多项式乘法与除法课件

多项式乘法与除法欢迎来到多项式乘法与除法的课程这门课程将帮助大家掌握代数中的重要运算技能，为后续学习奠定坚实基础多项式运算是数学中的基本工具，广泛应用于科学、工程和计算机科学领域在接下来的课程中，我们将从基本概念出发，逐步学习多项式的各种乘除法运算方法，包括公式推导、几何意义以及实际应用希望通过这门课程，同学们能够建立清晰的数学思维，提高解决问题的能力课程目标掌握基本原理运用公式技巧理解多项式乘法和除法的定义、熟练掌握常用乘法公式，如平方性质和基本运算规则，建立坚实差公式、完全平方公式和立方公的理论基础掌握符号表示法和式等学会灵活运用竖式乘法、数学语言，能够准确表达多项式横式乘法以及多项式长除法等技运算过程巧解决问题提升应用能力能够将多项式乘除法知识应用于实际问题解决，包括几何问题、代数推理和方程求解等领域培养数学思维和逻辑推理能力，为后续学习打下基础多项式回顾多项式定义多项式种类多项式是由变量和系数通过加法、减法和乘法运算构成的代数表根据项数分类单项式（如）、二项式（如）、三项3x²x+1达式一般形式为₀₁⁻，式（如）以及一般多项式a xⁿ+a xⁿ¹+...+a x+a x²+2x+1ₙ₋₁ₙ其中₀₁是系数，是非负整数a,a,...,a nₙ根据次数分类常数多项式（次数为）、一次多项式（如02x+多项式的次数是指变量的最高指数例如，的次）、二次多项式（如）、三次多项式等特殊形式如完3x²+2x-53x²-4数为系数都为实数的多项式称为实系数多项式全平方式、平方差等在代数运算中具有重要地2x+a²x²-a²位单项式乘法系数与系数相乘指数相加法则单项式相乘时，系数与系数相同底数的幂相乘时，指数相加乘例如，在中，系例如，⁺，所以3x5x xᵐ·xⁿ=xᵐⁿ数与相乘得到3515x²·x³=x⁵多变量处理含有多个变量的单项式相乘时，同类变量的指数相加例如，2x²y3xy³=6x³y⁴单项式乘法示例示例二计算×2a³4a²示例三解析系数相乘×24=8示例一计算×-3x²y2xy³变量指数相加×a³a²=a⁵计算×解析系数相乘×3x5x-32=-6结果×2a³4a²=8a⁵解析系数相乘×的指数相加×35=15x x²x=x³变量指数相加x¹×x¹=x²y的指数相加y×y³=y⁴结果3x×5x=15x²结果-3x²y×2xy³=-6x³y⁴213单项式乘法练习练习计算×15x²3x提示先处理系数，再处理指数练习计算×⁴2-2y³-3y提示注意负号相乘的规则练习计算×34a²b2a³b²提示分别处理不同变量的指数练习计算×43xy²z2x²yz³提示有三个变量，分别处理每个变量的指数多项式与单项式相乘分配律原理多项式与单项式相乘，需要将单项式分别与多项式中的每一项相乘这是基于代数的分配律ab+c=ab+ac逐项相乘将单项式与多项式中的每一项按单项式乘法规则相乘，得到一系列单项式合并同类项如果结果中存在同类项，需要进行合并，得到最终结果多项式与单项式相乘示例示例一×3x2x+5运用分配律×××3x2x+5=3x2x+3x5进行单项式乘法=6x²+15x示例二×-2y²3y²-4y+1运用分配律××××-2y²3y²-4y+1=-2y²3y²--2y²4y+-2y²1进行单项式乘法=-6y⁴+8y³-2y²示例三×5a²b2a-3ab+b²运用分配律××5a²b2a-3ab+b²=5a²b2a-××5a²b3ab+5a²b b²进行单项式乘法=10a³b-15a³b²+5a²b³多项式与单项式相乘练习掌握基础练习×12x²3x+4提升能力练习×2-3y2y²-5y+7挑战自我练习×34a²b³2a²b-3ab²+5融会贯通练习尝试总结多项式与单项式相乘的一般方法和技巧4多项式与多项式相乘分配律扩展项与项的乘积合并同类项多项式相乘基于分配律两个多项式相乘时，第得到所有项与项的乘积的扩展应用对于两个一个多项式的每一项都后，需要合并同类项以多项式和，要与第二个多项式的每简化结果这需要识别a+b+c d+e其乘积等于×一项相乘，然后将所有具有相同变量和指数的a+b+c d×，即第一结果相加这一过程可项，并将它们的系数相+a+b+c e个多项式中的每一项都以通过横式或竖式乘法加要与第二个多项式中的来实现每一项相乘多项式与多项式相乘方法横式乘法竖式乘法横式乘法是将第一个多项式的每一项分别与第二个多项式相乘，竖式乘法模仿了整数乘法的算法，将两个多项式按降幂排列，然然后合并同类项这种方法直观明了，适合于简单的多项式乘法后第二个多项式的每一项与第一个多项式相乘，结果对齐后相加计算例如，计算时，可以写作这种方法在处理较复杂的多项式乘法时更有条理，可以减少计算a+bc+d a+bc+d=ac+d+错误尤其适合于含有多个项的多项式相乘bc+d=ac+ad+bc+bd多项式与多项式相乘示例（横式）示例2x+3x²-4x+5我们需要将第一个多项式的每一项与第二个多项式相乘第一项乘以整个多项式×2x x²-4x+5=2x³-8x²+10x第二项乘以整个多项式×3x²-4x+5=3x²-12x+15合并结果2x+3x²-4x+5=2x³-8x²+10x+3x²-12x+15合并同类项:2x³+-8x²+3x²+10x-12x+15最终结果:2x³-5x²-2x+15多项式与多项式相乘示例（竖式）x²-2x+33x3x³-6x²+9x+55x²-10x+15结果3x³-x²-x+15上表展示了的竖式乘法计算过程首先将两个多项式3x+5x²-2x+3按降幂排列，然后第二个多项式的每一项与第一个多项式相乘最后，我们将得到的结果对齐，合并同类项，得到最终结果3x³-x²-x+15竖式乘法的优点是计算过程清晰有序，尤其适合处理较复杂的多项式乘法，可以有效减少计算错误多项式与多项式相乘练习基础练习提高练习练习计算练习计算1x+3x+233x-22x²+x-3练习计算22x-1x+4练习计算4x²+2x+1x-1挑战练习练习计算52x²-3xy+y²x+y练习计算6a+b+ca-b乘法公式

（一）平方差公式1a+ba-b=a²-b²公式推导a+ba-b=a²-ab+ab-b²=a²-b²应用场景平方差公式特别适用于两个表达式和与差的乘积计算，可以大大简化运算过程例如计算时，直接使用公式得到x+5x-5x²-25注意事项应用平方差公式时，需确保两个括号内的表达式互为相反数（除首项外）例如，可以应用该公式，而3x+2y3x-2y2a+3b3a则不能直接应用-2b平方差公式应用示例示例计算1x+7x-7直接应用平方差公式a+ba-b=a²-b²其中，a=x b=7所以x+7x-7=x²-7²=x²-49示例计算23a+2b3a-2b直接应用平方差公式a+ba-b=a²-b²其中，a=3a b=2b所以3a+2b3a-2b=3a²-2b²=9a²-4b²示例计算32x+5y2x-5y直接应用平方差公式a+ba-b=a²-b²其中，a=2x b=5y所以2x+5y2x-5y=2x²-5y²=4x²-25y²平方差公式练习1计算题计算的值应用平方差公式直接得到结果x+10x-102计算题计算的值注意正确识别和的系数5a+3b5a-3b a b3计算题计算的值记住表达式可以包含任何形式，只要格式符合平方差公式2x+y²2x-y²4应用题如果，求的值提示可以直接应用平方差公式A=√2+1√2-1A乘法公式

（二）完全平方公式负号形式1a+b²=a²+2ab+b²a-b²=a²-2ab+b²2应用价值推导过程完全平方公式使计算二项式平方变得简4a+b²=a+ba+b=a²+ab单，在因式分解、解方程和数学建模中+ba+b²=a²+2ab+b²有广泛应用完全平方公式应用示例示例计算1x+3²应用公式，其中a+b²=a²+2ab+b²a=x,b=31所以××x+3²=x²+2x3+3²=x²+6x+9示例计算22a-5²应用公式，其中a-b²=a²-2ab+b²a=2a,b=52所以××2a-5²=2a²-22a5+5²=4a²-20a+25示例计算3x+1/x²应用公式，其中a+b²=a²+2ab+b²a=x,b=1/x3所以××x+1/x²=x²+2x1/x+1/x²=x²+2+1/x²完全平方公式练习练习练习12计算的展开式计算的展开式x+5²3y-2²提示应用公式提示应用公式a+b²=a²+2ab+b²a-b²=a²-2ab+b²12练习4练习3如果且，求43x-y²=16xy=15x²+y²计算的展开式2x+3y²的值提示注意二次项、一次项和常数项提示利用完全平方公式的变形乘法公式

（三）立方和公式立方差公式a³+b³=a+ba²-ab+b²a³-b³=a-ba²+ab+b²这个公式可用于分解立方和例如，可以分解为这个公式可用于分解立方差例如，可以分解为x³+8x+x³-27x-2x²-2x+43x²+3x+9公式推导公式推导a+ba²-ab+b²=a³-a²b+ab²+a²b-ab²+b³=a-ba²+ab+b²=a³+a²b+ab²-a²b-ab²-b³=a³+b³a³-b³立方和差公式应用示例计算x³+81识别为立方和，其中a³+b³a=x,b=2应用公式a³+b³=a+ba²-ab+b²计算227y³-1代入x³+8=x+2x²-x·2+2²=x+2x²识别为立方差，其中a³-b³a=3y,b=1-2x+4应用公式a³-b³=a-ba²+ab+b²代入27y³-1=3y³-1³=3y-13y²+计算x+y³-8z³33y·1+1²=3y-19y²+3y+1识别为立方差，其中a³-b³a=x+y,b=2z应用公式a³-b³=a-ba²+ab+b²代入x+y³-8z³=x+y-2zx+y²+x+y2z+2z²=x+y-2zx+y²+2zx+y+4z²立方和差公式练习立方和练习立方差练习练习计算练习计算1x³+273y³-64练习计算练习计算28a³+b³4125x³-8提示使用公式提示使用公式a³+b³=a+a³-b³=a-ba²-ab+b²ba²+ab+b²综合练习练习如果已知且，求的值5x+y=6xy=8x³+y³练习计算6a+b³+a-b³提示可能需要组合使用不同的公式乘法公式综合应用进阶计算使用适当的乘法公式简化复杂表达式，提高计算效率公式识别2准确判断应使用哪种乘法公式，并熟练运用表达式转换恰当变形原始表达式，使其符合标准公式形式公式结合灵活组合多个乘法公式解决复杂问题乘法公式综合练习请尝试解决以下综合练习题计算

1.2x-3y²+2x+3y²计算

2.a+b²-a-b²计算

3.x+2³-x³如果且，求的值

4.a+b=5ab=6a³+b³计算

5.x+1/x²-x-1/x²多项式乘法的几何意义多项式乘法几何模型示例的面积模型的面积模型的面积模型x+2x+1x+3²x+yx-y将和视为矩形的两条边，乘积将表示为边长为的正方形正该乘积可表示为两个正方形的面积差一x+2x+1x+3²x+3对应矩形的总面积矩形可分为四个区域方形可分为四个区域边长为的正方形个大正方形边长为，面积为；从中减去x x x²×左上、×右上、面积、两个×的长方形面积共一个小正方形，边长为，面积为剩x x=x²x1=xx²x36x yy²×左下和×右下总面积和一个边长为的正方形面积总面积余面积为，这正是平方差公式的几2x=2x21=239x²-y²为为何解释x²+x+2x+2=x²+3x+2x²+6x+9多项式除法概述除法定义多项式除以多项式，就是求出商多项式和余数多项式，使得×A B Q RA=BQ+，其中的次数小于的次数或为R RB R0除法意义多项式除法是乘法的逆运算，它将一个多项式表示为另一个多项式的倍数加上余数，应用于因式分解、求解方程和多项式函数研究除法方法常用方法包括多项式长除法（类似于整数的竖式除法）和综合除法（用于除数为一次多项式的特殊情况）除法过程需要按照多项式次数从高到低的顺序进行余数定理当多项式被除时，余数等于这一重要定理简化了某些特殊情况下Px x-a Pa的多项式除法计算，广泛应用于代数问题解决多项式除法的基本步骤整理多项式将被除式和除数按照变量指数从高到低排列如果有缺项，用项补齐，0确保多项式完整有序确定首项商用被除式的最高次项除以除数的最高次项，得到商的第一项这决定了商多项式的最高次项乘法与减法将商的首项与除数的所有项相乘，然后从被除式中减去所得结果，得到新的被除式重复过程对新的被除式重复上述步骤，直到余式的次数小于除数的次数或为零最后的余式即为除法的余数，而累积的商项形成商多项式多项式除法示例

（一）问题÷x²+5x+6x+21将被除式和除数按降幂排列（已经排好）x²+5x+6x+2确定首项商2被除式首项除以除数首项得到，这是商的第一项x²x x乘法与减法3×x x+2=x²+2x重复过程x²+5x+6-x²+2x=3x+64新被除式，首项除以除数首项得到，这是商的第二项3x+63x x3×3x+2=3x+6结果53x+6-3x+6=0商，余数x+30验证，x+2x+3=x²+3x+2x+6=x²+5x+6结果正确多项式除法示例

（二）计算÷2x³-5x²+x-3x-2被除式2x³-5x²+x-3除数x-2第一步÷（商的第一项）2x³x=2x²×2x²x-2=2x³-4x²第二步2x³-5x²+x-3-2x³-4x²=-x²+x-3÷（商的第二项）-x²x=-x×-x x-2=-x²+2x第三步-x²+x-3--x²+2x=-x-3÷（商的第三项）-x x=-1×-1x-2=-x+2结果-x-3--x+2=-5商2x²-x-1余数-5验证x-22x²-x-1+-5=2x³-5x²+x-3多项式除法练习练习练习12计算÷计算÷x²-9x-32x³-3x²+4x-5x+112提示考虑平方差公式提示按照多项式除法步骤依次计算练习4练习3如果多项式被Px=ax²+bx+c x-计算÷3x⁴-2x³+5x-7x²+除得商为且余数为，求系数23x+

45431、、的值a b c提示注意除数是二次多项式提示利用多项式除法的基本等式多项式长除法多项式长除法方法长除法技巧多项式长除法是类似于整数竖式除法的算法，适用于处理任何多多项式长除法需要注意以下技巧项式除法步骤如下确保多项式按降幂排列，缺项用填充•0将被除式和除数按照变量指数从高到低排列，缺项用补齐

1.0计算每一步时保持项的对齐，避免混淆•用被除式的最高次项除以除数的最高次项，得到商的第一项

2.每次运算后检查新的被除式，确保无错误•将此商项乘以除数的所有项，然后从被除式中减去

3.当余式的次数小于除数的次数时停止计算•对得到的差（新的被除式）重复上述步骤，直到差的次数小

4.善用乘法公式和因式分解，简化计算•于除数的次数多项式长除法示例x²+2x+4x-1x³+x²+3x+3x³-x²2x²+3x2x²-2x5x+35x-5余数8上表展示了÷的长除法计算过程首先，被除式的最高次项除以x³+x²+3x+3x-1x³除数的最高次项得到，这是商的第一项然后将乘以除数得到，从被除式中x x²x²x-1x³-x²减去，得到新的被除式2x²+3x重复这个过程，最终得到商为，余数为可以验证x²+2x+48x-1x²+2x+4+8这种竖式表示方法使计算过程更加清晰易懂=x³+x²+3x+3多项式长除法练习基础练习计算÷x²-4x-2提示先应用平方差公式，然后进行除法进阶练习计算÷3x³+2x²-5x+1x+2提示按照长除法步骤，注意每一步的计算和对齐高级练习计算2x⁴-3x³+4x-7÷x²-1提示除数是二次多项式，需要注意余数的次数应小于除数的次数挑战练习如果多项式被除的余数为，被除的余数为，求Px x-ab x-c d被除的余数Px x-ax-c提示应用余数定理和多项式除法的基本性质综合除法定义与适用范围计算步骤方法优势综合除法（又称秦九韶首先将多项式系数按降综合除法大大简化了多算法）是一种简化的多幂排列，缺项补；写项式除法的计算过程，0项式除法方法，专门用出的值；将最高次项减少了错误几率特别a于多项式被形如系数直接抄下；将抄下是在处理高次多项式和x-a的一次多项式除这种的数乘以，与下一个复杂系数时，效率提升a方法比长除法更为简洁系数相加，结果再抄下；显著此外，它直接给高效，减少了中间步骤重复此过程直到所有系出商多项式的系数，便和计算量数处理完毕最后一个于后续计算和应用结果是余数，前面的结果构成商多项式带余除法示例计算÷2x³-3x²+4x-5x-2步骤排列系数12,-3,4,-5步骤写出2a=2步骤商的系数322|2-34-5|4212余数|2167上表展示了使用综合除法计算÷的过程首先将被除式2x³-3x²+4x-5x-2系数按降幂排列由于除数是，所以2,-3,4,-5x-2a=2计算过程将首项系数直接抄下；×，加上下一项系数，得到；

1.

22.22=4-

313.×，加上，得到；×，加上，得到最后一个数是余数，12=

2464.62=12-577前面的数构成商多项式的系数，即商为，余数为2,1,62x²+x+67带余除法练习练习1使用综合除法计算÷x³-6x²+11x-6x-1练习2使用综合除法计算÷2x³+x²-5x+2x+2练习3使用综合除法计算÷3x⁴-2x²+5x-3注意项和项的系数为，需补齐缺项x³x0练习4，求的值Px=x³-3x²+2x-5P2提示可以用综合除法求被除的余数，这就是Px x-2P2多项式除法的几何意义面积分割模型几何解释的意义多项式除法可以用面积分割模型直观理解如果我们将被除式表几何模型帮助我们示为一个矩形的面积，除法过程就是将这个面积分割成几个部分直观理解除法的本质是寻找被除式在除数上的投影•一部分可以表示为除数乘以商，另一部分则是余数理解商和余数的关系被除式除数×商余数•=+例如，当被除时，我们可以将x²+3x+2x+1x²+3x+验证除法结果的正确性•看作一个面积，然后尝试用宽度为的矩形去填充它，剩2x+1理解余数定理当多项式被除时，余数等于余的部分就是余数•Px x-a Pa多项式除法几何模型示例÷的几何÷的几何模型÷的几何模型x²+5x+6x+2x²-1x-1x³+1x+1模型将表示为一个面积（一个大正方形这个例子需要三维思维可以视为x²-1x³+1将表示为一个面积，我们尝减去一个小正方形），尝试用宽度为和的和当被除时，我们可以利x²+5x+6x-x³1x+1试用宽度为的矩形去填充它首先，的矩形填充通过分析可知，用立方和公式x+21x+1xx³+1=x+1x²-x占据了部分面积，剩，所以商是，余数为因此商是，余数为xx+2=x²+2x-1=x²-1x+1+1x²-x+10余的是接着，这也直接对应了平方差公式几何上，这表示一个立方体和一个单位立3x+63x+2=3x+0正好填充剩余部分，因此商是，余方体的总体积被分成若干部分6x+3数为0多项式乘除混合运算运算顺序括号处理多项式乘除混合运算遵循先乘除后加减先计算括号内的表达式，再进行后续运的顺序算结果验证化简技巧通过代入具体值或反向运算检验结果正灵活运用乘法公式和因式分解简化复杂确性表达式多项式乘除混合运算示例示例÷×1[x²+3x+2x+1]x-1我们需要先计算括号内的除法，再进行乘法运算第一步计算÷x²+3x+2x+1使用多项式长除法被除式x²+3x+2除数x+1计算得商，余数x+20第二步计算×x+2x-1使用多项式乘法x+2x-1=x²-x+2x-2=x²+x-2验证结果验证方法是将最终结果代回原表达式÷××[x+1x+2]x+1x-1=x+2x-1=x²+x-2结果正确多项式乘除混合运算练习基础练习中级练习计算÷计算÷÷[x²-1x-1][x³-8x-2]×x+2x²+2x+4提示先应用平方差公式进行因提示先应用立方差公式简化第式分解，简化除法运算一个除法，然后进行第二个除法挑战练习计算÷×÷[2x⁴-3x²+1x²+1][x²-1x-1]提示分别计算两个括号内的表达式，再进行最后的乘法注意平方差公式的应用多项式乘法在实际问题中的应用几何问题多项式乘法可用于计算复杂图形的面积和体积例如，长为、宽为的矩形面积a+bc+d计算需要展开同样，立方体体积计算也常用多项式乘法a+bc+d物理建模在物理学中，多项式乘法用于描述运动方程、力学系统和波动现象例如，加速度变化的物体位移方程常表示为多项式函数，计算位移需要多项式乘法经济分析多项式乘法在经济学中用于成本函数、利润函数和供需曲线的构建例如，总收入可能是价格和数量的多项式函数，分析时需要多项式乘法p q计算机科学多项式乘法是许多算法的基础，如快速傅里叶变换、数据加密和错误校正码在FFT密码学中，多项式乘法对保障数据安全至关重要多项式乘法应用示例

（一）问题描述一个矩形花坛的长为米，宽为米如果花坛面积增加了平方米，现在的花坛长宽分别是多少？x+3x+25解题思路首先计算原花坛面积₁平方米S=x+3x+2=x²+5x+6增加后的面积为₂₁平方米S=S+5=x²+5x+11尺寸计算假设新花坛的长宽为和，则有x+a x+b x+ax+b=x²+5x+11分析可知，解得或a+b=5,ab=11a=2,b=3a=3,b=2多项式乘法应用示例

（二）一个物体在恒定加速度作用下运动，其位移函数为，速度函数为如果该物体在₁到₂时间段内移动的st=3t²-2t+5vt=6t-2t t总距离可以表示为₂₁，求₁₂时的移动距离D=st-stt=2,t=5解当时，××t=2s2=32²-22+5=12-4+5=13当时，××t=5s5=35²-25+5=75-10+5=70因此，移动距离D=s5-s2=70-13=57多项式除法在实际问题中的应用算法设计多项式除法是许多计算机算法的核心，如多项式插值和数值积分1金融分析在财务预测和风险评估中用于构建和简化复杂模型工程应用3用于控制系统设计、信号处理和电路分析科学研究在物理学、化学和生物学中用于数据分析和模型简化教育基础是学习高等数学和计算机科学的重要基础知识多项式除法应用示例

（一）问题描述某公司生产的产品数量与价格之间的关系为，总成本函数为求边际利润函数q pp=100-q²Cq=20q+5MPq计算收入函数总收入函数Rq=p·q=100-q²·q=100q-q³计算利润函数利润函数Pq=Rq-Cq=100q-q³-20q+5=80q-q³-5计算边际利润边际利润是利润函数的导数，MPq=dP/dq=80-3q²这个计算过程使用了多项式的微分，本质上是一种特殊形式的多项式除法多项式除法应用示例

（二）12问题设定多项式除法在控制系统中，传递函数可表示为两个多项式的比值已知使用长除法将表示为，其中是商多项式，Gs Gs=s³+2s²+3s GsGs=Qs+Rs/s²+s+1Qs，求系统的零极点是余式多项式+4/s²+s+1Rs34零点计算极点计算系统的零点是分子多项式的根，通过因式分解或数值方法求解系统的极点是分母多项式的根，通过求解二次方程得到±s³+2s²+3s+4s²+s+1s=-

0.

50.866i多项式乘除在代数推理中的应用代数证明代数简化多项式乘除运算是代数证明的重复杂代数表达式可以通过多项式要工具，通过恰当变形和运算，乘除操作进行简化，使问题更易可以证明代数恒等式和不等式于处理例如，分式例如，证明通过多项式除a+b³-a³-b³=x²+3x+2/x+1需要运用多项式乘法展法可以简化为，大大简化了3aba+bx+2开并比较系数后续计算方程求解多项式乘除对解决高次方程和代数系统至关重要例如，通过因式分解（本质是多项式除法的逆过程）可以将高次方程分解为低次方程的组合，从而求解根代数推理示例

（一）证明方法二二项式定理a-b³=a³-3a²b+3ab²-b³方法一直接展开根据二项式定理a-b³=a-ba-b²a-b³=C3,0a³-b⁰+C3,1a²-b¹+C3,2a¹-b²+C3,3a⁰-b³=a-ba²-2ab+b²=1·a³·1+3·a²·-b+3·a·-b²+1·1·-b³=aa²-2ab+b²-ba²-2ab+b²=a³-3a²b+3ab²-b³=a³-2a²b+ab²-ba²+2ab²-b³这两种方法都用到了多项式乘法，展示了多项式运算在代数推理=a³-3a²b+3ab²-b³中的应用代数推理示例

（二）多项式乘除与因式分解的关系乘除互逆关系试除法应用公式因式分解是多项式乘法的逆过程多多项式除法可用于因式分解中的试除多项式乘法公式（如平方差、完全平项式乘法将多个因式乘积展开为一个法如果多项式能被整方和立方公式）对因式分解同样适用，Px x-a多项式，而因式分解则将一个多项式除（没有余数），则是只是应用方向相反例如，识别出x-a Px x²表示为几个多项式的乘积形式例如，的一个因式通过找出所有这样的线是应用平方差-4=x-2x+2展示性因式，可以完成多项式的因式分解公式的反向过程熟练掌握这些公式x²+5x+6=x+2x+3了乘法和因式分解的互逆关系利用多项式除法的余数定理可以更高有助于快速进行因式分解效地进行这一过程因式分解示例例分解11x²-7x+12需要找到两个数和，使得，p qp+q=-7pq=12尝试，验证，p=-3,q=-4-3+-4=-7-3-4=12因此，x²-7x+12=x-3x-4例分解222x³-18x首先提取公因式2x³-18x=2xx²-9应用平方差公式分解x²-9=x-3x+3最终结果2x³-18x=2xx-3x+3例分解33x³-1应用立方差公式x³-1=x-1x²+x+1注意不能进一步分解为实系数一次多项式的乘积x²+x+14例4分解x⁴-16应用平方差公式两次x⁴-16=x²²-4²=x²-4x²+4进一步分解x²-4=x-2x+2最终结果x⁴-16=x-2x+2x²+4多项式乘除与方程解法的关系因式分解法余数定理通过多项式乘除转化为因式乘积，利用1判断是否为方程的解，等价x=a Px=0零因子原理求解于检验能否被整除Px x-a方程组解法等价变形多项式乘除运算在解决多元方程组中发利用多项式乘除运算将高次方程转化为挥关键作用更简单的形式方程解法示例例题求解方程，已知是其中一个根x³-5x²+3x+9=0x=3解法由于是方程的根，所以多项式能被整除使用综合除法计算÷x=3Px=x³-5x²+3x+9x-3Px x-3系数列表1,-5,3,9a=3计算过程1,3-5=-2,3-2+3=-3,3-3+9=0商多项式系数1,-2,-3因此接下来求解，得到或结合原根，方程的三个根为Px=x-3x²-2x-3=x-3x²-2x-3x²-2x-3=0x=3x=-1x=3x=3,x=3,x=-1常见错误与注意事项乘法错误常见错误包括忘记乘以所有项、合并同类项错误、符号处理不当等例如将错误计算为，忘记了交叉相乘x+3x+2x²+5的项除法错误多项式除法中常见的错误有排列顺序不当、忽略缺项、符号错误和计算过程中的代数运算错误特别是长除法过程中，需要格外注意每一步的计算公式应用乘法公式应用不当也是常见错误例如，错误地将计算a+b²为，忽略了中间项应确保公式应用条件符合要求，a²+b²2ab并正确执行每个步骤综合练习

（一）多项式除法多项式乘法计算÷

4.2x³-7x²+4x-3计算

1.3x²-2x+52x-3计算÷

5.x⁴-16x²-4计算

2.x+3yx-3y12计算÷

6.3x³-5x²+2x-1计算

3.2a-b²x²+1应用题混合运算一个长方形的面积为平

9.x²+5x+6计算÷×

7.[x²-1x-1]方单位，如果长度是单位，求宽x+343÷[x²-4x-2]度如果满足

8.Px=ax²+bx+c P1证明对于任意实数，多项式

10.a x³，求=3,P2=1,P3=5a,b,c可以分解为-3ax²+3a²x-a³x-a³综合练习

（二）高级乘法高级除法应用挑战计算并简化结果如果多项式被除余，被证明任何整系数多项式，若

11.x²+y²²

14.Px x-

1216.Px除余，求被除的余式和都是奇数，则方程没x+16Pxx²-1P0P1Px=0如果，证明

12.a+b+c=0a³+b³+有整数解求一个三次多项式，已知c³=3abc

15.Px一个立方体的体积为P0=1,P1=2,P2=9,P3=

2217.x³-6x²+12x-8计算并按的幂次排列

13.1+x+x²²x立方单位，求其边长总结与回顾多项式乘除的重要性是代数运算的基础，贯穿整个数学学习过程关键概念总结掌握了多项式的定义、乘除法运算规则和主要公式重要技巧回顾3横式乘法、竖式乘法、长除法和综合除法等计算方法广泛应用场景4从几何计算到代数推理，再到方程求解和实际问题建模进一步学习方向为学习因式分解、有理式运算和高等数学打下基础。