《初中数学公式复习课件完善版》

初中数学公式复习课件完善版本课件系统整理了初中数学全部核心公式，适用于七至九年级学生的数学学习与复习我们精心设计了这套教材，以帮助学生掌握数学基础知识，提高解题能力通过这套课件，学生将获得全面而深入的数学公式复习，覆盖了数与式、方程与不等式、函数、图形与几何等多个核心知识板块每个模块都包含详细的公式讲解和典型例题，以便学生能够融会贯通让我们一起踏上数学公式的探索之旅，发现数学的美妙与规律！目录数与式包括有理数概念、运算法则、整式与分式、因式分解等基础知识，构建代数运算的坚实基础方程与不等式涵盖一元一次方程、一元二次方程、分式方程、二元一次方程组及各类不等式，建立解题的核心技能函数与几何详解一次函数、反比例函数、二次函数，以及三角形、四边形、圆等几何图形的性质和公式统计与应用探讨统计与概率基本概念，以及数学在实际生活中的应用，培养实践能力和创新思维数与式有理数基本概念·有理数的定义有理数的分类相关重要概念有理数是指可以表示为两个整数之比的有理数可分为正有理数、负有理数和零相反数两个数的和为零，即互为相反数，即形如\p/q\的数，其中三类数，如5和-5包括整数、分数和有限小数\q≠0\正有理数大于零的有理数，如

1、绝对值表示数与原点的距离，正数的及无限循环小数

2.

5、3/4等绝对值是其本身，负数的绝对值是其相所有的整数都是有理数，因为任何整数反数，零的绝对值是零负有理数小于零的有理数，如、-1-都可以表示为无限不循\a\\a/1\、等

0.75-2/3环小数则不是有理数零既不是正数也不是负数，是唯一的既不大于也不小于零的有理数数与式有理数运算公式·加法法则乘法法则除法法则同号两数相加，取两数相乘，符号遵两数相除，符号确相同符号并将绝对循同号得正，异定规则与乘法相值相加；异号两数号得负的规则，同，数值部分相相加，取绝对值大数值部分相乘例除例如-的数的符号，并用如-3×-8÷-2=4，绝对值大的数减去4=12，-15÷-3=-5除绝对值小的数5×2=-10数不能为零乘方与开方乘方是指同一个数相乘，如表示a^n个相乘开方n a是乘方的逆运算，如√a表示a的平方根负数不能开偶次方数与式混合运算顺序·第一步计算括号内的式子先算小括号内的式子，然后是中括号，最后是大括号括号内部也要遵循运算顺序规则第二步计算乘方与开方次方运算（包括平方、立方等）和开方运算（包括平方根、立方根等）优先计算第三步计算乘法和除法乘法和除法具有相同的优先级，按照从左到右的顺序依次计算第四步计算加法和减法加法和减法具有相同的优先级，按照从左到右的顺序依次计算例题计算3+2×[5-2+1²]÷4-1的值解答先算括号内2+1=3，再算平方3²=9，然后计算中括号内5-9=-4，继续计算2×-4÷4=-2，最后计算3+-2-1=0数与式整式与分式·整式定义整式分类整式是由数字和字母通过加、减、乘、单项式只有一项的整式，如3x²y多乘方等运算构成的代数式只含有有限项式含有两项或两项以上的整式，如次乘法、加法和减法的代数式2x²+3xy-5y²分式化简分式定义分子、分母同时除以它们的公因式，如分式是由分子和分母组成的代数式，其\\frac{ax+ay}{bx+by}=中分母不为零分式可以是整式除以整\frac{ax+y}{bx+y}=式的形式（当）\frac{a}{b}\x+y≠0数与式因式分解常用公式·提公因式法将多项式中各项的公共因式提取出来，如这是最ax+ay+az=ax+y+z基本的因式分解方法，应当首先考虑平方差公式，如平方差可以a²-b²=a+ba-b9x²-4=3x²-2²=3x+23x-2分解为两个因式的乘积，其中一个因式是和式，另一个因式是差式完全平方公式，例如，a²+2ab+b²=a+b²a²-2ab+b²=a-b²x²+6x+9=x+3²认识这类式子的特征是掌握的关键4y²-12y+9=2y-3²分组分解法对于无明显特征的多项式，可尝试分组再提取公因式如ax+ay+bx+by=ax+ay+bx+by=ax+y+bx+y=a+bx+y数与式代数式恒等变形·移项等式两边同时加减同一项，保持等式平衡合并同类项将含有相同字母且次数相同的项合并括号展开使用分配律展开括号中的多项式在代数式恒等变形中，移项是最基本的操作之一移项的规则是等式中的项从一边移到另一边，符号要变为相反数例如，移项后可得3x+5=8，即3x=8-53x=3合并同类项是将代数式中相同字母且次数相同的项合并，简化表达式例如可以合并为2x+3y-5x+y2-5x+3+1y=-3x+4y括号展开则是利用分配律，将括号内的各项与括号外的因式相乘例如；掌握这些基本操作3x-2y+z=3x-6y+3z a+bc+d=ac+ad+bc+bd可以大大提高代数运算的效率方程一元一次方程解法·去括号与去分母如有括号先去括号，有分母先通分去分母，将方程转化为标准形式ax+b=0例如，两边同乘得\\frac{x}{3}+\frac{1}{2}=\frac{x-1}{6}\6，继续求解2x+3=x-1移项合并同类项将含未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边，然后合并同类项例如，移项得，即2x+3=x-12x-x=-3+1x=-4求解未知数移项合并后，方程的形式应为，此时即为方程的解ax=b x=b/a需要注意特殊情况若且，方程无解；若且，方a=0b≠0a=0b=0程有无数解方程一元二次方程公式·求根公式x=\-b\pm\sqrt{b^2-4ac}\/2a因式分解法将转化为₁₂ax²+bx+c=0ax-x x-x=0配方法将二次项和一次项配成完全平方式一元二次方程的标准形式为ax²+bx+c=0a≠0，其中a、b、c是已知常数解一元二次方程最常用的方法是使用求根公式判别式Δ=b²-4ac决定了方程解的情况当Δ0时，方程有两个不相等的实数解；当Δ=0时，方程有两个相等的实数解（即有一个重根）；当Δ0时，方程没有实数解因式分解法适用于能够直接分解的方程，如可分解为，解得或配方法则是将二次项和一次项配成完全平方式，x²-5x+6=0x-2x-3=0x=2x=3如可转化为，即，解得x²+6x+5=0x+3²-9+5=0x+3²-4=0x=-3±2方程分式方程·通分去分母将分式方程两边同乘以所有分母的最小公倍数，消去分母，转化为整式方程例如\\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}=\frac{3}{xx+1}\，两边同乘xx+1解整式方程去分母后，解出得到的整式方程，可能是一元一次或一元二次方程例如上述方程去分母后得x+1+2x=3，整理得3x+1=3，即x=\\frac{2}{3}\检验增根由于去分母过程可能引入增根（使分母为零的值），必须将解代入原方程检验如果某个解使原方程分母为零，则该解为增根，应舍去确定最终解排除增根后，剩余的解为分式方程的解始终记住方程的解必须使方程中所有分母都不为零方程二元一次方程组·加减消元法代入消元法图像法将两个方程的某一未知数从其中一个方程解出一个将每个方程看作直线方系数化为相同或相反，然未知数的表达式，代入到程，绘制这些直线直线后通过加减运算消去该未另一个方程中，转化为一的交点坐标即为方程组的知数，转化为一元一次方元一次方程求解当某个解这种方法直观但精确程求解这种方法适用于未知数的系数为1时，这度受限，适合用于理解二任何形式的二元一次方程种方法尤为简便元一次方程组解的几何意组义例题解方程组\\begin{cases}2x+y=7\\x-y=1\end{cases}\加减消元法解答将两式相加得，解得；代入第二式得3x=8x=\\frac{8}{3}\，解得\\frac{8}{3}\-y=1y=\\frac{5}{3}\代入法解答从第二式得，代入第一式得，解得，y=x-12x+x-1=73x=8，再求得x=\\frac{8}{3}\y=\\frac{5}{3}\方程·含参数方程不等式一元一次不等式·加减性质乘除性质不等式两边同时加上或减去相同的数，不等号方向不变例如不等式两边同时乘以或除以相同的正数，不等号方向不变；同时，两边同时加，得，即乘以或除以相同的负数，不等号方向相反例如，两边同x32x+23+2x+25x3乘，得；两边同乘，得202x6-10-x-3移项性质倒数性质不等式的项从一边移到另一边，符号要变为相反数例如如果ab0或a0b或a01/b注意分母不能为零这个性质在2x+57，移项得2x7-5，即2x2这实际上是加减性质的应处理分数不等式时特别有用用不等式不等式组·32∞步骤总数常见表示法可能的解集解不等式组的基本步骤总数，包括分别求解、取交集不等式组解集的表示方法，包括区间表示法和数轴表不等式组的解可能是有界区间、无界区间、空集或全和表示解集示法体实数不等式组是由两个或两个以上的不等式组成的组合，要求同时满足所有不等式的解解不等式组的基本方法是先分别求出每个不等式的解集，然后求它们的交集例如，解不等式组\\begin{cases}2x-31\\x+2\leq5\end{cases}\，先解第一个不等式得x2，再解第二个不等式得x≤3，这两个解集的交集是2,3]不等式组的解集通常用区间表示，如a,b、[a,b]、a,b]、[a,b等，也可以用集合表示如{x|a＜x＜b}等在实际应用中，我们还需要考虑特殊情况，如两个不等式的解集没有交集，此时不等式组无解，解集为空集∅不等式二元一次不等式组·二元一次不等式的图像二元一次不等式组的解集线性规划应用二元一次不等式ax+by+c0（或0）的二元一次不等式组的解集是各个不等式解二元一次不等式组在线性规划问题中有重图像是平面上位于直线ax+by+c=0一侧的集的交集，图像上表现为多个半平面的交要应用通过二元一次不等式组确定可行半平面通过选取任意不在直线上的点集区域这个区域通常是一个多边形（可解区域，再结合目标函数（通常是一个线x₀,y₀，判断该点是否满足不等式，可能是无界的），也可能是空集（如果各半性函数）求解最优值这类问题在经济、确定不等式表示的半平面平面没有公共点）管理等领域有广泛应用函数函数基本概念·函数的定义函数是指在一个变化过程中，输入值（自变量）与输出值（因变量）之间的对应关系特点是每个自变量值只对应唯一一个因变量值函数的表示法函数可以用解析式、列表、图像等方式表示最常用的是解析式表示法，如y=fx=2x+1，其中x是自变量，y是因变量，f是函数名定义域与值域定义域是函数自变量x所有可能的取值集合值域是函数因变量y所有可能的取值集合例如，函数y=√x的定义域是x≥0，值域是y≥0函数的应用函数广泛应用于描述自然、社会和生活中的各种变化规律，如物体运动、人口增长、经济发展等掌握函数是理解和分析这些现象的基础函数一次函数公式·一般式1y=kx+b斜率含义表示直线的倾斜程度k平行与垂直条件平行₁₂；垂直₁₂k=k k k=-1一次函数是初中阶段最基本的函数类型，其一般形式是y=kx+b，其中k、b是常数，k≠0从几何意义看，一次函数的图像是一条直线，k称为直线的斜率，表示直线的倾斜程度；称为截距，表示直线与轴的交点坐标b y0,b斜率的几何意义是当自变量增加个单位时，因变量的增量如果，函数是增函数，图像从左下方向右上方倾斜；如果，函数是减函数，图k x1y k0k0像从左上方向右下方倾斜；的绝对值越大，直线越陡峭k两条直线平行的充分必要条件是它们的斜率相等；两条直线互相垂直的充分必要条件是它们的斜率乘积为（假设两条直线都不平行于坐标轴）这些性-1质在解决几何问题时非常有用函数反比例函数·定义与解析式图像特点性质与应用反比例函数的一般形式是y=k/x反比例函数的图像关于原点对称函数反比例函数具有以下重要性质（k≠0），其中k是常数，称为比例系的图像由两个部分组成，分别位于第定义域和值域都是除零外的所有实数

1.数从几何意义看，反比例函数的图像

一、三象限（当k0时）或第

二、四象是双曲线，图像不经过原点，且与轴和限（当时）x k0在定义域内连续不断轴都不相交

2.y图像上任意点的坐标满足，即x,y xy=k当时，时递减，时也递

3.k0x0x0函数的定义域是x≠0，即x∈-该点与原点连线所围成的矩形面积恒等减∪；值域也是，即于图像有两条渐近线轴和轴，∞,00,+∞y≠0|k|x y当时，时递增，时也递

4.k0x0x0∈∪当时，和当或变得非常大时，图像会无限接y-∞,00,+∞k0x y|x||y|增同号；当k0时，x和y异号近但永不与坐标轴相交反比例函数在物理、经济等领域有广泛应用，如波义耳定律（气体压强与体积的关系）、能量守恒定律等函数二次函数顶点式·二次函数的一般形式是（），其中、、是常数可以通过配方法将二次函数变换为顶点式，其中是y=ax²+bx+c a≠0a bc y=ax-h²+k h,k抛物线的顶点坐标，，h=-b/2a k=c-b²/4a二次函数的图像是一条抛物线当时，抛物线开口向上，函数在处取得最小值；当时，抛物线开口向下，函数在处取得最大a0x=h ka0x=h值的值越大，抛物线越陡峭；的值越小，抛物线越平缓k|a||a|抛物线的对称轴是直线，通过顶点且平行于轴对于抛物线上关于对称轴对称的两点，它们的坐标之和等于二次函数在现实生活中x=h yx2h有广泛应用，如描述物体的抛物运动、聚光灯的反射面等函数图象与性质·奇偶性单调性偶函数，图像关于轴对称增函数₁f-x=fx yx奇函数，图像关于原点对称减函数₁₂f-x=-fx xfx极值对称轴极大值函数在某点取值大于该点附近取值某些函数图像存在对称轴，如二次函数对称轴可以简化函数分析与作图极小值函数在某点取值小于该点附近取值代数应用行程问题公式·基本公式路程s=速度v×时间t速度公式速度v=路程s÷时间t时间公式时间t=路程s÷速度v行程问题是初中数学中的经典应用题型，主要涉及速度、时间和路程三个基本量之间的关系除了基本公式外，还有一些特殊情况下的常用公式相遇问题两物体相向而行，相遇一次所需时间t=总路程s÷v₁+v₂，其中v₁和v₂分别是两物体的速度如果两物体从相距s的两地同时出发相向而行，则相遇时，两物体分别走过的路程s₁=v₁×t=v₁×s/v₁+v₂，s₂=v₂×t=v₂×s/v₁+v₂追及问题如果一物体以速度v₁追赶另一以速度v₂前进的物体（v₁v₂），追上所需时间t=初始距离d÷v₁-v₂如果两物体同向而行，后者速度大于前者，则两物体相遇一次所需时间t=初始距离d÷v₁-v₂代数应用·浓度问题公式代数应用利润与折扣·100%25%原价参照值常见利润率商品的标价或成本价，作为计算折扣和利润的基准利润占成本价的百分比，表示经营效益

7.5折扣系数表示实际售价是原价的几折，如

7.5折表示售价为原价的75%利润与折扣问题是日常生活中常见的数学应用利润是指销售价格减去成本价的差额，利润率则是利润占成本价的百分比，即利润率=售价-成本价÷成本价×100%例如，一件商品成本为80元，售价为100元，则利润为20元，利润率为20÷80×100%=25%折扣是指实际售价与原价之比，通常用几折表示例如，原价100元的商品打8折销售，则售价为100×

0.8=80元，折扣率为20%折扣率是指打折的百分比，即折扣率=原价-售价÷原价×100%在实际问题中，常需要根据成本、利润率或折扣计算售价或原价例如，已知成本和利润率，可计算售价售价=成本×1+利润率；已知原价和折扣，可计算售价售价=原价×折扣代数应用百分数应用·增长率计算增长率现值原值原值例如，一种商品价格从元涨到=-÷×100%80100元，增长率=100-80÷80×100%=25%降低率计算降低率原值现值原值例如，一种商品价格从元降到=-÷×100%10080元，降低率=100-80÷100×100%=20%误差率计算误差率测量值真实值真实值例如，某物品真实重量为=|-|÷×100%500克，测量得克，误差率490=|490-500|÷500×100%=2%复合增长率连续多次增长或减少的总效果例如，一个量先增加，再增加，最10%20%终增长率为，不等于1+10%×1+20%-1=32%10%+20%=30%图形与几何直线与角的基本性质·对顶角邻补角平行线性质两条相交直线所形成的对顶角相等如两条相交直线所形成的相邻两个角互为两条平行线被第三条线所截时，会形成图中∠1=∠3，∠2=∠4这是证明几何补角，即它们的和等于180°如图中以下关系题的基本性质之一∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°同位角相等（如图中∠∠）

1.1=5对顶角的证明基于两个平角（180°）相补角的概念在处理角度问题时非常重内错角相等（如图中∠∠）

2.3=5等的原理当两直线相交时，相邻两个要，尤其是在平行线被第三条线（称为同旁内角互补（如图中

3.角互补（和为180°），因此对顶角相截线）相交时的角度关系∠∠）3+6=180°等这些角度关系是证明几何题的重要工具，尤其是在涉及平行线的问题中图形与几何三角形基本性质·角的性质三角形内角和为，外角等于与它不相邻的两内角之和这些性质是解180°决三角形角度问题的基础边的性质三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边这一性质确定了三边能否构成三角形的判定条件特殊线段三角形有四心重心（三条中线的交点）、内心（三条角平分线的交点）、外心（三条垂直平分线的交点）和垂心（三条高的交点）三角形分类按角分锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个直角）、钝角三角形（有一个钝角）按边分等边三角形、等腰三角形、不等边三角形图形与几何三角形面积公式·三角形面积的计算有多种公式，最基本的是底边高，即，其中是底边长，是对应的高当我们知道三角形三边×÷2S=\\frac{1}{2}\×a×h ah长、、时，可以使用海伦公式计算面积，其中是半周长a bc S=\\sqrt{pp-ap-bp-c}\p=a+b+c÷2对于直角三角形，其面积可以简化为两条直角边的乘积的一半，即，其中和是两条直角边的长度利用三角函数，S=\\frac{1}{2}\×a×b a b我们还可以得到三角形面积的另一公式，其中是边和边所夹的角S=\\frac{1}{2}\×a×b×sinC Cab在坐标平面上，如果已知三角形三个顶点的坐标₁₁、₂₂、₃₃，则三角形的面积可以通过行列式计算Ax,yBx,yCx,y₁₂₃₂₃₁₃₁₂这些公式为解决不同条件下的三角形面积问题提供了多种方法S=\\frac{1}{2}\|x y-y+x y-y+x y-y|图形与几何全等三角形·边角边SAS判定边边边SSS判定两个三角形的两边和它们的夹角对应相等，则这两个三角形全等这是利用构两个三角形的三边对应相等，则这两个造三角形的唯一性得出的判定法三角形全等这是最基本的全等判定方1法之一角边角ASA判定两个三角形的两角和它们的夹边对应相等，则这两个三角形全等这也是基于三角形构造的唯一性斜边直角边HL判定两个直角三角形的斜边和一条直角边对角角边AAS判定应相等，则这两个三角形全等这是专两个三角形的两角和其中一角的对边对用于直角三角形的判定法应相等，则这两个三角形全等这可以从判定推导出来ASA图形与几何相似三角形·角角AA相似判定两个三角形的两个角对应相等，则这两个三角形相似因为三角形的三个角的和是，所以两个角确定后，第三个角也就确定了180°2边边边SSS相似判定两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似这意味着如果两个三角形的形状相同但大小可能不同，则它们是相似的边角边SAS相似判定两个三角形的两边对应成比例，且它们的夹角相等，则这两个三角形相似这是相似三角形的另一个重要判定方法相似比与面积比如果两个三角形相似，且相似比为，则它们的面积比为这一性质在解kk²决相似三角形的面积问题时非常有用图形与几何平行四边形性质·定义与判定平行四边形是对边平行的四边形判定条件有

①一组对边平行且相等；

②对角相等；

③对角线互相平分；

④两组对边分别相等基本性质平行四边形的基本性质包括

①对边平行且相等；

②对角相等；

③对角线互相平分这些性质是解决平行四边形相关问题的基础面积计算平行四边形的面积S=底边×高可以选择任意一边作为底边，但对应的高必须是垂直于该底边的距离特殊平行四边形特殊的平行四边形包括矩形（有一个直角）、菱形（四边相等）和正方形（既是矩形又是菱形）这些特殊平行四边形具有各自独特的性质图形与几何矩形菱形正方形·//矩形性质菱形性质正方形性质矩形是四个角都是直角的平行四边形菱形是四条边都相等的平行四边形除正方形是既是矩形又是菱形的特殊四边它具有平行四边形的所有性质，同时还了平行四边形的性质外，菱形还有形它集合了矩形和菱形的所有性质，有以下特殊性质此外对角线互相垂直平分

1.对角线相等且互相平分四条边相等，四个角都是直角

1.面积对角线乘

1.

2.S=\\frac{1}{2}\×

2.面积S=长×宽积

2.对角线相等，互相垂直平分周长长宽周长边长面积边长的平方

3.C=2×+

3.C=4×

3.S=周长边长

4.C=4×矩形的对角线长度菱形的面积也可以表示为S=边长×高，d=\\sqrt{a^2+b^2}\，其中a和b分其中高是垂直于边的距离正方形的对角线长度边长d=别是矩形的长和宽×\\sqrt{2}\图形与几何梯形·定义与分类梯形是一组对边平行的四边形根据非平行边的关系，可分为

①普通梯形（非平行边不相等）；

②等腰梯形（非平行边相等）；

③直角梯形（有两个直角）面积公式梯形的面积S=\\frac{1}{2}\×上底+下底×高这个公式适用于所有类型的梯形，不论是普通梯形、等腰梯形还是直角梯形中位线性质3梯形的中位线平行于两个底边，长度等于两底之和的一半中位线将梯形分为面积相等的两部分这一性质在计算复杂图形面积时很有用等腰梯形特性4等腰梯形的性质

①两腰相等；

②两底所在直线到两腰的距离相等；

③对角线相等；

④底角互补（同侧两底角互补）图形与几何圆的基本性质·圆是平面上到定点（圆心）距离相等的所有点的集合，这个距离称为半径与圆相关的基本概念包括

①半径圆心到圆上任意点的距离；

②直径过圆心且端点在圆上的线段，长度是半径的倍；

③弦连接圆上两点的线段；

④弧圆上两点间的部分；

⑤切线与圆相交于一点的直线；

⑥2割线与圆相交于两点的直线圆的基本性质包括

①圆心角与弧的关系同圆或等圆中，相等的圆心角对应相等的弧；

②圆周角定理圆周角等于它所对的圆心角的一半（当圆心角不超过时）；

③垂径定理直径所在的直线垂直于它的中点处的切线；

④圆内接四边形的对角互补内接四边形的对角和为180°360°圆的切线性质

①切线垂直于过切点的半径；

②从圆外一点引圆的两条切线长度相等；

③两圆的公切线当两圆外离时有条公切线（条外公切线42和条内公切线），当两圆外切时有条公切线（条外公切线和条内公切线），当两圆相交时有条公切线（条外公切线），当一圆在另一圆内部232122且不内切时有条公切线，当两圆内切时有条公切线（条外公切线）011图形与几何圆的常用公式·2r r²ππ圆周长公式圆面积公式圆的周长等于2π乘以半径，或π乘以直径圆的面积等于π乘以半径的平方/360°θ扇形面积比扇形面积占整个圆面积的比例等于圆心角与360°的比值圆是最完美的几何图形之一，有许多实用的计算公式圆的周长C=2πr=πd，其中r是半径，d是直径圆的面积S=πr²在实际计算中，π通常取

3.14或\\frac{22}{7}\作为近似值扇形是由圆心和圆上一段弧围成的图形扇形的面积可以通过公式S扇=\\frac{θ}{360°}\×πr²计算，其中θ是圆心角（以度为单位）扇形的弧长可以通过公式L弧=\\frac{θ}{360°}\×2πr计算圆环是由同心的两个圆之间的部分组成的图形圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积，即S环=πR²-r²，其中R是外圆半径，r是内圆半径这些公式在解决圆相关的几何问题时非常有用图形与几何动点与几何变换·平移变换平移是指图形沿着某个方向移动一定距离，图形的大小和形状保持不变如果点Px,y沿向量a,b平移，则平移后的点P的坐标为x+a,y+b平移变换保持图形的大小、形状和方向对称变换对称包括轴对称和中心对称轴对称是指图形关于某条直线对称，如果点Px,y关于y轴对称，则对称点P的坐标为-x,y；如果关于x轴对称，则对称点的坐标为x,-y中心对称是指图形关于某点对称，如果点Px,y关于原点对称，则对称点的坐标为-x,-y旋转变换旋转是指图形绕着某个点（旋转中心）旋转一定角度如果点Px,y绕原点逆时针旋转θ角度，则旋转后的点P的坐标为xcosθ-ysinθ,xsinθ+ycosθ旋转变换保持图形的大小和形状，但改变方向动点轨迹动点轨迹是指点在运动过程中所经过的所有位置构成的图形分析动点轨迹的关键是寻找运动点坐标与运动变量之间的关系例如，一个点到两条垂直直线的距离之和为定值，其轨迹是一个菱形统计与概率数据平均数·算术平均数中位数众数算术平均数是最常用的平中位数是将数据按大小排众数是在数据中出现次数均值，计算方法是将所有序后，位于中间位置的数最多的数值一组数据可数据值相加后除以数据个值如果数据个数为奇能有一个众数、多个众数数公式数，中位数就是最中间的或没有众数例如，数据\\bar{x}=\frac{x_1+x数；如果数据个数为偶

2、

3、

3、

4、

5、

5、

5、_2+...+x_n}{n}\例数，中位数是中间两个数6的众数是5，因为它出现如，数据

5、

6、

8、

9、的平均值例如，数据了3次，频率最高12的平均数是

5、

6、

8、

9、12的中位\\frac{5+6+8+9+12}数是8；而数据

5、

6、{5}=8\

8、9的中位数是\\frac{6+8}{2}=7\应用场景平均数、中位数和众数各有适用的场景平均数适合数据分布较均匀的情况；中位数不受极端值影响，适合有异常值的数据；众数适合表示最具代表性的数据值，在定性数据中尤为有用统计与概率概率计算公式·概率基本公式事件的可能数所有可能结果数PA=A/独立事件概率PA∩B=PA×PB互斥事件概率∪PA B=PA+PB概率是对随机事件发生可能性的度量，其值在到之间概率为表示事件不可能发生，概率为表示事件必然发生概率的基本公式是事件的0101PA=A可能数所有可能结果数例如，从一副扑克牌中随机抽一张牌是红桃的概率是/13/52=1/4独立事件是指一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率对于独立事件A和B，它们同时发生的概率等于各自概率的乘积，即PA∩B=PA×PB例如，掷两次骰子，第一次得到点和第二次得到点的概率是661/6×1/6=1/36互斥事件是指两个事件不能同时发生对于互斥事件和，事件或事件发生的概率等于各自概率之和，即∪例如，掷一颗骰A BA BPA B=PA+PB子，得到奇数点或得到点的概率是（注意，是偶数，所以与得到奇数点是互斥的）63/6+1/6=4/6=2/36统计与概率·频率与抽样统计与概率数据整理与图表·柱状图折线图扇形图柱状图用垂直或水平的长方形表示数据，折线图用折线表示数据随时间或顺序的变扇形图（也称为饼图）用圆的扇形表示数长方形的高度或长度与数据的数值成正化趋势折线图适合显示连续数据的变化据，扇形的圆心角或面积与数据的数值成比柱状图适合比较不同类别的数据大趋势，如气温变化、股票价格波动等在正比扇形图适合显示部分与整体的关小，如不同年份的销售额、不同地区的人制作折线图时，横轴通常表示时间或顺系，如各类商品的销售比例、各项支出的口等在制作柱状图时，要注意坐标轴的序，纵轴表示数据值可以在同一张图上占比等在制作扇形图时，所有扇形的圆刻度应均匀，柱子的宽度应相等，柱子之绘制多条折线，以比较不同数据的变化趋心角之和应为360°为了增强可读性，通间应有适当间隔势常在扇形上标注数据值或百分比探究与创新开放题型常用策略·画图法将问题情境转化为图形，直观展示数学关系设元法用字母表示未知量，建立方程或不等式求解特殊值法用具体数值代入检验或寻找规律开放题型是指没有固定解答方式或答案不唯一的题目，解决这类题目需要灵活运用多种策略画图法是最直观的解题策略之一，通过将问题转化为图形表示，可以更清晰地发现数学关系例如，在解决行程问题时，可以画出距离-时间图，直观展示运动过程设元法是代数解题的基本方法，通过用字母表示未知量，建立方程或不等式求解在实际应用中，合理选择未知量并正确建立数学模型是关键例如，在解决工程问题时，可以设工作效率为单位时间完成的工作量，从而建立方程特殊值法是通过代入具体数值来检验或寻找规律的方法在解决一些涉及代数式的问题时，先代入简单的数值（如

0、1等）验证，可以快速检查答案的合理性在发现数列规律时，列出前几项并寻找规律也是常用策略此外，数学建模是将实际问题抽象为数学模型，是解决复杂问题的有力工具容易混淆易错汇总/公式混淆1常见混淆a+b²与a²+b²、a+b²与a-b²、二次函数一般式与顶点式、面积公式与周长公式例如，正确的是a+b²=a²+2ab+b²，而非a²+b²；a-计算错误b²=a²-2ab+b²，而非a²-b²常见计算错误运算顺序不当、正负号处理错误、约分不完全、小数点位置错误例如，3+2×4应该等于11，而非20；-2²=4，而非-4；概念混淆\\frac{15}{20}=\frac{3}{4}\，而非\\frac{15}{20}\这些错误往往源于基本概念不清或计算不认真常见概念混淆定义域与值域、充分条件与必要条件、相关与因果、周长与面积例如，函数y=\\sqrt{x}\的定义域是x≥0，而非所有实数；矩形周长为2a+b，面积为ab，不应混淆逻辑错误4常见逻辑错误归纳不当、忽略条件、因果倒置、推理不严谨例如，所有的奇数的平方都是奇数这一命题应通过一般性证明，而非仅验证几个例子；解题时忽略题目给出的特殊条件可能导致答案错误综合提升解题思路提示·读题仔细阅读题目，理解问题情境和已知条件，明确求解目标注意题目中的关键词和特殊要求，提取有效信息例如，注意至少、至多、不超过等限定词分析分析已知条件与未知量之间的关系，寻找适用的数学模型或解题策略可以借助画图、列表等方法辅助分析在分析阶段，要注意思考题目可能的解法和潜在的陷阱列式根据分析结果，建立方程、不等式或其他数学模型，将实际问题转化为数学问题注意变量的选择和方程的建立应该尽可能简洁明了例如，在解应用题时，可以设未知量为x，然后根据题目条件列方程检查解出答案后，回代验证解是否满足原始条件，检查计算过程是否有误同时，评估答案的合理性，看是否符合实际情况养成检查的习惯可以有效减少计算错误和意外疏忽重点公式速查表代数公式方程公式平方差；完全平方公式一元二次方程求根公式a²-b²=a+ba-b x=\\frac{-b\pm\sqrt{b^2-，；立方和公；韦达定理₁₂，a²+2ab+b²=a+b²a²-2ab+b²=a-b²4ac}}{2a}\x+x=-\\frac{b}{a}\式；立方差公式₁₂；二元一次方程组的解a³+b³=a+ba²-ab+b²a³-x×x=\\frac{c}{a}\，b³=a-ba²+ab+b²x=\\frac{c_1b_2-c_2b_1}{a_1b_2-a_2b_1}\y=\\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}\几何公式函数公式三角形面积底高，一次函数；反比例函数S=\\frac{1}{2}\××y=kx+b（海伦公式，；二次函数S=\\sqrt{pp-ap-bp-c}\y=\\frac{k}{x}\y=ax²+bx+c=ax-）；平行四边形面积底高；梯形面，其中，p=a+b+c/2S=×h²+k h=-\\frac{b}{2a}\k=c-积上底下底高；圆面积；二次函数的对称轴S=\\frac{1}{2}\×+×\\frac{b^2}{4a}\x=-；圆周长；二次函数的顶点坐标S=πr²C=2πr\\frac{b}{2a}\-\\frac{b}{2a}\,\\frac{4ac-b^2}{4a}\高频考点归纳典型真题展示一代数综合题例由

②得9a²+3ma+n=0

③（2022年某地中考题）已知关于x的方程x²+mx+n=0有两个不等的实数根，由

①③相减，得且其中一个根是另一个根的3倍求实数m和n的值8a²+2ma=0解析设方程的两个根为a和3a（a≠0），根据韦达定理，有a≠0，所以a+3a=a1+3=4a=-m，得m=-4a8a+2m=0a×3a=3a²=nm=-4a又因为a、3a是方程x²+mx+n=0的根，所以有代入得8a+2-4a=0a²+ma+n=0

①8a-8a=03a²+m3a+n=0

②恒成立所以，m=-4a，n=3a²由m=-4a和n=3a²，消去a得n=3×\-\frac{m}{4}\²=3×\\frac{m^2}{16}\=\\frac{3m^2}{16}\因此，m和n之间的关系是n=\\frac{3m^2}{16}\典型真题展示二（2021年某地中考题）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，且BD=DC，点E是AD的中点求证AE⊥BC证明因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，设AB=AC=r点D是BC上一点，且BD=DC，所以D是BC的中点设BC=2a，则BD=DC=a由等腰三角形的性质，知道A到BC的垂线经过BC的中点D设垂足为F，则AF⊥BC，且F与D重合因为E是AD的中点，所以AE:ED=1:1，即AE=ED又因为AF⊥BC，而F与D重合，所以AD⊥BC在直角三角形ABD中，E是斜边AD的中点，根据直角三角形中位线定理，有BE⊥AD练习与自测建议基础题训练中等难度题每天练习道基础题，巩固公式记忆每周完成道中等难度题，提高解5-1010-151和基本运算能力基础题应覆盖各个知题技巧和应用能力这类题目通常结合识点，确保对每个公式和概念都有充分多个知识点，要求灵活运用公式解决问理解题定期模拟测试挑战题尝试每月进行次全真模拟测试，检验学每两周尝试道难题，拓展思维，提1-23-53习成果，发现不足模拟测试应在规定升解决复杂问题的能力不要因为难题时间内完成，模拟真实考试环境而气馁，将其视为学习的机会复习方法与技巧错题本建立知识点梳理建立专门的错题本，记录做错的题目、错误原因和正确解法定期回顾使用思维导图或知识树的形式梳理各章节内容，建立知识体系重点关错题本，防止同类错误重复出现错题分类整理，如计算错误、公式应注知识点之间的联系，形成网状结构，而非孤立记忆将抽象概念具体用错误、理解错误等，有针对性地改进化，如用实际例子理解数学公式的应用二轮复习策略学习效率提升二轮复习重点关注薄弱环节和高频考点采用题型归纳法，按解题方采用番茄工作法，分钟高效学习后短暂休息利用碎片时间复习公25法分类练习，加深对解题思路的理解结合真题和模拟题，熟悉考试题式和定理多元学习方式结合，如视频讲解、习题训练、小组讨论等，型和难度，提高应试能力保持学习兴趣结束与展望循序渐进的学习数学思维的培养成功的祝愿数学学习是一个循序渐进的过程，需要打数学不仅是一门学科，更是一种思维方祝愿所有同学在数学学习和中考中取得优牢基础，逐步提高初中数学是高中数学式它教会我们逻辑推理、抽象思考和问异成绩！记住，学习成功的关键在于持之的基础，掌握好这些基本公式和概念，将题解决的能力这些能力在日常生活中也以恒的努力和正确的学习方法即使遇到为将来的学习奠定坚实基础建议建立自有广泛应用，如规划时间、分析数据、做困难，也不要轻易放弃，寻求老师和同学己的学习计划，设定短期和长期目标，确出决策等尝试将数学思维应用到生活的帮助，共同克服挑战愿每位同学都能保稳步进步中，体会数学的实用价值在数学的世界中发现乐趣，实现自己的潜能！。