A=[125;012;137]行简化通过初等行变换将矩阵变为行阶梯形分析结果通过行变换得到，说明矩阵的秩为，因此向量组中的极[10-1;012;000]2大无关组只能包含个向量2通过计算可以确定，向量，因此它可以由前两个向量线性表示所以，该v₃=2v₂+v₁向量组的一个极大线性无关组为注意，极大线性无关组不唯一，也可{v₁,v₂}{v₁,v₃}以作为极大线性无关组列空间基础题

34.列空间的定义列空间的基与维数矩阵的列空间是的列向量所张成的向量空间，记作对于矩阵A AA=[132;264;000]它包含了形如的所有向量，其中是任意向ColA Ax x首先将矩阵通过初等行变换化简为行阶梯形

1.A[132;量000;000]从几何角度看，列空间是的列向量的所有线性组合构成A矩阵的秩为，意味着只有一个线性无关的列向量

2.1的空间列空间的维数等于矩阵的秩A第一列可以作为列空间的一个基，列空间的维数

3.1,2,0为1列空间是由向量的所有倍数组成的直线

4.1,2,0零空间基础题

35.零空间的定义1矩阵的零空间（或称核空间）是满足方程的所有向量的集合，记A Ax=0x作它表示线性变换将哪些向量映射为零向量NullA A构建齐次方程组设，求需要解齐次线性方程组，即A=[121;240]NullA Ax=0{x₁+2x₂+x₃=0{2x₁+4x₂=0求解方程组通过行变换将增广矩阵化简为，得到参数式解[A|0][120;001;000]x₁，其中为任意实数=-2t,x₂=t,x₃=0t确定零空间基底零空间可以表示为∈ℝ，即向量的所有倍数因此零空{-2t,t,0|t}-2,1,0间的一个基是，维数为{-2,1,0}1基与维数基础练习

36.理解ℝ空间标准基的组成³ℝ是所有三维实向量的集合，即所ℝ的标准基是由单位向量³³e₁,e₂,e₃有形如的向量，其中是组成x,y,z x,y,z e₁=1,0,0e₂=0,1,0e₃=实数0,0,1结论维数的定义ℝ的标准基包含个向量，因此ℝ向量空间的维数等于其任意一组基³3³的维数为中向量的数量3子空间的判别

37.子空间的定义子空间判别的步骤结论向量空间的子空间是的一个非空子判断集合是否为由于集合包含零向量且对加法和数乘V VS={x,y,z|x-y+z=0}S集，该子集满足加法封闭性和数乘封ℝ的子空间运算封闭，所以是ℝ的一个子空W³S³闭性对任意∈和任意标量，间从几何角度看，表示过原点的一u,v Wc S验证零向量是否在中满足

1.S0,0,0都有∈和∈个平面，这是一个二维子空间u+v Wcu W，所以零向量在中0-0+0=0S换言之，子空间对向量加法和数量乘法可以表示为，其中S{x,y,z|z=y-x}x验证加法封闭性设和

2.x₁,y₁,z₁运算是封闭的和是自由变量因此的一个基是y S在中，则x₂,y₂,z₂S x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂，维数为{1,0,-1,0,1,1}2需满足，展开x₁+x₂-y₁+y₂+z₁+z₂=0得，满足要x₁-y₁+z₁+x₂-y₂+z₂=0+0=0求验证数乘封闭性对于

3.，需满足cx,y,z=cx,cy,cz cx-，满足要求cy+cz=cx-y+z=c·0=0线性变换的标准定义

38.线性变换的本质线性变换是从一个向量空间到另一个向量空间的映射，它保持向量加法和标V WT:V→W量乘法的结构线性变换通常用矩阵表示，使得复杂的变换可以通过矩阵运算实现线性变换的两个条件映射是线性变换，当且仅当对于任意向量∈和任意标量，满足T:V→W u,v Vc条件一加法保持性Tu+v=Tu+Tv条件二标量乘法保持性Tcu=cTu这两个条件可以合并为一个αβαβ，其中αβ是任意标量T u+v=Tu+Tv,线性变换的几何理解从几何角度看，线性变换保持了原点不变，并保持网格线为直线且保持平行性常见的线性变换包括旋转、缩放、错切和投影等非线性变换则可能导致直线变曲线，或破坏平行性理解线性变换的本质，有助于我们更深入地掌握线性代数的核心概念和应用求线性变换矩阵表达

39.线性变换的定义给定线性变换，需要找到对应的矩阵，使得Tx,y=x+2y,3x-y A对任意向量，都有v Tv=Av标准基向量变换计算标准基向量在变换下的像T1,0=1,3T0,1=2,-1构造变换矩阵将标准基变换后的结果作为矩阵的列A=[12;3-1]验证结果对任意向量，计算x,y Ax,y

[12][x]=[1x+2y]=[x+2y][3-1]与的定义一致[y][3x-1y][3x-y]Tx,y求线性变换的像与核

40.线性变换的像（值域）线性变换的核（零空间）秩零化度定理-线性变换的像（也称为值域）是所有向量线性变换的核（也称为零空间）是所有满足根据秩零化度定理，对于线性变换，T T-T:V→W的集合，其中是定义域中的向量对于的向量的集合对于矩阵表示的有在本Tv vTv=0v AdimV=dimImT+dimKerT矩阵表示的线性变换，其像空间等于矩阵线性变换，其核空间等于方程的解空例中，，，AAAx=0dimV=2dimImT=2的列空间间，满足定理ColA dimKerT=0对于变换，其矩阵表示为求解方程，得到方程Tx,y=x+2y,3x-y[12;3-1][x;y]=[0;0]矩阵的秩为，因此像空间组这意味着变换是一个单射（因为核空间只有A=[12;3-1]A2{x+2y=0{3x-y=0T的维数为，即ℝ零向量）和满射（因为像空间是整个ℝ），因2ImT=²解得，因此，进而所以核²7y=0y=0x=0此是一个双射，也就是可逆的线性变换空间只包含零向量，维数为0,00特征值定义基础题

41.特征值与特征向量的定义几何意义对于矩阵，如果存在非零向量和标量，使得从几何角度理解，特征向量是在线性变换下，仅沿其方λn×n Av A，则称是矩阵的一个特征值，是对应于特征向被缩放而不改变方向的非零向量缩放因子就是对应的λλAv=v Av值的特征向量特征值λ特征方程可以改写为，其中是单位矩阵这如果特征值，则向量在该方向上被拉伸；如果λλλA-Iv=0I10表明特征向量是矩阵的零空间中的非零向量，则向量在该方向上被压缩；如果，则向量不仅被λλv A-I10缩放，还被反向为了找到特征值，我们需要解特征方程特征值和特征向量在许多应用中都很重要，如主成分分λdetA-I=0这个方程的解就是矩阵的所有特征值析、振动分析、谷歌的算法等A PageRank求阶矩阵特征值

42.2矩阵分析给定矩阵，求其特征值A=[31;02]构建特征方程特征方程λdetA-I=0λλdet[3-1;02-]=0计算行列式λλ3-2--0=0λλ²-5+6=0求解特征值因式分解λλ-3-2=0特征值λλ₁=3,₂=2求特征向量

43.特征值₂的特征向量λ=2特征值₁的特征向量λ=3代入，得到A-2Iv=0[3-21][x]确定特征值代入，得到A-3Iv=0[3-31][x]=

[11][x]=

[0][02-2][y]

[00][y]从上一题中，我们已经得知矩阵A==

[01][x]=

[0][02-3][y][0-1][y]

[0]的特征值为和λλ[31;02]₁=3₂=

[0]因此，即取，x+y=0x=-y y=1现在我们来求对应的特征向量2因此，可以取任意值取得到特征向量y=0xx=v₂=-1,1，得到特征向量1v₁=1,0特征向量不唯一，它们可以按任意非零常数倍缩放比如，对应的特征向量也可以表示为、等以特征λ₁=32,05,0向量为例，我们可以验证，满足特征向量的定义v₁=1,0Av₁=[31;02][1;0]=[3;0]=3[1;0]=3v₁判别可对角化

44.可对角化的定义可对角化的条件判断方法矩阵可对角化，当且仅当存在阶矩阵可对角化的充要条件求出矩阵的所有特征值及其A nA

1.A可逆矩阵和对角矩阵，使得是有个线性无关的特征向代数重数P DA n⁻对角矩阵的对量这等价于的每个特征值λP¹AP=D DA对每个特征值，求出其特征向

2.角元素是的特征值，的列是的几何重数等于其代数重数A P量，检查特征向量的数量（即几对应的特征向量何重数）是否等于代数重数若所有特征值的几何重数都等

3.于代数重数，则矩阵可对角化举例说明对于矩阵，其特征A=[31;02]值为λλ，都是单重特₁=3,₂=2征值特征向量分别是v₁=1,0和，线性无关因此v₂=-1,1A可对角化，对角化结果为⁻，其中P¹AP=[30;02]P=[1-1;01]正交向量判断

45.正交投影练习

46.正交投影公式向量在向量上的正交投影1b a proj_a b=a·b/a·aa几何意义表示向量在向量方向上的分量b a计算示例3如，则a=3,4,b=1,2proj_a b=3×1+4×2/3²+4²×3,4正交投影有广泛的应用，从物理学中的力的分解到机器学习中的降维技术正交投影背后的数学原理是向量空间中的分解定理任意向量可以唯一地分解为平行于向量b a的分量和垂直于向量的分量的和a计算向量在向量上的正交投影的步骤ba计算向量和的内积

1.a ba·b计算向量的平方范数

2.a a·a=|a|²计算投影系数

3.a·b/a·a将投影系数乘以向量

4.aproj_ab=a·b/a·aa格拉姆施密特正交化

47.—123初始向量第一个正交向量第二个正交向量v₁=1,1,0,v₂=1,0,1u₁=v₁=1,1,0u₂=v₂-proj_u₁v₂=1,0,1-1/21,1,0=

0.5,-

0.5,1格拉姆施密特正交化是一种将一组线性无关的向量转换为一组正交向量的方法这一过程在许多数学和工程应用中都很重要，如最小二乘法、量子-力学和信号处理等正交化过程的步骤如下取

1.u₁=v₁对于，计算

2.k=2,3,...,n u_k=v_k-∑_{j=1}^{k-1}proj_{u_j}v_k如果需要获得单位正交基（即正交规范基），还需要对每个正交向量进行归一化e_k=u_k/|u_k|对于上面的例子，我们还可以继续计算单位正交基e₁=u₁/|u₁|=1,1,0/√2=1/√2,1/√2,0e₂=u₂/|u₂|=

0.5,-

0.5,1/√

1.5=

0.5/√

1.5,-

0.5/√

1.5,1/√

1.5分解练习

48.QR分解的定义1QR分解是将一个矩阵分解为两个矩阵的乘积，其中是正交矩阵（即），QR AA=QR QQ^T Q=I R是上三角矩阵分解步骤对的列向量进行格拉姆施密特正交化，得到正交向量组

1.A-将正交向量归一化，得到单位正交向量组，这些向量构成矩阵的列

2.Q计算矩阵，它是一个上三角矩阵

3.R=Q^T A计算示例3设A=[11;10;01]对的列，进行正交化A a₁=1,1,0a₂=1,0,1q₁=a₁/|a₁|=1/√2,1/√2,0q₂=a₂-q₁·a₂q₁/|a₂-q₁·a₂q₁|最终得到，Q=[q₁q₂]R=[q₁·a₁q₁·a₂;0q₂·a₂]应用场景分解在许多领域都有应用，如求解线性最小二乘问题、特征值计算、数值稳定性分析等它是线性QR代数中最基本的矩阵分解之一总结与答疑课程内容回顾学习建议本次线性代数练习课覆盖了从基础向量运算到高级矩阵分要掌握线性代数，建议解的各个方面，包括理解概念的几何意义，不仅限于公式记忆•向量的加减法、点积、叉积以及线性关系判断•多做练习，特别是概念应用题•矩阵的基本运算、行列式计算与性质•将抽象概念与具体例子联系起来•线性方程组的各种解法与解的类型分析•复习时构建知识网络，理解概念间的联系•向量空间、子空间、基与维数•利用可视化工具辅助理解复杂概念•线性变换、像空间和核空间•组建学习小组，相互讨论和解释问题•特征值与特征向量、矩阵对角化•欢迎在课后提出问题，我们将在下一次课程中进行更深入正交性、格拉姆施密特正交化和分解•-QR的讨论。