《实数概念》课件

实数概念数学理论基础的核心探索有理数与无理数世界目录数的起源与分类从古代简单计数到今天复杂理论实数的性质与表示数轴、稠密性、连续性实数运算与应用四则运算、实际应用场景拓展与练习历史趣闻、巩固练习导入什么是数？生活处处有数无理数的神秘故事商品价格、时间计算、距离测量毕达哥拉斯学派震惊发现身高体重、成绩排名、电话号码希帕索斯因揭示√2是无理数而被处死？数的起源与发展原始社会结绳记事、刻痕计数商代甲骨文数字系统古代文明埃及、巴比伦计数法现代计算机与高等数学数系的扩展自然数最初用于计数1,2,

3...整数包含负数...-2,-1,0,1,

2...分数表示部分1/2,3/

4...无理数如π,√2,e有理数简介定义分数形式小数形式可表示为两整数之比的数1/2,-3/4,5/1有限小数

0.25形式p/q，q≠0循环小数

0.

333...有理数的局限直角三角形问题计算结果边长为1的正方形对角线长度是多少？根据勾股定理计算为√2新类型的数困惑无理数的诞生√2无法写成分数形式开平方与无理数勾股定理中的√2欧几里得的贡献1²+1²=2，边长=√2《几何原本》中无理量理论证明√2不是有理数比例理论代替数值计算什么是实数有理数无理数可表示为分数形式不可表示为分数形式几何意义实数数轴上的点有理数与无理数的总称实数的符号表示集合名称符号包含内容自然数ℕ1,2,3,...整数ℤ...,-2,-1,0,1,2,...有理数ℚ分数形式p/q无理数ℝ\ℚπ,√2,e等实数ℝ有理数∪无理数实数分类一览无理数•代数无理数√2,∛5有理数正实数•超越数π,e•整数-3,0,5•无限不循环小数大于0的实数•分数1/2,-4/5负实数•有限小数

0.25•循环小数

0.

333...小于0的实数有理数详细解释分数形式有限小数p/q q≠0小数点后有限位数如1/2,-3/4,7/5如

0.5,

1.25,-

3.75循环小数小数点后某些数字循环出现如

0.

333...,

0.

272727...无理数定义定义特征著名无理数•不能表示为分数形式•π=

3.

1415926...•非循环无限小数•e=

2.

7182818...•不能写成p/q形式•√2=

1.

4142135...•√3=

1.

7320508...无理数的探究假设√2是有理数则存在互素整数p,q，使√2=p/q两边平方2q²=p²推导p²是偶数，则p是偶数设p=2k，代入得2q²=4k²化简得q²=2k²，则q也是偶数矛盾p,q不可能同为偶数（互素）假设不成立，√2是无理数非循环无限小数无限位数小数点后永不结束无循环规律小数部分无重复模式典型例子π=

3.

14159...无规律可循实数的数轴表示直线模型数轴是无限延伸的直线原点对应数值0单位长度确定比例尺度一一对应每个实数对应唯一点每个点对应唯一实数有理数与数轴整数定位分数定位直接标在对应位置分割单位区间如-2,0,3,5如1/2在0和1中点2/3在0和1间分成3份取2份处无理数与数轴√2定位方法作单位正方形对角线用圆规将长度转移到数轴的定位π单位圆周长÷直径几何作图较复杂实际应用通常使用近似值估计位置√2≈

1.414，π≈

3.14实数的稠密性任意两实数之间存在无穷多个实数取平均值方法a和b之间存在a+b/2具体例子1和2之间

1.1,

1.01,

1.

001...实数的连续性数轴无空隙戴德金分割完备性任意位置都有实数对应任何分割都有唯一边界点有上界的非空子集必有上确界没有空洞确保数轴完整性数学分析基础实数基本性质总览实数的四则运算加法减法乘法封闭性a+b∈ℝa-b=a+-b封闭性a×b∈ℝ交换性任意相减仍是实数分配律a+b=b+a ab+c=ab+ac除法a÷b=a×1/b，b≠0非零实数倒数存在加法运算与性质交换律a+b=b+a结合律a+b+c=a+b+c零元a+0=a逆元a+-a=0乘法运算与性质交换律a×b=b×a结合律a×b×c=a×b×c单位元a×1=a分配律ab+c=ab+ac实数乘方与开方乘方运算开方运算•a^n=a×a×...×a n个•√a表示平方根•a^0=1a≠0•∛a表示立方根•a^-n=1/a^n a≠0•^n√a表示n次方根•负数不能开偶次方商的存在性除法定义a÷b=a×1/b，b≠0乘法逆元每个非零实数b有唯一逆元1/b重要性质3b×1/b=10没有乘法逆元实数与代数式代数式基本形式有理式多项式ax^n+bx^n-1+...可表示为多项式之比分式Px/Qx如x^2+3x+2/x-1无理式含有根号的代数式如√x^2+1,∛2x-3绝对值的概念定义几何意义基本性质|x|=x x≥0数轴上点到原点的距离|x|≥0|x|=-x x0|a-b|表示a与b之间的距离|-x|=|x||xy|=|x|·|y||x+y|≤|x|+|y|相反数与倒数概念定义例子特点相反数-a是a的相反5的相反数是-和为0数5倒数1/a是a的倒数2的倒数是1/2乘积为1a≠0注意事项0没有倒数1的倒数是1-a的倒数是-1/a科学记数法与实数标准形式a×10^n1≤a10大数表示地球质量

5.97×10^24千克小数表示氢原子质量

1.67×10^-27千克计算优势简化乘除运算实数与测量长度测量面积计算体积测量身高

175.6厘米圆面积πr²水箱容积

0.5立方米精确到小数点后一位通常包含无理数精确到小数点后一位π实数在科技中的应用工程中的π物理中的e建筑中的φ轮盘设计、波长计算指数增长、衰减模型黄金比例造型美学实数与信息技术二进制表示精度限制计算机使用浮点数表示实数无限小数必须截断或舍入处理方法舍入误差高精度算法、误差控制

0.1+

0.2≠

0.3精确值实数在金融领域

4.5%

1.2%年利率月通胀率储蓄存款利息计算基准物价上涨指标

6.8汇率1美元兑换人民币元数轴上的距离距离公式1|a-b|表示a到b的距离计算示例2-3到5的距离为|-3-5|=|-8|=8性质距离恒为非负3a到b与b到a距离相等实数与集合关系自然数ℕ整数ℤ计数数字1,2,

3...包含自然数、0和负整数实数ℝ有理数ℚ包含有理数和无理数包含整数和分数柯西数列与实数数列定义无限序列a₁,a₂,a₃,...柯西数列特征项与项之间距离逐渐趋近于0实数完备性每个柯西数列都收敛于某个实数实数构造方法将实数定义为柯西数列等价类实数的稠密性与有理数有理数的稠密性无理数的稠密性可数性与不可数性任意两个实数之间必有有理数任意两个实数之间必有无理数有理数集是可数无穷集例1和2之间有

1.5,

1.

25...例1和2之间有√2=

1.

414...实数集是不可数无穷集典型例题讲解一数分类理由

0.25有理数有限小数，等于1/

40.

333...有理数循环小数，等于1/

30.

101001...无理数无限不循环小数√9有理数等于3，是整数√2无理数无法用分数表示典型例题讲解二典型例题讲解三问题计算√2+1²展开√2²+2√2+1²计算2+2√2+1=3+2√2结果3+2√2≈

5.83混合表达式有理部分+无理部分综合应用题1问题描述圆柱形水箱，底面半径2米，高3米2建立模型体积V=πr²h3代入计算V=π×2²×3=12π立方米4近似结果V≈12×

3.14=

37.68立方米历史趣闻无理数发现公元前5世纪毕达哥拉斯学派认为万物皆数希帕索斯的发现证明√2不能表示为整数比学派危机3动摇了数学基础理论传说4希帕索斯因泄密被处死？被学派成员推入大海数学名家谈实数戴德金Dedekind康托尔Cantor影响与贡献通过切割构造实数等价柯西数列构造法为实数奠定严格数学基础实数对应数轴上的切点证明实数是不可数集合推动集合论、数学分析发展实数的局限与超越实数的局限方程x²+1=0无解虚数的引入i²=-1解决了开平方局限复数的完备性形如a+bi的数任何多项式方程都有解小组讨论与互动讨论问题1讨论问题2讨论问题3实数与日常生活的联系？如何区分有理数和无理数？实数的哪些性质最重要？举例说明判断技巧为什么常见误区与易错点小数与有理性开方与有理性并非所有小数都是有理数√n不一定是无理数循环是关键判断标准如√4=2是有理数无理数运算无理数相加不一定是无理数如√2+-√2=0是有理数总结与归纳定义与分类核心性质实数=有理数∪无理数稠密性、连续性、完备性2数轴上的点运算封闭性实际应用基本运算测量、建模、计算四则运算、乘方开方科学技术基础有序性、大小比较课后练习与思考1判断题2证明题3计算题指出下列数中的有理数和无理数证明√3是无理数求√5+1√5-

20.

2525...,√7,√9,

0.

33...4应用题5探究题某圆柱高为h，底面半径r证明任意两个有理数之间必有无理数求表面积与体积感谢与答疑感谢聆听欢迎提问推荐阅读希望课程对大家有所帮有疑问请及时提出《数学分析》《实变函助数》联系方式课后讨论欢迎来信。