《微积分与函数图像》课件

微积分与函数图像探索微积分与函数图像的奥秘通过图形直观理解微积分掌握函数分析的核心技巧什么是微积分？1古希腊时期阿基米德求曲线长度2世纪17牛顿与莱布尼茨独立发明3现代微积分研究变化率与累积效应微积分的应用领域物理学测量速度与加速度经济学分析边际收益与成本工程学实现设计最优化基本数学概念回顾集合与映射数轴与绝对值元素间的对应关系数的位置与距离实数性质稠密性与完备性函数的定义图像直观几何表示解析式用数学公式表达表格离散数据对应常见函数类型从左至右幂函数、指数函数、对数函数、三角函数函数的奇偶性奇函数偶函数f-x=-fx f-x=fx图像关于原点对称图像关于y轴对称周期性函数正弦函数余弦函数正切函数周期为的标准周期函数与正弦函数同周期但相位不同周期为的三角函数2ππ函数的单调性递增区间增大时增大x fx递减区间增大时减小x fx恒定区间变化时不变x fx函数的有界性与最值上界函数值不超过的上限下界函数值不低于的下限最大值函数在区间上的最高点最小值函数在区间上的最低点函数的图像基本要素——极值点函数的局部最大或最小值交点与坐标轴或其他曲线相交定义域函数有定义的值范围x值域函数可取到的值范围y一次函数图像斜率截距标准式k b直线的倾斜程度直线与轴交点y y=kx+b二次函数图像a系数决定开口方向和宽窄h横坐标顶点的x值k纵坐标顶点的y值Δ判别式决定与x轴交点数量指数函数和对数函数图像指数函数对数函数y=aˣa0且a≠1y=logₐx a0且a≠1恒正且无上界指数函数的反函数三角函数图像简析函数周期值域特点奇函数sin x2π[-1,1]偶函数cos x2π[-1,1]奇函数tan xπ-∞,+∞复合函数与分段函数复合函数形式f[gx]嵌套函数结构分段函数不同区间有不同表达式可能存在间断点图像绘制分段处理每个区间检查连接处连续性反函数及其图像原函数y=fx交换、x yx=fy求解y⁻y=f¹x极限的概念引入左极限右极限极限存在从左侧逼近时的函数值从右侧逼近时的函数值左右极限相等的情况x x极限的四则运算和差乘积limf±g=lim f±lim glimf·g=lim f·lim g商复合limf/g=lim f/lim g一定条件下可交换顺序分母极限不为零极限存在判别法左右极限相等夹逼准则函数在点两侧的极限值相同被夹函数的极限等于边界极限单调有界准则单调且有界的数列必有极限无穷小与无穷大无穷小量无穷大量极限为零的量绝对值超过任意正数的量等价无穷小代换正负无穷大••高阶低阶之分无界增长特性••函数的连续性连续点跳跃间断点无穷间断点可去间断点极限值等于函数值左右极限存在但不相等极限不存在且无限增大点处无定义但极限存在连续函数的图像特征连续函数图像无断裂，满足介值定理和有界闭区间上的最值定理微分的概念割线到切线瞬时变化率线性近似割线斜率的极限即为切线斜率函数值变化与自变量变化比值的极限用切线近似曲线的局部行为导数的定义及几何意义可导性与连续性可导必连续连续不一定可导若fx在点x₀可导，则fx在点x₀连续函数在尖点连续但不可导导数的四则运算法则法则公式条件常数法则为常数kf=kf k和差法则、均可导f±g=f±g fg乘法法则、均可导f·g=fg+fg fg商法则f/g=fg-fg/g²g≠0链式法则与复合函数求导复合关系y=fgx导数关系y=fgx·gx链式法则外函数求导内函数求导·隐函数求导法解出y整理求导结果得到关于和的表达式x y两边对求导x包含的项集中到一侧y保持等式关系不变高阶导数一阶导数变化率二阶导数变化率的变化率三阶导数加速度的变化率4阶导数n递归求导结果常用函数求导公式总结幂函数xⁿ=n·xⁿ⁻¹指数函数eˣ=eˣaˣ=aˣ·ln a对数函数ln x=1/xlogₐx=1/x·ln a三角函数sin x=cos xcosx=-sin xtanx=sec²x导数的实际应用切线方程——确定点坐标求导数值求出点处函数值计算点处导数（斜率）代入点斜式y-y₀=fx₀·x-x₀单调性与导数关系导数为正导数为负导数为零函数在该区间上升（递增）函数在该区间下降（递减）函数在该点水平极值与最值判定临界点一阶判别法导数为零或不存在的点导数正负号变化2最值确定二阶判别法3比较各极值和端点值二阶导数符号判断凹凸性与拐点凹函数凸函数拐点二阶导数为正二阶导数为负凹凸性变化处洛必达法则与未定式极限0/0型未定式∞/∞型未定式分子分母同时趋于零分子分母同时趋于无穷lim fx/gx=lim fx/gx可多次使用洛必达法则不定积分概念原函数不定积分积分常数导数为给定函区分不同原函∫fxdx=Fx+C数的函数数验证方法对结果求导应得原函数积分基本性质线性性质区间可加性∫[afx+bgx]dx=a∫fxdx+∫[a,c]fxdx=∫[a,b]fxdx+b∫gxdx∫[b,c]fxdx函数可加性∫[fx+gx]dx=∫fxdx+∫gxdx定积分的几何意义∫积分符号表示累加过程a下限积分区间起点b上限积分区间终点A面积曲线与x轴围成的区域牛顿莱布尼茨公式-公式表达∫[a,b]fxdx=Fb-Fa计算步骤先求不定积分，再代入上下限简洁记法Fx|[a,b]=Fb-Fa分部积分法与换元积分法分部积分法换元积分法∫uxvxdx=uxvx-∫uxvxdx引入新变量简化积分适用于积分中含有乘积形式替换后需变换积分限广义积分与反常积分无穷限反常积分无界函数反常积分∫[a,∞]fxdx=lim[b→∞]∫[a,b]fxdx∫[a,b]fxdx=lim[ε→0+]∫[a,b-ε]fxdx当在处无界f b收敛与发散极限存在则积分收敛极限不存在则积分发散微积分在实际问题中的应用物理应用经济应用工程应用速度是位移的导数边际成本是总成本的导数最优化设计求极值曲线的长度与旋转体体积微分方程初步方程阶数最高阶导数的阶数变量分离将不同变量分到等式两边求解方法积分两边得到通解反常现象与特殊函数特殊函数狄拉克函数、魏尔斯特拉斯函数、康托函数、伽玛函数δ典型函数图像习题综合分析多种性质同时判断函数性质奇偶性、单调性、有界性微积分工具3导数、积分、极限实践训练反复练习强化记忆微积分思想方法小结极限思想变化思想无限逼近过程研究量的变化关系积累思想43近似思想无限小量的累加效应用简单量近似复杂量学习微积分的建议与拓展打牢基础理解核心概念多做习题理论结合实际图像直观理解借助几何形象学以致用解决实际问题课程总结与问答环节概念回顾函数、极限、导数、积分方法总结图像分析与计算技巧应用拓展科学与工程问题求解学习展望高等数学进阶方向。