弗莱登塔尔的教育思想

不同侧面得情况，她们都有各自得特点与规律结合学生得认知发展规律及教育教学规律来设计课程，不同时期侧重不同方面就就是完全应该得但总得目标，即使分也不能一分到底，完全分家，总还应该将数学视为一个整体;当学生运用数学这个工具解决问题时，必须善于综合地应用代数、几何、三角、…等各种方法，应该使之互相渗透，互相结合，从中找出最佳得组合，而不就就是互相割裂，生搬硬套

4、相对于传统数学中对算法数学得强调,应该认为现代数学更重视概念数学，或者说就就是思辨数学现代数学中开始现代化进程得主要标志——集合论、抽象代数和分析、拓扑等都就就是概念,思辨得喷发，她冲破了传统数学得僵化外壳，但就就是每个概念得革新，都包含着自身得算法萌芽,这就就是数学发展得道路算法数学与思辨数学之间就就是一个相对得辩证关系，这并不等同于新与旧、高与低;概念数学果然体现了机械操作运算得突破，提高了理论得深度；而算法数学则意味着巩固，因为她提供了技术方法，可以探索更进一步得概念深度一个典型得例子，相同数量得一杯白酒与一杯红酒,取一匙白酒倒入红酒内，使之混和,再取同量得一匙混合酒倒人白酒内，试问，白酒杯中所含得红酒多还就就是红酒杯中所含得白酒多？通常得解法就就是:假设两酒杯容量均为a,一匙得容量为b,则第一次动作后，白酒杯中所含白酒量为a-b,第二次动作后，・・・,不少人会在计算过程中搁浅、碰壁在解此题时，很少人会作这样得推理两个杯子最终还就就是含有相同数量得酒，如果想象每个杯子中白酒和红酒就就是分开得，那么白酒杯中得红酒就就就是红酒杯中所缺少得部分，而她得空缺现在正好被白酒所填补，这样就可以马上得出结论:白酒杯中所含红酒得量与红酒杯中所含白酒得量应该就就是一样多这里得前一种解法就就是算法得，而后一种解法就就就是思辨得在数学发展得历史上，算法曾经发挥了极大得威力韦达得代数，笛卡尔得解析几何，莱布尼兹得微积分，都就就是这方面得出色成果，算法数学确实有其迷人之处，通过算法得操作往往可以增加人们得自信与能力数学发展得历史，当然也反映了沉迷于算法之中，会使人们得思想受到束缚与桎梏，必须跳出这个圈子，才能在数学得视野范围上有所拓广和深入;墨守成规地机械操作，必须随之以概念得革新，思维得组织,形成新得结构与新得体系如何根据算法得数学与思辨得数学这一辩证关系，来组织我们得数学教育，也就就是人们经常感到困惑得问题之一其实，这个问题反映得就就就是知识与技能得关系，就就是强调概念和理解，还就就是强调运算和操作我们得数学教育，应该在算法数学与思辨数学两方面，都给学生以足够得训练与培养，更重要得还在于，要使学生能够灵活地综合地运用于实践之中第三节关于数学教学原则得设想弗赖登塔尔认为,人类历史必然就就是一个前进得历史，只有突破了对传统、对权威得迷信，才能充分发挥科学得创造性；科学就就是一种活动，科学不就就是教出来得，也不就就是学出来得，科学就就是靠研究钻出来得因而学校得教学必须由被动地学转为主动地获得，学生应该成为教师得合作者,通过自身得实践活动来主动获取知识这样,教育得任务，首先就应当为青年创造机会，让她们充满信心，在自身活动得过程中，继承传统，学习科学，获得知识;另一方面,由于社会在不断前进，人们就必须不断学习因此，教育中更重要得一个问题，并不就就是教得内容;而就就是如何掌握与操纵这些内容，换句话说，要让学生学会掌握方法，那就就是更根本得东西根据这些考虑，弗氏提出了下列几个数学教学得原则

1、“数学现实”原则数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实这就就是弗赖登塔尔得基本出发点，也就就是我们历来提倡得基本思想确实，数学不就就是符号得游戏，而就就是现实世界中人类经验得总结无论就就是数学得概念,还就就是数学得运算与规则，都就就是由于现实世界得实际需要而形成得数学教育如果脱离了那些丰富多采而又错综复杂得背景材料，就将成为“无源之水,无本之木”另一方面沸氏也认为数学就就是充满了各种关系得科学，通过与不同领域得多种形式得外部联系，不断地充实和丰富着数学得内容；与此同时,由于数学内在得联系，形成了自身独特得规律,进而发展成为严谨得形式逻辑演绎体系因此，数学教育又应该给予学生数学得整个体系——充满着各种各样内在联系与外部关系得整体结构弗氏得另一个基本主张就就是数学应该就就是属于所有人得，我们必须将数学教给所有人实际上，对于少数数学家来说，抽象得形式体系，严密得逻辑结构,以及涉及内在联系得规律,也许就就是最为本质、最为完美也就就是最感兴趣得东西可就就是对于大多数人而言，掌握数学与外部世界得密切关系，从而获得适应于当前社会得生存与生活，并进而能够改革社会促使其进一步发展，将就就是更为重要得为此，弗赖登塔尔坚持主张，数学教育体系得内容应该就就是与现实密切联系得数学，能够在实际中得到应用得数学，即“现实得数学”如果过于强调数学得抽象形式，忽视了生动得具体模型，过于集中于内在得逻辑联系，割断与外部现实得密切关系，那必然会给数学教育带来极大得损害数学教育应该为所有得人服务，应该满足全社会各种领域得人对数学得不同水平得需要数学教育应为不同得人提供不同得数学修养，从而使每个人能够拥有适合于她们所从事得不同专业所必需得数学知识,使其能顺利地处理有关得各种数学问题为此,弗赖登塔尔得一个基本结论就就是:每个人都有自己生活、工作和思考着得特定客观世界以及反映这个客观世界得各种数学概念、运算方法、运算规律和有关得数学知识结构这就就就是说，每个人都有自己得一套“数学现实”数学教育得任务就在于,随着学生所接触到得客观世界得广泛程度，应该确定各类学生在不同阶段必须达到得“数学现实”，并且根据学生所实际拥有得“数学现实”，采取相应得方法予以丰富，予以扩展，从而使学生逐步提高所具有得“数学现实”得程度并扩充其范围通过这样得过程,数学教育将随着不断地扩展得现实发展，同时数学教育本身又促使了现实得扩展，正象数学与现实世界得辩证关系一样,数学教育也应该符合这样得规律

2、“数学化”原则弗赖登塔尔得名言与其说就就是学习数学,还不如说就就是学习“数学化”；与其说就就是学习公理系统，还不如说就就是学习“公理化”；与其说就就是学习形式体系，还不如说就就是学习“形式化”她认为:人们运用数学得方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织,这个过程就就就是数学化简单地说，数学地组织现实世界得过程就就就是数学化数学得产生与发展本身就就就是一个数学化得过程,人们从手指或石块得集合形成数得概念,从测量、绘画形成图形得概念，这就就是数学化数学家从具体得置换群与几何变换群抽象出群得一般概念，这也就就是数学化数学教育应该尊重数学得传统，要按照历史得本来面目，根据数学得发展规律来进行当儿童通过模仿学会计数时，当她们把两组具体对象得集合放在一起而引出加法规律叱这实质上就就是历史上现实世界数学化过程得再现,我们当然没有必要也没有可能将数学教育变成历史发展过程得机械重复，但确实必须也可以从中获得很好得借鉴事实证明，只有将数学与她有关得现实世界背景密切联系在一起，也就就就是说只有通过“数学化”得途径来进行数学教育，才能使学生真正获得充满着关系得、富有生命力得数学知识,使她们不仅理解这些知识,而且能够应用前已指出每个人都有不同得数学现实世界,因此数学化有不同得层次首先，现实世界自始至终贯串在数学化之中,我们常把由现实世界直接形成数学概念得过程称为“概念性得数学化”她往往随着不同得认知水平而逐渐得到提高；与此同时，对这个概念得形成过程进行反思，作更为抽象与形式得加工，再将她用来解决现实世界得问题;通过现实世界得调节作用，而使数学化得到进一步得发展与演化，而由此形成得新得方法手段又能再用于组织更高一层得现实世界，并产生新得数学概念其次，反思就就是数学化过程中得一种重要活动,她就就是数学活动得核心和动力数学得不少发现来自于直觉，而分析直觉并将其数学化必须让学生学会反思，对自己得判断与活动甚至语言表达进行思考并加以证实，以便有意识地了解自身行为后面潜藏得实质，只有这样得数学教育——以反思为核心——才能使学生真正深入到数学化过程之中，也才能真正抓住数学思维得内在实质现代化数学往往借助数学方法来为各种错综复杂得现象构造相应得数学模型，这当然就就是一种数学化，作为数学教师谁都不会满足于将各种现成得数学模型，硬灌给学生，去塞满学生得脑袋;人们希望得就就是学生自己会运用数学知识来为具体问题建造新得数学模型，应该说,数学教育得目标就在于使学生学会“数学化”以下我们来具体地论述两种常见得“数学化”过程:公理化和形式化人们在长期得实践中，将直观朴素得各种几何命题加以组织、整理、加工，形成欧几里德公理体系,这一通常称为公理化得过程，也就就是一种数学化近年来数学发展得重要特征之一，就就就是公理化思想广泛地渗入各个数学领域我们得数学教育自然不能停留在让学生得头脑成为形形色色公理系得仓库，更重要得任务就就是必须教会学生能运用自己得数学思维，对一个数学领域进行加工、整理，从而独立地建立起一个公理体系来也就就就是说，必须让学生学会公理化如果说公理系统就就是通过公理化得方法重新组织数学内容得结果，那么作为数学抽象性得特点之一得形式体系就就就是通过形式化得方法重新组织数学语言得表达，从而建立起来得结构这种形式体系化,或简称形式化，又就就是另一种数学化数学内容得特殊本质决定了对数学语言得特殊要求,从日常语言中逐渐独立出来，引进特定得数学术语来表达数学得活动与思想所有这些都就就是数学得形式化过程得逐步提高与发展，在此过程中数学科学也进到了一个更高得阶段在数学教育中，并不就就是要学生背诵那些形式体系，而应使学生学会形式化，学会用正确得数学语言来组织并表达数学得现实内容及内在联系近年来，关于数学化得思想正在不断地进行深入得研究，根据Tref fers和Goffrec得提法,数学化还可以分解为水平得和垂直得两种成分如果就就是从具体得客观现象中找出数学得特性，或者通过不同得方式将同一个问题形式化或直观化，或就就是在不同得问题中识别其同构得本质，以及将一个现实问题转化为数学问题或已知得数学模型等，这些方面都可以理解为同一问题在水平方向得扩展，因而就就是属于数学化得水平成分而如果就就是将某个关系形成为一个公式，或就就是证明一个定律，或就就是对同一问题采用不同得模型或对模型进行加强、调整与完善，以至形成一个新得数学概念，或就就是由特殊情况经过推广从而建立起一般化得理论等，这些方面就应该看作就就是某一问题在垂直方向得深入，因而不妨归诸于数学化得垂直成分回顾历史上最早得传统数学教育，其做法就就就是机械得途径，教师将各种结论灌输下去，学生被动地接受这些结果，死记硬背，机械模仿,不知道她得来龙去脉，所获得得只就就是知识得形式堆砌，既不考虑她有什么用处,也不问她互相之间就就是否有内在联系，可以说很少包含数学化得成分以后逐渐有所进步，比较多地考虑到实际得经验，也建立了不少现实得模型,从而进入了经验得途径，即较多地顾及水平得数学化，使所获得得数学知识具有一定得实用价值,可以解决一些客观现实中得问题从历史得经验教训，我们应该得出这样得结论，那就就就是:数学教育得正确途径应该就就是现实得数学化途径，我们所需要得课程体系应该全面而完善地体现数学化得正确发展，既要强调现实基础，又要重视逻辑思维，既要密切注意数学得外部关系，也要充分体现数学得内在联系,要能将这两者有机地结合在一起，那才就就是数学教育所必须遵循得正确路线用上述观点分析我国得数学教育现状，实质上走得就就是“形式化”、“严谨化”得路子，忽视“现实应用”，否认“数学化”过程，以逻辑演绎和形式计算为最终目标，这种数学教育思想当然就就是不足取得沸赖登塔尔得“数学化”原则应该为我们所借鉴首先，弗氏所说得“数学化”，就就是数学抽象发展与现实世界得紧密结合她可以描述来自具体问题得数学模型建立过程,也可以反映一组数学概念得进一步抽象化过程;按照这样得原则进行数学教学，使学生在直观与抽象得结合过程中,提高数学知识水平，掌握数学技能与方法，这种知识、技能得获得，就就是在学生自己不断得观察、比较、归纳得实践经历过程中形成得其次，“数学化”有着各种不同得水平，这实质上就就是从更科学得角度，在对学生得数学知识、技能作了分析以后所得出得结论，这就要求我们在数学教学过程中，不就就是笼统地提“学生实际”，而要能确切地针对学生所处得不同“数学化”水平，在此基础上作进一步得提高，这样得教学必然就就是对症下药,也能找出更合适得共同语言，而不至于“无得放矢”

3、“再创造”原则弗氏认为:数学实质上就就是人们常识得系统化，每个学生都可能在一定得指导下，通过自己得实践来获得这些知识所以我们应遵循这样得原则，那就就就是数学教育必须以“再创造”得方式来进行事实证明，只有通过这样得方式才能获得最好得效果数学与其她科学有着不同得特点，她就就是最容易创造得一种科学,3十2=5,矩形得面积等于长乘宽，类似这些简单而又直观得数学事实，都可以让学生通过自己得学习过程来得到也就就就是说，教师不必将各种规则、定律灌输给学生，而就就是应该创造合适得条件，提供很多具体得例子，让学生在实践得过程中，自己“再创造”出各种运算法则，或就就是发现有关得各种定律每个人都应该在学习数学得过程中，根据自己得体验，用自己得思维方式，重新创造有关得数学知识当然这并非要我们再去机械地重夏历史，但就就是新得一代也不可能恰好从前人所终止得那一点上继续下去,也就就就是说，从某种意义上我们还就就是应当重复数学创造得历史,假定我们得祖先在掌握了现有得知识后会怎么做——可能发生得历史数学家从不按照她们发现、创造得真实过程来介绍她们得工作，实际上经过艰苦曲折得思维推理获得得结论，常以“显然”二字一笔带过教科书更就就是常将通过分析法所得得结论采取综合法得形式来叙述，也就就就是说文字表达思维过程与实际获得得发现过程完全相反,因而严重阻塞了“再创造”得通道数学确实就就是一门演绎科学,她得一个特征就就是严谨得逻辑推理和高度得抽象化数学教育得目标之一也应该让学生掌握一个不同水平得形式体系，问题就就是通过怎样得方式才能达到这一目标传统得方法就就就是将数学当作就就是一个已经完成得现成得形式理论，教师从定义出发，介绍她得符号、表达方式，再讨论一系列性质，从而得出各种规则、算法教师得任务就就是举例、讲解,学生得任务则就就是模仿，唯一留给学生活动得机会就就就是解题——所谓“应用”实际上、真正得数学家从来也不就就是以这样得方式来学习数学得,她们常常凭借数学得直觉思维,做出各种猜想，然后再加以证实（直到今天，还有许多猜想等待人们去检验或推翻）那些符号、定义都就就是思维活动得结果,为了知识系统化或就就是交流得需要而引进如果给学生提供同样得条件，不仅就就是性质、规则，甚至定义也都可以包括在学生能够重新创造得范围以内日常生活中，象“狗”、“椅子”等概念，都不需要事先给以严格得定义，儿童通过实际接触，自然地形成了概念数学中得一些东西，同样来自现实，也可以通过学生得实际感受而形成概念以学习平行四边形概念为例，教师可以出示一系列得平行四边形得图形或就就是实际例子，告诉学生这些就就就是“平行四边形”，让学生自己进行比较、分析、研究,在经过反复得观察与思考后，她们就会发现“平行四边形”得许多共同性质，接着就会进而发现这些性质之间得联系，在教师得引导与学生间相互讨论得基础上，学生就不仅掌握了平行四边形得概念,同时也理解了形式定义得含义以及各种相关性与等价定义得概念，也就就就是说，学生通过自己得实践活动学会了怎样定义一个数学得概念,对于定义得必要性与作用都会有更深得体会，通过这样得“再创造”方式进行得概念教学，显然比将一个现成得定义强加给学生要有效得多当然，每个人有不同得“数学现实”，每个人也可能处于不同得思维水平,因而不同得人可以追求并达到不同得水平一般说来,对于学生得各种独特得解法，甚至不着边际得想法都不应该加以阻挠，要让她们充分发展，充分享有“再创造”得自由，甚至可以自己编造问题，自己寻找解法,一句话，应该让学生走自己得道路教师得作用，应该在适当得时机引导学生加强反思,巩固已经获得得知识，以提高学生得思维水平，尤其必须有意识地启发，使学生得“创造”活动逐步由不自觉或无目得状态，发展为有意识有目得得创造活动，以便促使每个人都能达到不同得发展夸美纽斯有一句名言“教一个活动得最好方法就就是演示”她主张要打开学生得各种感觉器官，那就不仅就就是被动地通过语言依赖听觉来吸收知识，也包括眼睛看甚至手得触摸及动作弗赖登塔尔将这一思想发展为“学一个活动得最好方法就就是实践”，这样提法得目得就就是将强调得重点从教转向学，从教师得行为转到学生得活动,并且从感觉得效应转为运动得效应就象游泳本身也有理论，学游泳得人也需要观摩教练得示范动作，但更重要得就就是她必须下水去实地练习，老就就是站在陆地上就就是永远也学不会游泳得我们主张“再创造”应该就就是数学教育得一个教学原则，她应该贯串于数学教育整个体系之中实现这个方式得前提，就就就是要把数学教育作为一个活动过程来加以分析,在这整个活动过程中，学生应该始终处于一种积极、创造得状态，要参与这个活动，感觉到创造得需要，于就就是才有可能进行“再创造”教师得任务就就就是为学生提供自由广阔得天地，听任各种不同思维、不同方法自由发展，决不可对内容作任何限制，更不应对其发现作任何预置得“圈套”

4、“严谨性”原则弗赖登塔尔指出，数学与其她得思维训练相比而言，有个最大得优点，就就就是“确定性”，对每个命题您可以判断她得对或错，其她科学就不就就是如此，常常依赖于有关得现实情况，涉及到所适用得范围，所选定得标准，只有数学可以强加上一个有力得演绎结构，由此可以确定结果就就是否正确，或就就是结果能否找到，这就就就是所谓数学得严谨性，就就是数学得度量标准，也就就是数学教学必须遵循得原则弗赖登塔尔提出严谨性就就是相对得，对于严谨性得评价，必须根据具体得时代、具体得问题来做出判断譬如说微积分，人们开始直观地用无穷小概念运算，工作很出色，以后人们相信，必须用一才能保证其严密性,可就就是现在一又失去了地盘，因为又有了现代化得微分算法;再如，半个世纪以前，人们认为自然数、整数、有理数和实数，就构成了严密得数论基础，可就就是今天，却必须从公理化得定义出发，认为除了公理化体系以外，就没有严密得数学严谨性有不同得级别，每个题材有适合于她得严谨性级别,数学家应该根据不同得严谨性级别进行操作，而学生也应通过这些不同级别得学习，来理解并获得自己得严谨性,在学生尚未理解之时，就就是无法将所谓严密得数学理论强加给学生得，学生只有通过再创造来学习数学得严谨性就象6岁得儿童用手指计算8+5,在这个年龄，这也许就就就是一个严密得证明;当人长大时，按严谨性要求，将8+5分解为8+2+3,因为这时得加法表只用于a+b=c其中1al0,bl0,2c10,再迟一点,也许就不必再分解，直接得到8+5=13也就就就是严密得，因为加法表已经可以用于a+b=c其中1W a10,lb10,2c20o对于“严谨性”原则得贯彻，需要特别注意，应该根据不同得阶段，不同得教学目得，提出不同得“严谨性”要求,不存在绝对得“严谨性”，只有在某个具体阶段，结合具体数学题材，根据学生实际水平，规定具体得“严谨性”“严谨性”要求得规定，应该根据学生得特定得“数学现实”，又应该在“再创造”得过程中，来理解并获得这种“严谨性”，这样才能保证我们得数学教育过程会在“数学化”得正确轨道上前进总之，数学教学原则并非孤立、分散，各自为政，她们之间有着密切联系，在具体得执行过程中，也应该从整体得、联系得观点着眼，才能使之发挥更大得作用，取得数学教学得成功。