《微积分基本概念与应用》课件

《微积分基本概念与应用》数课高等学核心程础应习从基到用的完整学指南课程概述课程目标重要性评估方式积础测验掌握微分核心概念科学研究基工具定期应问题计试用解决实际工程算核心方法期中期末考应项用目微积分的历史发展现代发展古希腊时期严柯西格化现穷阿基米德发竭法魏尔斯特拉斯形式化17世纪顿数牛发明流法莱创积布尼茨建微分符号体系第一部分极限与连续性极限理论积微分根基数列与函数极限趋为近行分析连续性断无间变化特性函数概念回顾函数定义常见函数项数输入值映射到唯一输出值多式、有理函显隐数数对数数表示fx、式、式、参指、、三角函式函数性质单调性增减性关奇偶性f-x与fx系规周期性重复变化律极限的直观理解数列极限函数极限左右极限当趋穷时数项趋当趋时数趋趋时n于无，列的近值x近某值，函值的近行从不同方向近的极限值为极限的数学定义定义ε-δ对当时任意ε0，存在δ0，0|x-a|δ，|fx-L|ε单侧极限侧侧趋从左或右近的极限数列极限对当时任意ε0，存在N，nN，|an-A|ε极限的基本性质唯一性定理则若极限存在唯一有界性定理则极限存在局部有界保号性定理时接近极限保持符号极限的运算法则和差法则乘除法则limf±g=lim f±lim glimf·g=lim f·lim g夹逼定理复合函数法则4夹数内数关被函极限确定外函极限系无穷小与无穷大无穷小定义无穷大定义比较方法为数绝对过数极限零的函值增长超任意正取极限比值阶阶穷负穷记高、同、等价无小正、无大ox、Ox号常见的重要极限1e三角函数极限自然指数极限limx→0sinx/x=1limx→∞1+1/x^x=e1指数与线性比值limx→0e^x-1/x=1函数的连续性连续性定义数极限等于函值limx→afx=fa间断点类型2穷荡可去、跳跃、无、振连续函数性质则数连续四运算、复合函的性闭区间上连续函数的性质有界性定理最值定理闭区连续数间函必有界必能取得最大最小值介值定理能取得介于最值间的任意值第二部分导数与微分导数概念求导法则时规则瞬变化率1基本公式和运算应用高阶导数单调导极值、性、优化反复求导数的概念切线问题瞬时变化率几何意义线时线曲某点的斜率物理量的瞬变化切斜率导数的定义导数为定义差商极限fx=limh→0[fx+h-fx]/h导连续连续导可必，不一定可基本导数公式数导数函类型公式数⁻ⁿⁿ幂函x=n·x¹数三角函sin x=cos x;cos x=-sin x数数ˣˣˣˣ指函e=e;a=a·ln a对数数ₐ函ln x=1/x;log x=1/x·ln a导数的运算法则和差法则f±g=f±g乘除法则f·g=f·g+f·gf/g=f·g-f·g/g²链式法则fgx=fgx·gx隐函数求导解出y求导方法导数隐函数定义整理方程得到表达式对导两边x求数关将为数Fx,y=0形式方程确定的函系y视x的函高阶导数12二阶导数莱布尼茨公式阶导数导数一的求uv^n的通用公式表示fx或d²f/dx²3高阶导数应用加速度线曲凹凸性开泰勒展微分的概念微分定义几何意义线线df=fxdx曲上点的切段数线数函增量的性主部函变化的近似导数的应用函数单调性导数的应用曲线凹凸性凹函数凸向上fx0线线切位于曲下方凸函数凸向下fx0线线切位于曲上方拐点fx=0且变号凹凸性改变的点导数的应用罗尔定理与中值定理罗连续则导数为尔定理f，端点相等，存在点0连续则导数拉格朗日中值定理f，存在点等于平均变化率导数的应用洛必达法则不定式类型使用条件为0/0型极限不定式导∞/∞型分子分母可转导数为其他可化类型分母不零多次使用结为时果仍不定式应则重复用法函数极值问题临界点确定fx=0或不存在极值判定导数阶导数测试符号变化或二最值求解较比极值与端点值曲线的描绘定义域数围确定函存在范交点标轴与坐交点3单调区间分析fx符号4凹凸性分析fx符号5渐近线渐线水平、垂直、斜近优化问题与应用建立模型求导求解标数约导数为临确定目函和束条件零的界点解释结论验证结果结问题阶导数测试检验合实际分析二或实际意义第三部分积分积分理论微分逆运算不定积分2数原函族定积分区积应间累效应用4积积面、体、物理量不定积分的概念原函数与不定积分基本性质则数Fx=fx，F是f的原函∫[fx±gx]dx=∫fxdx±∫gxdx∫fxdx=Fx+C∫kfxdx=k∫fxdx基本积分方法换元积分法123第一类换元法第二类换元法常见技巧换数换∫fgxgxdx=∫fudu，直接替自变量偶函u=sin x替换换u=gx三角代、双曲代根式有理化处理数积复合函分基本积分方法分部积分法公式∫u·vdx=u·v-∫v·udx适用情况积为数积分式可表示两函乘循环使用应积多次用分部分有理函数的积分不同类型处理部分分式分解有理函数定义一次因式A/x-a为简单化有理分式和项重一次因式A/x-a^n两多式的商Px/Qx约不可二次因式Ax+B/x²+px+q三角函数的积分换万能代t=tanx/2积三角恒等变形化和差、降幂公式定积分的概念∑∫黎曼和几何意义区积间分割求和的极限曲边梯形的面±主要性质线区性性、间可加性质不等式性微积分基本定理第一基本定理积导数积数变上限分的等于被函d/dx[∫a→xftdt]=fx第二基本定理积数定分等于原函的增量∫a→bfxdx=Fb-Fa牛顿-莱布尼茨公式∫a→bfxdx=[Fx]a→b=Fb-Fa定积分的计算方法牛顿莱布尼茨公式换元积分法-数换求原函后代入上下限变量替积换∫a→bfxdx=Fb-Fa注意分限的变分部积分法∫a→buxvxdx=[uxvx]a→b-∫a→bvxuxdx反常积分无穷限反常积分∫a→∞fxdx=limt→∞∫a→tfxdx无界函数反常积分∫a→bfxdx=limε→0∫a+ε→bfxdx收敛性判定较别比判法级数别p判法定积分的应用面积计算定积分的应用体积计算旋转体体积已知截面体积平行截面法绕轴连续xV=π∫a→by²dx V=∫a→bAxdx叠加变化的截面绕轴为积yV=2π∫a→bx·fxdx Ax截面面定积分的应用弧长计算参数方程2L=∫α→β√[xt]²+[yt]²dt直角坐标1L=∫a→b√1+[fx]²dx极坐标L=∫α→β√r²+[rθ]²dθ定积分的应用物理问题质心与形心功与能量流体压力与力矩x̄=∫xdm/∫dm W=∫F·ds F=∫ρgh·wydy积计面形心x̄=∫xdA/∫dA变力做功的算M=∫r×F第四部分微积分的高级应用泰勒级数幂级数数项穷级数函的多式近似1无表示微分方程43傅里叶级数导数数含的方程三角函表示泰勒多项式与泰勒级数泰勒多项式定义P_nx=∑k=0→n[f^ka/k!]·x-a^k麦克劳林级数为级数以a=0中心的泰勒常见函数展开e^x=1+x+x²/2!+x³/3!+...⁵sin x=x-x³/3!+x/5!-...幂级数定义1∑n=0→∞a_nx-a^n收敛域敛径敛区收半与收间幂级数运算积加减乘除、微分分傅里叶级数基本概念系数计算数为数ₙ周期函表示三角函之和a=2/T∫fxcosnxdx₀ₙₙfx=a/2+∑n=1→∞[a cosnx+b b=2/T∫fxsinnxdxₙsinnx]微分方程简介基本概念一阶微分方程数导数含未知函的方程可分离变量方程阶导数阶阶线最高一性方程通解与特解齐次方程二阶线性微分方程数常系齐次方程数常系非齐次方程欧拉方程数值方法数值积分欧拉方法数值微分则进导数梯形法步逼近解差分近似则误稳辛普森法差控制精度与定性微积分在各学科中的应用总结与展望核心概念回顾进阶学习方向前沿研究导数积积标极限、、分三大支柱多变量微分非准分析积数阶积微分基本定理的统一意义向量分析分微分数计数创复变函算学新。