一次函数应用举例教学课件

一次函数应用举例教学课件欢迎来到一次函数应用举例教学课件在这个教学系列中，我们将深入探讨一次函数的概念、特性及其在现实生活中的广泛应用通过生动的例子和实际案例，帮助同学们理解一次函数的本质，并学会运用数学模型解决实际问题一次函数作为数学中最基础也最实用的函数之一，在我们的日常生活中无处不在从简单的计价方式到复杂的经济模型，一次函数都扮演着重要角色让我们一起探索这个有趣而实用的数学概念！导入生活中的一次函数水电费计算计程车打表手机流量费用我们每月的水电费计算往往采用基础费计程车的计费方式通常是起步价加上里许多手机套餐包含基本月租和超出流量加用量乘以单价的方式，这就是典型的程费，例如元起步价，每公里元的额外费用例如，月租元含1025010GB一次函数模型基础费是固定不变的部这种计费方式可以表示为总费用起流量，超出部分每收费元这种=GB10分，而用量乘以单价则随着使用量的增步价单价×行驶公里数，完美符合计费方式也可以用一次函数来描述，其+加而线性增长一次函数的形式中代表基本月租，表示超出流量的单y=kx+b b k价一次函数的定义定义、的含义的取值范围y=kx+b k b x一次函数是指函数关系式可以表示为在一次函数中，称为斜在实际应用中，一次函数的自变量y=kx+b kx形式的函数，其中、率，表示函数图像的倾斜程度，即往往有其特定的意义和取值范围例y=kx+b k b x为常数，且这是一次函数的标每增加个单位，相应增加个单位如，在表示距离的问题中，；在k≠01y kx≥0准形式，也称为显式表达式一次函称为截距，表示函数图像与轴的描述温度变化的问题中，可能有特b y x数表示的是线性关系，即随变化的交点坐标，也是时的值定的上下限确定的合理取值范围y x0,b x=0y x变化率是恒定的对正确应用一次函数至关重要一次函数的基本特性图像是直线一次函数最直观的特征就是其图像总是一条直线变量的线性关系自变量每变化个单位，因变量的变化量恒为x1y k斜率与变化率斜率表示因变量随自变量变化的变化率k y x一次函数是最基础的函数类型之一，它描述了两个变量之间的线性关系无论自变量如何变化，因变量的变化率始终保持不变，这种恒定的变化率正是一次函数的核心特性，也是它在实际应用中如此普遍的原因在现实问题中，当我们观察到两个量之间存在稳定的变化关系时，通常可以考虑用一次函数来建模这种简单而强大的数学工具帮助我们理解和预测各种线性变化现象一次函数与比例函数区别一次函数正比例常数项不为VS b0正比例函数是一次函数的特殊情正比例函数的图像必定经过原点况，形式为（即），而一次函数中当时，y=kx b=00,0b≠0一次函数更为一般化，形式为图像不经过原点，而是与轴相y，其中可以是任意常数交于点这个常数项使得y=kx+b b0,b b这一差异看似微小，却在实际应一次函数能够描述更广泛的现实用和图像表现上有显著区别问题现实场景对比举例在计程车计费中，总费用起步价单价×里程，这是一次函数；而若只=+考虑单价×里程部分，则为正比例函数的存在使一次函数能够描述b包含固定成本或基础值的情况一次函数解析式的两种形式显式表达式隐式表达式y=kx+b ax+by+c=0显式表达式是最常见的一次函数表示形式，直接表达与的关隐式表达式是一次函数的另一种表示形式，其中、、是常数，y xa bc系其中表示斜率，表示轴截距这种形式直观明了，易于且和不同时为当时，可以转化为显式表达式k b y ab0b≠0y=-理解和应用，特别适合求解值或绘制函数图像，其中是斜率，是轴截距y a/bx+-c/b-a/b-c/b y在实际应用中，我们通常先确定和的值，然后代入显式表达隐式表达式在某些情况下更为便捷，特别是在描述垂直于轴的k b x式计算结果例如，计程车费用计算，其中是直线（即常数）时例如，直线可表示为，y=2x+10x x=x=31·x+0·y-3=0行驶里程，是总费用，是每公里费率，是起步价这种情况下无法用表示，因为垂直线的斜率不存在y210y=kx+b一次函数图像的作法两点法画直线两点法是绘制一次函数图像的基本方法，只需确定直线上的任意两点，然后连接这两点即可通常，我们选择容易计算的值，计算出对应的x y值，得到两个点的坐标，再用直尺连接这两点即可得到函数图像例如，对于函数，我们可以选择和当时，；y=2x+3x=0x=2x=0y=3当时，确定点和点，连接这两点即得到函数图像x=2y=70,32,7特殊点（截距法）截距法是利用函数与坐标轴的交点来绘制函数图像对于一次函数，轴截距为；轴截距为（当且时）y=kx+b y0,b x-b/k,0b≠0k≠0确定这两个特殊点，连接它们即可得到函数图像例如，对于函数，轴截距为；轴截距为确y=2x-4y0,-4x2,0定这两个点，连接它们即得到函数图像这种方法特别适用于截距容易计算的情况一次函数图像变化规律增大减小影响b/影响k0/k0值的变化导致函数图像在轴方向上平b y当时，函数图像从左向右上升；当k0移，增大时图像上移，减小时图像下b b时，函数图像从左向右下降k0移参数变化规律斜率直观理解改变会使直线绕轴截距点旋转，改变越大，直线与轴的夹角越大，图像k y|k|x会使直线平行移动越陡峭；越小，直线越平缓b|k|一次函数图像与的关系k函数单调递增函数单调递减特殊情况k0k0k=0当斜率为正数时，函数图像从左下方向当斜率为负数时，函数图像从左上方向当斜率时，函数简化为（常函k kk=0y=b右上方倾斜这表示随着自变量的增加，右下方倾斜这表示随着自变量的增加，数），函数图像是一条平行于轴的水平x x x因变量也增加，且增加的速率为直因变量减少，减少的速率为直线与直线这表示不管自变量如何变化，因y ky|k|x线与轴的夹角为锐角这种情况在现实轴的夹角为钝角这种情况在现实中对变量始终保持不变，等于常数这种x x y b中对应着随着投入增加，产出也增加的应着随着一方增加，另一方减少的负相情况在现实中对应着不受另一因素影响正相关关系关关系的固定值例如商品销售量与销售额的关系，学例如商品价格与需求量的关系，距离例如固定月租的会员费，不论使用多习时间与成绩的关系等的具体数值表与声音强度的关系等的具体数值表少次都是固定金额；邮政快递的起步价k|k|示增长的快慢，越大，增长越快，图像示减少的快慢，越大，减少越快，图格（不考虑重量时）等k|k|越陡峭像越陡峭一次函数图像与的关系b截距的意义值表示函数图像与轴的交点坐标b y0,b增大时b函数图像整体向上平移个单位|b|减小时b函数图像整体向下平移个单位|b|在实际应用中，常常代表初始值、固定成本或基础费用例如，在计程车计费模型中，元表示不管行驶多远都要支付的起步b y=2x+1010价；在手机套餐模型中，元表示每月固定的基本月租费y=

0.1x+5050理解值的意义对解决实际问题至关重要当我们面对一个新的应用场景时，首先要明确其中的固定部分和变化部分，固定部分通常对应参b数，而变化部分的变化率则对应参数bk一次函数与实际问题的联系商业计价模型商品定价、折扣计算、快递费用等商业场景中，常见基础费变动费+的计价模式，完美契合一次函数例如，快递费基础费重量×单价，=+网购满减活动中的实付金额原价折扣额等=-物理现象描述匀速运动的距离与时间关系、温度与热量关系等物理现象，往往呈线性关系例如，（距离速度×时间）、摄氏度与华氏度的转换s=vt=公式等，都可用一次函数表示经济数据分析成本分析、利润计算、税收估算等经济活动中，一次函数被广泛应用例如，总成本固定成本单位成本×产量、利润收入成本等，均可=+=-用一次函数建模分析应用案例一网购包邮门槛元元3999商品单价包邮门槛某网店恤单价为元购物满元免运费，否则需付元运费T399910件3最少购买量计算得出至少购买件才能享受免运费3我们可以用一次函数来表示购买不同数量恤时的总费用设购买件恤，总费用为元当购买T xT y金额不足元时，需要支付运费，函数表达式为（）；当购买金额达到或超过99y=39x+10x3元时，免运费，函数表达式为（）99y=39x x≥3这是一个分段函数，由两个一次函数组成通过分析这个函数，我们可以看出购买件恤时，2T总费用为×元；购买件时，总费用为×元显然，购买件比购买392+10=883393=11732件更划算，因为多花元买了价值元的商品2939应用案例二出租车计价器起步价公里内收费元310里程单价超出公里后每公里加收元32费用计算总费用起步价超出里程×单价=+函数表达y=10+2x-3=2x+4,x3出租车计价是一次函数的典型应用假设行驶公里，费用为元当行驶距离不超过公里时，费用x y3固定为元，即（）；当行驶距离超过公里时，超出部分按每公里元计费，即10y=10x≤332（）y=10+2x-3=2x+4x3这个案例清晰地展示了一次函数在实际生活中的应用通过建立数学模型，我们可以轻松计算出任意行驶距离的费用例如，行驶公里的费用为×元；行驶公里的费用为×525+4=1410210+4=24元应用案例三手机流量套餐应用案例四饮料促销活动购买数量实际获得数量单瓶实际价格元总费用元xy

1155233.

3310343.

7515463.

3320573.

5725693.3330超市推出饮料促销活动买二赠一，即每购买瓶赠送瓶，饮料单价为元瓶设购买215/x瓶饮料，总费用为元，则，而实际获得的饮料数量为（表示除以y y=5x x+x/2x/2x⌊⌋⌊⌋的整数部分）2从表格可以看出，总费用与购买数量之间的关系是一次函数但实际获得的饮料数量与购y x买数量之间的关系不是一次函数，而是一个分段函数这个案例说明，在分析实际问题时，x需要明确哪些变量之间存在线性关系，才能正确应用一次函数模型应用案例五班级募捐情况基本设定班级为贫困地区募捐，每名学生至少捐款元，可以额外自愿增加捐款10设参与捐款的学生人数为，总捐款金额为元x y捐款模式基础捐款每人元；自愿捐款全班共元因此，总捐款金额10500y=10x+500情况分析随着参与人数的增加，总捐款金额线性增长，增长率为元人当全班x y10/人都参与时，总捐款金额为×元501050+500=1000问题拓展如果总捐款目标为元，需要至少多少人参与？解得，80010x+500=800即至少需要人参与捐款x=3030应用案例六工人工资某工厂工人的工资由两部分组成基本工资元月和计件工资元件设工人每月生产件产品，月工资为元，则2000/5/x y这是一个典型的一次函数模型，其中表示每多生产件产品，工资增加元；表示即使不生产任何产品，y=2000+5x k=515b=2000也有元的基本工资2000通过这个函数，工人可以预估自己的月收入，工厂也可以进行成本控制例如，如果工人希望月收入达到元，需要生产多少件5000产品？解得，件这种工资计算方式既保障了工人的基本生活，又激励他们提高生产效率2000+5x=5000x=600应用案例七水费阶梯计价基础水费超额部分每月前吨水按元吨计费超过吨的部分按元吨计费103/104/数学表达计算方法总水费基础水费超额水费y=3x x≤10;y=30+4x-10=4x-10x10=+许多城市采用阶梯水价，鼓励居民节约用水设每月用水量为吨，水费为元当用水量不超过吨时，按元吨计费，即（）；当x y103/y=3x x≤10用水量超过吨时，超出部分按元吨计费，即（）104/y=30+4x-10=4x-10x10这是一个分段一次函数通过这种计价方式，轻度用水者享受较低的单价，而大量用水者则需支付更高的单价，体现了用者自付和节约资源的原则应用案例八公交卡扣费元2首次乘坐使用公交卡首次乘坐基础车费元1每公里费用超过基础里程后每公里增加费用公里5基础里程首次乘坐包含的基础里程范围元10日封顶单日乘坐公交的最高消费额某城市公交卡计费规则乘坐公里内收费元，超过公里的部分每公里加收元，单日消费封顶元设乘坐公里，费用为元当时，525110x y x≤5；当时，（因为达到单日封顶）y=2513y=10这是一个分段函数，由三个不同的一次函数（其中两个是常函数）组成这种计费方式兼顾了短途乘客的负担和长途乘客的优惠，同时通过日封顶鼓励市民多使用公共交通应用案例九电商快递配送费基本规则数学模型某电商平台规定购物满元设购物金额为元，包裹重量为100m免运费，否则根据包裹重量收取，运费为元当x kg y m≥100运费，基础运费为元（时，；当且时，101kg y=0m100x≤1以内），超过的部分每增加；当且时，1kgy=10m100x1加收元1kg2y=10+2x-1=2x+8实例计算例如购物元，包裹重，运费为×元；购物

802.5kg

22.5+8=13元，无论重量多少，运费均为元；购物元，包裹重，运

1200900.8kg费为元10应用案例十咖啡买几送几应用案例十一运动会得分排名计分规则实例分析某校运动会规定各班级参加的每个项目都有固定基础分分，例如，某班级参加了个项目，获得了个名次，总得分为3108每获得一个名次加分设某班级参加了个项目，获得了个名××分如果再获得个名次，总得分5x y310+58=30+40=701次，总得分为分将增加分，变为分如果再参加个项目，总得分将增加z57513分，变为分73根据计分规则，总得分，这是一个关于两个变量的一z=3x+5y次函数当参加项目数固定时，总得分与获得的名次数成正这个案例说明，一次函数不仅可以描述两个变量之间的关系，还x zy比，即，这是一个关于的一次函数可以扩展到多个变量的情况在实际问题中，我们通常先固定其z=5y+3x y他变量，研究两个变量之间的关系，这样就可以应用一次函数的知识应用案例十二气温随时间变化早晨点6气温°15C中午点12气温°21C下午点6气温°27C晚上点12气温°20C在一个晴朗的夏日，某地气温随时间变化可以近似看作分段线性从早晨点到下午点，气温呈线性上66升；从下午点到晚上点，气温又呈线性下降设从早晨点开始算起，经过小时后的气温为摄氏度6126t T根据数据，从早晨点到下午点（），有，这是一个关于的一次函数，表示每过小660≤t≤12T=15+t t1时，气温上升度；从下午点到晚上点（161212应用案例十三超市购物返现活动规则数据验证某超市推出购物返现活动购物满元返元，满元返根据拟合函数，购物元（）返现×元，实10010200100x=1151-10=5元，满元返元，以此类推经过分析发现，返现金际返现元，有误差；购物元（）返现×253004510200x=2152-额与购物金额（以元为单位）之间近似满足关系元，实际返现元，有误差；购物元（）返yx10010=2025300x=3（）现×元，实际返现元，有误差y=5+15x-1=15x-10x≥1153-10=3545这个函数表达式是通过数据拟合得到的虽然实际数据可能与函这个案例说明，在实际应用中，数学模型往往是对现实的简化和数值有微小差异，但一次函数为我们提供了一个简单的预测模型，近似一次函数虽然简单，但在许多情况下能够捕捉变量之间的帮助顾客估算返现金额主要关系，为我们提供有用的参考如果需要更高的精度，可以考虑使用更复杂的函数模型应用案例十四路程计算应用案例十五银行存款利息本金初始存入的资金，如元10000利率年利率，如

3.5%存款期限存款年限，如年3利息计算单利利息本金×利率×年限=银行定期存款采用单利计息时，利息与存款时间成正比设存款本金为元，年利率为，存款年限为年，则利息，这是一个关于的一次函数总金额P rt I=Prt t，这也是一个关于的一次函数A=P+I=P+Prt=P1+rt t例如，存款元，年利率，则年利息为×元如果存年，总利息为×元，总金额为元通

100003.5%

100003.5%=35033503=105010000+1050=11050过一次函数模型，我们可以方便地计算不同存款期限的利息和总金额应用案例十六校服团购价格元85原价每套校服的官方零售价元10单件优惠团购时每套校服的优惠金额元20固定邮费无论购买数量多少，统一收取的配送费用套5班级预订班级预计团购的校服套数学校组织校服团购，校服原价元套，团购每套优惠元，但需要支付固定邮费元设购买套校服，总费用为元，则85/1020x y y=85-10x+20=75x+20这是一个关于的一次函数，其中斜率表示每增加一套校服，总费用增加元；截距表示即使不购买校服，也需要支付元邮费x k=7575b=2020通过这个函数，可以计算出购买不同数量校服的总费用例如，购买套校服的总费用为×元，平均每套校服的价格为÷元，比5755+20=3953955=79原价元便宜了元这个例子说明，在有固定成本的情况下，购买数量越多，平均成本越低856应用案例十七课外班报名费某培训机构开设课外班，收费标准为注册费元（一次性收取），每次课程费用元设参加次课程，总费用为元，则这是一个关于10050x yy=100+50x x的一次函数，其中斜率表示每增加一次课程，总费用增加元；截距表示即使不参加任何课程，也需要支付元注册费k=5050b=100100通过这个函数，可以计算出参加不同次数课程的总费用例如，参加次课程的总费用为×元，平均每次课程的费用为÷元10100+5010=60060010=60随着参加次数的增加，注册费在总费用中的占比逐渐降低，平均成本逐渐接近每次课程费用元50应用案例十八电梯耗电量预估基础耗电电梯启动和基本运行的固定耗电量度天2/楼层因素每上升一层楼增加的耗电量度层天

0.5//耗电函数日耗电量，为电梯每天平均运行的楼层数y=2+

0.5x x费用预估月电费日耗电量×天×电价（元度）=30/物业管理处需要预估电梯的耗电量根据统计，电梯的日耗电量与其运行的楼层数有关设电梯每天平均运行层楼，日耗电量为度电，则这是一个关于的一次函数，其中斜率表示每增加x yy=2+

0.5x x k=

0.5一层楼，日耗电量增加度；截距表示即使电梯不运行，也有度的基础耗电量（如待机耗电）

0.5b=22通过这个函数，物业可以根据小区的楼层情况和电梯使用频率，预估电梯的耗电量和电费支出例如，一栋层的楼，电梯每天平均运行层楼，则日耗电量为×度，月耗电量为×30202+

0.520=121230=360度如果电价为元度，则月电费为×元

0.6/

3600.6=216应用案例十九文具批发价购买数量单价（元支）总价（元）/1-955x10-

294.

54.5x30-9944x≥

1003.

53.5x文具店销售钢笔，采用阶梯定价策略购买支，单价元支；购买1-95/10-29支，单价元支；购买支，单价元支；购买支及以上，单价

4.5/30-994/100元支设购买支钢笔，总价为元，则当时，；当

3.5/x y1≤x≤9y=5x时，；当时，；当时，10≤x≤29y=

4.5x30≤x≤99y=4x x≥100y=

3.5x这是一个分段一次函数，每一段都是一个正比例函数（即一次函数的特例，）不同区间的斜率不同，反映了批量购买的优惠力度这种分段定价策略b=0在商业中很常见，既保证了销售利润，又鼓励消费者增加购买数量应用案例二十水池注水问题水龙头流速水池容积每分钟注入水量升分钟水池总容积升5/300注水函数注水时间4水量，为注水时间（分钟）完全注满所需时间分钟y=5x x60一个容积为升的水池，用水龙头注水，水流速度恒定为升分钟设注水时间为分钟，水池中的水量为升，则（）这是一个正比3005/x yy=5x0≤x≤60例函数，也是一次函数的特例（），表示水量与注水时间成正比b=0通过这个函数，我们可以计算不同时间点水池中的水量，也可以预测水池注满所需的时间例如，注水分钟后，水池中的水量为×升，占30530=150水池容积的一半；要使水池注满，需要时间÷分钟这种线性关系在物理问题中很常见，是一次函数的典型应用x=3005=60应用案例二十一书籍印刷成本利润最大化确定最佳印刷量，使利润最大化定价策略根据成本确定合理售价，保证竞争力和利润单本成本每本书的纸张、油墨、装订等可变成本元本20/固定开版费排版、制版、设备调试等一次性成本元5000出版社印刷一种新书，需要支付固定开版费元，每印刷一本书的成本为元设印刷本书，总成本为元，则这是一个关于的一次函数，500020x yy=5000+20x x其中斜率表示每增加一本书，总成本增加元；截距表示即使不印刷任何书，也需要支付元的固定开版费k=2020b=50005000通过这个函数，出版社可以计算不同印刷量的总成本和单本成本例如，印刷本书的总成本为×元，单本成本为10005000+201000=25000÷元；印刷本书的总成本为×元，单本成本为÷元随着印刷量的增加，固定开版费在250001000=2550005000+205000=1050001050005000=21单本成本中的占比逐渐降低，规模效应逐渐显现应用案例二十二班级考勤奖励考勤周期班级人数奖励标准每月考核一次，根据当月实际出班级共有名学生，出勤率按基础奖励元，每增加一名出50100勤率发放奖励实际到勤人数计算勤学生，增加奖励元10奖励函数奖励金额，为当y=100+10x x月平均每天出勤人数学校为鼓励学生出勤，实行班级考勤奖励制度每个月基础奖励元，每增加一名出勤学生，增加奖100励元设当月平均每天出勤人数为，奖励金额为元，则（）这是一个关于10x yy=100+10x0≤x≤50x的一次函数，其中斜率表示每增加一名出勤学生，奖励金额增加元；截距表示即使没有k=1010b=100学生出勤，也有元的基础奖励100通过这个函数，可以计算不同出勤人数下的奖励金额例如，当月平均每天出勤人，奖励金额为40×元；当月平均每天出勤人（满勤），奖励金额为×元这种100+1040=50050100+1050=600线性奖励机制，简单明了，易于操作，有效激励学生提高出勤率应用案例二十三餐厅团购订餐场地费人均餐费总费用计算无论用餐人数多少，包间使用需支付固定每位用餐者的标准餐费为元人，包含订餐总费用固定场地费人均餐费×人数80/=+场地费元这部分费用不随人数变化，多道菜品和饮品这部分费用与人数成正以一次函数表示，其中为200y=200+80x x是函数中的常数项比，是函数中的变量项用餐人数，为总费用（元）b kx y应用案例二十四交通罚单金额应用案例二十五比赛得分计算比赛规则某项比赛的得分规则为基础分分，每轮得分分设参加轮比赛，总得分5010x为分，则yy=50+10x数学模型这是一个关于的一次函数，其中斜率表示每增加一轮比赛，总得分增加xk=1010分；截距表示即使不参加任何比赛，也有分的基础分b=5050实例计算例如，参加轮比赛，总得分为×分；参加轮比赛，总得分为550+105=10010×分50+1010=150应用拓展这种计分方式在许多比赛中很常见，如音乐比赛、舞蹈比赛等通过调整基础分和每轮得分，可以设计不同难度和特点的比赛应用案例二十六环保志愿活动积分基础积分注册成为环保志愿者后，获得基础积分分20活动参与每参加一次环保活动，增加积分分15积分兑换积分可兑换环保纪念品或公益植树名额积分函数4总积分，为参与活动次数y=20+15x x为鼓励市民参与环保活动，社区推出环保志愿者积分制度注册成为环保志愿者后，获得基础积分分，每20参加一次环保活动，增加积分分设参加环保活动次，总积分为分，则这是一个关于的15x yy=20+15xx一次函数，其中斜率表示每增加一次环保活动，总积分增加分；截距表示即使不参加任何环保k=1515b=20活动，也有分的基础积分20通过这个函数，可以计算参加不同次数环保活动后的总积分例如，参加次环保活动，总积分为2×分；参加次环保活动，总积分为×分社区还规定，积分达到分可兑换20+152=50620+156=110100一棵公益树的种植名额，鼓励市民长期参与环保志愿活动一次函数应用题解题步骤分析题意仔细阅读题目，理解问题背景和已知条件辨别题目中的线性关系，明确需要求解的问题注意题目中的数量关系、变化规律和特殊条件，为后续建模做准备确定自变量、因变量根据题意，明确哪个量是自变量（通常用表示），哪个量是因变量（通常用x y表示）自变量是可以自由选择或控制的量，因变量是随自变量变化而变化的量建立y=kx+b根据题意和已知条件，确定斜率和截距可以利用已知的点或关系，列k b方程求解和，或直接从题意中识别出和的含义特别注意和的实际k bk bk b意义，与题目背景联系起来代入数据解答根据建立的一次函数模型，代入题目要求的数据，计算结果根据计算结果，结合题目背景，给出符合实际意义的答案注意单位和取值范围阅读理解真实问题建模材料解读变量确定函数表达式阅读问题材料时，需要识别关键信息，正确识别自变量和因变量是建模的关键建立函数表达式时，要确保所建立的关特别是数量关系和变化规律关注那些通常，题目问某量如何随另一量变化，系符合题意可以先尝试用文字描述关可能表示基础值的常数（对应）和表前者是因变量，后者是自变量有时系，再翻译成代数式例如，费用基byx=示变化率的数值（对应）例如，起需要换位思考，例如价格与销量的关础费单价×数量翻译成有时kp q+y=b+kx步价、基础费等通常对应截距；每系，既可以研究随变化（是因变需要分段考虑，例如满减活动、阶梯计bp qp单位增加多少通常对应斜率量），也可以研究随变化（是因变价等k qp q量）生活实践水电气费单分析水费单分析电费单分析收集家庭几个月的水费单，记录用水量和费用尝试用一次函数同样方法分析电费单，建立用电量和费用的关系模型注意电费模型拟合数据，其中是用水量，是费用通过计算确可能采用阶梯电价，此时需要分段建模比较不同季节的电费模y=kx+bxy定（单价）和（基础费用）比较模型预测值与实际费用，型，分析季节因素对电费的影响k b分析可能的误差源（如阶梯水价、税费等）例如，某家庭夏季电费记录用电度，费用元；用电10055例如，某家庭三个月的水费记录用水吨，费用元；用水度，费用元；用电度，费用元通过计算可得83215080200105吨，费用元；用水吨，费用元通过计算可得（元度），（元），即电费但冬季可10381244k=3k=

0.5/b=5y=

0.5x+5（元吨），（元），即水费能有所不同，需要分别建模/b=8y=3x+8小组讨论一次函数应用商业应用讨论物理现象探究日常数据收集小组成员共同探讨商业环境中的一次函数小组成员共同探讨物理现象中的一次函数小组成员共同收集日常生活中的数据，寻应用例如，分析不同定价策略（如满减、应用例如，设计简单实验验证胡克定律找可能存在的线性关系例如，调查学校打折、捆绑销售等）的数学模型，比较不（弹簧伸长量与拉力成正比）、欧姆定律食堂不同时间的排队长度，分析排队时间同策略的优缺点和适用场景讨论如何通（电流与电压成正比）等讨论这些线性与队伍长度的关系；调查不同品牌相同类过一次函数模型帮助商家制定最优定价策关系的物理意义和适用条件型商品的价格与重量关系等略课堂互动挑战题抢答挑战题一成本分析挑战题二温度转换某工厂生产一种玩具，固定成摄氏温度（）与华氏温度C本为元，每个玩具的材（）之间的转换关系为5000F F料和人工成本为元设生请问华氏温15=9C/5+32产个玩具，总成本为元请度为°时，对应的摄氏温xy68F建立成本函数，并计算生产度是多少？摄氏温度为个玩具的平均成本°时，对应的华氏温度100100C是多少？挑战题三阅读分析图书馆借书规定办理借书证需交押金元，每借本书需支付元5012服务费请建立借书费用与借书数量的函数关系，并分析此函数的斜率和截距的实际意义竞赛题欣赏及技巧竞赛题示例解题思路建模技巧某商店进行促销活动商品原价为元，首先明确这是一个分段函数问题当竞赛题通常更加复杂，可能需要多次变换p购买数量不超过件时按原价计算，购买时，；当时，或组合不同函数关键是逐步分析，将复10x≤10y=px x10数量超过件时，超出部分按原价的×杂问题分解为简单问题注意函数的定义10y=10p+x-

100.8p=10p+

0.8px-计算设购买件商品，总费用为元函数图像由两段直线组域和分段点，确保模型在所有情况下都有80%xy8p=

0.8px+2p请建立与的函数关系，并绘制函数图像成，在处有一个拐点，两段直线的效有时需要考虑极端情况或特殊条件，yxx=10斜率分别为和以验证模型的正确性p

0.8p典型易错点分析斜率公式误用自变量、因变量混淆2计算斜率时，分子分母颠倒或符号弄错在建立模型时误将自变量当作因变量，或反之题意与现实本质脱节建立的数学模型与实际问题不符单位不统一不同量纲的量直接进行计算，导致结果定义域忽略错误忽略自变量的实际意义和合理取值范围一次函数与其他函数类型对比函数类型表达式图像特征应用场景一次函数直线匀速运动、线性成本、y=kx+b简单计价二次函数抛物线投掷运动、最优化问y=ax²+bx+c题正比例函数过原点的直线速度与时间、弹簧伸y=kx长量与力反比例函数双曲线波义尔定律、电阻与y=k/x电流指数函数y=aˣ指数曲线复利计算、人口增长对数函数y=logₐx对数曲线pH值计算、分贝计算一次函数是最简单的函数类型之一，其图像是直线，表示两个量之间的线性关系与其他函数类型相比，一次函数的变化率是恒定的，这是其最显著的特征而二次函数、指数函数等，其变化率是变化的，因此图像呈曲线状在实际应用中，我们需要根据问题的本质选择合适的函数类型一次函数适用于变化率恒定的情况，如匀速运动、简单计价等；而增长率递增的情况（如复利计算）则适合使用指数函数；类似地，最大值最小值问题通/常使用二次函数建模拓展一次函数在科学数据处理中的应用课堂小结核心概念一次函数表示两个变量之间的线性关系y=kx+b基本特性2图像是直线，表示斜率，表示轴截距k by应用场景3计价方式、成本计算、物理现象和生活实例解题思路分析题意，确定变量，建立模型，代入求解通过本课的学习，我们系统探讨了一次函数的定义、特性和应用一次函数是最基本的函数类型之一，它的图像是直线，描述了两个变量之间的线性关y=kx+b系参数表示斜率，反映因变量随自变量变化的变化率；参数表示轴截距，即时的值kbyx=0y在现实生活中，一次函数有着广泛的应用从简单的计价方式、成本计算到复杂的物理现象，都可以用一次函数来描述和分析学习一次函数不仅能够提高我们的数学素养，还能帮助我们更好地理解和解决实际问题课后练习题展示练习题一手机流量费用某移动公司的流量套餐为月租元，含流量，超出部分每收费元请建立月费用与使用流量的函数关系，并计算使用流量时的月费用302GB GB105GB练习题二商场促销某商场促销活动购物满元减元，满元减元，满元减元请分析这种促销方式下，实付金额与原价之间的关系，并判断是否为一次100202005030090函数练习题三热胀冷缩一根金属棒，在°时长度为，温度每升高°，长度增加请建立金属棒长度与温度的函数关系，并计算°时的长度0C100cm1C

0.02cm50C练习题四车辆折旧一辆新车购入价为万元，每年折旧请建立车辆价值与使用年限的函数关系，并判断是否为一次函数如果不是，如何修改条件使其成为一次函数？2010%练习题五工程进度一项工程，甲队单独完成需要天，乙队单独完成需要天如果两队合作，请建立工程完成进度与工作天数的函数关系，并计算合作工作天后，工程完10156成的百分比作业与自我提升建议课后作业生活观察完成教材第三章习题题，在日常生活中寻找至少个可以1-103重点关注应用题部分尝试用一用一次函数描述的实例，如水费次函数模型解决实际问题，并验计算、商品定价等收集相关数证结果的合理性对于每道应用据，建立数学模型，验证模型的题，除了求解答案外，还要思考准确性可以以小组形式合作完一次函数模型中和的实际意义成，并在下次课上分享发现kb延伸阅读推荐阅读《数学的力量》第四章线性思维，了解线性模型在更广泛领域的应用有兴趣的同学可以探索线性回归的基本概念，这是统计学中一种重要的数据分析方法，基于一次函数模型谢谢大家！课堂反馈鼓励发现请同学们针对本次课程内容和一次函数看似简单，却蕴含着教学方式提出反馈和建议哪丰富的数学思想和广泛的应用些内容你觉得特别有帮助？哪价值希望同学们不仅能掌握些部分你希望有更详细的讲解？一次函数的基本概念和解题技你对一次函数的应用还有哪些巧，更能培养观察生活、发现疑问？可以通过课后小卡片或规律的数学思维数学就在我在线表单提交反馈们身边，等待我们去发现和应用展望未来在接下来的课程中，我们将学习更多函数类型，如二次函数、指数函数等，并比较它们与一次函数的异同这些知识将为我们建立更加丰富和强大的数学工具箱，帮助我们更好地理解和解决各种实际问题。