《数值与精细运算》课件

数值与精细运算课程介绍数值运算基础理论与精细计算方法聚焦精度控制、误差分析与高效算法广泛应用于科学计算、工程模拟与人工智能教学内容与安排基础理论数值表示、误差分析核心算法迭代法、数值解法编程实践Python/MATLAB实现应用案例工程仿真、机器学习什么是数值运算定义应用利用计算机进行数学问题近似求解的方法科学计算领域核心工具将连续问题离散化处理工程模拟与预测分析基础精细运算的涵义高精度要求复杂计算过程稳定性保障控制小数点后多位有效数字多步骤运算中保持精度避免误差累积与放大数值运算的历史背景古代算法电子计算机巴比伦人平方根近似冯·诺依曼架构古埃及分数计算法浮点标准建立1234机械计算时代现代发展莱布尼茨、巴贝奇计算机高性能计算分布式数值分析数值与数学运算的区别数学运算数值运算追求精确解析解寻求近似数值解符号计算为主离散化处理无精度限制受限于机器精度核心差异误差控制方式不同计算资源需求差异大误差类型概述舍入误差截断误差有限位数表示导致无穷级数截断引起模型误差浮点误差简化实际问题产生IEEE754表示限制误差的来源与传递输入数据误差测量或采样不精确算法本身误差近似方法固有偏差计算过程累积误差传播与放大浮点数的标准表示IEEE754标准特殊值表示符号位1位+指数位8/11位+尾数位23/52位±

0、±∞、NaN科学计数法形式-1^s×

1.f×2^e-bias非规格化表示扩展精度范围浮点数编码实例分析数值符号位指数尾数十六进制

1.

0001111111000...003F8000000-

15.

511000001111100...0C

178000000.

10011110111001100...3DCCCC1CD机器精度与有效数字机器精度定义单精度float321与大于1的最小浮点数之约2^-23≈

1.19×10^-7差双精度float64约2^-52≈

2.22×10^-16运算稳定性稳定算法不稳定实例输入微小变化导致结果微小变化病态矩阵求逆误差不会随计算规模放大高次多项式求值大数小数混合运算条件数与问题灵敏度高条件数1对微小扰动高度敏感中等条件数2适度灵敏度低条件数3对扰动不敏感数值算法的稳定性分析前向稳定性后向稳定性算法得到接近理论结果接近扰动问题的精确解病态问题举例广义特征值求解高斯消元法稳定性良好但需主元选取常用数值格式定点表示浮点表示小数点位置固定小数点位置可变适合特定精度范围覆盖广泛数值范围科学计数法m×10^n形式便于分析与比较进位与溢出问题上溢出下溢出数值超出最大表示范围数值过小无法表示2检测机制规格化3及时捕获异常情况调整数值范围防溢出常见基本运算加减法需对齐指数再操作乘除法指数加减，尾数乘除复合运算精心设计计算顺序优化策略减少中间步骤误差数值近似理论基础覆盖区间最优近似可表示数值的分布与间隔最小化近似误差相邻浮点数间距不均匀绝对误差与相对误差权衡常用舍入方式向零舍入截断至最接近零的值最近偶数舍入IEEE默认方式，避免统计偏差向上/向下舍入分别取上界和下界简单算例展示累计求和1正序求和从小到大累加，小数易被大数淹没逆序求和从大到小累加，精度保持较好配对求和相近数值先加，平衡数值大小简单算例展示2向量内积算法复杂度与效率时间复杂度空间复杂度精度与效率平衡算法执行时间增长率内存消耗增长率高精度通常需更多计算快速幂与有效算法示例On Ologn朴素算法快速幂直接连乘二分法降低复杂度75%计算量减少大幅提升效率牛顿迭代法基础基本公式x_n+1=x_n-fx_n/fx_n选择初值需合理估计起始点迭代计算重复应用公式逼近解判断收敛满足精度要求则停止牛顿法的数值稳定性良好情况病态情况振荡现象二阶收敛，迅速逼近根导数接近零导致不稳定在多根附近可能循环二分法原理与应用确定初始区间计算中点找到函数变号区间取区间中点评估2重复过程选择子区间3直到精度满足要求保留根所在半区间梯度下降法在数值优化中的应用初始点选择随机或预估起点计算梯度确定下降方向更新参数沿梯度反方向移动收敛判断梯度接近零或变化微小线性方程组的数值解法直接法迭代法高斯消元法雅可比迭代法LU分解法高斯-赛德尔法有限步内得到精确解逐步逼近最终解矩阵精细运算介绍存储策略稀疏矩阵压缩表示高效乘法分块与Strassen算法行列式计算避免中间结果溢出逆矩阵伴随矩阵法与高斯消元分解基础与实例LU目标矩阵A分解为LU乘积下三角矩阵L2对角线元素为1上三角矩阵U3通过消元得到分解与正交化QRQR分解计算方法A=QR Gram-Schmidt正交化Q为正交矩阵，R为上三角矩阵Householder变换Givens旋转特征值问题的数值计算幂法计算最大特征值反幂法求最小特征值QR算法计算全部特征值非线性方程的数值解一元方程多元方程组二分法牛顿-拉夫森法牛顿法拟牛顿法割线法信赖域方法应用领域物理模型参数求解化学平衡计算机器学习优化插值与拟合的数值方案拉格朗日插值最小二乘拟合样条插值精确通过所有数据点最小化误差平方和保持光滑性的分段插值数值积分基础矩形法最简单但误差较大梯形法误差随步长平方减小辛普森法误差随步长四次方减小高斯法通过优化采样点提高精度数值微分方法方法公式精度稳定性前向差分[fx+h-一阶中等fx]/h后向差分[fx-fx-一阶中等h]/h中心差分[fx+h-fx-二阶较好h]/2h常微分方程的数值解法欧拉法改进欧拉法龙格-库塔法最简单但精度低预测-校正提高精度高精度、应用广泛精细运算中的数据结构选择堆栈队列表达式求值、函数调用任务调度、广度优先搜索稀疏矩阵树结构压缩存储、高效运算分段存储、快速检索并行与分布式数值运算并行计算分布式计算任务分解与同步问题划分策略多核CPU优化通信开销管理GPU加速计算负载均衡技术高频金融中的精细运算应用实时定价模型毫秒级计算金融衍生品价格交易算法最小化滑点和市场冲击风险控制实时评估投资组合风险敞口机器学习中的数值稳定性损失函数优化防止梯度消失/爆炸正则化技术2避免过拟合保持数值稳定参数初始化3合理初值促进收敛数据标准化4缩放到合适范围工程仿真与中的高精度运算CAE结构分析流体仿真多物理场耦合应力分布与变形计算复杂流动行为预测热-机-电联合计算图像与信号处理中数值精细化快速傅里叶变换小波变换滤波算法降低计算复杂度多分辨率分析针对噪声类型优化精确频谱分析时频局部化能力保持信号关键特征常用数值计算库PythonNumPy SciPy高效数组运算科学计算工具集广播机制优化、积分、插值向量化操作特殊函数库SymPy符号计算解析表达式处理高精度运算数值运算工具箱MATLABOptimization ToolboxSymbolic MathToolbox PDEToolbox求解优化问题符号运算与变换偏微分方程数值解运算结果的可视化表达数值运算的经典错误回顾阿丽亚娜5号火箭2爱国者导弹64位浮点转16位整数溢出时间累积误差导致定位错误温哥华股市错误舍入导致股价计算错误当前前沿与未来发展高精度计算128位及以上浮点运算区间分析确定性误差范围保证智能算法选择AI辅助最优算法配置量子计算量子位提供新运算模式思考题与练习基础练习编程实验挑战任务手动跟踪浮点运算过程实现并比较不同数值算法设计稳定性更好的改进算法分析简单算法的误差可视化误差传播过程解决实际工程数值问题总结与答疑理论基础核心算法误差分析与数值表示求解方程与优化方法2应用领域实践技能工程仿真与科学计算编程实现与调优。