排列组合中的分组分配问题

排列组合中时分组分派问题分组分派问题是排列组合教学中的一种重点和难点某些排列组合问题看似非分派问题,事实上可运用分派问题的措施来解决

一、提出分组与分派问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分派给k个不同得对象称为分派问题,分定向分派和不定向分派两种问题;将n个不同元素按照某些条件提成k组,称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种状况分组问题和分派问题是有区别的,前者组与组之间只要元素个数相似是不辨别的；而后者虽然2组元素个数相似，但因对象不同，仍然是可辨别的.对于后者必须先分组后排列

二、基本的分组问题例1六本不同日勺书，分为三组,求在下列条件下各有多少种不同日勺分派措施？1每组两本.2一组一本，一组二本，一组三本.3一组四本，此外两组各一本.分析1分组与顺序无关，是组合问题分组数是比2d=90种，这90种分组事实上反复了6次我们不妨把六本不同的书写上

1、

2、

3、

4、

5、6六个号码，考察如下两种分法1,23,45,6与3,41,25,6,由于书是均匀分组H勺，三组H勺本数同样,又与顺序无关，因此这两种分法是同一种分法以上的分组措施事实上加入了组时顺序，因此还应取消分组的顺序,即除以组数日勺全排列数与，因此分法是盘零1=i5种A32先分组，措施是以det那么还要不要除以与？我们发现，由于每组的书的本数是不同样町因此不会浮现相似日勺分法,即共有C6dd=60种分法⑶分组措施是ddc!=3o#，那么其中有无反复的分法呢我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不同样，不也许附反复因此实际分法是±通过以上三个小题的J分析，我们可以得出分组问题的一般措施其中组内元素数目相等，那么分组措施数是k结论一般地，个不同的元素提成组，各组内元素数目分别为1:n pm-m2,…,

三、基本的分派的问题

（一）定向分派问题例2六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同日勺分派措施

（1）甲两本、乙两本、丙两本.

（2）甲一本、乙两本、丙三本.

（3）甲四本、乙一本、丙一本.分析:由于分派给三人，每人分几本是一定的，属分派问题中日勺定向分派问题，由分布计数原理不难解出:分别有clclc}=9o（#）c6dd=6o（#）,ctc\c\=3（种）z

（二）不定向分派问题例3六本不同日勺书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分派措施？

（1）每人两本.

（2）一人一本、一人两本、一人三本.

（3）一人四本、一人一本、一人一本.分析此组题属于分派中的不定向分派问题，是该类题中比较困难的问题由于分派给三人，同一本书给不同U勺人是不同欧I分法，因此是排列问题事实上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组措施数再乘以与抑CPf*与二90（种）,A3C6C5C3A3=360（种）C隼5芯二90（种）42结论

2.一般地，如果把不同的元素分派给几种不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个C46cA1222C•^111=15\!/数没有限制，那么事实上是先分组后排列的问题,即分组方案数乘以不同对象数的全排列数通过以上分析不难得出解不定向分派题日勺一般原则先分组后排列例4六本不同区J书，分给甲、乙、丙三人,每人至少一本,有多少种分法？分析六本书和甲、乙、丙三人均有“归宿”，即书要分完，人不能空手因此，考虑先分组，后排列先分组，六本书怎么分为三组呢？有三类分法

（1）每组两本

（2）分别为一本、二本、三本⑶两组各一本，另一组四本因此根据加法原理，分组法是T右+=90（种）再考虑排列，即再乘以A因此一共有540种不Al Al同日勺分法

四、分派问题的变形问题例5四个不同的小球放入编号为1,2,3,4日勺四个盒子中,恰有一种空盒时放法有多少种？分析:恰有一种空盒，则此外三个盒子中小球数分别为1,1,2o事实上可转化为先将四个不同的I小球分为三组,两组各1个，另一组2个，分组措施有鱼£1（种），然后将这三组A2（即三个不同元素）分派给四个小盒（不同对象）中的3个的排列问题，即共有CGU A4=14Al4（种）例6有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承当，乙、丙各需1人承当，从10人中选派4人承当这三项任务，不同的选法有多少种？分析先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，共有）C CM（种）分法再考虑排列，甲任务需2人承当，因此2人的那个组只能承当甲任A2务，而一种人的两组既可承当乙任务又可承当丙任务，因此共有2=2520（种）A2A不同的选法例7设集合A={1,234},B={6,7,8},A为定义域,B为值域,则从集合A到集合B的不同的函数有多少个？分析由于集合A为定义域,B为值域，即集合A、B中的每个元素均有“归宿而集合B口勺每个元素接受集合A中相应区I元素欧I数目不限,因此此问题事实上还是分组后分派的问题先考虑分组，产集合A中4个元素分为三组，各组口勺元素数目分别为

1、

1、2,则共有CC（种）分组措施再考虑分派，即排列，再乘以与,因此共有直阴与=36（个）A2不同日勺函数总之，掌握上述两个结论，就能顺利解决任何分派问题并且，学会了分派问题,还能将某些其他的排列组合问题转化为分派问题来解决练习把编号为1,2,345日勺五个球完全放入编号为1,2,3时三个盒子中，每个盒子中至少放一种球，则不同放法的总数是A60⑻150C300oD540。