《函数的增减与极值》课件

函数的增减与极值高中数学必修一第一章主讲人李教授年秋季学期2023今日课题引入生活极值举例经济应用投篮角度找最佳利润最大化问题建筑设计材料用量最少方案本节学习目标掌握函数单调性判定极值点求解运用导数判断函数增减性熟悉极值求解完整步骤实际问题分析应用增减性解决实际问题课程结构预览基础概念函数增减性与极值定义数学方法导数判别法与计算技巧例题演练典型问题求解与分析实际应用实际问题中的极值应用函数的增减性概念单调递增单调递减若若x₁x₁fx₂函数值随自变量增大而增大函数值随自变量增大而减小用图像理解增减性增函数减函数图像从左到右上升图像从左到右下降先减后增先增后减图像先下降后上升图像先上升后下降数学符号描述单调性单调递增若＜，则＜x₁x₂fx₁fx₂数学表示∀∈，＜＜x₁,x₂I x₁x₂→fx₁fx₂单调递减若＜，则＞x₁x₂fx₁fx₂数学表示∀∈，＜＞x₁,x₂I x₁x₂→fx₁fx₂增减区间的几种常见情景区间表示全区间单调递增区间全程单调递增减a,b/递减区间如在递增c,d y=x²0,+∞分段增减不同区间增减性不同如在递减y=x²-∞,0增减性与导数的关系导数为正导数为负导数为零fx0fx0fx=0函数在该点递增函数在该点递减可能为极值点导数判别增减性的方法求导计算函数的导数fx解不等式解和fx0fx0判断区间确定函数在各区间增减性例题判断函数单调区间1题目思路技巧设，求求导数找的解点fx=x³-3x²+2fx=fx=0增减区间例题详解1求导fx=3x²-6x=3xx-2求零点fx=0得x=0或x=2分区间判断-∞,0fx0，递减0,2fx0，递减2,+∞fx0，递增增减性的常见错误分析漏解错误计算错误漏掉的部分解导数计算出错导致结论错误fx=0区间划分错误区间端点处理不当检验增减性的额外方法差值法离散场景应用计算判断正负数列递增判断fx₂-fx₁{aₙ}适用于简单函数aₙ₊₁-aₙ0区分严格单调与一般单调严格单调一般单调x₁x₁典型典型（取整函数）y=x³y=[x]小结一函数增减性核心理解应用层实际问题中运用增减性方法层导数判别法求解过程概念层理解单调性定义本质极值的引出现实中的最优问题身高发育企业利润增长速度达最大值后减缓价格与销量平衡点最优最短路径两点间距离最小值问题极大值与极小值的定义极大值定义极小值定义某邻域内某邻域内x₀fx₀≥fx x₀fx₀≤fx局部最高点局部最低点极值点与极值极值点极值一一对应取得极值的自变量值对应函数值每个极值点对应唯一极x₀fx₀值极值与导数的联系必要条件驻点若为极值点，则或不的点称为驻点x₀fx₀=0fx₀=0存在非充分条件不一定是极值点fx₀=0如在处y=x³x=0求极值的常规步骤求导计算fx求驻点解方程fx=0判断性质分析导数符号变化求极值代入求得fx₀例题二次函数极值2题目求函数的极值fx=x²-4x+3分析二次函数开口向上思路求导解方程判断极值类型--例题详细解析2求导fx=2x-4求驻点解得fx=0x=2判断极值类型时，递减x2fx0时，递增x2fx0先减后增，为极小值点x=2求极值极小值f2=-1极值存在的充要条件充要条件高阶导数判别导数在处正负号改变若且x₀fx₀=0fx₀≠0左右导数异号为极小值x₀fx₀0为极大值fx₀0极值点的左减右增原理极大值点特征左增右减表现为，fx₀-ε0fx₀+ε0极小值点特征左减右增表现为，fx₀-ε0fx₀+ε0极大极小值与最值的区别极值最值局部最优值全局最优值与邻域内点比较与定义域内所有点比较一个函数可有多个极值最大值最小值各至多一个/判断极值点的方法对比导数符号法图像法分析左右导数符号观察函数图像形状变化x₀数值试探法二阶导数法计算邻近点函数值比较利用判断x₀fx₀例题三次函数极值分析3题目求函数的极值fx=x³-3x²-9x+5分析三次函数可能有两个极值点思路求导求驻点判断极值计算---例题详解3求导fx=3x²-6x-9=3x²-2x-3求驻点解得或fx=0x=-1x=3判断极值处左增右减，极大值点x=-1处左减右增，极小值点x=3计算极值极大值f-1=10极小值f3=-22极值问题常考类型两处极值一处极值如典型三次函数如二次函数特殊情形极值点重合或不存在极值点的应用举例利润最大1确定变量价格、销量、成本p qc建立模型利润函数π=p·q-c求极值解得最佳价格πp=0极值点的应用举例最短距离2建立距离函数d=√[x-x₀²+y-y₀²]转化为极值令dx=0求最小值极小值即为最短距离图像与函数增减极值的综合分析读图判断增减区间读图判断极值点图像上升函数递增图像凸起极大值→→图像下降函数递减图像凹陷极小值→→水平切线可能极值点→结合三角函数的增减性与极值余弦函数递增区间y=cosx2kπ+π/2,2kπ+3π/2正弦函数递增区间y=sinx2kπ-π/2,2kπ+π/2极值特点周期性重复出现最值与极值重合抛物线与极值标准型一般型y=ax-h²+k y=ax²+bx+c顶点为极值点极值点h,k x=-b/2a极值为4ac-b²/4a抛物线极值实际应用抛体运动高度函数h=vt-gt²/2最大高度时达到最高点t=v/g应用场景喷泉设计、火箭发射合成函数的极值与增减内外函数关系求导链式法则Fx=fgx Fx=fgx·gx增减性可能改变特殊情况外函数单调时保持单调性外函数非单调时需分段讨论分段函数的极值判定策略分段分析每段单独分析增减性连接点检查分段连接处可能有极值连续性讨论非连续点处导数不存在需特别考察是否极值点参数函数的极值问题参数变化影响参数讨论方法参数改变函数图像形状分类讨论不同参数取值a极值点位置可能移动确定临界参数值讨论极值数量变化多项式函数的极值分布规律函数类型极值点最多个数次多项式最多个极值点n n-1奇次多项式极值点数量为偶数偶次多项式极值点数量为奇数典型问题汇总与易错点提醒概念混淆极值点非最值点计算错误求导符号计算失误解答不完整求出极值点未判断类型定义域忽略未考虑定义域限制导致错解数学建模与极值应用问题抽象函数建立实际问题转化为数学模型构建目标函数2验证解释求解极值结果回代检验有效性用导数方法求最优解数字化工具与函数分析计算器应用几何画板函数绘图软件计算器求导功能动态演示函数增减性变可视化极值TI GeoGebra化点拓展延伸极值的高阶应用条件极值最值与极值联系拉格朗日乘数法最值可能在端点或极值点处取得带约束条件的极值问题闭区间最值需比较端点值和极值重点例题归纳复习134典型题型常见题型直接判断函数的增减区间由增减性反求函数表达式2考点配合其他性质综合分析重点例题归纳复习2课后习题与思考题1函数增减性判断2极值求解求的增减区间函数的极值计算fx=x³-3x²+x-1gx=2x³-3x²+13应用题4拓展题设计最佳长方形容器最小表面积参数影响极值变化a fx=ax³-3x²+1本节课知识结构小结概念理解方法掌握函数增减性与极值定义导数判别法与求解流程拓展延伸实际应用3特殊函数增减性与极值分析增减性与极值在实际问题中应用学以致用与能力提升建议模型思维系统训练用增减极值分析实际问题多样化练习不同题型建立问题的数学模型能力构建完整知识体系工具辅助借助软件理解概念可视化加深理解课堂互动与答疑开放讨论重点难点解析小组合作分享你的困惑点针对性解答常见误区尝试解决拓展问题。