《矩阵的行列式》课件

矩阵的行列式行列式是线性代数中的核心概念应用于各个数学和工程领域掌握行列式计算是解决线性系统问题的基础行列式的历史与发展莱布尼茨1首次提出行列式概念2世纪19代数学家进一步发展现代3成为线性代数基石行列式的基本概念定义表示误区方阵的一种数值特征用|A|或detA表示非方阵无行列式阶行列式的定义2格式用竖线包围的方阵公式|A|=ad-bc几何意义表示平行四边形面积阶行列式实例2示例矩阵|A|=|32||14|计算过程|A|=3×4-2×1结果|A|=12-2=10阶行列式的扩展n全排列包含所有排列组合1奇偶排列2决定项的正负符号递归定义3通过低阶行列式定义高阶阶行列式的定义3展开公式法则符号规律Sarrus包含6个项的代数和直观计算的图形化方法遵循特定正负号分布阶行列式示例3示例矩阵1方阵具体数值3×3应用法则Sarrus2按对角线方向计算最终计算3正项和减去负项和法则Sarrus复制前两列计算正对角线在原矩阵右侧附加三条右下方向乘积相减得结果计算负对角线正对角和减负对角和三条左下方向乘积阶行列式排列法3全排列含义逆序数计算123三个数字的所有排列组合排列中的逆序对数量正负号判定逆序数奇数为负号，偶数为正号阶及高阶行列式4n!4!项数增长阶行列式4阶数为时有项包含个项n n!245!阶行列式5包含个项120高阶行列式展开法按行展开选择任一行进行展开按列展开选择任一列进行展开递归计算转化为低阶行列式计算余子式的定义余子式是删除矩阵中第行第列后的低阶行列式i j用表示Mij代数余子式的定义位置符号公式第行列i j-1^i+j Aij=-1^i+j×Mij奇数和负号如A12,A21,A34等偶数和正号如A11,A22,A33等按行（列）展开定理第一行展开任意行展开按列展开元素乘以对应代数余子式结果与选择的行无关原理相同，方向不同高阶行列式示例计算合并结果递归计算低阶行列式得到最终行列式值计算代数余子式直到降为阶或阶23选取合适行列/注意符号确定优先选择零元素最多的行或列行列式的性质概览交换性质零值性质行列互换值不变行/列相同或成比例则为零线性性质倍乘性质行列线性组合特性行列乘常数影响//性质一对换两行（列）改变符号性质二某行（列）全为零则行列式为零原理解释应用场景按该行展开所有项都为零判断线性方程组是否有解推广结论两行（列）成比例也导致行列式为零性质三同一行（列）倍数相加的性质原始性质消元思想实际应用行倍加到另一行，行列式值不变利用此性质简化计算高阶行列式化简的基本手段性质四行列式可以转置保持不变转置操作值不变实际意义行列互换位置|A|=|A^T|行的性质适用于列性质五行列式加倍性质单行列乘以常数多行列同时乘以常数矩阵所有元素乘以/k/k行列式值乘以行列式值乘以的幂阶行列式值乘以k kn k^n逆三角行列式简化上下三角行列式等于主对角线元素的乘积/极大简化计算难度行列式与矩阵初等变换交换两行列/行列式变号行列乘以非零常数/行列式乘以该常数某行列的倍数加到另一行列//行列式值不变行列式与可逆矩阵≠0=0可逆条件不可逆条件行列式不为零行列式为零1/|A|逆矩阵计算伴随矩阵除以行列式行列式的几何意义三阶平行六面体体积二阶平行四边形面积一阶线段长度行列式的线性关系行线性列线性对每行满足线性关系对每列满足线性关系多重线性对所有行列均线性行列式与克拉默法则方程组条件系数矩阵行列式不为零解的表达替换列后的行列式比值计算过程构造相应行列式并求值克拉默法则典型例题克拉默法则进阶例题构造系数矩阵D计算确定是否有唯一解|D|构造替换矩阵依次替换常数列得、、D1D2D3计算各解值，，x=D1/D y=D2/D z=D3/D行列式的计算技巧化简为三角形选择合适展开行寻找特殊结构利用初等变换技巧优先含零元素多的行列识别特殊矩阵类型利用递推关系特定模式行列式递推拉普拉斯展开定理简介定理表述数学表达按任意k行k列的子式展开子式与代数余子式乘积和应用情景分块矩阵行列式计算行列式理论应用场景线性方程组线性变换判别可解性与求解表示体积变化倍数微分几何特征值问题Jacobi行列式应用构造特征方程典型错解与注意事项符号错误代数余子式正负判断失误展开计算错误递归展开不当导致混乱变换操作错误忽略行列交换影响符号性质使用错误错误套用性质导致结果失真行列式分块方法上三角分块下三角分块特殊形式|A B||A0||A B||0D|=|A|·|D||C D|=|A|·|D||C D|=对称行列式与反对称行列式对称行列式反对称行列式混合情况A=A^T A=-A^T分解为对称与反对称部分实对称阵特征值均为实数奇数阶反对称阵行列式为0范德蒙行列式定义由x1,x2,...,xn构成的幂次方阵通式Vx1,...,xn结果∏xi-xj，1≤j应用插值多项式、多项式根行列式的行简化算法选主元确定非零主元位置归一化主元所在行变为单位向量消元消去主元列其他元素重复上述步骤直至化为上三角形式行列式与特征值问题特征方程特征值与迹12迹特征值之和|A-λI|=0=特征值与行列式解特征方程34|A|=特征值之积多项式方程求根行列式与数学归纳法验证基础情形1通常是阶或阶行列式12假设阶成立n2归纳假设步骤证明阶也成立n+13利用行展开降阶行列式递推关系行列式在微积分中的应用变量变换多重积分曲面面积雅可比行列式表示变换比率积分变量替换中使用参数曲面面积元涉及行列式在组合数学中的应用排列计数图论问题递推关系特殊排列问题解决矩阵树定理应用生成函数与行列式行列式与概率统计协方差矩阵信息论应用行列式表示分布体积行列式与信息熵关系主成分分析特征值和行列式意义行列式与平面几何01/2三点共线三角形面积三阶行列式为零行列式绝对值的一半≠0三点不共线行列式不为零行列式与多元函数极值判据矩阵极小值条件Hessian1函数二阶偏导数构成Hessian行列式大于02鞍点情况极大值条件4行列式为零但需额外判定3特定符号判别行列式的实现MATLAB%定义矩阵A=[123;456;789];%计算行列式det_A=detA%自定义函数function d=my_detA[m,n]=sizeA;if m~=nerror矩阵必须是方阵;endif n==1d=A1,1;elsed=0;for j=1:nMinor=A2:end,[1:j-1,j+1:end];d=d+-1^1+j*A1,j*my_detMinor;endendend行列式的常考题型汇总行列式重点与难点回顾综合应用能力解决实际问题计算技巧掌握熟练使用各种性质基本理论理解概念和定义清晰总结与思考重要基础线性代数核心概念应用广泛贯穿数学和工程各领域学习建议理解性质，多做习题拓展方向矩阵论、特征值理论。