《实数概念回顾》课件

实数概念回顾本课件将系统回顾实数的基本概念、分类、性质及应用，帮助同学们建立完整的实数体系认识什么是实数？广义上的数分类组成可表示所有数量关系包含有理数和无理数实数的历史起源古巴比伦时期1使用分数表示数量古希腊时期2毕达哥拉斯学派发现无理数近代数学3戴德金完善实数理论数系的扩展实数包含所有有理数与无理数有理数分数、循环小数、有限小数整数包含正整数、

0、负整数自然数从1开始的计数数字有理数的概念定义特征小数表示可表示为分数形式p/q q≠0有限小数或无限循环小数分类组成包含正有理数、零、负有理数无理数的概念π√2e圆周率，约等于约等于

1.

41421...自然对数的底，约等于

3.

14159...

2.

71828...数轴上的实数一一对应位置表示每个实数对应数轴上唯一一点通过点的位置反映大小关系无限延伸数轴向两端无限延伸实数的分类有理数无理数•分数形式表示2•无法写成分数•有限或循环小数•无限不循环小数有理数的进一步分类整数不含小数部分的数分数两整数相除的形式小数有限小数与循环小数无理数举例圆周率π√2黄金比例圆周长与直径比值边长为1的正方形对角线长度约等于

1.618的审美理想比例实数的稠密性无限细分无限多实数12两个实数之间总存在另一个实任意区间内有无限多实数数交错分布3有理数与无理数相互交错实数的大小比较数轴位置右侧数值大于左侧关系符号使用,,≤,≥表示差值判断a-b0则ab实数的加法运算交换律结合律闭合性a+b=b+a a+b+c=a+b+c实数加法结果仍为实数实数的减法运算定义本质加法逆运算a-b=a+-b求未知加数实际意义表示相反方向变化量实数的乘法运算交换律结合律a×b=b×a a×b×c=a×b×c闭合性分配律乘法结果仍为实数a×b+c=a×b+a×c实数的除法运算定义方式a÷b=a×1/b,b≠0零除问题除数不能为零计算性质乘法的逆运算实数四则混合运算第一步计算括号内的表达式第二步计算乘方、乘法和除法第三步从左到右计算加法和减法绝对值概念定义实际应用|x|表示x到原点的距离测量误差、温度变化•x≥0时，|x|=x•距离计算•x0时，|x|=-x•偏差范围绝对值运算性质乘积绝对值三角不等式商的绝对值|a×b|=|a|×|b||a+b|≤|a|+|b||a÷b|=|a|÷|b|，b≠0相反数与倒数5-5原数相反数示例数值符号相反，数值相同1/5倒数乘积为1的数实数的近似表示近似表示方法取整、四舍五入、科学记数法、有效数字无理数的近似表示无限不循环小数计算器表示区间逼近必须截断或近似存在精度限制有理数序列逼近无理数实数在代数中的作用方程求解提供方程的解集函数定义域构成函数的定义域和值域多项式系数构成多项式的系数代数基本定理复系数多项式的根与实数关系实数在几何中的体现实数与函数定义域值域函数输入的实数集合函数输出的实数集合•全体实数•有界值域•部分实数•无界值域实数的密度性举例相邻整数任意区间121和2之间有无数实数区间a,b中实数无限多构造方法3两数算术平均值必在中间有理数与无理数的对比特征有理数无理数分数表示可以表示为分数不能表示为分数小数形式有限或循环小数无限不循环小数数轴分布稠密但可数不可数实数在科学中的应用物理学化学生物学质量、速度、能量浓度、分子量计算生长率、种群数量测量分析天文学距离、质量、时间测量实数在工程中的应用测绘工程建筑设计机械制造距离精确测量尺寸精确标注公差与配合实数在金融中的例子例题分数与小数转换1分数转小数除法计算5/8=

0.625循环小数表示1/3=

0.

3333...=

0.3循环小数转分数

0.75=3/4例题无理数估算

21.

4143.

1422.718√2近似值π近似值e近似值精确到小数点后三位工程计算常用值自然对数常用值例题实数运算综合3计算顺序分步骤示例12先乘除，后加减5+2×3-4÷2=5+6-2=9括号作用35+2×3-4÷2=7×1=7例题绝对值应用4数轴距离误差范围|a-b|表示a、b两点间距离|x-a|≤δ表示x在a附近δ范围内•|5--3|=|8|=8例题实数应用于几何5问题公式已知直角三角形两直角边长3和4勾股定理c²=a²+b²结果计算斜边长c=√25=5c²=3²+4²=9+16=25课堂互动练习1判断下列数字属于哪类实数√3,

0.25,-7,

2.

3333...,π课堂互动练习2分数转小数小数转分数将5/6转化为小数将

0.45转化为最简分数循环小数转分数将

0.

272727...转化为分数课堂互动练习3温度问题从-5°C升高8°C后的温度盈亏问题亏损300元后又盈利500元的结果距离问题计算数轴上-7与4之间的距离常见易错点1错误认识正确概念所有循环小数都是无限小数循环小数是有理数所有无限小数都是无理数无理数是无限不循环小数常见易错点2错误做法正确认识正确写法将无理数简单截断当精确值无理数无法精确表示为小数使用符号表示或明确是近似值常见易错点3错误比较方式仅通过小数位数比较大小错误示例认为

3.1比

3.09大是因为

3.1位数少正确方法从高位到低位逐位比较常见易错点4顺序混乱括号使用不当分数运算错误从左到右依次计算忽略或多余的括号通分错误或约分遗漏实数发展史简述古希腊时期1发现无理数217世纪牛顿、莱布尼茨引入无限小数319世纪戴德金、康托尔建立严格理论现代数学4实数公理化体系完善数轴拓展到平面直角坐标一维数轴平面坐标系空间坐标系表示单个实数表示实数有序对x,y表示实数有序三元组x,y,z实数的构造方法简介戴德金分割法1通过有理数集合的分割定义实数柯西序列法2通过有理数柯西列的等价类定义实数区间套方法3通过有理数闭区间序列定义实数小数表示法4通过无限小数表示定义实数实数集合的符号表示R实数集1包含全体实数Q有理数集可表示为分数的数Z整数集正负整数及零N自然数集正整数集合实数与复数的比较实数复数•一维数轴表示•二维平面表示•实部值•形如a+bi实数学习方法建议多做练习概念图示化联系实际强化实数运算能力通过图形理解抽象概念将实数与现实应用结合知识点小结实数分类有理数与无理数构成实数性质稠密性、完备性、连续性运算法则四则运算与绝对值实际应用几何、物理、工程领域展望与思考高等数学基础拓展方向应用领域极限、微积分基本概念复数、矩阵、向量空间计算机科学、人工智能、量子物理。