《函数的增减与极值分析》课件

函数的增减与极值分析在数学的殿堂中探索函数的奥秘学习目标理解函数单调性定义掌握极值求解思路能独立分析函数增减性与极值掌握单调增减的严格定义学会寻找函数的最大最小值运用所学知识解决实际问题函数的基本概念定义域、值域常见函数类型函数输入输出的范围集合线性、二次、三角、指数等自变量与因变量描述x与y的依赖关系单调性的概述单调递增单调递减单调区间x增大，fx随之增大x增大，fx随之减小函数保持同一增减性的区间x₁x₁fx₂极值的基本理解极大值极小值局部极值直观解释局部最高点局部最低点山峰与山谷例题识别单调性函数1题目分析判断fx=2x²-4x在何处单调求导fx=4x-4导数分析fx=0解得x=1结论x1时递减，x1时递增例题判断极值点2题目求fx=x³-3x²+1的极值点求导fx=3x²-6x求根fx=0得x=0或x=2判别x=0为极小值点，x=2为极大值点函数单调性的定义单调递增∀x₁单调递减∀x₁fx₂不增不减函数图像水平线段单调性的几何意义上升趋势下降趋势表示函数递增表示函数递减曲线走向切线斜率直观体现单调性决定了增减性导数与单调性的关系导数为正函数在该点单调递增导数为负函数在该点单调递减导数为零可能为极值点或拐点导数不存在可能为尖点或断点一阶导数判定法结论应用确定单调区间与极值点导数符号分析fx0递增,fx0递减导数计算求出fx表达式如何求函数的导数函数类型导数公式多项式x^n=nx^n-1三角函数sin x=cos x指数对数e^x=e^x,ln x=1/x复合函数链式法则:[fgx]=fgx·gx实例分析多项式的单调性单调区间判断临界点a0:x-b/2a递减,x-导数计算x=-b/2a b/2a递增函数表达式fx=2ax+bfx=ax²+bx+c a≠0实例分析分式函数单调性函数表达式fx=1/x求导fx=-1/x²导数分析fx0x≠0结论全区间单调递减作图与单调性结合1分解区间划分单调区间边界2确定端点计算区间边界函数值3连线成图按单调性顺序连接各点4检查验证验证图像是否符合单调性极值点的定义与分类局部极大值局部极小值邻域内函数值最大邻域内函数值最小全局最大最小值驻点/整个定义域内的最值导数为零的点，可能是极值点极值的几何理解曲线高峰曲线低谷现实对应局部极大值点局部极小值点地形起伏表示极值判别极值点的方法一阶导数变号法二阶导数判别法判断临界点前后导数符号变化在一阶导数为零处判断二阶导数符号•正→负极大值•fx0极大值•负→正极小值•fx0极小值•不变号非极值点•fx=0需进一步判断一阶导数变号法详解正负极大值→左递增右递减，形成峰值负正极小值→左递减右递增，形成谷点正正非极值→持续递增，可能是拐点负负非极值→持续递减，可能是拐点二阶导数判别法求一阶导数解方程计算fx求解fx=0判断符号求二阶导数fx0极小值，fx0极大值3计算fx常见函数的极值求解极值与最值的区别极值特点最值特点局部性全局性•在邻域范围内比较•整个定义域范围内•可能有多个极值点•最大值/最小值各一个•必须在内点•可能在端点极值点与驻点、拐点驻点极值点导数为零的点，不一定是函数值局部最大或最小的极值点点拐点曲线凹凸性变化点，二阶导数为零单调区间与极值点关系极值点识别单调性变化处可能有极值单调性切换递增转递减或递减转递增临界点作用是单调区间的分界点例题已知导数解析极值3题目条件已知fx=x²-4求临界点解方程x²-4=0判断单调区间x∈-∞,-2∪2,+∞时fx0确定极值点x=-2极大值，x=2极小值例题依据单调区间求极值4题目求fx=x⁴-4x³的单调区间和极值求导fx=4x³-12x²=4x²x-3临界点x=0和x=3分析结果x=0为极小值，x=3为极大值多项式函数极值综合分析函数类型一阶导数极值点数量二次函数一次方程最多1个三次函数二次方程最多2个四次函数三次方程最多3个n次函数n-1次方程最多n-1个分段函数的单调与极值特别注意判断导数符号检查分段点是否为极值点分段求导确定各段单调性分段点处理各区间分别求导数检查分段点连续性指数、对数函数单调性及极值指数函数对数函数复合情况y=a^x a1y=log_a xa1如y=x·e^-x•全区间单调递增•全区间单调递增•需求导判断•无极值点•无极值点•可能有极值点三角函数的极值及单调性y=sin xy=cos x周期为2π周期为2π极值点x=π/2+kπ极值点x=kπy=tan x复合三角函数周期为π需单独分析无极值点综合例题多种函数混合1题目求fx=xln x的单调区间和极值求导fx=ln x+1（乘法法则）临界点fx=0解得x=1/e结果x=1/e处取极小值-1/e综合例题实际问题建模2问题描述生产效率与人员配置关系数学模型Px=10x-

0.1x²求最优值Px=10-

0.2x=0结论当x=50人时，效率最高反例分析极值误判常见原因漏判区间端点在闭区间问题中忽略端点忽视不可导点未检查导数不存在的点计算错误求导或判断符号时出错判别法使用不当二阶导数为零未进一步判断例题端点极值判断5题目求fx=x³-3x在[-2,2]上的极值求导2fx=3x²-3临界点fx=0解得x=±1端点检查4计算f-

2、f-

1、f

1、f2结论5最小值在x=-1处，最大值在x=2处极值的物理意义案例速度最大问题能量最小问题最短路径问题物体运动中最大速度系统平衡点能量最小寻找两点间最短距离极值问题思想方法小结建立导数方程1求导并令导数等于零分类讨论分析各个临界点的性质明确条件边界3检查端点和不可导点结果验证通过二阶导数或变号法验证编程与极值求解import numpyas npfromscipy.optimize importminimize#定义函数def fx:return x**3-6*x**2+9*x+15#求极值result=minimizef,x0=0min_value=result.funmin_point=result.x

[0]printf极小值点x={min_point}printf极小值fx={min_value}常见错误与注意事项区间划分错误求导计算失误符号判断错误临界点漏掉或多余公式应用不当或运导数正负号判断失算错误误遗漏特殊情况忘检查不可导点和端点校验方法与解题技巧画图辅助判断取值验证草图能直观看出函数变化选临界点两侧点验证单调性交叉检验用多种方法核对结果极值与单调性的图像直观法拓展多元函数的极值简介偏导数对各个变量分别求导矩阵Hessian2二阶偏导数构成的矩阵充分条件3通过特征值判断极值类型高考真题分析极值考查题型特点解题思路常见错误结合实际问题抓住问题中的函数关系建模不准确注重建模与分析选择合适的求导方法求导公式混淆多角度考查理解综合运用判别技巧忽略约束条件高阶导数在极值问题中的应用一阶导数临界点判断二阶导数极值类型判断三阶导数处理二阶导数为零情况高阶导数进一步判断复杂情况竞赛题型中的极值分析参数化函数含参数函数的极值分析优化问题最大最小值问题转化拉格朗日乘数法带约束条件的极值连续化方法离散问题转换为连续极值复合函数的单调与极值识别复合关系确定外函数与内函数链式法则应用fgx·gx临界点分析找出fgx=0或gx=0结果验证代入检查极值性质图像变换对极值的影响平移变换伸缩变换对称变换y=fx-a+b y=kfx y=f-x或y=-fx•极值点位置平移•极值点位置不变•极值点关于原点/坐标轴对称•极值大小相应偏移•极值大小成比例变化•极值类型可能互换归纳总结单调性与极值判别流程函数分析求导分析确定函数类型和定义域计算导数并找临界点2极值确定单调性判断4通过导数变号或二阶导数判别3按导数符号划分区间知识点记忆口诀与常见模板导数符号口诀极值判断口诀导数正，函数增；导数负，函数减正负得极大，负正得极小二阶导数记忆解题步骤记忆二导正，向上凸；二导负，向下凸求导，解零，分段，判别课堂小练互动问答12快速判断应用分析fx=x³-3x²+2的极值点长方形周长固定时面积最大值3综合推理三次函数最多有几个极值点小结与学习展望重要结论回顾应用价值拓展方向•单调性由导数符号决定•解决优化问题•多元函数极值•极值点是单调性变化点•分析现实变化趋势•约束条件下的极值•二阶导数可判断极值类型•预测物理系统行为•泰勒展开应用。