《函数与方程》课件

函数与方程数学建模的基础工具解决现实问题的关键方法本章内容结构总览函数基本概念定义、表示方法、特性方程及解法一元一次、一元二次、分式方程函数与方程的联系图像与解的关系典型例题与练习什么是函数？基本概念函数定义基本要素两个变量间的对应关系自变量x每个自变量对应唯一函数值因变量或y fx生活中的函数实例手机电量变化季节温度变化水箱储水量电量百分比是时间的函数温度是月份的函数什么是方程？基本概念方程定义基本结构含有未知数的等式等号左右两边解方程就是求未知数值含有未知数的代数式解的概念使等式成立的未知数值方程的基本类型一元二次方程分式方程形如ax²+bx+c=0其中含有未知数的分式a≠0一元一次方程二元一次方程组形如ax+b=0其中a≠0学习函数与方程的意义数学建模基础将现实问题转化为数学模型工程应用物理学、工程学的基础工具经济分析成本、收益分析的数学依据逻辑思维培养知识预备数与式的回顾基本运算加减乘除、乘方、开方代数式整理合并同类项、提取公因式分数运算通分、约分、四则运算解方程基础等式性质、移项、换元函数的定义与表示输入值对应关系输出值x ffx自变量映射规则函数值函数的三种表示方法列表法用表格列出自变量和对应函数值图像法用坐标系中的曲线表示解析式法用数学公式表示y=fx域与值域定义域值域自变量的全部可能取值函数值的全部可能取值x y常见限制分母不为零一次函数所有实数负数不能开偶次方二次函数有限制常见基本初等函数常见函数类型多样，各有特点初中主要学习前三种一次函数详解解析式图像特征直线图像y=kx+b斜率，截距上升，下降k bk0k0应用领域线性增长模型成本与产量关系一次函数应用举例二次函数基本特征标准形式1y=ax²+bx+c a≠0图像抛物线开口方向向上，向下a0a0二次函数图像探究顶点极值点-b/2a,f-b/2a对称轴x=-b/2a与轴交点x解方程ax²+bx+c=0反比例函数±k/x∞2函数表达式渐近线图像象限

一、三象限y=k/x k≠0x=0,y=0k0:非函数关系与多值对应圆方程函数特征非函数对应一个对应唯一一个对应多个x²+y²=r²x yx y分段函数概述定义数学表达不同区间有不同表达式fx={常见于生活实际问题表达式1,当x满足条件1表达式2,当x满足条件

2...}复杂函数实例分析绝对值函数定义fx=|x|分段表示法fx={x,x≥0-x,x0}图像特点形，在原点对称V函数值求解与例题函数图像平移与变换水平平移垂直平移伸缩变换右移个单位上移个单位纵向伸缩倍fx-c cfx+c cafx a函数与方程的图像联系方程的解解的存在性12函数与轴交点的横坐标看函数图像是否与轴相交x x解的数量3等于函数图像与轴交点数x方程的分类一元一次方程一元二次方程ax+b=0a≠0ax²+bx+c=0a≠0方程组分式方程多个方程联立含有未知数的分式一元一次方程求解移项项移到等式另一边，符号改变合并同类项常数与未知数分别合并系数化一两边同除以未知数系数检验代入原方程验证一元一次方程实例问题解法小明有零花钱元建立方程x买本书花去总数一半3x-x/2-20=15再买本笔记本花去元220x/2-20=15剩余元15x/2=35求最初零花钱金额x=70一元二次方程结构a≠0b c二次项系数一次项系数常数项决定抛物线开口方向影响对称轴位置影响与轴交点y一元二次方程解法一因式分解适用情况步骤能找到两个因式整理为标准形式利用零因子法则求解寻找因式令每个因式等于零例题x²-5x+6=0=x-2x-3=0或x=2x=3解法二配方法移项变为ax²+bx+c=0ax²+bx=-c提取aax²+b/a·x=-c配方加减完成平方b/2a²求解化简得到未知数解法三求根公式求根公式使用步骤±找出、、值x=-b√b²-4ac/2a ab c适用于所有情况计算判别式Δ代入公式判别式与根的类型判别式根的情况Δ=b²-4ac两个不相等的实根Δ0两个相等的实根（重根）Δ=0没有实根（两个共轭复根）Δ0二次函数与二次方程的关系无实根情况有重根情况两个不同实根函数图像不与轴相交函数图像与轴相切函数图像与轴相交于两点x xx分式方程概述分式方程特点含有未知数的分式等式解题注意事项分母不能为零常用解法通分转化为整式方程检验必须代入验证（排除增根）分式方程典型例题原方程1/x+1/x+1=1通分x+1+x/xx+1=1去分母2x+1=xx+1展开整理2x+1=x²+x0=x²-x-1应用问题模型利润问题路程问题收入成本利润速度×时间路程-==混合问题工程问题浓度×体积溶质量效率×时间工作量==用函数思想解方程问题思路例题方程两边分别看作函数解方程x³-x=0找交点相当于解方程令fx=x³,gx=x可利用函数性质分析时解方程fx=gx解或±x=0x=1同解方程与函数等式两边同时乘除、加减，可能改变解要注意特殊情况的讨论二元一次方程组简介基本形式{ax+by=c|dx+ey=f}解的形式₀₀有序数对x,y几何意义两直线交点坐标方程组的解法一代入法选择方程选择系数简单的方程解出一个未知数用另一个未知数表示代入另一方程得到一元一次方程回代求解求出另一个未知数方程组的解法二加减法求解消元先解出一个未知数，再代入求另一个调整系数相加或相减消去一个未知数使某一未知数系数相等或相反函数与方程关系深度探讨函数与方程等价性求的零点fx=0fx⟺图像交点解释求的解fx=gx fx-gx=0⟺二次函数与二次方程判别式决定交点数量高阶方程高阶函数与轴可能有多个交点x由函数图像解决方程问题优势方法直观判断解的存在性方程fx=0预估解的大小绘制图像y=fx判断解的数量查看与轴交点x由方程转化为函数模型求最值问题利用二次函数顶点坐标求值域分析函数图像上下界不等式问题3函数图像高于低于轴区间/x常见解题陷阱与难点分母为零开方问题定义域限制分式方程需检验平方可能引入增根验证解是否在定义域内符号错误移项过程符号易错拓展参数方程与动态函数参数方程概念应用场景1和都是第三个变量的函数描述运动物体的轨迹x yt2优势示例4能表示常规函数无法表示的关系3圆的参数方程x=r·cost,y=r·sint数学建模初步函数与方程结合建模步骤实例问题分析某水箱以固定速率放水建立变量水位高度随时间变化h t构建关系式₀h=h-kt求解求水箱何时放空验证经典例题汇总一例题类型题目特点一次函数图像分析确定斜率和截距一元一次方程应用实际问题建模二次函数最值问题顶点计算应用一元二次方程求解判别式分析经典例题汇总二分式方程不等式解法综合应用通分转化，检验排除增根函数图像高于低于轴实际问题转化为函数与方程/x本章小结与回顾34函数表示法主要方程类型列表、图像、解析式一元一次、一元二次、分式、方程组5解题方法代数法与图像法结合课后练习与思考基础练习课本章节习题挑战题函数与方程综合应用拓展探究参数方程与更高阶函数实践项目生活中收集数据建立函数模型。