中学数学函数图像-课件

中学数学函数图像课件欢迎来到中学数学函数图像课程！在这个系列课程中，我们将深入探索函数与其图像的基本知识，帮助大家提升对函数的理解与应用能力本课程涵盖了一次函数、二次函数及复合函数等重要内容，将通过形象直观的图像展示，帮助你建立起牢固的函数概念函数是连接代数与几何的桥梁，掌握函数图像的特性将为你的数学学习打下坚实基础学习目标掌握函数基础理解函数的定义及分类，建立起函数的基本概念框架，为后续学习奠定基础我们将学习如何识别不同类型的函数，以及它们的特性和实际应用理解图像特性学习解读函数图像的关键特征，包括单调性、对称性、最值点等通过数形结合的方法，将抽象的函数关系转化为直观的图像表示应用解决问题利用函数图像的特性解决实际问题，培养应用数学知识的能力包括通过图像解方程、不等式，以及建立数学模型解决实际生活中的问题函数的基本概念函数的定义自变量与因变量数形结合的意义函数是从定义域到值域的一种对应关系，自变量是可以任意取值的变量，通常在定数形结合是研究函数的重要方法，它将函x其中定义域中的每个元素都有且仅有一个义域内因变量是由自变量决定的变量，数的代数性质与几何性质结合起来通过y值域中的元素与之对应这种对应关系可其值随着自变量的变化而变化图像可以直观地理解函数的特性，而通过以用公式、图像、表格或文字来表示代数则可以精确计算这种依赖关系是函数的核心特征，体现了函数可以表示为，其中是自变变量之间的关联性y=fx x量，是因变量，表示对应关系y f函数的分类一次函数形如的函数，图像是一条直线表示斜率，决定直线的倾斜程度；y=kx+b k b表示轴截距，即直线与轴的交点一次函数在实际生活中有广泛应用，如描述y y匀速运动、成本计算等二次函数形如的函数，图像是一条抛物线参数决定抛物线的开口方向y=ax²+bx+c a和宽窄，和影响抛物线的位置二次函数可以描述物体的抛物运动、利润分析等b c实际问题对数与指数函数对数函数形如，指数函数形如这类函数图像具有特殊性质，y=log_a x y=a^x广泛应用于描述增长现象、复利计算、信息熵等领域，是高中数学的重要内容其他常见函数集合与映射函数的映射特性定义域中每个元素有唯一对应的值域元素集合的分类有限集、无限集、空集等不同类型集合的表示方法列举法、描述法和图示法集合是元素的全体，可以使用大写字母表示，如集合集合中的元素可以是数字、符号或其他对象集合的表示方法多样，包括列举法A（如）、描述法（如∈）和图示法（如维恩图）A={1,2,3}B={x|x0,x R}函数可以看作是从一个集合到另一个集合的映射在这种映射关系中，第一个集合的每个元素都与第二个集合中唯一的一个元素对应这种对应关系是函数的本质通过理解集合与映射的关系，我们可以更深入地理解函数的概念一次函数的定义一次函数的通式斜率的意义k一次函数的标准形式是斜率表示直线的倾斜程度，它y=kx+k，其中和是常数，是自等于的增量与的增量之比b k b x y x变量，是因变量这是最基本的当时，函数是增函数；当y k0函数类型之一，图像是一条直线时，函数是减函数；当k0k=时，函数是常数函数0截距的意义b截距是直线与轴的交点的纵坐标，即当时，的值它表示b y x=0y直线在坐标系中的位置不同的值会使直线平行移动b一次函数是最简单也是最基础的函数类型，它描述了两个变量之间的线性关系在实际应用中，许多现象可以用一次函数来近似描述，如匀速运动、简单成本计算等掌握一次函数的性质对于理解更复杂的函数至关重要一次函数的图像图像形状斜率影响截距影响一次函数的图像始终是斜率决定了直线的倾轴截距决定了直线k y b一条直线，这也是它被斜程度值越大，直与轴的交点位置当k y称为线性函数的原因线越陡；值越小，直增大时，直线整体上k b无论参数如何变化，其线越平缓当为正数移；当减小时，直线kb图像都保持直线形态，时，直线从左下方延伸整体下移的变化不b这是一次函数最基本的到右上方；当为负数会改变直线的倾斜程度，k特征时，直线从左上方延伸只会改变其位置到右下方掌握一次函数图像的特性，有助于我们直观理解函数的性质通过观察图像，我们可以快速判断函数的增减性、与坐标轴的交点等重要信息这种直观认识是数形结合思想的体现，对函数学习至关重要一次函数的性质图像的增减性与坐标轴的交点一次函数的增减性由斜率决定k一次函数与坐标轴的交点具有重要意义•当时，函数单调递增k0•与轴交点y0,b•当时，函数单调递减k0•与轴交点，当x-b/k,0k≠0•当时，函数为常数函数k=0正比例函数特殊情况当时，一次函数变为正比例函数b=0y=kx一次函数的特殊情形•图像必过原点•当时，变为常数函数k=0y=b•与成正比x y•当不存在时，为垂直于轴的直线，不是函数k x•在物理和经济中有广泛应用一次函数应用示例实际问题建模将现实问题转化为一次函数模型建立函数关系确定变量间的线性关系求解函数方程求出未知量的值一次函数在实际生活中有广泛应用例如，在出租车计费模式中，总费用与行驶距离之间的关系可以表示为，其中是每公里的费y x y=kx+b k率，是起步价通过这个函数模型，我们可以预测任意距离的费用b另一个常见的应用是速率、距离与时间的关系在匀速运动中，距离与时间的关系可以表示为₀，其中是速度，₀是初始位置这s ts=vt+s vs个一次函数模型能帮助我们预测物体的位置变化，解决许多物理问题理解一次函数的应用，能够帮助我们用数学的眼光看待现实问题，培养建模和解决问题的能力二次函数的定义标准形式二次函数的标准形式为，其中、、是常数，且y=ax²+bx+c a b c a≠是自变量，是因变量0x y系数意义参数决定抛物线的开口方向和宽窄；参数影响抛物线顶点的横坐标；参a b数是当时的函数值，即与轴的交点c x=0y图像特点二次函数的图像是一条抛物线，具有对称性抛物线的顶点是函数的极值点，对称轴是通过顶点的铅垂线二次函数是继一次函数之后我们学习的另一种重要函数类型相比一次函数的线性关系，二次函数描述的是平方关系，能够表示更复杂的变化趋势在物理学中，自由落体运动、抛物运动等都可以用二次函数来描述理解二次函数的定义和参数意义，是掌握其图像特性和应用的基础通过调整参数、、a b c的值，我们可以得到不同形态的抛物线，以适应不同的应用场景二次函数的图像抛物线的形状对称轴与顶点二次函数的图像是一条抛物线，其形状取决于参数的值当抛物线具有对称性，其对称轴是一条垂直于轴的直线，方程为a a x时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下对称轴上的点到抛物线上两侧等距离点的距离相等0a0|a|x=-b/2a的值越大，抛物线越窄；的值越小，抛物线越宽|a|抛物线的顶点是抛物线上的特殊点，它是抛物线与对称轴的交点，抛物线的形状是二次函数最直观的特征，也是我们分析二次函数性也是函数的极值点顶点坐标可以通过公式-b/2a,f-质的基础计算b/2a理解二次函数图像的特征，有助于我们分析函数的性质并解决相关问题抛物线的对称性是其重要特性，许多二次函数的性质都与对称轴和顶点有关在实际应用中，抛物线形状出现在许多自然和人造结构中，如桥梁拱形、抛物天线、水流喷射轨迹等这些应用都基于抛物线特有的几何和物理性质二次函数的开口方向开口向上开口向下的影响a0a0|a|当二次函数中的当二次函数中的的值影响抛物线的开口大小越y=ax²+bx+c a0y=ax²+bx+c a0|a||a|时，抛物线开口向上这种情况下，抛物线时，抛物线开口向下这种情况下，抛物线大，抛物线越窄；越小，抛物线越宽|a|有最小值，位于顶点处从顶点向两侧移有最大值，位于顶点处从顶点向两侧移这是因为是项的系数，它决定了a x²y动，函数值会增加动，函数值会减小随变化的速率x²开口向上的抛物线在趋于正无穷或负无开口向下的抛物线在趋于正无穷或负无理解值对抛物线形状的影响，有助于我x x a穷时，也趋于正无穷穷时，趋于负无穷们根据实际需要调整函数表达式y y二次函数的性质性质类型时时a0a0极值有最小值，为有最大值，为f-b/2a f-b/2a单调性在上单调在上单调-∞,-b/2a-∞,-b/2a递减递增在上单调在上单调-b/2a,+∞-b/2a,+∞递增递减对称性关于直线对称关于直线对称x=-b/2ax=-b/2a与坐标轴交点解方程解方程ax²+bx+c=0ax²+bx+c=0得轴交点得轴交点x x与轴交点为与轴交点为y0,c y0,c二次函数的性质是其应用的基础极值性质使我们能够求解最大值和最小值问题；单调性帮助我们分析函数在不同区间的变化趋势；对称性则为我们提供了分析和作图的便捷方法在实际应用中，如优化问题、成本分析、物理模型等，常常需要利用二次函数的这些性质例如，在设计抛物面天线时，需要考虑抛物线的焦点特性；在分析利润最大化问题时，则需要找出利润函数的极值点二次函数与坐标轴的关系顶点位置分析与轴的交点x二次函数的顶点二次函数与轴的交点可以通过解y=ax²+bx+c x坐标为顶方程得到判-b/2a,f-b/2a ax²+bx+c=0点是抛物线上的特殊点，也是函数别式决定了交点的Δ=b²-4ac的极值点顶点的位置直接影响函数量当时，有两个交点；Δ0数与坐标轴的交点情况当时，有一个交点；当Δ=0Δ时，没有交点0与轴的交点y二次函数与轴的交点是当时的函数值，即点这个交点的位置y x=00,c由参数直接决定，与参数和无关这是理解二次函数在坐标系中位置的c ab重要依据理解二次函数与坐标轴的关系，对于分析函数的零点、符号以及解不等式问题非常重要通过判别式，我们可以快速判断方程的解的情况，进而分析二次函数ax²+bx+c=0的性质在实际应用中，如物体运动轨迹分析、路径规划等问题中，常常需要确定函数与坐标轴的交点这些交点往往具有重要的物理或几何意义，如运动起点、终点或转折点二次函数变换平移变换将函数的图像沿坐标轴平移可以得到更一般的二次函数y=ax²•沿x轴平移h个单位y=ax-h²•沿y轴平移k个单位y=ax²+k•组合平移y=ax-h²+k，顶点为h,k伸缩变换改变参数的值可以实现抛物线的伸缩a•|a|增大，抛物线变窄•|a|减小，抛物线变宽•a的符号变化导致抛物线开口方向改变对称变换二次函数的图像可以通过对称变换得到新的图像•关于y轴对称y=a-x²+bx+c=ax²-bx+c•关于x轴对称y=-ax²+bx+c=-ax²-bx-c•关于原点对称y=-a-x²-bx-c=-ax²+bx-c理解函数变换是深入掌握函数图像的关键通过变换，我们可以从基本的函数图像推导出复杂的函数图像，这不仅简化了函数图像的分析过程，也有助于理解不同函数之间的联系二次函数模型应用抛物运动投资回报分析在理想情况下，忽略空气阻力，物体的抛物运动轨迹符合二次函在经济学中，收益与投入的关系常可用二次函数建模例如，某项数例如，一个初速度为₀，以角抛出的物体，其轨迹方程生产的利润函数可表示为vθ为₀y=x·tanθ-g·x²/2v²·cos²θPx=-ax²+bx-c这是一个标准的二次函数，其图像为开口向下的抛物线通过这个其中是产量，、、是常数这个函数通常是开口向下的抛x abc模型，可以预测物体的运动轨迹、最大高度和射程等物线，有一个最大值点，对应最优产量通过求导可找到利润最大化的产量二次函数在现实世界中有广泛应用例如，桥梁拱形设计利用抛物线的受力特性；反射面设计利用抛物线的光学特性；价格与销量关系常用二次函数建模，以找出最优价格点掌握二次函数的建模方法，是将数学知识应用于实际问题的重要能力通过建立函数模型，我们可以分析复杂问题，预测未来趋势，辅助决策制定在建模过程中，需要关注实际问题的特点，选择合适的变量和参数，确保模型的有效性常见函数型的特性绝对值函数具有形图像，在处有拐点其特点是当时，；当时，这个函数在处不可y=|x|V x=0x≥0y=x x0y=-x x=0导，但处处连续它的图像关于轴对称，这反映了绝对值的基本性质y反比例函数的图像是双曲线，具有两条渐近线和当趋近于时，的绝对值趋近于无穷大；当趋近于无穷大时，y=1/x x=0y=0x0y x趋近于这个函数在处没有定义，其定义域是在第

一、三象限，函数值为正；在第

二、四象限，函数值为负y0x=0R\{0}这些基本函数类型的特性是构建更复杂函数的基础通过平移、伸缩、对称等变换，可以得到更多样的函数图像和性质理解这些基本函数的特点，有助于分析复合函数和分段函数的性质复合函数概念复合函数的定义复合函数是将一个函数的输出作为另一个函数的输入而形成的新函数如果有函数和，则复合函数可表示为∘，读作复合fx gx f gx=fgx fg复合函数的定义域是的定义域中满足在定义域内的值集合复gx gx fx x合的顺序很重要，一般来说fgx≠gfx复合函数的意义复合函数反映了现实世界中多步骤过程的数学模型许多现实问题涉及连续变化或多重变换，可以用复合函数来描述例如，物体的运动可能受多种因素影响，温度随时间和位置变化，经济指标随多个变量波动等，这些都可以用复合函数来建模复合函数的应用复合函数广泛应用于各个领域，如物理学中的复合运动、计算机科学中的函数嵌套、经济学中的复合增长模型等复合函数是高等数学中的重要概念，是理解导数链式法则、复变函数等高级主题的基础掌握复合函数的概念和性质，有助于解决更复杂的数学问题复合函数的图像图像的叠加效果常见复合函数图像分析技巧复合函数的图像可以看作是对一些常见的复合函数形式包括分析复合函数图像的步骤fgx gx的每一个输出值，再经过函数变换而得到的f•绝对值复合，图像在轴负半轴确定内层函数的图像特征f|x|x

1.gx结果这种叠加过程可以通过图像变换来理上发生翻折分析外层函数对内层输出的变换效果

2.f解例如，和的复合函数fx=x²gx=x+1•|fx|函数值取绝对值，图像在y轴负确定复合函数的定义域和值域

3.的图像，可以看作是先将fgx=x+1²半轴上发生翻折标注特殊点和区间，如转折点、极值点等轴上的每个点向左平移个单位，再进行

4.x1•平方复合，图像关于轴对称fx²y平方运算•开方复合，仅保留的部分√fx fx≥0通过掌握复合函数的图像特性，我们可以更直观地理解函数变换和叠加效果这对于分析实际问题中的复杂关系非常有帮助，也是高中数学建立数形结合思想的重要内容函数的单调性定义与表达方式常见函数的单调性函数的单调性描述了函数值随自变量变化的趋势函数在区不同类型函数的单调性特征fx间上的单调性定义如下I•一次函数当时在上单调递增；当y=kx+b k0R k•增函数若对于区间中任意₁₂，都有₁时在上单调递减；当时为常数函数I xx fx0R k=0₂，则称在区间上是单调递增的fxfx I•二次函数当时，在y=ax²+bx+ca0-∞,-b/2a•减函数若对于区间中任意₁₂，都有₁上单调递减，在上单调递增；当时则相I xx fx-b/2a,+∞a0₂，则称在区间上是单调递减的反fxfx I•幂函数当为奇数时在上单调递增；当为偶y=xⁿn Rn数时在上单调递减，在上单调递增单调区间可以是有限区间、无限区间或单个点-∞,00,+∞单调性是函数的重要性质之一，它反映了函数变化的基本趋势分析函数的单调区间，有助于理解函数的整体变化规律，确定函数的最大值和最小值，解决不等式问题等在函数图像上，单调递增区间对应图像从左向右上升的部分，单调递减区间对应图像从左向右下降的部分单调性的变化点通常是函数的极值点，这些点在函数应用中常具有重要意义例如，在优化问题中，我们常需要寻找函数的极值点，以确定最优解函数的奇偶性奇函数定义偶函数定义对称性与坐标轴如果对于定义域内的任意如果对于定义域内的任意函数的奇偶性反映了其图像，都有，则，都有，则的对称特性奇函数图像关xf-x=-fx xf-x=fx是奇函数奇函数的图是偶函数偶函数的图于原点对称，偶函数图像关fx fx像关于原点对称例如，像关于轴对称例如，于轴对称这种对称性有y y、都、都助于我们快速绘制和分析函fx=x³fx=sin x fx=x²fx=cos x是奇函数是偶函数数图像奇函数的特点是将输入取反偶函数的特点是将输入取反非奇非偶函数没有这种对称后，输出也会取反这种性后，输出不变这种性质在性，或者只在部分区间上表质在物理和工程中有重要应描述质量、距离等不受方向现出对称特性了解函数的用，如描述电流、速度等物影响的物理量时很有用奇偶性，有助于分析函数性理量质和解题奇偶性是函数的重要性质之一，它与函数的对称性密切相关判断函数的奇偶性，可以通过检验与或的关系来完成一个函数可能是奇函数、偶函数，或者非奇非偶f-xfx-fx在复合函数中，奇偶函数的组合遵循一定规律奇函数与奇函数的复合是奇函数，偶函数与偶函数的复合是偶函数，奇函数与偶函数的复合通常是偶函数（特殊情况除外）理解这些性质，有助于分析复杂函数的特性两函数的交点代数解法几何表示法求解方程找出交点横坐标，再代入求纵坐标绘制两函数图像，目视或计算交点坐标fx=gx应用分析数值计算法解释交点在实际问题中的物理或几何意义使用数值方法如二分法、牛顿法等逼近解两个函数的交点是同时满足这两个函数的点，其坐标满足和，即交点的几何意义是两个函数图像的相交位置，代数意义是方程的解x,y y=fx y=gx fx=gx fx=gx在实际应用中，函数交点常有重要含义例如，在经济学中，供需曲线的交点表示市场均衡价格；在物理学中，两个运动物体轨迹的交点表示它们的相遇时间和位置；在工程学中，成本函数与收益函数的交点表示盈亏平衡点求解函数交点是函数应用的基本技能对于复杂函数，可能需要结合多种方法，如代数法、图像法和数值法理解交点的物理或几何意义，有助于解决实际问题定义域与值域函数定义域的判断函数定义域是函数自变量的取值范围，是使函数表达式有意义的所有值的集合判断函数定义域x x需要考虑以下几点分母不为零、偶次根号下表达式非负、对数的真数必须为正数、函数的分段定义条件等值域的求取技巧函数值域是函数因变量的取值范围，是函数在其定义域上所有可能的函数值构成的集合求函数值y域的常用方法包括直接法（通过函数表达式分析）、构造法（设反解出，分析的约束y=fx x x条件）、数形结合法（通过函数图像分析）等图像法识别定义域与值域在函数图像上，定义域对应轴上的投影，值域对应轴上的投影通过观察函数图像的水平和垂直x y范围，可以直观地确定函数的定义域和值域这种方法特别适合分析复杂函数或分段函数实际应用中的意义在实际应用中，定义域和值域常有具体含义例如，在物理模型中，定义域可能表示时间或空间范围，值域可能表示物理量的可能取值；在经济模型中，定义域可能表示生产量或价格范围，值域可能表示利润或成本范围理解函数的定义域和值域，是掌握函数本质的基础定义域反映了自变量的有效范围，值域反映了函数可能输出的全部结果这两个概念贯穿函数学习的始终，对后续学习导数、积分等高等数学概念也有重要意义图像中的变化率平均变化率瞬时变化率函数在区间上的平均变化率定义为当区间长度趋近于零时，平均变化率的极限称为瞬时变化率，即导数fx[a,b]fb-fa/b-a fa=limh→0fa+h-fa/h几何意义是函数图像上两点连线的斜率平均变化率反映了函数在几何意义是函数图像在点处的切线斜率瞬时变化率反a,fa整个区间上的平均变化速度映了函数在某一点的变化趋势例如，如果表示物体位置，则平均变化率表示平均速度；如例如，速度是位置对时间的瞬时变化率，加速度是速度对时间的瞬fx果表示总成本，则平均变化率表示平均成本等时变化率fx函数的变化率是描述函数动态特性的重要指标在函数图像上，平均变化率对应割线斜率，瞬时变化率对应切线斜率理解变化率的概念，有助于分析函数的变化趋势和特性变化率在现实中有广泛应用例如，经济学中的边际成本是成本函数的导数；物理学中的速度是位置函数的导数，加速度是速度函数的导数；人口学中的增长率是人口函数的导数与函数值的比值理解这些应用，有助于将数学知识与实际问题联系起来利用图像解决方程绘制相关函数图像将方程转化为函数图像问题寻找交点或特殊点确定图像与坐标轴的交点读取坐标解得方程解将图像信息转化为代数解利用函数图像解方程是数形结合思想的重要应用对于方程，其解就是函数的图像与轴的交点的横坐标同理，方程的解fx=0y=fx xfx=gx是函数和的图像的交点的横坐标y=fx y=gx图像法解方程具有直观、形象的优点，特别适合解决复杂方程或方程组，如高次方程、超越方程等通过图像，我们可以直观地判断方程解的个数和大致位置，甚至在无法得到解析解的情况下获得近似解例如，解决方程，可以将其转化为求函数与轴交点的问题通过绘制函数图像，观察图像与轴的交x³-2x²+x-1=0fx=x³-2x²+x-1x x点，可以确定方程解的数量和大致位置，再通过数值方法求得精确解函数图像与不等式转化为函数问题将不等式或转化为函数的图像与轴位置关系的问题函数图像在轴上方的对应值构成的解集，在轴下方的对应值构成的解集fx0fx0y=fx x x xfx0x xfx0绘制函数图像根据函数表达式，准确绘制函数图像对于复杂函数，可以分析其单调性、奇偶性、对称性等性质，以辅助作图关注函数与轴的交点，这些点是不等式解集的分界点x确定满足条件的区域观察函数图像与轴的位置关系，确定函数值大于零或小于零的区间对于多个不等式组成的不等式组，可以分别绘制各个函数图像，然后寻找同时满足所有条件的值区间x x验证结果选取解集中和解集外的典型点，代入原不等式进行验证，确保结果的正确性特别注意区间端点是否包含在解集中，这取决于原不等式中的符号是否包含等号利用函数图像解不等式是一种直观高效的方法，特别适合解决复杂不等式和不等式组这种方法融合了代数和几何的思想，体现了数形结合的数学思维方式反函数与图像反函数的定义反函数的图像特性如果函数将定义域映射到值域，那么函数与其反函数⁻的图像关于直线f DR fxf¹x反函数⁻就是将值域映射回定义域对称这是因为如果点在函数f¹R Dy=x a,b f的函数反函数交换了自变量和因变量的角的图像上，则点在反函数⁻的图像b,a f¹色，即如果，则⁻上y=fx x=f¹y通过这一特性，我们可以通过关于对称y=x一个函数存在反函数的充分必要条件是该函数变换，将已知函数的图像变换为其反函数的图是单射（即在定义域内不同的值对应不同的像x函数值）反函数的求解方法求解反函数的步骤写出原函数

1.y=fx交换和，得到

2.x y x=fy解出，表示为的函数，得到⁻

3.y x y=f¹x确定反函数的定义域（即原函数的值域）

4.反函数是函数概念的重要延伸，它揭示了函数反向操作的性质许多常见函数都有对应的反函数，如指数函数与对数函数、正弦函数与反正弦函数等理解反函数的概念和性质，有助于更深入地理解函数之间的关系对称图形与函数中轴对称点对称旋转对称函数图像关于某一垂直于轴的直线对称，表现函数图像关于某一点对称，如关于原点对称的奇某些高维函数图像具有旋转对称性，如圆锥曲线x为关于对称这种对称性在函数表达式中函数，或关于点对称，和旋转曲面这种对称性在三维空间和参数方程x=a f-x=-fx a,fa表现为典型例子如二次函数表现为的情况点对称性在几中更为常见旋转对称性常见于描述自然现象的fa+h=fa-h fa+h=fa-h，其图像关于直线对何和物理中有重要应用数学模型中y=ax-h²+k x=h旋转对称在高级数学和物理应用中非常重要，如称中轴对称性在物理学中常用于描述对称振动、声点对称性质能简化函数分析，如奇函数的定积分描述行星轨道、电磁场、流体动力学等学和电磁场分布等现象性质、周期函数的对称特性等函数的对称性是其重要的几何特性，它反映了函数内在的结构和规律理解函数的对称性，有助于简化函数的分析、作图和计算例如，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；这些对称性质可以帮助我们快速绘制函数图像，计算定积分等y多项式函数图像特点高次项决定远端行为当很大时，函数近似于|x|y=a_n x^n拐点与波动次多项式最多有个拐点n n-2零点与穿轴次多项式最多有个实数零点n n连续光滑多项式函数在所有点处可导次多项式函数的标准形式为，其中，是非负整数多项式函数的图像在整个实数域上连续光滑，没有间n Px=a_n x^n+a_n-1x^n-1+...+a_1x+a_0a_n≠0n断点、尖点或垂直渐近线多项式函数的端点行为（当趋于无穷大时的行为）主要由最高次项决定如果为偶数，则当时，函数值的符号与相同；如果为奇数，则当|x|a_n x^n n x→±∞a_n nx时，函数值的符号与相同，当时，函数值的符号与相反→+∞a_nx→-∞a_n多项式函数的零点（与轴的交点）是方程的解根据代数基本定理，次多项式方程在复数域中恰好有个根（计算重根）在实数域中，根的数量可能少于，x Px=0n nn且不同根的数量不超过理解多项式函数的这些特性，有助于分析复杂函数的行为并进行函数绘图n图像的平移与放缩变换类型函数变化图像变化水平平移图像沿轴正方向平移个单位y=fx-h xh垂直平移图像沿轴正方向平移个单位y=fx+k yk水平伸缩方向压缩为原来的倍y=fax x1/|a|（时）|a|1垂直伸缩方向伸展为原来的倍y=bfx y|b|（时）|b|1关于轴对称图像关于轴翻转y y=f-x y关于轴对称图像关于轴翻转x y=-fx x函数图像的变换是理解复杂函数图像的重要工具通过对已知基本函数图像进行平移、伸缩和对称变换，我们可以快速得到更复杂函数的图像例如，二次函数的图像可以看作是的y=ax-h²+k y=x²图像经过一系列变换得到的先水平伸缩（系数），再水平平移（参数），最后垂直平移（参数a h）k函数图像变换的顺序很重要，不同的变换顺序可能导致不同的结果一般来说，函数复合是从内到外进行的，但图像变换的考虑顺序是从外到内理解变换的顺序和效果，有助于正确分析和绘制函数图像变化中的周期函数正弦函数特性周期变化规律基本周期为，值域为的周期为2π[-1,1]y=Asinωx+φ2π/ω相位影响振幅影响相位决定波形水平位置偏移振幅决定波形高度，值域为φA[-|A|,|A|]周期函数是在定义域内按一定间隔重复变化的函数如果对于所有定义域内的，存在一个正数，使得，则称为周期函数，其中最小的正数称为的基本周期x T fx+T=fx fxTfx三角函数是最常见的周期函数，如正弦函数、余弦函数的基本周期为；正切函数的基本周期为通过对基本三角函数进行变换，可以得到不同周sinx cosx2πtanxπ期、不同振幅的周期函数例如，函数的周期为，振幅为，初相位为y=A sinωx+φ2π/ω|A|φ周期函数在物理学、工程学中有广泛应用，如描述简谐运动、电磁波、声波等周期性现象在实际应用中，常需要通过调整周期函数的参数，使其与实际数据匹配，从而建立准确的数学模型对数函数的图像对数函数定义图像特点对数函数的一般形式为，其中且，是对数函数的图像具有以下特点y=log_ax a0a≠1指数函数的反函数y=a^x•总是经过点1,0对数函数的定义域为，值域为特别地，当0,+∞R x=1•当时，函数单调递增；当时，函数单调递减a10a1时，；当时，；当y=log_a1=00x1y0x1•图像在轴正向无限延伸，在轴附近迅速下降但不与轴相交x y y时，y0•轴是渐近线，即当趋近于时，趋近于x x0y-∞•函数图像是凹的，即二阶导数为负对数函数在科学和工程领域有广泛应用例如，值是氢离子浓度的负对数；分贝是声强比的对数；地震震级是地震能量的对数；星等pH是恒星亮度的对数等对数尺度适合表示跨越多个数量级的数据，使数据更易于比较和分析对数函数的变换与其他函数类似，可以通过平移、伸缩等操作改变其图像形状常见的对数函数有自然对数函数（以为底）和常lnx e用对数函数（以为底）理解对数函数的图像特性，有助于分析和解决涉及对数的问题，如对数方程、不等式等lgx10指数函数与增长

2.71870%自然底数倍增率估算e数学中最重要的常数之一，是自然对数的底按年增长率计算资金翻倍所需年数的经验公式增长率70÷%10^9指数增长量级短时间内可达到的巨大数量级，展示了指数增长的威力指数函数的一般形式为，其中且，是对数函数的反函数指数函y=a^xa0a≠1y=log_ax数的定义域是，值域是特别地，当时，函数单调递增；当时，函数单调R0,+∞a10a1递减所有指数函数的图像都经过点0,1指数函数最显著的特性是其变化率与函数值成正比，这导致了指数增长的现象例如，指数函数y=表示每单位增加，翻倍；指数函数的导数仍然是，表示其变化率恰好等于函2^x x yy=e^xy=e^x数值本身指数增长在现实世界中表现为复利增长、人口爆炸、病毒传播等现象理解指数函数的性质，有助于分析和预测这些快速增长的过程，做出合理的规划和决策参数方程与图像参数方程定义参数方程用参数表示和坐标这种表示方法允许描述更复杂t xy x=ft,y=gt的曲线，特别是那些不能用形式表示的曲线y=fx构建过程参数方程可以看作是随着参数的变化，点在平面上运动的轨迹通过不同t ft,gt的参数函数组合，可以生成各种形状的曲线图像特点参数曲线可以自交叉，形成环、螺旋等普通函数无法表示的形状参数方程的图像与参数的取值范围密切相关，改变参数范围可能得到曲线的不同部分参数方程是描述曲线的强大工具，它可以表示许多用显式函数难以表示的曲线例如，圆的参y=fx数方程可以表示为，其中∈；而椭圆的参数方程可以表示为x=r·cos t,y=r·sin tt[0,2πx=，其中∈a·cos t,y=b·sin tt[0,2π参数方程在物理学和工程学中有广泛应用，如描述物体的运动轨迹、曲线的几何特性等例如，抛物运动可以用参数方程₀₀来描述，其中是时间参数x=v·cosθ·t,y=v·sinθ·t-1/2·g·t²t理解参数方程的概念和性质，有助于分析和解决几何问题、运动问题等通过参数方程，我们可以将时间和空间联系起来，描述动态变化的过程函数的分段图像分段函数的定义连续性分析2分段函数在不同的定义域子区间上由不分段函数在各个子区间内部通常是连续同的解析式表示它可以将多个不同的的，但在分段点可能不连续如果要使函数片段组合成一个函数，每个片段在分段函数在分段点连续，需要使相邻函各自的区间上有效分段函数常用大括数片段在该点的函数值相等这种连续号表示，每个解析式前标明其有效区性分析对理解函数行为很重要间图像绘制方法绘制分段函数图像时，需要分别绘制各个区间上的函数图像，然后在区间边界处特别注意函数值的连续性和包含关系对于边界点，需要根据函数定义确定是否为实心点或空心点分段函数是数学建模中的重要工具，它可以描述在不同条件下有不同行为的系统例如，税率随收入增加而分段变化；物体在不同介质中的运动遵循不同的规律；电路在不同电压下的响应可能有不同的模式等常见的分段函数包括绝对值函数（可以表示为分段函数当时为，当时为|x|x≥0x x0-）、取整函数（表示不超过的最大整数）、符号函数（当时为，当xxx sgnxx01⌊⌋时为，当时为）等x=00x0-1理解分段函数的概念和性质，有助于分析现实世界中的非线性、非连续现象，建立更准确的数学模型函数图像与建模确定变量关系建模的第一步是明确问题中的变量，确定自变量和因变量，分析它们之间的关系例如，在研究物体下落时，可以确定时间为自变量，高度为因变量t h这一步需要深入理解问题背景，提取关键信息，识别影响因素选择函数类型根据变量关系的特点，选择适当的函数类型来描述例如，线性关系可以用一次函数；成比例关系可以用正比例函数；周期变化可以用三角函数；快速增长可以用指数函数等函数选择应基于数据趋势、理论分析或经验判断确定函数参数通过已知条件或数据拟合，确定函数中的参数例如，对于一次函数，可以通过y=kx+b两个已知点确定斜率和截距；对于二次函数，可以通过三个点或其kby=ax²+bx+c他条件确定参数、、abc这一步通常涉及解方程组或使用统计方法验证与应用模型建立模型后，需要验证其准确性，可以通过与实际数据比较、理论分析或极限情况检验等方法验证通过后，可以应用模型解决实际问题，如预测未来趋势、优化决策等模型验证是确保模型可靠性的关键步骤函数图像在物理中的应用速度与时间力学与形变曲线能级图与量子跃迁速度时间图像是描述物体运动的重要工具在这力形变曲线描述了材料在外力作用下的形变特性能级图是量子物理中描述电子能量状态的工具在--种图像中，横轴表示时间，纵轴表示速度图这种曲线的纵轴通常是力或应力，横轴是形变或应这种图中，横轴可能表示某个物理参数，纵轴表示t v像下的面积表示位移，图像的斜率表示加速度变曲线下的面积表示形变过程中的能量能量离散的水平线表示量子态不同运动类型有不同的图像特征匀速运动是水平不同材料有不同的特征曲线弹性材料有线性区域能级间的跃迁对应特定能量的吸收或释放，这解释直线；匀加速运动是斜线；变加速运动是曲线通（胡克定律）；塑性材料有屈服点；脆性材料直接了光谱线的形成通过分析能级图，科学家可以了过分析这些图像，可以推断物体的运动状态和变化断裂这些曲线帮助工程师选择适合特定用途的材解原子和分子的结构及其相互作用料函数图像在物理学中扮演着重要角色，它们将抽象的数学关系转化为直观的几何表示，帮助物理学家理解和预测自然现象从经典力学到量子力学，从电磁学到热力学，几乎所有物理分支都离不开函数图像的应用函数图像在经济分析中的应用成本曲线成本曲线描述了生产数量与成本之间的关系常见的成本曲线包括•固定成本FC不随产量变化的成本•可变成本VC随产量变化的成本•总成本TCFC+VC•平均成本ACTC/产量•边际成本MC增加一单位产量带来的额外成本这些曲线有助于企业确定最优生产规模利润分析利润曲线表示产量或价格与利润的关系利润最大化点通常出现在边际收益等于边际成本的位置通过分析总收入和总成本曲线，可以找出利润最大化的产量TR TC利润函数通常是二次函数，其图像为开口向下的抛物线，顶点对应最大利润点供需模型供需图表示价格与供应量、需求量的关系供给曲线通常向上倾斜（价格上升，供应增加），需求曲线向下倾斜（价格上升，需求减少）供需曲线的交点是市场均衡点，决定了均衡价格和均衡数量通过分析供需曲线的移动，可以预测市场变化函数图像在经济分析中提供了直观的决策工具例如，通过边际分析（对应函数的导数），企业可以确定最优产量；通过弹性分析（对应函数的相对变化率），可以评估价格变动对需求的影响现代经济学广泛使用数学模型和函数图像来分析复杂的经济现象函数图像在科学中的应用地震分析曲线是地震学中的重要工具地震图记录了地震波随时间的变化，不同类型的波（波、波、表面波）在图像上表现为不同的波形通过P S分析波的到达时间差，科学家可以确定震源位置；通过分析波的振幅，可以估计地震强度；通过分析频谱，可以了解地下结构这些分析对地震预测和防灾减灾至关重要医学中的心电图是记录心脏电活动的函数图像标准包含波（心房去极化）、复合波（心室去极化）和波（心室复极化）通过ECG ECGP QRST分析这些波的形态、时间间隔和节律，医生可以诊断各种心脏疾病，如心律不齐、心肌梗死、心肌肥厚等心电图是现代医学诊断的基本工具之一在其他科学领域，函数图像同样发挥着重要作用例如，在生物学中，人口增长曲线帮助预测种群变化；在化学中，反应速率曲线描述化学反应的动力学特性；在天文学中，光谱曲线揭示天体的成分和运动状态函数图像将复杂的科学数据转化为可视化的形式，促进了科学发现和理解数学图像的编程实现import numpyas npimportmatplotlib.pyplot asplt#创建x值范围x=np.linspace-5,5,1000#定义函数y1=x**2#二次函数y2=np.sinx#正弦函数y3=np.expx#指数函数#创建图像plt.figurefigsize=10,6plt.plotx,y1,r-,label=y=x²plt.plotx,y2,g-,label=y=sinxplt.plotx,y3,b-,label=y=e^x#添加图例和标签plt.legendplt.gridTrueplt.axhliney=0,color=k,linestyle=-,alpha=

0.3plt.axvlinex=0,color=k,linestyle=-,alpha=

0.3plt.xlabelx轴plt.ylabely轴plt.title常见函数图像#显示图像plt.show是实现数学图像的流行工具，特别是使用库上面的代码展示了如何绘制三种常见函数二次函数、正弦函数和指数函数库提供了数学Python matplotlibnumpy函数和数组操作，使得函数计算变得简单高效编程实现函数图像的优势在于可以精确控制绘图参数；可以绘制复杂函数或大量数据；可以动态调整和交互；可以结合数值方法进行函数分析这些特性使得编程成为现代数学教育和研究的重要工具除了，还有其他工具可用于函数图像绘制，如（交互式几何软件）、（数学计算软件）、（在线绘图计算器）等这些工具各有Python GeoGebraMATLAB Desmos特点，适用于不同的场景和用户群体图像生成工具及技巧计算器Desmos是一款免费的在线绘图计算器，支持函数绘制、参数方程、极坐标方程等它界面友好，支持动态Desmos参数调整，可以通过滑块直观展示参数变化对图像的影响还支持隐函数绘制和不等式区域填充，Desmos是学习函数图像的理想工具GeoGebra是一款功能强大的数学软件，结合了几何、代数、电子表格、统计和微积分功能它不仅可以绘GeoGebra制函数图像，还可以进行几何构造、函数变换演示等支持创建交互式教学材料，在数学教育中GeoGebra广泛应用图形计算器图形计算器如、卡西欧等是常用的便携式绘图工具虽然显示效果不如电脑软件，但在考TI-84fx-9860试和课堂上很实用这类计算器通常支持基本函数绘制、求解方程、数值计算等功能，是数学学习的必备工具编程环境（配合、）、、等编程环境提供了最灵活的图像生成方式它们适Python matplotlibnumpy MATLABR合复杂函数、大数据集和专业分析，但学习曲线较陡这些工具支持自定义函数、数据拟合、动画生成等高级功能选择合适的图像生成工具取决于具体需求和技能水平对于基础学习，和因其直观性和易用性Desmos GeoGebra是首选；对于研究和高级分析，编程环境则提供了更大的灵活性和功能性无论使用何种工具，掌握一些通用技巧都很重要合理设置坐标轴范围，使图像呈现关键特征；使用不同颜色和线型区分多个函数；添加网格和标记点以增强可读性；标注关键点和特征（如极值点、交点）等这些技巧有助于生成清晰、信息丰富的函数图像练习一次函数图像绘制确定函数表达式示例函数y=2x-3这是一个一次函数，斜率，轴截距斜率为正表示函数单调递增，直线从左下方延伸到右上方k=2yb=-3确定关键点首先，找出轴截点当时，，得到点yx=0y=-30,-3其次，找出轴截点当时，，解得，得到点xy=02x-3=0x=

1.

51.5,0为了更准确地绘图，可以再计算一两个点，如和1,-12,1绘制坐标系和函数图像在纸上或使用工具绘制坐标系，标出坐标轴和坐标刻度标出已计算的点、、和0,-

31.5,01,-12,1用直尺连接这些点，得到一条直线，即函数图像检查图像是否正确表示了函数的性质开放题目请绘制函数的图像，并找出其与坐标轴的交点、斜率的几何意义，以及该函数与函数y=-

0.5x+2的交点y=x-1提示对于函数，斜率为，表示每增加，减少轴截距为，表示图像与轴的交点y=-

0.5x+2-

0.5x1y

0.5y2y是要找与轴的交点，令，解得，交点为要找两函数的交点，令0,2xy=0x=44,0-

0.5x+2=x-，解得，，交点为1x=2y=12,1练习二次函数图像绘制1分析函数表达式计算关键点绘制抛物线示例函数顶点，这是函数的最高点在坐标系中标出关键点顶点、轴截y=-x²+4x-32,12,1y点、轴截点和0,-3x1,03,0这是一个二次函数，，表示抛物轴截点当时，，得到点a=-10yx=0y=-30,-3线开口向下，有最大值绘制对称轴x=2轴截点当时，xy=0-x²+4x-3=将其变形为使用求根公式利用抛物线的对称性，以顶点为中心，左右y=-x²-4x-3=-x-0x=-4±√16-，可知顶点坐标为对称地绘制平滑曲线，经过所有标出的点2²+12,14·-1·-3/-2=-4±√4/-2=，得到点和2±11,03,0对称轴，这是一条垂直于轴的直检查图像是否体现了二次函数的性质开口x=2x线，通过顶点向下，左右对称，通过所有计算出的点变式题目请绘制函数的图像，并回答以下问题函数的顶点坐标是什么？函数与坐标轴的交点有哪些？函数在什么区y=x²-6x+8123间上单调递增，什么区间上单调递减？函数的值域是什么？4解题思路提示首先将函数变形为标准形式，得到，可知顶点为函数开口向上（），图像是开口向上的抛物线y=x-3²-13,-1a=10计算与坐标轴的交点轴截点，轴截点可通过解方程得到函数在时单调递减，在时单调递增值域为y0,8xx²-6x+8=0x3x3[-1,+∞分段函数图像题练习示例分段函数图像绘制步骤考虑以下分段函数分析各区间上的函数特性

1.•第一段y=-x是一条直线，斜率为-1，经过原点fx={•第二段y=x²是一条开口向上的抛物线，经过原点-x,x0x²,0≤x2•第三段y=4是一条水平直线4,x≥2确定关键点和连接点

2.}•第一段与第二段的连接点是原点0,0•第二段与第三段的连接点是2,4，因为当x=2时，x²=4这个函数由三个部分组成区间上是直线；区间上是抛物线；x0y=-x0≤x2y=x²x检查连续性函数在和处的左右极限相等，所以函数在整个定义域上连续

3.x=0x=2区间上是水平直线≥2y=4综合练习请绘制以下分段函数的图像gx={|x|,x12-x,1≤x3x-3²,x≥3}解答总结该函数由三段组成第一段是绝对值函数，图像是形，在时为，在时为第二段是一条直线，斜率为第三段是二次函数，是一条开口V x0y=-x0≤x1y=xy=2-x-1y=x-3²向上的抛物线，顶点在需要检查连接点处的函数值当时，，，所以第一段和第二段在处连接；当时，，，所以第二段和第三段在3,0x=1|x|=12-x=11,1x=32-x=-1x-3²=03,处不连续，图像有跳跃绘制时需特别注意这一点-1复合函数图像练习解答方法分析常见复合函数示例解题常见误区绘制复合函数的图像，可以遵循以下是一些常见的复合函数变换在处理复合函数图像时，常见的错误包括hx=fgx以下步骤•在负半轴上反射的图像•混淆水平和垂直变换的效果f|x|fx首先理解的作用，它将轴上的点映

1.gx x•将图像的负值部分翻折到轴上方•忽略定义域的变化|fx|fx x射到另一个值•将的图像向左平移个单位•误解复合顺序（与不同）fx+c fxc fgxgfx然后理解的作用，它将的结果进一步映射

2.f gx•将的图像向上平移个单位•在绘制分段复合函数时忘记检查连接点fx+c fxc可以使用追踪法选取值，计算

3.x•水平方向上压缩或拉伸的图像•未考虑函数性质如奇偶性、周期性在复合后fax fx，再计算gx fgx的变化•垂直方向上压缩或拉伸的图像afx fx对于特殊的复合函数，可以利用已知的变换规律

4.避免这些误区的关键是仔细理解每个函数的作例如，对于复合函数，hx=sinx²gx=x²用，并系统地应用变换规则是将映射到其平方，然后是将x ft=sint映射到其正弦值t练习题绘制复合函数的图像，并描述其性质hx=|sinx|思考提示这是将正弦函数的图像取绝对值正弦函数在区间上取负值，在区间上取正值取绝对值后，负半周的图像将被翻折到轴上方，使[-π,0][0,π]x得整个函数的图像都不低于轴结果是一个周期为的非负函数，在每个周期内从升至再降回这个函数的值域是，在（其中是整xπ010[0,1]x=nπn数）处取最小值，在处取最大值x=nπ+π/2图像误差分析

0.13常见误差范围关键点数量手绘图像通常存在约单位的位置误差准确绘制一般函数至少需要个精确计算的点±

0.135%尺度影响坐标轴刻度选择不当可能导致以上的视觉误差5%手绘与计算机生成的函数图像存在多种误差来源首先是计算误差，手动计算函数值时可能出现四舍五入或计算错误；其次是绘图误差，包括点的定位不准确、曲线平滑度不足、坐标轴刻度不均匀等；最后是视觉误差，如线条粗细、透视变形等改进手绘图像的方法包括使用方格纸提高定位准确性；计算更多的点，特别是关键点（如极值点、拐点、交点）；注意函数的特性，如对称性、周期性，利用这些特性减少计算量；使用合适的比例尺，使图像既能完整显示又不失细节；对于复杂函数，可以分段绘制，确保每段的准确性现代教学中，计算机辅助绘图工具提供了高精度的函数可视化，但手绘图像仍有其价值手绘过程有助于理解函数的性质和变化规律，培养空间想象力和图形思维理想的学习方法是结合手绘和计算机绘图，通过比对发现误差，深化对函数图像的理解项目讲评优秀案例以下是几位同学的优秀函数图像作业展示张同学的作品函数家族探究系统地展示了二次函数系数变化对图像的影响，通过参数方程创建了蝴蝶曲线，展现了数学的美感和创造性李同学的生活中的函数项目收集了大量现实生活中的函数应用案例，并用精确的函数模型描述，如摩天轮的周期运动、抛物线桥梁的受力分析等王同学的函数艺术作品则展示了如何通过复合多个简单函数创造出复杂的图案，其分形图像的生成特别引人注目陈同学的三维函数模型使用了立体材料制作了三维函数表面，直观展示了多元函数的空间结构，对理解偏导数和梯度有很大帮助这些作品的共同特点是概念准确，图像精确；注重数形结合，理论联系实际；创新性思考，超越课本知识；展示方式多样，清晰有条理对于有待改进的方面，建议同学们更注重函数间的联系与区别，加强对函数性质的理论分析，并尝试运用更多数学工具和技术手段辅助研究知识点概述回顾总结与答疑常见问题解答针对同学们在学习过程中遇到的典型困惑，我们进行了系统梳理比如，如何区分函数的奇偶性（检查与或的关系）；如何快速判断函数的单调区间（利用导数或函f-xfx-fx数差商）；如何确定复合函数的定义域（内层函数的定义域与外层函数对内层值的限制）等解题方法总结解决函数图像问题的一般步骤分析函数类型和特性；确定关键点和特殊点；应用函数性质进行作图；检验图像与函数表达式的一致性对于复杂问题，可采用分解法（将复杂函数分解为简单函数的组合）或变换法（将复杂问题转化为已知问题）深化理解要点函数是连接代数与几何的桥梁，理解函数不应仅停留在公式和图像上，还应理解其背后的变化规律和对应关系函数思想在现代科学中的应用越来越广泛，从数据分析到人工智能，都离不开函数概念培养函数思维，有助于提高解决复杂问题的能力通过课堂讨论，我们发现部分同学对函数图像的整体把握还不够全面，特别是在处理复合函数和分段函数时容易出现错误建议多做练习，加强对基本函数图像的记忆和理解，逐步建立函数变换的直觉同时，我们也看到许多同学能够灵活运用所学知识解决实际问题，展现了良好的数学应用能力对于一些超出教材范围的探究性问题，如函数的极限、连续性、可导性等概念，感兴趣的同学可以预习相关内容，为后续学习做准备课后作业基础练习完成教材第页练习题，内容涵盖一次函数和二次函数的图像绘制、性质分析和应用问题注意检查计算过程和作图精度，尤其是关键点的确定87-881-10此外，预习教材第页的复习题，巩固本章所学内容89进阶作业挑战以下函数图像绘制分段函数

1.fx={x²,x≤1;2x-1,x1}复合函数

2.gx=|sinx|+cosx参数方程

3.{x=t²-1,y=t³+t}要求分析函数特性，确定关键点，绘制准确图像，并标注特殊点探究任务选择以下一个课题进行小组探究•寻找生活中的函数现象，建立数学模型•研究多项式函数的零点分布规律•探索分形图像与迭代函数的关系形成研究报告，包含图像、分析和结论，下周展示交流作业提交说明基础练习与进阶作业需要在下周一前提交，探究任务需要在两周内完成并准备展示提交作业时，要求图像清晰，计算过程完整，分析有理有据对于绘图作业，可以手绘或使用计算机软件，但必须标明所用工具和方法难题尝试对于数学竞赛有兴趣的同学，可以尝试解决以下问题已知函数满足且，求的表达式这类问题结合了函数方程和微分方程的知识，需要创造性思维有疑问可在课后讨论群中提出，共同探讨解法fx fx+y=fx·fy f0=1fx。