《概率论复习提纲》课件

概率论复习提纲课论础识数领本程覆盖概率基知体系，适用于理工科学生和据分析域过习现维通系统学，掌握随机象分析方法，建立概率思课程考纲与学业要求历年重点应题概率公式用计算能力计概率分布算理论理解证定理公式明应用能力问题实际建模概率论的应用实例生活应用科技领域经济应用预报习预测评天气准确率机器学风险估奖场彩票中几率信号处理噪声分析股票市波动线规测交通路划量子物理量保险精算定价随机现象与不确定性随机性定义不确定性来源试验结测误在相同条件下重复，果不量差认确定知局限预测规预测别杂可整体律，不可个结系统复性果概率思想数用值描述不确定性程度寻稳找大量重复中的定性基本概念随机试验可重复性进可在相同条件下重复行结果集确定结所有可能果事先已知不确定性单试验结预测次果无法样本空间和事件事件样本空间的子集基本事件单结不可再分的一果样本空间结所有可能果的集合事件间的关系与运算并集交集时A∪B事件A或事件B至少一A∩B事件A和事件B同发个发生生包含关系对立事件导A⊂B事件A发生必致事件B发生Ā事件A不发生事件代数与集合运算换交律A∪B=B∪A A∩B=B∩A结合律A∪B∪C=A∩B∩C=A∪B∪C A∩B∩C分配律A∩B∪C=A∪B∩C=A∩B∪A∩C A∪B∩A∪C德摩根律A∪B-=A-∩B-A∩B-=A-∪B-概率的定义（古典型）等可能性计算公式典型例子每个基本事件概率相等PA=事件A包含的基骰子、扑克牌、球的随数本事件/样本空间基机抽取数本事件总概率的定义（几何与频率型）几何概率频率概率统计概率对应区积数试验数试验频稳PA=事件A域面/样本空间总面PA≈事件A发生的次/总次大量重复中事件发生率的定值积（n→∞）概率公理体系非负性任意事件A，PA≥0规范性样本空间Ω，PΩ=1可列可加性互不相容事件的概率等于各事件概率之和条件概率概念PA|B PA∩B条件概率公式联合概率时在事件B已发生条件下，事件A发生事件A和B同发生的概率的概率PB先验概率事件B发生的概率，PB0乘法法则两事件乘法PA∩B=PBPA|B=PAPB|A多事件乘法₁₂₁₂₁₁ₙₙₙ₋₁PA∩A∩...∩A=PA PA|A...PA|A∩...∩A概率树径杂问题分支路概率相乘，适用复分析全概率公式贝叶斯公式及应用ᵢᵢᵢⱼⱼ贝叶斯公式PB|A=[PBPA|B]/[∑PB PA|B]应结用核心已知果求原因概率事件的独立性定义独A与B立PA∩B=PAPB条件判断PA|B=PA或PB|A=PB多事件独立积任意子集的交事件概率等于各事件概率之与互斥区别独互斥PA∩B=0，一般不立概率常用技巧与解题思路分类讨论转化法将杂为简单对简计复事件分解情况利用立事件化算PA=1-PĀ对称性捆绑法问题对称简将组利用概率的性化同类事件合处理随机变量及其分布离散型连续型混合型为为连续区时连续取值有限个或可列无限个取值间中的任意值同具有离散和成分分布函数（概率分布函数）Fx定义性质单调Fx=PX≤x

①不减过连续随机变量X不超x的概率

②右

③极限性F-∞=0，F+∞=1数图分布函示概率质量函数（离散型）定义性质负px=PX=x

①非性px≥0为归随机变量X取值x的概率

②一性∑px=1与分布函数关系Fx=∑pt,t≤xpx=Fx-Fx-概率密度函数（连续型）定义为导数fx Fx的函fx=Fx性质负积

①非性

②分等于1分布函数关系负穷Fx=∫ftdt，从无到x区间概率Pa常见离散型随机变量分布称质数分布名概率量参期望方差数函项二分布Cn,kp^n,p npnp1-pk1-p^n-k泊松分布λ^k·e^λ0λλ-λ/k!超几何分CM,kC N,M,n n·M/N n·M/布N-M,n-N·N-k/CN,n M/N·N-n/N-1二项分布伯努利模型记号表示概率质量函数应用举例独试验产调结n次立重复，每X~Bn,p PX=k=品合格率、查次成功概率p不变Cn,kp^k1-p^n-k果、次品率泊松分布与极限定理泊松分布定义X~Pλ:PX=k=λ^k·e^-λ/k!泊松极限定理当时n→∞，p→0，且np=λ，Bn,p→Pλ实际应用单时内数位间随机事件发生次典型例子话数访问顾数电呼叫次、网站量、客到达超几何分布N M总体特征总数数数总球其中白球n k抽取数成功数数数取出的球取出的白球超几何分布公式PX=k=CM,kCN-M,n-k/CN,n无放回抽样模型，每次抽取概率变化常见连续型随机变量分布均匀分布定义性质应用数X~U[a,b]fx=1/b-a，x∈[a,b]期望EX=a+b/2随机生成匀误方差DX=b-a²/12均差分布简单随机抽样指数分布定义无记忆性X~Expλfx=λe^-λx，x0PXs+t|Xs=PXt时续Fx=1-e^-λx，x0已经等待间不影响后等待应用寿命分析时等待间过时泊松程间隔间正态分布及其性质钟形曲线fx=1/σ√2π·e^-x-μ²/2σ²参数意义2状μ决定中心，σ决定形对称性3为对称以x=μ中心标准化Z=X-μ/σ~N0,1正态分布概率计算标准正态分布表标准化变换概率计算Φz=PZ≤z PX≤x=PZ≤x-μ/σ=Φx-μ/σPa多维随机变量与联合分布联合分布Fx,y=PX≤x,Y≤y边缘分布FXx=Fx,+∞，FYy=F+∞,y条件分布随机变量在另一个取特定值条件下的分布联合概率分布（离散）X\Y123pXx

10.

100.

150.

050.

3020.

200.

100.

150.

4530.

050.

150.

050.25pYy

0.

350.

400.

251.00联合分布px,y=PX=x,Y=y缘边分布pXx=∑px,y，pYy=∑px,y联合概率密度函数（连续）联合密度fx,y联合概率PX,Y∈D=∬fx,ydxdy缘边密度fXx=∫fx,ydy，fYy=∫fx,ydx随机变量的独立性与相关性独立性定义相关系数对Fx,y=FXxFYy所有x,yρXY=CovX,Y/σXσY离散px,y=pXxpYy-1≤ρXY≤1连续独关数为fx,y=fXxfYy立变量相系0（反之不成立）关数图不同相系的散点随机变量函数分布分布函数法Y=gX，求FYy=PY≤y=PgX≤y密度函数变换⁻⁻Y=gX，fYy=fXg¹y|dg¹y/dy|卷积公式Z=X+Y，fZz=∫fXxfYz-xdx常见变换线换积性变、乘、最大最小值数学期望EX∫离散期望连续期望EX=∑x·px EX=∫x·fxdxEgX函数期望EgX=∑gx·px或∫gx·fxdx线性性EaX+bY=aEX+bEY独时立EXY=EX·EY方差与协方差方差协方差2DX=E[X-EX²]=EX²-[EX]²CovX,Y=E[X-EXY-EY]独立性性质43独时立DX+Y=DX+DY DaX+b=a²DX随机变量的高阶矩阶矩阶中心矩k kEX^k，k=1,2,3,...E[X-EX^k]，k=2,3,4,...阶为阶关阶为一矩期望，二矩相方差二中心矩方差偏度与峰度阶标对称偏度三准中心矩，描述不性阶标峰度四准中心矩，描述尖峭度条件期望与条件方差条件期望EX|Y=y=∑x·px|y或∫x·fx|ydx全期望公式EX=E[EX|Y]3条件方差DX|Y=y=E[X-EX|Y=y²|Y=y]4方差分解公式DX=E[DX|Y]+D[EX|Y]大数定律弱大数定律强大数定律应用敛敛频稳论础样本均值依概率收于期望样本均值几乎必然收于期望率定性理基P|X̄n-μ|ε→1，n→∞PlimX̄n=μ=1蒙特卡洛方法计断样本统推切比雪夫不等式不等式含义应用证数P|X-μ|≥ε≤随机变量偏离均值明弱大定律远σ²/ε²越，概率越小优点适用于任何分布，只需知道均值和方差伯努利大数定律与实际例子中心极限定理定理内容任意分布适用实际应用独态论状趋态调质立同分布，样本均值近似服从正分布不原分布形，样本均值分布近正抽样查、量控制、金融风险分析极限定理应用举例正态近似当较时X̄n~Nμ,σ²/n，n大二项分布近似2当较时Bn,p≈Nnp,np1-p，n大置信区间区μ的95%置信间X̄n±

1.96σ/√n概率论中的常见易错点总结条件概率混淆PA|B≠PB|A独独立与互斥混淆互斥事件一般不立选错误问题连续分布用离散用分布概率论题型分类回顾填空题简答题应计直接用公式算释导概念解与公式推计算题杂问题复概率求解应用题5证明题问题实际建模与求解质证概率性与定理明概率论复习建议和方法概念理解掌握基本定义和定理的确切含义公式熟记记忆关键理解并公式及适用条件习题练习题结题大量做，分类总解思路真题训练历题试环完整做年考，模拟考境概率论与数理统计的关系概率论数理统计数数从模型到据从据到模型计已知分布求概率已知样本估分布论数理推演据分析绎归纳演方法方法重点公式与定理回顾概率公式条件概率PA|B=PA∩B/PBᵢᵢ全概率公式PA=∑PBPA|Bⱼ贝叶斯公式PB|A=PBⱼⱼPA|B/PAᵢᵢ期望方差离散期望EX=∑xpx连续期望EX=∫xfxdx方差DX=EX²-[EX]²总结与提问100+20+练习题数量关键公式应习题须完成的最少量必掌握的核心公式5+重要定理应需理解并用的定理题记忆题题骤重要答技巧公式准确，目分类清晰，解步完整开问题欢课讨论问放迎后和提。