《中学数学课件：实数与函数》课件

实数与函数中学数学课件欢迎使用《实数与函数》中学数学课件本教材系统讲解了中学数学中两个最基础的知识模块实数和函数通过本课件的学习，同学们将掌握实数的概念、分类、运算以及函数的定义、性质和应用本课件分为两大部分第一部分介绍实数基础，包括有理数、无理数的概念，以及实数的各种运算与性质；第二部分讲解函数初步知识，涵盖函数的基本概念、表示方法、常见函数类型及其性质和应用学习目标是帮助同学们建立扎实的实数概念，理解函数的本质及应用，为后续高中数学学习奠定坚实基础让我们一起开始数学探索之旅吧！第一部分实数基础实数运算与性质掌握加减乘除四则运算实数的表示与度量数轴、科学记数法、近似值实数的分类有理数与无理数实数是数学中最基础的概念之一，它包含了所有我们在日常生活和科学中使用的数值在正式学习具体内容前，让我们先了解实数系统的整体框架实数系统由有理数和无理数两大类组成，它们共同构成了完整的数轴在接下来的课程中，我们将从实数的分类开始，逐步学习实数的表示方法、度量方式以及各种运算规则和性质通过系统学习，同学们将能够熟练运用实数知识解决实际问题实数的定义与分类无理数不能表示为两个整数的比2有理数•无限不循环小数可以表示为两个整数的比•根号下非完全平方数√2,√

3...•特殊常数π,e,黄金分割比φ•整数...-2,-1,0,1,

2...1•分数1/2,3/4,-5/

6...实数•有限小数

0.25,

1.

75...•无限循环小数

0.

333...,

0.

999...包含所有有理数和无理数3•可以一一对应到数轴上的点•构成连续完备的数系实数是数学中一个重要的数集，它包含了所有有理数和无理数实数可以一一对应到数轴上的点，没有任何空隙，这种性质称为连续性在实际应用中，我们经常需要判断一个数是有理数还是无理数判断的关键在于该数能否表示为两个整数的比值如果能，则为有理数；如果不能，则为无理数有理数详解整数分数小数表示最基本的有理数形式可以表示为p/q的形式有理数对应的小数形式•正整数1,2,

3...•分子p整数•有限小数1/4=

0.25•零0•分母q非零整数•无限循环小数1/3=

0.

333...•负整数-1,-2,-

3...•约分使p、q互质有理数是可以表示为两个整数的比值（p/q，其中q≠0）的数每个有理数都可以用小数表示，并且这种小数表示要么是有限小数，要么是无限循环小数例如，1/4=

0.25（有限小数），1/3=

0.

333...（无限循环小数）有理数在数轴上是稠密的，这意味着在任意两个不同的有理数之间，总能找到另一个有理数比如在1/2和1之间，可以找到3/4这种稠密性使得有理数在实际计算和测量中非常有用无理数详解根号类无理数特殊常数•√2≈

1.

414...•π≈

3.

14159...•√3≈

1.

732...•e≈

2.

71828...•任何非完全平方数的平方根•黄金比例φ≈

1.

618...无理数特性•不能表示为分数•小数表示无限不循环•在数轴上也是稠密的无理数是一种不能表示为两个整数之比的数，它们的小数表示是无限不循环的最经典的无理数例子是√2，它约等于

1.414，但其小数部分永远不会循环或终止古希腊数学家首次发现了无理数，这在当时引起了数学界的震动另一个著名的无理数是圆周率π，它是圆的周长与直径的比值π大约等于

3.14159，至今已经被计算到了数万亿位，但仍然没有发现任何重复的模式许多物理定律和工程计算都需要用到π，它是自然界中的一个基本常数数轴与实数1负数区域数轴上原点左侧的所有点•表示小于零的实数•越向左数值越小2原点数轴的中心点•表示数字零•是正数和负数的分界3正数区域数轴上原点右侧的所有点•表示大于零的实数•越向右数值越大数轴是表示实数的一种几何模型，它是一条直线，上面的每一点都对应唯一的一个实数，反之亦然数轴上通常选定一个点作为原点（表示数字0），选定一个单位长度，然后向右为正方向，向左为负方向在数轴上，实数的大小可以通过位置直观地比较位于右侧的数总是大于位于左侧的数例如，在数轴上2位于1的右侧，所以21；-1位于-2的右侧，所以-1-2数轴模型帮助我们更好地理解实数的连续性特性，体现了代数和几何的紧密联系实数大小比较确定数值明确比较对象的精确值或近似值转换表示统一为小数或分数形式数轴定位在数轴上确定位置直接比较比较数轴上的先后顺序实数的大小比较是数学运算中最基本的操作之一对于两个实数a和b，如果a位于数轴上b的右侧，则ab；如果a位于b的左侧，则a对于复杂的实数比较，如根号数与小数的比较，可以采用近似值比较法例如，比较√2与

1.5，我们知道√2≈

1.414，小于

1.5，因此√

21.5在考试中，经常会出现需要比较不同形式实数大小的题目，掌握实数比较方法对解决这类问题至关重要实数的近似值与误差

1.

50.01进位值绝对误差满足进位条件的临界值近似值与精确值的差的绝对值

0.1%相对误差绝对误差与精确值之比在实际计算和应用中，我们经常需要使用实数的近似值四舍五入是最常用的近似方法当保留位的后一位小于5时，保留位不变；当保留位的后一位大于或等于5时，保留位加1例如，π≈

3.14（保留到小数点后两位）使用近似值会产生误差绝对误差是指近似值与精确值之间的差的绝对值；相对误差是绝对误差与精确值的比值，通常用百分数表示例如，用

3.14表示π，绝对误差约为

0.0016，相对误差约为

0.0005或

0.05%在科学计算和工程应用中，控制误差是非常重要的，不同的应用场景对误差的要求也不同无限小数的表示无限循环小数无限不循环小数有一段数字不断重复出现小数部分无任何重复规律表示方法在循环部分上方加横线只能用近似值表示•1/3=

0.

333...=

0.3̅•√2≈

1.

4142...•1/6=

0.

166...=

0.16̅•π≈

3.

1415...•4/11=

0.

363636...=

0.3̅6̅•e≈

2.

7182...无限小数是小数部分无穷无尽的数，它们分为无限循环小数和无限不循环小数两类无限循环小数是指小数部分存在某一段数字不断重复出现，例如1/3=

0.

333...所有的无限循环小数都是有理数，并且任何有理数要么是有限小数，要么是无限循环小数无限不循环小数是指小数部分没有任何重复模式的数，如π和√2所有的无限不循环小数都是无理数在实际应用中，我们通常需要对无限小数进行截断或四舍五入，得到它的近似值例如，π常用

3.14作为近似值，这在一般计算中已经足够精确，但在高精度要求的科学计算中，可能需要更多位数科学记数法基本形式a×10^n，其中1≤|a|10，n为整数大数表示地球到太阳的距离约

1.496×10^11米小数表示氢原子半径约

5.3×10^-11米运算优势简化乘除法计算3×10^4×2×10^-3=6×10^1=60科学记数法是一种表示特别大或特别小的数的方法，它将数表示为a×10^n的形式，其中1≤|a|10，n为整数这种表示方法在科学研究、工程计算和计算机编程中被广泛应用例如，光速约为3×10^8米/秒，一个原子的质量大约是

1.67×10^-27千克使用科学记数法有许多优点它简化了非常大或非常小的数的表示；使数的大小级别一目了然；方便进行乘除运算在进行科学计算时，了解科学记数法是必不可少的基础技能在计算器和电脑中，科学记数法通常用E表示，如3E8表示3×10^8指数与实数整数指数最基本的指数形式•正整数指数a^n=a×a×...×a（n个a相乘）•零指数a^0=1（a≠0）•负整数指数a^-n=1/a^n（a≠0）分数指数引入根号运算•a^1/n=∜a（a的n次方根）•a^m/n=∜a^m=∜a^m无理数指数通过极限过程定义•用有理数指数无限逼近•如2^√2可以通过2^

1.4,2^

1.41,2^

1.

414...近似指数是数学中表示重复乘法的一种简便方式在实数范围内，指数可以是任意实数整数指数最为基础，如a^3表示a×a×a分数指数引入了根号运算，如a^1/2表示a的平方根，a^2/3表示a的立方根的平方无理数指数的定义相对复杂，它是通过无限逼近的方式定义的例如，2^π可以看作是2^3,2^

3.1,2^

3.14,2^

3.

141...的极限值指数运算满足一系列重要性质，如a^m+n=a^m×a^n，a^m-n=a^m/a^n，a^m^n=a^m×n等，这些性质在数学计算中非常有用实数运算加法——加法定义加法性质两个数量的合并运算基本代数性质数轴上表示为向右移动•交换律a+b=b+a•结合律a+b+c=a+b+c•正数加正数向右移动•零元素a+0=a•正数加负数根据绝对值大小决定方向•负元素a+-a=0•负数加负数向左移动加法是最基本的算术运算之一，它将两个数合并成一个数在数轴上，加法可以理解为从一个点出发，按照第二个数的大小和符号移动例如，3+2表示从点3向右移动2个单位，得到点5；3+-2表示从点3向左移动2个单位，得到点1实数的加法满足一系列重要性质，包括交换律（a+b=b+a）和结合律（a+b+c=a+b+c）这些性质使得我们可以灵活地改变加法的顺序，简化计算在计算多个数相加时，可以先将同类项（如所有正数或所有负数）分别相加，然后再计算最终结果，这样可以减少出错的可能性实数运算减法——减法定义a-b定义为a+-b即加上b的相反数减法转化将减法转化为加上相反数3-5=3+-5=-2数轴表示从a点向左移动b个单位当b为负数时实际是向右移动减法可以定义为加上一个数的相反数，即a-b=a+-b这种定义将减法归结为加法，使得我们只需要研究加法的性质，就能推导出减法的各种性质在数轴上，减法可以理解为从一个点出发，向左移动相应的单位数例如，5-3表示从点5向左移动3个单位，得到点2需要特别注意的是，减法不满足交换律和结合律也就是说，a-b通常不等于b-a，并且a-b-c通常不等于a-b-c这是减法与加法的一个重要区别在计算含有连续减法的表达式时，必须按照从左到右的顺序进行，或者使用括号明确计算顺序，以避免出错实数运算乘法——乘法定义符号规则重复加法a×b表示b个a相加同号得正，异号得负结合律交换律a×b×c=a×b×c a×b=b×a乘法可以看作是重复加法的简便形式例如，3×4可以理解为3+3+3+3，即4个3相加，结果为12在实数范围内，乘法的符号遵循同号相乘得正，异号相乘得负的规则例如，3×4=12，3×-4=-12，-3×4=-12，-3×-4=12实数的乘法满足交换律（a×b=b×a）、结合律（a×b×c=a×b×c）和对加法的分配律（a×b+c=a×b+a×c）这些性质使得乘法运算非常灵活，可以根据需要调整计算顺序，简化复杂表达式在实际计算中，了解和灵活运用这些性质能够提高计算效率，减少出错实数运算除法——除法定义除数为零•a÷b定义为a×1/b，其中b≠0•除数不能为零•等价于寻找使x×b=a的数x•a÷0无意义•0÷0是不定式符号规则•同号得正6÷2=3，-6÷-2=3•异号得负6÷-2=-3，-6÷2=-3除法可以定义为乘以一个数的倒数，即a÷b=a×1/b，其中b≠0除法的本质是寻找一个数x，使得x×b=a在实数范围内，除法的符号规则与乘法相同同号相除得正，异号相除得负例如，6÷2=3，6÷-2=-3，-6÷2=-3，-6÷-2=3需要特别注意的是，除数不能为零表达式a÷0对于任何非零实数a都是没有意义的，因为不存在任何实数x使得x×0=a而0÷0是一个不定式，因为任何数乘以0都等于0在分式的化简和运算中，我们必须确保分母不为零，否则表达式将失去意义这是数学计算中一个非常重要的原则实数运算的性质总结运算性质加法减法乘法除法交换律✓✗✓✗结合律✓✗✓✗单位元0-1-逆元-a-1/aa≠0-分配律a×b+c=a×b+a×c实数的四则运算具有多种重要性质加法和乘法满足交换律和结合律，这意味着可以改变加数或因数的顺序而不影响结果加法的单位元是0，即对任何实数a，都有a+0=a；乘法的单位元是1，即对任何实数a，都有a×1=a每个实数a都有一个加法逆元-a，使得a+-a=0；每个非零实数a都有一个乘法逆元1/a，使得a×1/a=1乘法对加法满足分配律，即a×b+c=a×b+a×c，这是连接加法和乘法的重要性质掌握这些性质有助于简化代数运算，理解代数结构，解决方程和不等式绝对值与实数绝对值定义绝对值性质实数到原点的距离绝对值的重要性质数学表示•|a|≥0，且|a|=0当且仅当a=0•|-a|=|a|•|a|=a，当a≥0•|a·b|=|a|·|b|•|a|=-a，当a0•|a+b|≤|a|+|b|（三角不等式）绝对值是一个实数到原点（零点）的距离，它总是非负的对于任何实数a，其绝对值|a|的定义为如果a≥0，则|a|=a；如果a0，则|a|=-a例如，|5|=5，|-5|=5绝对值可以用来表示两点之间的距离，也可以用来描述误差的大小绝对值具有许多重要性质例如，|-a|=|a|，这说明相反数的绝对值相等；|a·b|=|a|·|b|，表示两数乘积的绝对值等于两数绝对值的乘积；|a+b|≤|a|+|b|（三角不等式），这是分析和几何中的关键不等式这些性质在解方程、解不等式、分析函数等方面有广泛应用相反数与倒数相反数倒数联系与应用实数a的相反数是-a非零实数a的倒数是1/a相反数用于减法运算a-b=a+-b特点a+-a=0特点a×1/a=1倒数用于除法运算在数轴上，a和-a关于原a与1/a的乘积总是1a÷b=a×1/b点对称相反数和倒数是实数运算中的两个重要概念实数a的相反数是-a，它与a的和为0，即a+-a=0在数轴上，a和-a关于原点对称例如，5的相反数是-5，-7的相反数是7相反数在减法运算中起着关键作用，因为a-b可以改写为a+-b非零实数a的倒数是1/a，它与a的乘积为1，即a×1/a=1例如，2的倒数是1/2，-3的倒数是-1/3倒数在除法运算中非常重要，因为a÷b可以改写为a×1/b需要注意的是，0没有倒数，因为不存在任何实数与0相乘得1理解相反数和倒数的概念对于简化代数表达式和解方程非常有帮助平方根与立方根平方根定义若x²=a，则x是a的平方根立方根定义若x³=a，则x是a的立方根根号运算√a表示a的算术平方根（非负平方根）常见根号运算√a·b=√a·√b，√a/b=√a/√b（b0）对于正数a，a的平方根是指平方等于a的数每个正数都有两个平方根，一个正一个负，大小相等但符号相反我们用√a表示a的非负平方根，也称为算术平方根例如，√4=2，√9=3需要注意的是，负数没有实数平方根，因为任何实数的平方都是非负的a的立方根是指立方等于a的数每个实数都有唯一的实数立方根，用∛a表示例如，∛8=2，∛-8=-2根号运算满足一些重要性质，如√a·b=√a·√b（a,b≥0），√a/b=√a/√b（a≥0,b0）这些性质在简化含根号表达式和解方程中非常有用理解平方根和立方根的概念对于学习一元二次方程和更高级的数学至关重要实数基本运算综合例题例题一四则混合运算计算2³÷1/4×√16-5解析•2³=8•8÷1/4=8×4=32•√16=4•32×4=128•128-5=123答案123例题二绝对值运算计算|3-8|+|4-√25|解析•|3-8|=|-5|=5•√25=5•|4-5|=|-1|=1•5+1=6答案6例题三科学记数法计算3×10⁻²×4×10⁵解析•3×4=12•10⁻²×10⁵=10³•12×10³=12000答案12000或

1.2×10⁴实数的基本运算包括四则运算、乘方、开方、绝对值等在解决综合性问题时，需要注意运算顺序先计算括号内的表达式，然后是乘方和开方，最后按照从左到右的顺序进行乘除运算和加减运算例如，在计算3+2×√9时，应当先计算√9=3，然后计算2×3=6，最后计算3+6=9科学记数法是处理非常大或非常小的数的有效工具在使用科学记数法进行乘除运算时，可以分别计算数值部分和指数部分例如，2×10⁵÷4×10⁻³=2÷4×10⁵÷10⁻³=

0.5×10⁸=5×10⁷掌握这些基本运算技巧对解决实际问题和进一步学习数学至关重要第一次课堂小结与知识梳理实数的分类有理数（整数、分数）与无理数（无限不循环小数）实数的表示小数表示、科学记数法、数轴表示实数的运算四则运算及性质、指数运算、根号运算实数的应用绝对值、误差分析、近似计算我们已经系统学习了实数的基本知识，从实数的分类、表示到各种运算规则实数是由有理数和无理数组成的完备数系，可以一一对应到数轴上的点有理数可以表示为两个整数的比值，其小数表示要么是有限小数，要么是无限循环小数；而无理数的小数表示是无限不循环的，如π和√2实数的运算包括加减乘除四则运算、乘方、开方等，它们都有各自的性质和规则例如，加法和乘法满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律我们还学习了绝对值、误差分析和近似计算等实际应用知识建议同学们重点复习实数分类、四则运算法则、科学记数法以及绝对值的性质，并多做相关练习题巩固所学知识第二部分函数初步函数应用与建模解决实际问题的函数模型函数性质与图象图象特征与函数变化规律常见函数类型一次函数、二次函数、反比例函数函数基本概念定义域、值域、对应关系函数是数学中最重要的概念之一，它描述了变量之间的依赖关系在物理、化学、经济学等众多领域，函数都是研究变化规律的基本工具在接下来的学习中，我们将从函数的基本概念出发，逐步探索不同类型函数的性质和应用我们将首先了解函数的定义、表示方法和基本特征，然后学习几种常见的初等函数（一次函数、二次函数、反比例函数等）及其图象和性质最后，我们将学习如何应用函数解决实际问题，建立数学模型通过系统学习，你将能够理解函数如何成为描述现实世界变化规律的有力工具函数的基本概念函数定义函数的三要素函数是一种从集合X到集合Y的对应关系，其中X中的每个元素都每个函数都由三个基本要素组成有且仅有一个Y中的元素与之对应•定义域自变量x的取值范围•集合X称为定义域•值域因变量y的取值范围•集合Y称为值域•对应法则x如何对应到y的规则•对应规则称为函数关系函数是描述两个变量之间依赖关系的数学概念一个变量的值取决于另一个变量的值，前者称为因变量，通常用y表示；后者称为自变量，通常用x表示函数关系的本质是一一对应，即对于定义域中的每一个x值，有且仅有一个y值与之对应函数可以看作是一种输入-输出机制给定一个输入值（x值），通过特定的规则（函数关系），产生唯一的输出值（y值）例如，当我们说y是x的平方时，我们定义了一个函数关系对于任意给定的x值，我们通过计算x²得到对应的y值函数概念将变量间的依赖关系数学化，为研究各种变化规律提供了强大工具自变量与因变量自变量x可以自由取值的变量函数关系中的原因函数关系f将x映射到y的规则y=fx因变量y由自变量决定的变量函数关系中的结果在函数关系中，自变量和因变量扮演着不同的角色自变量（通常用x表示）是可以自由取值的变量，它是函数关系的输入；因变量（通常用y表示）是由自变量通过函数关系确定的变量，它是函数关系的输出自变量和因变量之间的关系通常用公式y=fx表示，其中f表示从x到y的映射规则在实际应用中，区分自变量和因变量非常重要例如，研究物体下落时，时间t可以作为自变量，而物体的高度h则是因变量，两者通过函数关系h=h₀-½gt²连接，其中h₀是初始高度，g是重力加速度在经济学中，商品的价格可以作为自变量，而需求量则是因变量，两者之间存在着需求函数关系理解自变量和因变量的概念，有助于我们正确建立和分析数学模型函数的表示方法列表法通过表格列出自变量和因变量的对应值适用于离散数据或有限数据点解析法用数学公式表示函数关系，如y=2x+3最常用、最精确的表示方法图象法在坐标系中绘制函数曲线直观展示函数整体特征和变化趋势函数可以通过多种方式表示，每种方法都有其特点和适用场景列表法通过表格形式列出自变量和因变量的对应关系，例如气温与服装销量的对应数据这种方法直观具体，适合表示有限的数据点，但难以反映连续变化的规律解析法是使用数学公式直接表达函数关系，如y=ax²+bx+c这是最精确、最常用的表示方法，便于进行数学运算和推导图象法则是在直角坐标系中绘制函数曲线，横轴表示自变量，纵轴表示因变量函数图象能直观地展示函数的整体特征和变化趋势，帮助我们理解函数性质在实际应用中，这三种表示方法常常结合使用，以全面地描述和分析函数关系定义域、值域、对应法则定义域值域对应法则自变量x的所有可能取值构成的集合因变量y的所有可能取值构成的集合将定义域中的x映射到值域中y的规则确定定义域的常见限制确定值域的常见方法表示方式•分母不为零x≠某些值•代入法代入不同x值求出y•解析式y=fx•偶次根号内非负根号内≥0•函数性质分析法•图象•对数的真数为正对数内0•解不等式法•表格•问题背景的实际限制•文字描述函数的三要素（定义域、值域和对应法则）共同定义了一个完整的函数定义域是自变量x所有可能的取值集合，它受到数学运算规则和实际问题背景的限制例如，在函数y=1/x中，由于分母不能为零，所以定义域是所有非零实数；在函数y=√x中，因为偶次根号内必须非负，所以定义域是所有非负实数值域是因变量y所有可能的取值集合，它是自变量通过函数关系映射得到的结果集合确定值域通常比确定定义域更复杂，常用的方法包括代入法、函数性质分析和解不等式对应法则则是连接自变量和因变量的桥梁，它规定了如何根据x值计算y值函数的三要素缺一不可，它们共同构成了函数的完整定义，是理解和分析函数的基础一次函数概念一次函数定义形如y=kx+b的函数，其中k、b为常数，k≠0斜率的意义kk表示函数图象的倾斜程度，也表示y随x变化的快慢截距的意义bb表示函数图象与y轴的交点坐标0,b生活实例打车费计算、商品定价、距离与时间关系等一次函数是最基本的函数类型之一，它的表达式形如y=kx+b，其中k、b是常数，且k≠0一次函数描述了一种线性变化关系，即y随x的变化而均匀变化在一次函数中，k称为斜率，它表示当x增加1个单位时，y增加的量；b称为截距，它表示当x=0时，y的值一次函数在日常生活中有广泛应用例如，出租车计费通常采用起步价+里程费的模式，可以表示为费用=起步价+单价×行驶公里数，这就是一个一次函数关系再如，商品的总价与购买数量之间、匀速运动中距离与时间之间，都存在一次函数关系一次函数的简单形式使它成为建立数学模型的最常用工具之一，理解一次函数是学习更复杂函数的基础一次函数的图象直线图象斜率的几何意义k一次函数y=kx+b的图象是一条直线k=tanα，α是直线与x轴正方向的夹角作图方法截距的几何意义b确定两点（如y轴交点和x轴交点）连线直线与y轴的交点坐标是0,b一次函数y=kx+b的图象是一条直线，这也是为什么它被称为线性函数的原因在这个函数中，k和b分别有明确的几何意义k是直线的斜率，表示直线的倾斜程度；b是y轴截距，表示直线与y轴的交点坐标0,b当k0时，直线是上升的，表示y随x增大而增大；当k0时，直线是下降的，表示y随x增大而减小绘制一次函数图象有多种方法最常用的方法是确定两个点然后连线，例如可以先找到直线与y轴的交点0,b，再根据斜率k确定另一个点，如1,k+b，然后连接这两点也可以找到直线与x轴的交点，其横坐标为-b/k（当k≠0时）对于特殊的一次函数，如y=kx（过原点的直线）和y=b（平行于x轴的水平线），可以直接根据其特点作图准确绘制一次函数图象是分析其性质的重要工具一次函数的性质单调性特殊一次函数函数与方程一次函数y=kx+b的单调性由斜率k决几种特殊情况一次函数与一次方程的关系定•y=kx过原点的直线•解方程ax+b=0即求函数y=ax+b的零•当k0时，函数单调递增点•y=x+b斜率为1的直线•当k0时，函数单调递减•解不等式ax+b0即求函数y=ax+b的•y=b平行于x轴的水平线正值区间一次函数y=kx+b具有一些重要性质首先，它的单调性完全由斜率k决定当k0时，函数在整个定义域上单调递增，即x增大，y也增大；当k0时，函数在整个定义域上单调递减，即x增大，y减小这种单调性使得一次函数成为描述简单变化趋势的有力工具一次函数与一次方程和一次不等式有密切关系解一次方程ax+b=0等价于求一次函数y=ax+b的零点（与x轴的交点）；解一次不等式ax+b0等价于求函数y=ax+b的正值区间（图象在x轴上方的部分）这种联系体现了函数与方程的紧密关系，为解决方程和不等式提供了图象方法同时，两条不同的一次函数图象相交，对应的方程组有唯一解；平行，则对应的方程组无解；重合，则对应的方程组有无穷多解二次函数概念二次函数定义形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a≠0抛物线形状二次函数的图象是一条抛物线，开口方向由a决定现实应用抛物线在物理、工程、经济中有广泛应用生活实例抛物运动轨迹、桥梁拱形、灯光照射范围等二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0与一次函数描述的均匀变化不同，二次函数描述的是一种变化的变化，即变化率本身也在变化二次函数的图象是一条抛物线，其开口方向由系数a的符号决定当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下二次函数在现实生活中有许多应用在物理学中，抛物体的运动轨迹近似为抛物线；在工程学中，悬索桥的悬索形状和拱桥的结构都利用了抛物线的特性；在经济学中，某些成本函数和收益函数可以用二次函数模型描述甚至灯光照射在平面上形成的亮度分布也近似为二维抛物面理解二次函数的概念和性质，对于解释和预测这些现象非常有帮助二次函数的图象抛物线形状顶点位置开口方向由a决定a0向上，a0向下顶点坐标为-b/2a,c-b²/4a作图方法4对称轴确定顶点、对称轴和至少一个额外点过顶点的垂直于x轴的直线，方程为x=-b/2a二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线，它具有鲜明的几何特征抛物线的开口方向由系数a的符号决定当a0时开口向上，当a0时开口向下抛物线的最高点或最低点称为顶点，其坐标可以通过公式计算顶点的横坐标是x=-b/2a，纵坐标是y=c-b²/4a通过顶点且垂直于x轴的直线称为抛物线的对称轴，其方程为x=-b/2a绘制二次函数图象的常用方法是首先确定抛物线的开口方向；然后计算顶点坐标和对称轴方程；接着选取对称轴两侧的几个点，计算对应的函数值；最后将这些点用光滑的曲线连接起来标准形式y=ax-h²+k的二次函数图象更容易绘制，因为顶点坐标就是h,k掌握这些特征和方法，有助于准确分析二次函数的性质和解决相关问题二次函数的性质最值当a0时，函数有最小值f-b/2a=c-b²/4a当a0时，函数有最大值f-b/2a=c-b²/4a增减性当a0时，x-b/2a单调递减，x-b/2a单调递增当a0时，x-b/2a单调递增，x-b/2a单调递减对称性抛物线关于对称轴x=-b/2a对称零点解二次方程ax²+bx+c=0得到函数的零点零点个数由判别式Δ=b²-4ac决定二次函数具有一系列重要性质首先，二次函数必有最值（最大值或最小值），这取决于系数a的符号当a0时，函数有最小值；当a0时，函数有最大值最值点就是抛物线的顶点，其坐标为-b/2a,c-b²/4a这一性质使得二次函数在寻找最优解问题中有广泛应用二次函数的增减性也有明确规律以对称轴x=-b/2a为界，当a0时，函数在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增；当a0时，函数在对称轴左侧单调递增，右侧单调递减二次函数的零点（与x轴的交点）可以通过解方程ax²+bx+c=0得到，零点的个数由判别式Δ=b²-4ac决定当Δ0时有两个不同零点，当Δ=0时有一个零点（重根），当Δ0时没有实数零点这些性质为分析函数行为和解决实际问题提供了理论基础反比例函数简述反比例函数定义反比例函数图象应用场景形如y=k/x的函数，其中k为非零常数，x≠0图象是双曲线，由两个分离的分支组成反比例关系在物理、经济等领域广泛存在特点特点•波义耳定律气体压强与体积成反比•不经过原点•欧姆定律电流与电阻成反比•定义域x≠0•以坐标轴为渐近线•速度与时间匀速行驶时，速度与所需•值域y≠0•关于原点对称时间成反比•xy=k（常数）反比例函数是形如y=k/x的函数，其中k是非零常数，x≠0这类函数描述了一种特殊的变化关系两个变量的乘积保持不变（xy=k）反比例函数的图象是双曲线，由两个分离的分支组成，分别位于第

一、三象限（当k0时）或第

二、四象限（当k0时）双曲线不经过原点，且以两个坐标轴为渐近线，这意味着x和y都不能取值为0反比例函数在自然科学和日常生活中有广泛应用在物理学中，波义耳定律描述了气体的压强与体积成反比；在电学中，欧姆定律表明在电压一定时，电流与电阻成反比；在运动学中，匀速行驶的物体，其速度与完成同一距离所需的时间成反比理解反比例函数及其图象特征，对于分析这些现象和解决相关问题非常有帮助分段函数初步分段函数定义常见分段函数•在不同区间上有不同表达式的函数•绝对值函数|x|={x,x≥0;-x,x0}•通常用大括号表示，明确不同区间的对•取整函数[x]表示不超过x的最大整数应法则•分段线性函数如收费阶梯、税率等级等图象特点•在区间分界点可能出现断点或折点•每个区间内的图象特征由该区间的表达式决定分段函数是在不同的自变量取值区间上，有不同函数表达式的函数它用大括号表示，每个表达式对应一个特定的定义区间例如，绝对值函数|x|是一个典型的分段函数，它可以表示为|x|={x，当x≥0；-x，当x0}分段函数的引入使我们能够更灵活地描述复杂的变化关系，特别是那些在不同条件下遵循不同规律的现象分段函数在实际应用中十分常见例如，阶梯式收费标准（如水电费、快递费等）、分段税率、不同速度区间的刹车距离等，都可以用分段函数来描述绘制分段函数的图象时，需要分别绘制各个区间上的图象，并注意区间分界点处函数的连续性和光滑性在分界点处，函数图象可能出现断点（函数值突变）或折点（导数突变），这反映了变化规律的突变判断函数的方法检查定义回顾函数定义集合X到集合Y的一种对应关系，其中X中每个元素都有且仅有一个Y中的元素与之对应纵向检验法检查是否存在一个x值对应多个y值的情况若存在，则不是函数；若不存在，则是函数图象判断法做垂直于x轴的直线，若该直线与图象最多只有一个交点，则是函数；若有可能相交多点，则不是函数判断一个对应关系是否为函数，关键是检查它是否满足一一对应的特性定义域中的每个元素都有且仅有一个值域中的元素与之对应也就是说，任意一个x值最多只能对应一个y值如果存在某个x值对应多个不同的y值，那么这种对应关系就不是函数在实际判断中，常用的方法包括代入法（将特定x值代入，检查是否产生唯一y值）；纵向检验法（检查表格或数据集中是否有一个x值对应多个y值）；以及图象判断法（做垂直于x轴的直线，若该直线与图象有多于一个交点，则不是函数）常见的非函数例子包括圆的方程x²+y²=r²（一个x值可能对应两个y值）、反函数没有限定定义域的情况等理解函数的本质特征，对于正确分析和应用函数关系至关重要用函数处理实际问题问题分析明确已知量、未知量及其关系建立函数模型将实际问题转化为数学函数关系求解函数问题根据函数性质计算所需结果结果验证与解释检查结果合理性并解释实际意义函数是解决实际问题的有力工具，将现实问题转化为函数模型是一项重要的数学能力处理实际问题的一般步骤包括首先分析问题，明确已知量、未知量和需要求解的目标；然后确定自变量和因变量，建立自变量和因变量之间的函数关系；接着根据数学知识求解函数问题；最后验证结果的合理性，并解释其在实际问题中的意义例如，在分析商品定价问题时，可以将价格作为自变量，销售量作为因变量，建立销售量与价格的函数关系；然后根据需求（如利润最大化）确定最优价格在物体运动问题中，可以将时间作为自变量，位置作为因变量，建立位置与时间的函数关系；然后计算速度、加速度或特定时刻的位置函数建模的关键在于准确识别变量之间的依赖关系，选择适当的函数类型，并正确表达这种关系的数学形式判断函数单调性函数单调性定义常见函数单调性单调性判断方法对定义域内任意x₁•一次函数y=kx+b k0时单调递增，•定义法根据定义直接验证k0时单调递减•函数性质法利用已知函数性质判断•若fx₁•二次函数y=ax²+bx+c以x=-b/2a为•图象法观察函数图象的走势•若fx₁fx₂，则fx在该区间上单界，有增有减调递减•反比例函数y=k/x在x0和x0两个区间上分别单调函数的单调性是描述函数变化趋势的重要性质如果在某个区间内，当自变量增大时，函数值也增大，则称函数在该区间上单调递增；如果自变量增大时，函数值减小，则称函数在该区间上单调递减判断函数单调性是分析函数行为的基础，对于求解函数的最值、不等式等问题有重要帮助不同类型的函数有不同的单调性特征一次函数的单调性由斜率k决定，全区间上要么单调递增k0，要么单调递减k0二次函数的单调性则以顶点所在的位置为分界点，一侧单调递增，另一侧单调递减反比例函数在正半轴和负半轴上分别单调判断函数单调性的方法主要有根据定义直接验证、利用已知的函数性质、观察函数图象走势或者利用导数（高中内容）掌握判断函数单调性的方法，有助于深入理解函数的变化规律求函数解析式确定函数类型根据问题特征判断可能的函数类型分析已知条件提取与函数参数相关的条件列方程求参数利用条件建立方程组求解系数验证最终结果检验解得的函数是否满足所有条件求解函数解析式是函数学习中的常见问题，通常是根据一些已知条件（如函数图象特征、函数值、定义域等）确定函数的具体表达式解决这类问题的一般步骤包括首先根据问题特征确定函数的类型（一次函数、二次函数等）；然后分析已知条件，提取与函数参数相关的信息；接着列出方程组，求解函数中的未知参数；最后验证所得的函数解析式是否满足所有已知条件例如，求解一次函数y=kx+b的解析式，通常需要两个条件（如两个点的坐标）；求解二次函数y=ax²+bx+c的解析式，通常需要三个条件（如三个点的坐标、顶点位置等）在实际应用中，这些条件可能来自于实验数据、图象特征或问题描述函数解析式确定后，就可以用它来预测其他自变量值对应的函数值，或者分析函数的其他性质掌握求解函数解析式的方法，对于建立数学模型和解决实际问题有重要意义图象与变化趋势函数图象是函数最直观的表现形式，它能清晰地展示函数的变化趋势和特征通过观察函数图象，我们可以判断函数的单调性、最值点、零点、对称性等重要信息例如，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，其倾斜方向直接反映了函数的增减性当k0时，图象从左下方向右上方延伸，函数单调递增；当k0时，图象从左上方向右下方延伸，函数单调递减二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线，其开口方向和顶点位置反映了函数的变化特征当a0时，抛物线开口向上，函数有最小值；当a0时，抛物线开口向下，函数有最大值反比例函数y=k/x的图象是双曲线，反映了两个变量成反比的特征在实际分析中，不同类型函数的图象特征直接关联到其对应的实际背景，如一次函数常用于描述匀速运动，二次函数常用于描述抛物运动，反比例函数常用于描述等积关系常见函数易错点归纳概念混淆图象误判•单调性与增减性概念混淆•忽略函数定义域限制•最值点与零点混淆•二次函数顶点位置错误•定义域与值域混淆•忽略分段函数的分段点运算错误•解析式变形计算错误•参数求解过程错误•解方程符号错误在学习函数过程中，容易出现一些常见错误，我们需要特别注意避免概念混淆是一类常见错误，例如将函数的单调性与图象的走势混淆，将函数的最值点与零点（函数值等于零的点）混淆，将定义域（自变量取值范围）与值域（因变量取值范围）混淆这些概念各有特定含义，在解题时必须准确理解和应用图象判断错误也很常见，如忽略函数的定义域限制而绘制了不应存在的图象部分，计算二次函数顶点位置时符号出错，忽略分段函数在分段点处的连续性或不连续性等运算错误则包括函数解析式变形过程中的计算错误，求解函数参数时的代数错误，以及解方程时的符号错误等避免这些错误的关键是理解函数的基本概念，掌握准确的计算方法，养成仔细检查的习惯，并通过多做练习提高准确性函数与方程方程与函数零点不等式与函数正负性解方程fx=0等价于求函数y=fx的零点解不等式fx0等价于求函数y=fx的正值区间2方程组与函数交点函数思想解题4解方程组{y=fx,y=gx}等价于求两函数图象的交利用函数图象直观分析方程解的存在性和个数点函数与方程有着密切的关系，许多方程问题可以转化为函数问题来解决，反之亦然解方程fx=0等价于求函数y=fx的零点，即函数图象与x轴的交点例如，解一元二次方程ax²+bx+c=0等价于求二次函数y=ax²+bx+c的零点，其解的个数与类型可以通过二次函数图象与x轴的交点情况直观判断类似地，解不等式fx0等价于求函数y=fx的正值区间，即函数图象在x轴上方的部分对应的x值范围；解不等式fx0等价于求函数的负值区间解方程组{y=fx,y=gx}则等价于求两个函数图象的交点，交点的x坐标就是方程fx=gx的解函数思想为解方程和不等式提供了图象化的方法，帮助我们直观理解解的存在性、个数和分布这种函数与方程的联系在数学学习中非常重要，体现了代数与几何的紧密结合函数学习综合例题例题一确定函数解析式问题若二次函数y=ax²+bx+c的图象过点1,

3、2,

0、3,3，求该函数的解析式解法•代入三个点得到三个方程a+b+c=3，4a+2b+c=0，9a+3b+c=3•解方程组得a=2，b=-7，c=8•函数解析式为y=2x²-7x+8例题二应用函数求最值问题在平面直角坐标系中，点P在抛物线y=x²上移动，求点P到直线y=-1的最短距离解法•设点P坐标为t,t²•点P到直线y=-1的距离为d=t²+1/√1=t²+1•当t=0时，d取最小值1例题三用函数解决实际问题问题某商品的日销量y与价格x（元）的关系是y=800-2x，每件商品的成本是100元，求售价多少时利润最大？解法•日利润P=x-100y=x-100800-2x•P=-2x²+1000x-80000•当x=250元时，利润最大函数综合应用问题通常需要将抽象的数学概念与具体的实际情境相结合例如，在确定函数解析式的问题中，我们需要利用给定的条件（如函数值、图象特征等）建立方程组，求解函数的参数在例题一中，我们通过三个已知点坐标代入二次函数表达式，建立了三个方程，求解得到了完整的函数解析式在应用函数求最值的问题中，关键是建立目标函数并利用函数的最值性质求解例题二展示了如何利用几何问题建立函数关系，并求解最值在用函数解决实际问题时，如例题三所示，我们首先需要理解问题背景，确定相关变量之间的函数关系（如销量与价格的关系），然后构建目标函数（如利润函数），最后利用函数性质求解最优结果这些例题展示了函数在各类问题中的应用方法，帮助我们理解如何将函数知识应用于解决实际问题第二次课堂小结与知识梳理函数基本概念定义域、值域、对应法则；自变量、因变量；函数图象常见函数类型一次函数、二次函数、反比例函数；分段函数3函数性质单调性、最值、奇偶性、周期性；零点与图象特征4函数应用建立函数模型；利用函数解方程、不等式；解决最值问题我们已经系统学习了函数的基本概念和主要类型函数是描述变量之间依赖关系的数学工具，由定义域、值域和对应法则三要素组成常见的函数类型包括一次函数（y=kx+b）、二次函数（y=ax²+bx+c）、反比例函数（y=k/x）以及各种分段函数每种函数都有其特定的图象和性质，如一次函数的图象是直线，二次函数的图象是抛物线，反比例函数的图象是双曲线函数性质研究是函数学习的重要内容，包括单调性、最值、零点等通过分析函数图象，我们可以直观了解函数的变化趋势和特征函数与方程、不等式有密切联系，许多代数问题可以转化为函数问题求解在实际应用中，函数是建立数学模型的基础工具，广泛应用于自然科学、工程技术和社会经济等领域建议同学们重点复习函数的定义、图象特征和性质分析方法，并注意常见的函数应用问题数学建模与函数实践问题识别明确实际问题的背景、条件和目标确定变量选择关键变量并确定自变量和因变量建立函数3根据变量关系构建合适的函数模型分析求解4运用函数知识求解实际问题验证应用检验结果合理性并应用于实际数学建模是将实际问题转化为数学问题的过程，而函数是数学建模中最常用的工具之一一个完整的数学建模过程通常包括问题识别（明确实际问题的背景、条件和目标）、确定变量（选择关键变量并确定自变量和因变量）、建立函数（根据变量关系构建合适的函数模型）、分析求解（运用函数知识求解实际问题）以及验证应用（检验结果合理性并应用于实际）例如，在分析商品定价问题时，可以将价格作为自变量，销售量和利润作为因变量，建立相应的函数关系；然后利用函数的最值性质，确定最大利润对应的最优价格又如，在分析物体运动问题时，可以将时间作为自变量，位置、速度、加速度作为因变量，建立相应的函数关系；然后根据具体问题要求，求解特定时刻的位置或速度、运动过程中的最大高度或最大速度等函数建模能力是数学学习的重要目标，也是培养数学应用意识和创新思维的关键拓展初中常见函数小结函数类型表达式图象特征主要性质一次函数y=kx+b k≠0直线k0单调递增，k0单调递减二次函数y=ax²+bx+c a≠0抛物线有最值，对称轴x=-b/2a反比例函数y=k/x k≠0双曲线定义域和值域都不包含0正比例函数y=kx k≠0过原点的直线k0单调递增，k0单调递减常量函数y=c平行于x轴的直线函数值恒为常数绝对值函数y=|x|V形图象定义域R，值域非负实数初中阶段主要学习几种基本的初等函数，包括一次函数、二次函数、反比例函数等一次函数y=kx+b的图象是直线，其中k表示斜率，b表示y轴截距；二次函数y=ax²+bx+c的图象是抛物线，其中a决定开口方向，顶点坐标可通过公式计算；反比例函数y=k/x的图象是双曲线，体现了反比例关系这些函数各有其特点和应用领域一次函数常用于描述匀速运动、线性关系；二次函数常用于描述抛物运动、面积-周长关系；反比例函数常用于描述反比例关系，如波义耳定律此外，还有一些特殊函数，如正比例函数y=kx（一次函数的特例，过原点）、常量函数y=c（函数值恒为常数）、绝对值函数y=|x|（分段函数的典型例子）等了解这些常见函数的特点和应用，有助于我们灵活选择合适的函数模型解决实际问题拓展实数与函数交叉题型实数运算与函数图象函数零点与实数解方程例题已知函数fx=ax²+bx+c的图象过点0,

1、1,

0、2,1，求a+b+c例题若关于x的方程x²+mx+n=0有两个不等的实数根，且这两个根的的值和与积都是有理数，求证m和n都是有理数解析解析•代入三个点得到三个方程c=1，a+b+c=0，4a+2b+c=1•设方程的两根为α和β，则α+β=-m，αβ=n•解得a=1，b=-2，c=1•已知α+β和αβ都是有理数•所以a+b+c=1+-2+1=0•所以-m和n都是有理数，即m和n都是有理数实数与函数是密切关联的两个数学领域，许多问题需要综合运用这两方面的知识例如，在求解函数解析式时，常需要利用实数运算技巧；在分析函数的定义域和值域时，需要考虑实数的各种性质和运算规则；在研究方程解的存在性和数量时，可以借助函数图象和实数性质进行分析交叉题型通常具有较高的综合性和应用性，需要灵活运用多方面的数学知识例如，在分析二次函数的根与系数关系时，涉及二次方程的判别式和实数平方根的性质；在研究函数的有理数值点时，需要考虑实数的分类和函数的连续性；在探究含参函数的图象特征时，常需要分析参数取不同实数值时函数的变化情况掌握实数与函数的交叉应用，有助于提高数学思维的深度和广度，更好地理解和应用这两个基础数学概念拓展函数变换初步平移变换伸缩变换•水平平移y=fx-h，图象沿x轴右移h个•水平伸缩y=fax，|a|1时水平压缩，单位0|a|1时水平拉伸•垂直平移y=fx+k，图象沿y轴上移k个•垂直伸缩y=bfx，|b|1时垂直拉伸，单位0|b|1时垂直压缩对称变换•关于y轴对称y=f-x•关于x轴对称y=-fx•关于原点对称y=-f-x函数变换是通过对基本函数进行一系列几何变换，得到新函数的过程这些变换主要包括平移、伸缩和对称变换平移变换会改变函数图象的位置，但不改变图象的形状水平平移y=fx-h使图象沿x轴右移h个单位（h0时）；垂直平移y=fx+k使图象沿y轴上移k个单位（k0时）伸缩变换会改变函数图象的尺寸水平伸缩y=fax在|a|1时使图象水平压缩，在0|a|1时使图象水平拉伸；垂直伸缩y=bfx在|b|1时使图象垂直拉伸，在0|b|1时使图象垂直压缩对称变换会使函数图象关于某个轴或点对称y=f-x是关于y轴对称，y=-fx是关于x轴对称，y=-f-x是关于原点对称这些变换可以单独使用，也可以组合使用，生成更复杂的函数理解函数变换是分析函数图象和性质的重要工具，也是连接代数式和几何图形的桥梁本章难点高频题短练题型一确定函数解析式已知二次函数fx的图象过点-1,

0、1,

0、0,1，求函数解析式题型二函数最值问题已知抛物线y=ax²+bx+ca0的顶点为1,2，且过点0,3，求该函数的最小值题型三实数范围问题若关于x的不等式ax²+bx+c0对任意实数x恒成立，求a、b、c应满足的条件题型四函数图象分析若一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A2,0，与y轴交于点B0,-4，求k和b的值本章的难点题型主要集中在函数解析式的确定、函数的最值分析、实数范围问题以及函数图象特征的综合应用等方面在解决这类问题时，需要综合运用实数和函数的相关知识，灵活应用数学思维方法例如，确定函数解析式时，要善于利用已知点的坐标、函数图象的特征和性质等条件建立方程组求解参数函数最值问题通常需要利用函数的几何意义和代数性质，如二次函数的顶点坐标公式和对称性实数范围问题则需要结合函数图象和不等式性质进行分析，如二次函数恒为正的条件是a0且判别式小于0函数图象分析题型要求从图象特征中提取有用信息，如直线与坐标轴的交点坐标与函数参数的关系通过练习这些典型题型，可以加深对实数和函数核心概念的理解，提高解决复杂问题的能力复习与知识网络梳理函数概念实数基础定义域与值域，自变量与因变量，表示方法，一一2对应有理数与无理数，数轴表示，科学记数法，四则运算，指数与根号函数类型一次函数，二次函数，反比例函数，分段函数5应用与实践函数性质函数建模，解方程与不等式，最值问题，函数变换4图象特征，增减性，最值，对称性，零点实数与函数是中学数学的两个基础模块，它们相互联系、相互支撑实数是数轴上的点，包括有理数和无理数；函数则描述了变量之间的依赖关系，是研究变化规律的重要工具在知识结构上，实数的概念和运算为函数提供了定义域和值域的基础；而函数则为实数运算和方程求解提供了图象化的思维方法回顾本章内容，我们首先学习了实数的分类、表示和运算，掌握了数轴、科学记数法、绝对值等重要概念；然后学习了函数的基本概念和表示方法，包括定义域、值域和对应法则；接着详细研究了一次函数、二次函数和反比例函数的图象和性质；最后探讨了函数的应用及与方程、不等式的联系这些知识点相互关联，形成了一个完整的知识网络理解这种网络结构，有助于我们更系统地掌握和应用数学知识，提高解决实际问题的能力全章总结与学习建议夯实基础掌握实数与函数的核心概念和基本性质多做练习通过各类题型巩固知识点，培养数学思维建立联系理解实数与函数的内在联系，形成知识网络注重应用4将数学知识与实际问题相结合，提高应用能力通过本课件的学习，我们系统掌握了实数与函数两大核心内容实数部分，我们学习了有理数与无理数的概念、表示方法和运算规则；函数部分，我们学习了函数的基本概念、常见类型、图象特征和重要性质这些知识点共同构成了中学数学的重要基础，为后续学习高中数学奠定了坚实基础在今后的学习中，建议同学们重点关注以下几个方面一是夯实基础概念，如实数的分类、函数的三要素等；二是熟练掌握各类函数的图象和性质，特别是一次函数、二次函数的图象分析；三是注重实际应用，学会建立函数模型解决实际问题；四是加强解题技巧训练，特别是函数解析式的确定、最值问题的求解等通过系统学习和持续练习，相信同学们一定能够熟练掌握实数与函数的知识，在数学学习的道路上不断进步！。