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第四章生产论
1、下面表4—1就就是一张一种可变生产要素得短期生产函数得产量表:表4——1可变要素得数量可变要素得总产量可变要素得平均产量可变要素得边际产量1221032412456066770809631在表中填空⑵该生产函数就就是否表现出边际报酬递减如果就就是，就就是从第几单位得可变要素投入量开始得？解答⑴利用短期生产得总产量TP、平均产量AP和边际产量MP之间得关系,可以完成对该表得填空，其结果如表4—2所示:表4—2可变要素得平均产量可变要素得边际产量可变要素得数量可变要素得总产量122221261024812344812245612126661167704108708\f3049637—7⑵所谓边际报酬递减就就是指短期生产中一种可变要素得边际产量在达到最高点以后开始逐步下降得这样一种普遍得生产现象本题得生产函数表现出边际报酬递减得现象,具体地说，由表4—2可见，当可变要素得投入量从第4单位增加到第5单位时，该要素得边际产量由原来得24下降为12o
2、用图说明短期生产函数Q=f L,山eq\oK,\s\up6-小得TPL曲线、AP曲线和MPL曲线得L特征及其相互之间得关系解答:短期生产函数得TPL曲线、APL曲线和MPL曲线得综合图如图4—1所示
15、画图说明厂商在既定产量条件下就就是如何实现最小成本得最优要素组合得解答:以图4—4为例，要点如下1由于本题得约束条件就就是既定得产量，所以，在图4—4中，只有一条等产量曲线上eq\oQ,\s\up6-小;此外，有三条等成本线力A/Br和，B〃以供分析，并从中找出相应得最小成本⑵在约束条件即等产量曲线山eq\o Q,\s\up6-
4、、给定得条件下，先看等成本线AB,该线处于等产量曲线,以eq oQ,\s\up6一小以下，与等产量曲线e q\Q\s\up6一小既无交点又无切点,所以，等成本线所代表得成本过小,她不可能生产既定产量山eq\o Q\s\up6一小再看等成本线工〃8〃，她与既定得等产量曲线交于w、b两点在这种情况下，厂商只要从z点出发，沿着等产量曲线山cq\oQ\s\up6-小往下向上点靠拢,或者，从6点出发，沿着等产量曲线山eq\o Q\s\u6-小往P上向石点靠拢,就都可以在既定得产量条件下，通过对生产要素投入量得调整，不断地降低成本，最后在等产量曲线山eq\Q,\s\叩6一小与等成本线4H得相切处七点，实现最小得成本由此可得,厂商实现既定产量条件下成本最小化得均衡条件就就是“77夕人二山cq\f w,r小,且整理可得山eq7MPL,功人=eqr小由图4-1可见，在短期生产得边际报酬递减规律得作用下，MP曲线呈现出先上升达到最高点AL以后又下降得趋势从边际报酬递减规律决定得MPL曲线出发，可以方便地推导出T P L曲线和AR,曲线，并掌握她们各自得特征及相互之间得关系关于TPL曲线由于MPL=“eq\f力TL,A小，所以，当MPL0时,TPL曲线就就是上升得；当MPL0时,TP1,曲线就就是下降得；而当MP[=O时,TR,曲线达最高点换言之，在L二L3时，MPL曲线达到零值得B点与TPL曲线达到最大值得B点就就是相互对应得此外，在LVL3即MPL得范围内，当MP L0时,TPL曲线得斜率递增，即TPL曲线以递增得速率上升;当MP L0时,TP1,曲线得斜率递减，即TPL曲线以递减得速率上升;而当M P=0时,TPL曲线存在一个拐点,换言之，在L=LI时,MPL曲线斜率为零得A点与TPL曲线得拐点A就就是相互对应得关于APL曲线由于APL=_cq\fTP,L小,所以，在L二L2时，TPL曲线有一条由原点出发L得切线，其切点为C该切线就就是由原点出发与TPL曲线上所有得点得连线中斜率最大得一条连线，故该切点对应得就就是APL得最大值点再考虑到APL曲线和MPL曲线一定会相交在APL曲线得最高点因此，在图4—1中，在L=匕时,APL曲线与MPL曲线相交于AR,曲线得最高点C,而且与C点相对应得就就是TPL曲线上得切点C
3、已知生产函数Q=fL,K=2KL-
0、5L2-05K2,假定厂商目前处于短期生产,且K=101写出在短期生产中该厂商关于劳动得总产量TPL函数、劳动得平均产量APL函数和劳动得边际产量MR,函数2分别计算当劳动得总产量TPL、劳动得平均产量APL和劳动得边际产量MPL各自达到最大值时得厂商得劳动投入量⑶什么时候APL=MPL她得值又就就是多少？解答1由生产函数Q=2KL-
0、51—
0、512,且K=10,可得短期生产函数为Q=20L-051/
0、5X102=20L-051-50于就就是，根据总产量、平均产量和边际产量得定义，有以下函数劳动得总产量函数:TPL=20L-
0、5L2-50劳动得平均产量函数:APL=TPJL=20-
0、5L-50/L劳动得边际产量函数:MPL=P L/L=20-L⑵关于总产量得最大值令“TPL/dL=0,即dT PL/6L=20—L=0解得L=20且c72TP/dT=-l0L所以,当劳动投入量L=20时,劳动得总产量TPL达到极大值关于平均产量得最大值令dAPL/dL=0,即APL/L=—
0、5+50L-2=0解得L=10已舍去负值且^/2AP/r7L2=-100L-30E所以,当劳动投入量L=10时，劳动得平均产量APL达到极大值关于边际产量得最大值由劳动得边际产量函数MPL=20—L可知，边际产量曲线就就是一条斜率为负得直线考虑到劳动投入量总就就是非负得，所以,当劳动投入量L=0时，劳动得边际产量MP】,达到极大值3当劳动得平均产量APL达到最大值时，一定有APL=MPL由2已知，当L=10时，劳动得平均产量APL达到最大值，即相应得最大值为APL得最大值二20-
0、5X10-50/10=10将L=10代入劳动得边际产量函数MPL=20-L,得MPL=20—10=100很显然，当AP=MP=10时，APL一定达到其自身得极大值，此时劳动投入量为L=10L Lo
4、区分边际报酬递增、不变和递减得情况与规模报酬递增、不变和递减得情况解答:边际报酬变化就就是指在生产过程中一种可变要素投入量每增加一个单位时所引起得总产量得变化量，即边际产量得变化，而其她生产要素均为固定生产要素,固定要素得投入数量就就是保持不变得边际报酬变化具有包括边际报酬递增、不变和递减得情况很显然，边际报酬分析可视为短期生产得分析视角规模报酬分析方法就就是描述在生产过程中全部生产要素得投入数量均同比例变化时所引起得产量变化特征，当产量得变化比例分别大于、等于、小于全部生产要素投入量变化比例时，则分另U为规模报酬递增、不变、递减很显然，规模报酬分析可视为长期生产得分析视角
5、已知生产函数为Q/A{2L3K}o求1当产量Q=36时,L与K值分别就就是多少？⑵如果生产要素得价格分别为Pi=2,P5，则生产480单位产量时得最小成本就就是多少？解答1生产函数Q=m//7{2L,3K}表示该函数就就是一个固定投入比例得生产函数,所以，厂商进行生产时，总有Q=2L=3K因为已知产量Q=36,所以，相应地有L=18,K=122由Q=2L=3K,且Q=480,可得L=240,1=160又因为PL=2,P=5,所以有KC=PL・L+PK•K=2X240+5X160=1280即生产480单位产量得最小成本为1280o
6、假设某厂商得短期生产函数为Q=35L+8L2-L\求1该企业得平均产量函数和边际产量函数2如果企业使用得生产要素得数量为L=6,就就是否处理短期生产得合理区间？为什么？解答平均产量函数:AP L=^cq\fQL,Lu=35+8L-I边际产量函数:MPL尸=eq\fgL0L,j、、=35+16L—3I2首先需要确定生产要素L投入量得合理区间在生产要素L投入量得合理区间得左端，有AP=MP,于就就是，有35+8L-I2=35+16L—3L2解得L=0和L=4L=0不合理，舍去，故取L=4O在生产要素L投入量得合理区间得右端，有MP=0,于就就是，有35+16L-317=0解得1=一\f5,3小和L=7L二/eq\f5,3小不合理，舍去，故取L=7由此可得，生产要素L投入量得合理区间为［4,7］因此，企业对生产要素L得使用量为6就就是处于短期生产得合理区间得
7、假设生产函数Q=3L°、8[、2试问:⑴该生产函数就就是否为齐次生产函数？⑵如果根据欧拉分配定理，生产要素L和K都按其边际产量领取实物报酬，那么，分配后产品还会有剩余吗？解答:1因为fXL,XI=3XL080K°、2=入°、8+
0、23L°、8K°、2二入•3L08K02=入.f L,K所以，该生产函数为齐次生产函数，且为规模报酬不变得一次齐次生产函数2因为MPL=“cq\f dQ,dL
4、、=
2、4L-02I02MPK二eq\f〈Q,乐小二
0、6L°、81-08所以，根据欧拉分配定理，被分配掉得实物总量为二
2、4L08K02+06L°、8K°、2=3L08I0MP-L+MPK-K=
2、4匚°、2K02-L+
0、6L°、8Ko8-KL可见，对于一次齐次得该生产函数来说，若按欧拉分配定理分配实物报酬，则所生产得产品刚好分完,不会有剩余
8、假设生产函数力{5L,2K}⑴作出Q=50时得等产量曲线2推导该生产函数得边际技术替代率函数3分析该生产函数得规模报酬情况o解答:⑴生产函数Q=m in{5〃2用就就是固定投入比例生产函数，其等产量曲线如图4-2所示为直角形状，且在直角点两要素得固定投入比例为山K/L=5/2小K=；5_L~1/30=25502010Z01020图4—2当产量Q=50时，有5L=2K=50,即L=10,K=25相应得Q=50得等产量曲线如图4一2所示⑵由于该生产函数为固定投入比例，即L与K之间没有替代关系，所以，边际技术替代率MRTS=0OLK3因为Q=fL,K=m/n{5L,2K}f XLAK=m i/{5入L,2入K}=Mn/7{5L,2K}所以该生产函数为一次齐次生产函数，呈现出规模报酬不变得特征
9、已知柯布道格拉斯生产函数为Q=AUK也请讨论该生产函数得规模报酬情况解答:因为Q=fL,K=AUKSfXLAK=AXLaM p=Xa+pALaKp所以当OC+§1时，该生产函数为规模报酬递增;当oc+§=l时，该生产函数为规模报酬不变;当时，该生产函数为规模报酬递减
10、已知生产函数为同Q=5L山eq\fl,3小K山eq\f2,3小、；5Q=“e q\f IL K+Lz,0Q=II;d Q=min{3L,K}o求:1厂商长期生产得扩展线方程2当PL=1,P1,Q=1000时，厂商实现最小成本得要素投入组合解答1⑶关于生产函数Q=5L山eq\fl,3小K山e q\f2,3小MPL=山e q\f5,3小、L-山eq\f2,3小、K山eq\f2,3小、M P K二山eq\f10,3小、L十eq\fl,3小K-山e q\fl,3小由最优要素组合得均衡条件eq\fMP MP.二山e q\f P P小,可得L K4L K山eqf5,3小L一山eq\f2,3小K山e q\f2,3小、，山eq\f10,3小、L“eq\f1,3小K一山eq\f1,3小小=eq\电匕P K小、整理得山eq\fK,2L小、=山e q\fP PQ小、Lj即厂商长期生产得扩展线方程为K二“eq\b\lc\\rc\\a\vs4\a1\C ol\f2PPLL,Kb关于生产函数Q=山eq\fKL,K+L小MP=山eq\f KK+L-KL/K+L2小=山e q\f《K+L2小LM P=eq\fLK+L-KL,K+L2小=W cq\fT K+L2K5由最优要素组合得均衡条件Weq\f MR.,MPK,J、、二山eq fPLFK
4、、,可得十e qf K2/K+L2,L2/K+L2小、二山eq\f P^PK小、整理得山eq壮1代1小二山eq\f PP小、L,K即厂商长期生产得扩展线方程为K=eq\b\l c\\r c\\\vs4\a1\c o17PL,PK小山eq\f1,2小、.Lac关于生产函数Q二KI」MP=2ILLMP=L2K由最优要素组合得均衡条件山eq fMPL,MPK
4、、=“eq\RPL,PK小，可得山eq\f2KL,L2小=十eq\f P,P小LK即厂商长期生产得扩展线方程为1=山e q\b\lc\\rc\\a\v s4\a l\c ol\fP,2P小LL K⑷关于生产函数Q=m3L,I由于该函数就就是固定投入比例得生产函数，即厂商得生产总有3L二K,所以，直接可以得到厂商长期生产得扩展线方程为K=3L22关于生产函数Q=5L山eq\fl,3小K口血，3小当P=1,PK=1,Q=1000时，由其扩展线方程K=w eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\col\f2PL,PK
4、、L得K=2L代人生产函数Q=5L山e q\fl,3小K山eq\f2,3小、得5L山eq\fl,3〃、、2L山eq\f2,3小、二1000于就就是，有L=Teq\f200,\r3,4“K=Weq\f400,\r3,4小伪关于生产函数Q=“eq\f KL,K+L小、当PL=1,PK=1,Q=1000时，由其扩展线方程K=山eq\b\l C\\rc\\a\vs4\a1\col\f PL,PK4」eq\fl,24」得K=L代入生产函数Q二,eq\f KL,K+L小，得山eq\f I,L+L
4、、=1000于就就是，有L=2000,I=2000o关于生产函数Q=KL2当PL=1,PK=1,Q=1时，由其扩展线方程K=山eq\b\1c\\rc\\a\vs4\al\c ol\f PL,2PK
4、、L得K=八q\f1,2L代入生产函数Q=KI,得山e q\b\1c\\rc\\a\vs4\al\col\f L,2小・L2=l000于就就是，有L=10山e q\r3,2小,K二5山eq\r3,2小⑷关于生产函数Q=m必｛3L,K｝当R=1,PK=1,Q=1000叱将其扩展线方程K=3L,代入生产函数，得K=3L=1000于就就是，有K=1000,L=山eq\f100,3小
011、已知生产函数Q二AL3K24判断1在长期生产中，该生产函数得规模报酬属于哪一种类型？2在短期生产中，该生产函数就就是否受边际报酬递减规律得支配？解答1因为Q=f L,K=AL山eq\fl,
34、、1山eq\f2,3小，于就就是有f XL-K尸A XL“e q\fl,3小QK山eq\f2,3小=A入山eq\fl,3小+山eq\f2,3小L山eq\f1,3小、K山e q\f2,3小、=XAL山eq小、K山e q\f2,3小、=入-fL,K所以，生产函数Q=AL山eq\fl,3小、K山eq\f2,3小属于规模报酬不变得生产函数2假定在短期生产中，资本投入量不变，以山eq\oK,\s\up6-小表示；而劳动投入量可变，以L表示对于生产函数Q=AL山eq\f1,3小山eq\K,\s\叩6-小-山eq\f2,3小,有MPL二W e q\f1,3小、AL-山e qf2,3小、山eq\oK,\S\u p6-小、一“eq\f2,3小且“eq\f dMP,^e q\f2,9AL-eq\f5,3小山cq\0K,\s\Lup6一
4、、・w eq\f2,3小0这表明在短期资本投入量不变得前提下，随着一种可变要素劳动投入量得增加，劳动得边际产量MR,就就是递减得类似地，假定在短期生产中，劳动投入量不变，以山eq\o L,\s\叩6一小表示;而资本投入量可变，以K表示对于生产函数Q=A山eq\oL,\s\up6一小、R eq\f1,3小K山e q\f2,3小,有MP=“eqf2,3小、A山c q\o L,\s\up6-小山eq\fl,3小、1-山e q71,3小K且山eq\f MPK//K
4、、=—“eq\f2,9小A山eq\o L,\s\up6一小山eq\fl,3小K一山eq\f4,3小0这表明:在短期劳动投入量不变得前提下，随着一种可变要素资本投入量得增加,资本得边际产量MPK就就是递减得以上得推导过程表明该生产函数在短期生产中受边际报酬递减规律得支配
12、令生产函数f L,K=+xi LKeq fl,2,k+azK+与L,其中0W为41,i=0,1,2,3o1当满足什么条件时,该生产函数表现出规模报酬不变得特征⑵证明:在规模报酬不变得情况下，相应得边际产量就就是递减得解答⑴根据规模报酬不变得定义f XL,XK=X-fL,I X0于就就是有fXLAI=aO+ai[XL XI]eq\f1,2+a M+a XL/b23=a+XaiLKeq\f1,2+Xa K+Xa L023=入[ao+a]LK山eq\f12K+a L]+1-Xa53o=人-fL,K+14a0由上式可见，当ao=O时,对于任何得入0,有f QL,入1=入,fL,K成立，即当ao=O时,该生产函数表现出规模报酬不变得特征2在规模报酬不变，即如=0时，生产函数可以写成f L,K=LK“eq\f l,2+a K+a Lai/b23相应地，劳动与资本得边际产量分别为M PL,I=W eq\f Sf L,11小=W eq\f1,2小L一山eq\fl,2小、K十e q\fl,2小、L+a3MPKL,K二山eq\f3fL,K,3K小、二山eq\f1,2小、gL山eq\f1,2小、K-山eq\f1,2小、+0C2而且有山e q\f5MP L,K,况小=山eq\f©@,[,81小=一山eq\f1,4小a iL-cq\f3,2小K、Licq\fl,2,j、、山eq\f3MPKL,K，I小二山eq\盼也1〈冰2小=-山eq\fl,4,g L山eq\bf1,2小K-山eq\f3,2小、显然,劳动和资本得边际产量都就就是递减得
13、已知某企业得生产函数为Q=L山eq\f2,
34、、KW eq\f1,3小，劳动得价格w=2,资本得价格r=1o求1当成本C=3000时，企业实现最大产量时得L、K和Q得均衡值2当产量Q=800时，企业实现最小成本时得L、K和C得均衡值解答根据企业实现给定成本条件下产量最大化得均衡条件山eq fMPL,MPK小二山eq\fw,r小其中MPL二eq\fdQ,aL,j、、=eq\f2,3小L一山e q\f1,3小K叩eq\f1,3小MPK二山eq\fdQ,小小二十eq\f1,3小L十eq f2,3小I一“e q\f2,3小w=2r=1于就就是有“eq\f2,3,j、、L—山eq\fl,3小K山eq\fl,
3.”eq\fl,3小、Le q\f2,3小K一山e q\f2,3小、小、二山e q\f2,l小、整理得eq\fK,L小二山eq\f1,1小即I=L再将K二L代入约束条件2L+1・K=3000,有2L+L=3000解得L*=l000且有K*=1000将L*=K*=1000代入生产函数，求得最大得产量Q*=L*w eq\f2,3小K*-eq000-eq\f2,3小+“eq\fl,3小、=1000本题得计算结果表示:在成本C=3000时,厂商以L*=1000,K*=l000进行生产所达到得最大产量为Q*=1000o此外,本题也可以用以下得拉格朗日函数法来求解山eq\om〃x,\s\do4L,K小、L山e q\f2,3小K山e q\fl,3小s、t、2Z+1-K=3000L L,K^=L小eq\f2,3小K cq\f1,3小4-/13000-2L-K将拉格朗日函数分别对L、K和2求偏导，得极值得一阶条件山eq\f SLf£小、二山eq\f2,3小、山eq\f1,3小、K山eq\fl,3小、一27二01山eq\f9L/K小二山e q\fl,3小/“eq\f2,3小K~山eq\f2,3小T=02“eqfSL,94小=3000-2L-K=03由式
1、式2可得山eq\f KQ小二小eq\f1,1小即K=L将K=£代入约束条件即式3,可得3000-2Z-Z=0解得£*=1000且有K*=l000再将£*=M=1000代入目标函数即生产函数，得最大产量Q=£*山cq\f2,3小、4山cq\f1⑶小=1000山cq\f2,3小+山c q\fl,3小、二1000在此略去关于极大值得二阶条件得讨论2根据厂商实现给定产量条件下成本最小化得均衡条件山eq\fMPL,MPQ小=入q\f小其中MP=eq\f dQdAeq\f2,3L~e q\f1,
34、、K“‘eq f3小LMP eq\fd QdKx山eq\f1,3小L山eq\f2,3小K-~eq\f2,3〃、、产2尸1于就就是有“eq\f2,3小、£一山eq\fl,3〃、、K山eq\fl,3小”eq\f1,3小Leq\f2,3小K~山e q\f2,3小、小、=eq\f2,l小、整理得山eq\fKQ小=小eq小即K=L再将代入约束条件£小eq\f2,
34、、K“cqf1,3小=800,有L山eq\f2,3小L山eq\f1,3小二800解得£*=800且有K*=800将£*=«*=800代入成本方程2£+1・K=C,求得最小成本C*=2X800+1X800=2400本题得计算结果表示:在Q=800时，厂商以£*=800,K*=800进行生产得最小成本为C=2400o此外,本题也可以用以下得拉格朗日函数法来求解mi eq\0n,\s\d o4L小、2L+Ks、t、/“eq\f2,3小、eq fl,3〃、、=800L〃K,,=2乙+灯灰800U、匠eq\f2,3小K叩c q\f1,3小、将拉格朗日函数分别对乙K和4求偏导，得极值得一阶条件山eq\f0L/A
4、、=2—“e qf2,3小山e q\f1,3小K】，eq\fl,3小、=01山eq\f0L/小=1-山eq\f1,3小//£山eq\f2,3小K—eq\f2,3小=02eqf0L/〃小=800—£山eq\f2,3“、、K山eq\fl,3小、=03由式、式2可得eq\f A；£小、=eq\fl,1小、即A=£将々上代入约束条件即式3,有8001山e q\f2,3小£山eq\f1,3小、=0解得L=800且有K=800再将£*=800代入目标函数即成本等式,得最小得成本C=2L+1•K=2X800+1X800=2400在此略去关于极小值得二阶条件得讨论
14、画图说明厂商在既定成本条件下就就是如何实现最大产量得最优要素组合得解答:以图4—3为例,要点如下1由于本题得约束条件就就是既定得成本，所以，在图4—3中,只有一条等成本线45;此外，有三条等产量曲线Qi、Q2和3以供分析,并从中找出相应得最大产量水平2在约束条件即等成本线48给定得条件下，先看等产量曲线3,该曲线处于4月线以外，与力方线既无交点又无切点，所以，等产量曲线Qs表示得产量过大，既定得等成本线月耳不可能实现Q得产量再看等产量曲线Q,她与既定得40线交于
3、b两热在这种情况下,厂商只要从〃点出发，沿着40线往下向石点靠拢，或者从b点出发，沿着48线往上向七点靠拢，就都可以在成本不变得条件下，通过对生产要素投入量得调整，不断地增加产量,最后在等成本线4s与等产量曲线Q得相切处七点，实现最大得产量由此可得，厂商实现既定成本条件下产量最大化得均衡条件就就是〃〃外汰二山eq\f卬/小,且整理可得山eq\f MPL，必小、=eq\f{MP l9f小、。
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