随机过程习题课件

随机过程习题课件欢迎来到随机过程习题课程！本课程将系统地介绍随机过程的基本概念、理论和应用，通过详细的习题讲解帮助同学们深入理解随机过程的核心内容随机过程是描述随时间演变的随机现象的数学模型，在工程、金融、物理等多个领域有广泛应用本课程将带领大家掌握从马尔可夫链到布朗运动等多种随机过程的分析方法和求解技巧课程概述课程目标学习要求掌握随机过程的基本理论具备概率论与数理统计的和分析方法，能够运用所基础知识，熟悉基本的微学知识解决实际问题，培积分和线性代数，有一定养学生的概率统计思维和的数学分析能力每周完随机模型构建能力成习题并参与课堂讨论评分标准平时作业占，课堂表现占，期中考试占，期30%20%20%末考试占所有习题均需独立完成，抄袭将被严肃处30%理第一章随机过程基础基本概念掌握随机过程的数学定义与基本性质分类方法了解按时间和状态空间的分类体系分析工具学习均值函数、方差函数等基本工具本章作为随机过程学习的基础，将帮助同学们建立随机过程的整体认识，为后续章节的学习打下坚实基础我们将从概率论的基本知识复习开始，逐步过渡到随机过程特有的概念和方法概率论复习

1.1概率空间随机变量期望与方差概率空间是概率论的基本框架，由样随机变量是从样本空间到实数集的可期望表示随机变量的平均值，方E[X]本空间、事件代数和概率测度测函数，表示为它将随机现差度量随机变量偏离期望的程Ωσ-F PX:Ω→R VarX组成，记为样本空间包含所象的结果映射为实数值，便于进行数度此外，还有矩、特征函数等概Ω,F,P有可能的基本结果，事件是样本空间学处理随机变量可以通过其分布函念，它们共同构成了描述随机变量统的子集，概率测度为每个事件分配一数或概率密度函数（连计特性的完整体系，是随机过程分析Fx=PX≤x个概率值续情况）、概率质量函数（离散情的基础工具况）来描述随机过程的定义

1.2随机过程的形式化定义样本函数随机过程是一族随机变量对于固定的样本点∈，函ωΩ∈的集合，其中参数关于的函数{Xt,t T}Xt,ωt X·,ω数通常表示时间，取值于参称为随机过程的一条样本函数t数集随机过程可视为将样或轨道样本函数反映了随机T本空间映射到函数空间的随机过程在特定实验结果下的演变元素，每一个样本点对应一情况，是理解随机过程动态特ω条轨道性的重要工具X·,ω状态空间与参数集状态空间是随机变量所有可能取值的集合，可以是离散的或连续Xt的参数集是参数的取值范围，通常表示时间，可以是离散的T t（如整数集）或连续的（如实数集）随机过程的分类

1.3按时间参数分类按状态空间分类根据参数集的性质划分为离散时间根据状态空间分为离散状态和连续状T和连续时间过程态过程按应用领域分类按随机特性分类如排队过程、计数过程、扩散过程等按统计特性分为平稳过程、马尔可夫过程等随机过程的分类方法多种多样，不同类型的随机过程具有不同的数学性质和适用范围理解这些分类有助于我们选择合适的模型和分析方法来解决实际问题在随后的章节中，我们将详细介绍各种重要类型的随机过程习题讲解基本概念

1.412概念理解题实例识别题判断随机过程与随机变量的区别，分析随机识别给定的数学描述是否构成有效的随机过过程的数学结构程3轨道分析题分析给定随机过程的样本轨道特性习题1证明任意一族独立同分布的随机变量{X₁,X₂,...}构成一个随机过程解析根据随机过程定义，只需证明{Xₙ,n∈N}是一族以自然数为参数的随机变量族由于每个Xₙ都是定义在同一概率空间上的随机变量，且参数n取自自然数集N（离散参数集），因此{Xₙ}确实构成一个离散参数随机过程独立同分布性质使其成为特殊类型的随机过程习题讲解随机过程的表示

1.5表示方法一有限维分布通过随机过程在任意有限多个时刻的联合分布来表征表示方法二特征函数利用多维特征函数表征随机过程的统计特性表示方法三矩函数通过均值函数、自相关函数等矩函数描述随机过程习题给定随机过程，其中和是均值为、方差为且相2Xt=A cosωt+B sinωt AB01互独立的随机变量试求的均值函数、方差函数和自相关函数Xt解析均值函数mₓt=E[Xt]=E[A cosωt+B sinωt]=E[A]cosωt+方差函数E[B]sinωt=0σ²ₓt=E[X²t]=E[A cosωt+B sinωt²]=cos²ωt自相关函数+sin²ωt=1Rₓt,s=E[XtXs]=cosωtcosωs+sinωtsinωs=cosωt-s第二章平稳过程统计平稳性随机过程统计特性不随时间变化自相关分析过程内部相关性结构研究谱分析频域表示与能量分布平稳过程是随机过程理论中的重要类别，其统计特性不随时间变化，使得分析和预测变得可行本章将系统介绍平稳过程的严格定义、特性以及分析方法，特别关注自相关函数和功率谱密度等工具的应用我们将通过典型例子和习题，帮助大家理解平稳过程的本质和应用价值平稳过程的定义

2.1严平稳过程宽平稳过程随机过程∈的任意有限维分布对时间平移保持不随机过程满足均值函数为常数，{Xt,t T}{Xt}1E[Xt]=μ;2变，即对任意正整数，任意时刻∈，以及任自相关函数仅依赖于时间差，宽平稳过程n t₁,t₂,...,tₙT Rt,s=Rt-s意常数（使得∈），随机向量也称为二阶平稳或弱平稳过程，是实际应用中更常用的概h t₁+h,...,tₙ+h TXt₁,...,和具有相同的联合分布念严平稳过程若二阶矩存在，则必为宽平稳过程，反之不XtₙXt₁+h,...,Xtₙ+h然平稳性概念是信号处理、时间序列分析等领域的基础在实际应用中，完全满足严平稳性的随机过程较少，而宽平稳性则是一个较为合理的假设，许多理论和方法都是建立在宽平稳性基础上的了解平稳过程的定义和性质，有助于我们选择合适的分析工具和模型自相关函数

2.2自相关函数定义自相关函数性质归一化自相关函数对于宽平稳过程，其自相关自相关函数满足以下性质归一化自相关函数{Xt}1R0ρτ=Rτ/R0函数定义为，，即在原点处取最大值；满足，更直观地反映了Rτ=E[Xt+τXt]≥|Rτ|-1≤ρτ≤1表示时间间隔为的两个随机变量之，即关于原点对时间间隔为的两个随机变量之间相τ2R-τ=Rττ间的相关性自相关函数反映了随称；满足非负定性；当关程度表示完全正相关，3Rτ4ρτ=1机过程在不同时刻取值之间的统计时，若，则称该过程表示完全负相关，τ→∞Rτ→0ρτ=-1ρτ=依赖关系具有遗忘性或趋于独立表示不相关0互相关函数

2.3互相关函数定义互相关函数性质对于两个宽平稳过程和互相关函数具有以下性质{Xt}，它们的互相关函数定，即与{Yt}1RXY-τ=RYXτX义为的互相关函数与与的互相RXYτ=Y YX，表示过程在关函数存在对称关系；E[Xt+τYt]X时刻与过程在时刻的相t+τY t2|RXYτ|≤关程度，即满足柯西√RX0RY0施瓦茨不等式；互相关函-3数不一定是偶函数互相关函数应用互相关函数广泛应用于信号处理、系统识别和模式识别等领域它可以用来检测两个信号之间的相似性、时间延迟，以及一个信号对另一个信号的影响程度在通信系统中，互相关分析常用于同步和信号检测习题讲解平稳性判断

2.4白噪声过程随机游走自回归过程白噪声是最简单的平稳过程，其自相关随机游走是非平稳过自回归过程在Xn=∑ᵏ₌₁ⁿZk Xn=φXn-1+Zn函数为，表示不同时刻的程，其中是独立同分布的随机变量时是平稳的，在时是非平Rτ=σ²δτZk|φ|1|φ|≥1随机变量完全不相关在习题分析中，它的方差随时间增长，因此不满足宽平稳的通过计算其均值和自相关函数，我们通常将白噪声过程作为基准或组件稳性条件通过习题分析，我们可以理可以验证其平稳性条件，这是时间序列来构造更复杂的随机过程解非平稳过程的典型特征分析中的重要基础习题讲解自相关函数计算

2.5时间滞后τ自相关函数Rτ第三章马尔可夫链基本概念了解马尔可夫性、转移概率和状态分类模型分析掌握转移矩阵和方程Chapman-Kolmogorov长期行为研究稳态分布和极限性质应用实践解决排队、库存和可靠性等问题马尔可夫链是最重要的随机过程之一，它的特点是无记忆性系统的——未来状态仅依赖于当前状态，而与过去历史无关这一特性使得马尔可夫链在理论上易于分析，在应用上广泛实用本章将详细介绍马尔可夫链的数学框架和主要性质，重点讨论离散时间马尔可夫链的状态分类、周期性和极限行为等问题马尔可夫链的定义

3.1马尔可夫性转移概率状态空间离散时间随机过程满一步转移概率表示系统从状态转移马尔可夫链的状态空间是所有可能{X₀,X₁,X₂,...}pᵢⱼi S足马尔可夫性，即对任意和任意到状态的概率，定义为状态的集合状态空间可以是有限n≥0j pᵢⱼ=PXₙ₊₁=j状态，条件概率若转移概率与时间无关，的、可数无穷的或不可数的本章主i₀,i₁,...,iₙ₊₁|Xₙ=i n则称该马尔可夫链是时间齐次的要讨论具有有限或可数无穷状态空间PXₙ₊₁=iₙ₊₁|X₀=i₀,X₁=i₁,...,n这表步转移概率表示系统在步后从的离散时间马尔可夫链，它们在应用Xₙ=iₙ=PXₙ₊₁=iₙ₊₁|Xₙ=iₙpᵢⱼ⁽ⁿ⁾n明未来状态的概率分布只依赖于当前状态转移到状态的概率中最为常见i j状态，而与过去状态无关方程

3.2Chapman-KolmogorovChapman-Kolmogorov方程是马尔可夫链理论中的基本关系式，描述了n+m步转移概率与n步和m步转移概率之间的关系pᵢⱼ⁽ⁿ⁺ᵐ⁾=∑ₖpᵢₖ⁽ⁿ⁾pₖⱼ⁽ᵐ⁾，其中k遍历所有可能的中间状态在矩阵形式中，若是一步转移概率矩阵，则步转移概率矩阵为这一性质使得我们可以通过矩阵乘法计算任意步数的转移概率，极P nP^n大地简化了长期行为分析方程体现了马尔可夫链的核心性质未来状态只依赖于当前状态，通过中间状态传递Chapman-Kolmogorov影响状态分类

3.3常返态与瞬态若从状态出发，系统以概率最终返回状态，则称状态为常返态；若i1i i该概率小于，则称状态为瞬态常返态意味着系统会无限次访问该1i状态，瞬态则意味着系统最终将不再访问该状态周期性状态的周期定义为系统从出发，可能返回的所有步数的最大公约i di in数若，则称状态为周期态；若，则称状态为非周期态周d1i d=1i期态意味着系统只能在特定间隔的时刻返回该状态通信类若状态和相互可达，即存在有限步数使系统能从到达，也能从到达i ji jj，则称和是通信的通信关系是一种等价关系，将状态空间划分为i ij若干通信类每个通信类内的状态具有相同的常返性和周期性极限分布

3.4平稳分布概率分布满足，其中是转移概π=π₁,π₂,...πP=πP率矩阵，称为马尔可夫链的平稳分布它表示系统达到统计平衡时各状态的概率极限分布若存在且与初始状态无关，则lim_{n→∞}pᵢⱼ⁽ⁿ⁾=πⱼiπ称为马尔可夫链的极限分布，表示长时=π₁,π₂,...间后系统处于各状态的概率遍历性若马尔可夫链不可约（所有状态在同一通信类中）、非周期且正常返，则称其具有遍历性遍历链存在唯一的平稳分布，且该分布也是极限分布习题讲解转移概率矩阵

3.5状态状态/

12310.

20.

30.

520.

40.

10.

530.

60.

20.2习题给定一个具有三个状态的马尔可夫链，其一步转移概率矩阵如上表所P示求二步转移概率矩阵；从状态出发，两步后处于状态的概a P²b13率；该链是否存在平稳分布？若存在，求出平稳分布c解析二步转移概率矩阵a P²=P×P=[

0.

460.

190.35;

0.

460.

220.32;从状态出发，两步后处于状态的概率为

0.

360.

220.42]b13P²[1,3]=该马尔可夫链是有限状态、不可约且非周期的，因此存在唯一的平

0.35c稳分布，满足和解方程组得到π=π₁,π₂,π₃πP=πΣπᵢ=1π=

0.42,

0.22,

0.36习题讲解状态分类问题

3.6吸收态分析常返态与瞬态判定周期性分析吸收态是指一旦进入就不会离开的状对于给定的马尔可夫链，确定每个状态确定马尔可夫链中各状态的周期，并分态习题中我们需要识别吸收态，并计是常返的还是瞬态的判断方法包括析周期性对极限行为的影响对于周期算从各初始状态被吸收的概率和平均吸计算返回概率、构造生成函数、分析通为的状态，步转移概率矩阵呈现周期d d收时间这类问题在博弈论、生存分析信类结构等这是理解马尔可夫链长期性模式，这对理解系统的循环特性很有等领域有重要应用行为的基础帮助第四章泊松过程定义与公理了解泊松过程的数学定义和基本公理系统统计特性掌握事件间隔时间和计数变量的分布特性随机性质研究独立增量性和平稳增量性的含义与应用扩展模型探索非齐次泊松过程和复合泊松过程泊松过程是描述随机事件发生的重要随机点过程，广泛应用于排队系统、可靠性分析、通信网络等领域它模拟了独立事件以恒定平均速率随机发生的情况，如顾客到达、设备故障、网络请求等本章将系统介绍泊松过程的数学结构、统计特性和主要应用场景泊松过程的定义

4.1计数过程公理化定义独立增量性泊松过程是一种计数过程，其参数为的泊松过程满足以下条件对于任意不相交的时间区间，泊松过程在{Nt,t≥0}λ0中表示在时间区间内发生的事件独立增量性不相交时间区间上的增量这些区间上的增量是相互独立的随机变Nt[0,t]1数量作为计数过程，它满足，相互独立；平稳增量性增量分布仅依量这意味着在不同时间段内发生的事件N0=02取非负整数值，且如果，则赖于时间长度，与起始时刻无关；在很数目之间没有统计依赖关系，过去的历史Nt st Ns3，即计数是单调非减的小的时间间隔内，恰好发生一个事件的不会影响未来的事件发生≤NtΔt概率约为，发生多个事件的概率是λΔtoΔt泊松分布的性质

4.2分裂性可加性泊松过程的随机分割产生独立的泊松独立泊松过程的叠加仍是泊松过程过程条件分布间隔分布给定总数下的事件发生时刻均匀分布相邻事件间隔时间服从指数分布泊松过程在数学上具有许多优美的性质，这些性质使其成为理论和应用研究中的重要模型泊松过程的可加性意味着独立的泊松流合并后仍然是泊松流，参数为各流参数之和分裂性则表明，对泊松流进行随机分类，每类事件独立构成参数较小的泊松流这些性质使得泊松过程在复杂系统建模中具有极大的灵活性和适用性泊松过程的应用

4.3排队论可靠性理论库存管理泊松过程常用于描述客户到达系统的设备故障通常可以建模为泊松过程，客户需求可以用泊松过程建模，特别随机过程在队列中，表示特别是当系统包含大量独立组件时是对于低频率、高价值的商品基于M/M/1M客户到达是泊松过程，服务时间服从通过泊松过程，可以计算系统的可靠泊松需求的库存模型可以帮助确定最指数分布这类模型广泛应用于银行性函数、平均故障间隔时间和优订货量和安全库存水平，平衡库存MTBF服务、呼叫中心、网络通信等领域，维修策略优化这对工业设备维护和成本和缺货成本，提高供应链效率帮助优化资源配置和提高服务效率系统设计至关重要习题讲解泊松过程基本性质

4.4习题某超市顾客到达可以用参数人小时的泊松过程描述求一小时内恰好有名顾客到达的概率；两名顾客之间的平均间λ=5/a3b隔时间；等待第一名顾客到达的时间超过分钟的概率c15解析泊松过程中，时间长度为的区间内事件数服从参数的泊松分布因此泊松过程a tNtλt PN1=3=e⁻⁵·5³/3!≈

0.1404b中，相邻事件的间隔时间服从参数为的指数分布，平均值为小时分钟第一名顾客到达的时间服从指数分布，λ1/λ=1/5=12c T₁PT₁15/60=e⁻⁵·¹⁵/⁶⁰≈

0.2865习题讲解复合泊松过程

4.5第五章更新过程基本概念掌握更新过程的定义与更新函数理论基础学习基本更新定理和更新方程应用扩展理解延迟更新和超额过程实际应用解决设备更换和库存管理问题更新过程是描述重复事件发生的随机过程，是泊松过程的重要推广在更新过程中，事件之间的间隔时间是独立同分布的正随机变量，但不必服从指数分布这种灵活性使更新过程能够建模更广泛的实际问题，如设备更换、保修策略、库存补充等本章将详细介绍更新过程的理论框架和主要应用场景更新过程的定义

5.1形式定义更新函数令是一列独立同分更新过程的更新函数{Xₙ,n≥1}mt=布的非负随机变量，表示连续表示在时间区间内E[Nt][0,t]发生的事件之间的间隔时间平均发生的事件数更新函数定义，是更新理论中的核心概念，它S₀=0Sₙ=X₁+X₂+...+Xₙ为第n个事件发生的满足更新方程mt=Ft+∫₀ᵗ时刻计数过程，，其中是间{Nt,t≥0}mt-xdFx Fx其中表隔时间的分布函数Nt=max{n:Sₙ≤t}示在时间区间内发生的事[0,t]件总数，称为一个更新过程更新方程更新方程通过将问题分解为第一次更新后的子问题，建立了递归结构这种方法是更新理论的基础，也是求解各种更新相关问题的关键更新方程可以通过拉普拉斯变换转化为代数方程，从而简化求解过程更新定理

5.2基本更新定理若间隔时间的期望有限，则当趋于无穷时，更新函μ=E[X]t数近似为更精确地说，，且mt t/μmt/t→1/μmt-t/μ，称为更新函数的渐近行为→E[X²]-μ²/2μ²更新奖励定理若每次更新获得随机奖励，且独立同分布，与更新过Rₙ{Rₙ}程独立，则总奖励期望满足E[∑ₙ₌₁^{Nt}Rₙ]=mt·E[R]这一结果广泛应用于成本分析和累积收益计算极限定理更新过程中的许多随机变量在长期内表现出稳定的统计特性例如，过剩寿命的分布趋向于一个稳态分布，称为间隔时间的平衡分布这些极限结果在系统长期行为分析中非常有用超额过程

5.3超额过程定义超额过程性质在更新过程中，对于任意时刻，定义当趋于无穷时，超额时间和当前期龄的极限分布存t Yt=S_{Nt+1}-t tYt Zt为从时刻到下一次更新的时间，称为超额时间或剩余寿在，且相同，被称为间隔时间的平衡分布其密度函数为t命；为从上一次更新到时刻的时间，称，其中是间隔时间的分布函数，是Zt=t-S_{Nt}t f_ex=1-Fx/μFxμ为当前期龄或已用寿命超额过程和间隔时间的期望这一结果说明系统在长时间运行后，剩余{Yt,t≥0}{Zt,t≥0}描述了更新过程的局部时间结构寿命和已用寿命的分布趋于稳定超额过程在许多实际应用中具有重要意义例如，在设备维修中，表示当前运行设备的剩余寿命；在排队系统中，可Yt Yt能表示顾客的剩余服务时间通过分析超额过程，我们可以获得关于系统瞬时状态的重要信息，指导运维决策和资源规划习题讲解更新函数计算

5.4时间t更新函数mt习题讲解更新定理应用

5.5设备更换问题预防性维护策略某设备使用寿命服从均值为年的分布，每次更换成本为设备寿命服从参数的指数分布若在设备使用年后2λ=

0.5T元若设备发生故障必须立即更换，计算长期平均每进行预防性更换，或在此之前发生故障时更换，求最优更换10000年的更换成本时间，使长期平均成本最小故障更换成本T C_f=15000元，预防性更换成本元C_p=8000解析根据更新奖励定理，长期平均成本为每次更换成本除以平均更换间隔，即元年解析长期平均成本10000/2=5000/CT=[C_p·1-e^-λT+C_f·e^-通过求导求解最小值点，得到最优λT]/∫₀^T1-Fxdx更换时间年T≈

2.56第六章布朗运动随机性本质布朗运动的基本特性与数学描述1路径特性布朗运动轨道的连续性与不可微性计算工具伊藤积分与随机微分方程基础布朗运动是最重要的连续时间随机过程之一，最初用于描述微观粒子在流体中的不规则运动在数学上，布朗运动（也称为维纳过程）是一种具有连续样本路径的高斯过程，其增量独立且服从正态分布布朗运动在现代概率论和应用数学中占据核心地位，是随机分析和金融数学的基础本章将介绍布朗运动的数学定义、基本性质和重要应用布朗运动的定义

6.1标准布朗运动维纳过程标准布朗运动是一个维纳过程是布朗运动的同义词，{Bt,t≥0}满足以下条件的随机过程特别在应用数学和工程领域更常；具有独立增用这一术语一般的维纳过程可1B0=02量对任意，增量以表示为，其0≤st Bt-Wt=μt+σBt与过去历史中是漂移参数，是扩散参数，Bs{Bu:0≤u≤μσ独立；增量服从正态分是标准布朗运动维纳过程s}3Bt布；的增量服从正态分布，Bt-Bs~N0,t-s Wt-路径连续函数几乎4t→Bt Ws~Nμt-s,σ²t-s必然是连续函数基本性质布朗运动具有许多重要性质均值函数；方差函数E[Bt]=0Var[Bt]=；自相关函数；具有马尔可夫性；是高斯过程，任意有t Rs,t=mins,t限多个时刻的随机变量联合服从多元正态分布；具有自相似性，即对任意常数，与有相同的分布c0{Bct/√c,t≥0}{Bt,t≥0}布朗运动的轨道

6.2布朗运动的样本轨道具有独特的数学特性，是研究其本质的重要方面轨道几乎必然是连续的，这意味着粒子的位置随时间连续变化，不会出现瞬间跳跃然而，轨道几乎必然在任何点处都不可微，表明粒子的运动方向在任何时刻都不确定布朗运动轨道还具有分形特性，表现为自相似性放大局部轨道，其统计特性与整体轨道相似这种自相似性使得布朗运动成为研究分形几何和复杂系统的重要工具尽管轨道看似杂乱无章，但其统计特性遵循严格的数学规律，例如轨道的方差随时间线性增长，反映了粒子扩散的基本规律布朗运动的应用

6.3金融数学物理过程通信与信号处理布朗运动是现代金融布朗运动最初用于描布朗运动用于建模通数学的基础，用于建述微观粒子在流体中信系统中的噪声，如模资产价格、利率和的运动，现已扩展到热噪声和量子噪声波动率热扩散、分子扩散等分数布朗运动扩展了Black-选项定价模多种物理现象爱因标准模型，能够描述Scholes型假设资产价格服从斯坦和斯莫鲁霍夫斯长期相关的信号，在几何布朗运动，为衍基的理论将布朗运动网络流量、图像处理生品定价提供了理论与统计力学联系起和水文学中有重要应框架随机波动率模来，为分子运动的理用型进一步将布朗运动论奠定基础应用于描述金融市场的复杂动态习题讲解布朗运动性质

6.4123布朗运动的随机性停时和初命中时间马尔可夫性验证探索样本路径的概率特性分析随机过程的关键时间点证明条件期望和无记忆性习题设是标准布朗运动求；；{Bt,t≥0}aPB32|B1=

0.5bE[B5|B2=1,B3=2]cPmax_{0≤t≤1}Bt1解析利用布朗运动的马尔可夫性和独立增量性，独立于且服从，因此a B3-B1B1N0,2PB32|B1=

0.5=利用布朗运动的马尔可夫性，PB3-B

11.5=PZ

1.5/√2≈

0.1446b E[B5|B2=1,B3=2]=E[B5|通过反射原理，B3=2]=2+E[B5-B3]=2+0=2c Pmax_{0≤t≤1}Bt1=2PB11=21-Φ1≈

0.3173习题讲解布朗运动应用

6.5几何布朗运动布朗桥几何布朗运动是金融资布朗桥是指定了终点的布朗运动，定义为St=S0expμ-σ²/2t+σBt{Xt=Bt-产价格建模的标准工具习题中，我们通常需要计算资产价布朗桥在统计学、模拟和插值中有重要应tB1,0≤t≤1}格达到某一水平的概率、期权价格或风险度量用例题股票价格服从参数的几何布朗运例题布朗桥满足求μ=

0.1,σ=

0.3{Xt,0≤t≤1}X0=X1=0Xt动，当前价格为求一年后股价超过的概率的协方差函数100120解析服从正态分布解析lnS1/S0Nμ-σ²/2,σ²=E[XtXs]=E[Bt-tB1Bs-sB1]=因此，其中这表明布朗桥是非平稳N

0.055,

0.09PS1120=PlnS1/100mint,s-ts=s1-t s≤t过程，但具有优雅的协方差结构ln

1.2=PZln

1.2-

0.055/

0.3≈

0.4207第七章鞅理论鞅的基本概念理解鞅、次鞅和上鞅的定义及区别停时理论掌握停时的定义及鞅在停时处的性质收敛定理学习鞅收敛定理及其应用条件变换技术了解鞅变换及其在概率论中的应用鞅理论是现代概率论的核心组成部分，为随机过程提供了强大的分析工具鞅表示公平赌博过程，其核心特性是条件期望等于当前值，意味着未来平均变化为零这一特性使鞅成为研究随机系统长期行为的理想工具本章将介绍鞅的基本定义、重要性质和应用技巧，为理解复杂随机现象提供理论基础鞅的定义

7.1离散时间鞅连续时间鞅随机过程相对于信随机过程相对于{Xₙ,n≥0}{Xt,t≥0}息流是鞅，如果对信息流是鞅，如{Fₙ,n≥0}{Ft,t≥0}所有满足是可果对所有满足n≥01XₙFₙ-0≤st测的；；是可测的；2E[|Xₙ|]∞1Xt Ft-鞅的核；3E[Xₙ₊₁|Fₙ]=Xₙ2E[|Xt|]∞心特性是其条件期望等于当连3E[Xt|Fs]=Xs前值，表示公平赌博，即续时间鞅是离散时间鞅的自未来的平均变化为零然扩展，在随机分析和金融数学中具有重要应用次鞅与上鞅如果将鞅定义中的条件改为，则是次鞅；如3E[Xₙ₊₁|Fₙ]≥Xₙ{Xₙ}果改为，则是上鞅次鞅表示有利赌博，即E[Xₙ₊₁|Fₙ]≤Xₙ{Xₙ}未来的平均变化非负；上鞅表示不利赌博，即未来的平均变化非正停时

7.2停时定义停时的性质停止鞅随机变量∪是相停时具有许多重要性质常数时刻若是停时，则停止过程∧T:Ω→{0,1,2,...}{∞}1T{X_{T n},对于信息流的停时，如果对所有是停时；两个停时的最小值、最大定义为∧{Fₙ}2n≥0}X_{T n}=，事件属于代数直值和有限个停时的线性组合仍是停，表示在n≥0{T≤n}σ-FₙX_T1_{T≤n}+X_n1_{Tn}观上，停时是一个决策时刻，其决定时；停时序列的极限在一定条件下停时处停止原过程若是3T{Xₙ}只基于过去和现在的信息，不依赖于仍是停时这些性质使停时成为描述鞅，则在一定条件下，停止过程未来停时的典型例子包括首次穿随机事件发生时刻的灵活工具∧也是鞅这一结果称为可{X_{T n}}越某一水平的时刻、达到最大值的时选停时定理，是鞅理论的基本工具刻等鞅收敛定理

7.3有界鞅收敛定理若是鞅，且（有界），则存在{Xₙ,n≥0}sup_n E[|Xₙ|]∞L¹随机变量，使得几乎必然收敛于，且X∞XₙX∞E[|X∞|]∞非负次鞅收敛定理若是非负次鞅，则几乎必然收敛于某随机变量{Xₙ,n≥0}Xₙ，且几乎必然这一结果不要求次鞅是有界X∞X∞∞L¹的一致可积性条件对于鞅，若存在随机变量使得且几{Xₙ}Y E[|Y|]∞|Xₙ|≤Y乎必然，则是一致可积的，且{Xₙ}E[X∞|F_m]=X_m习题讲解鞅性质验证

7.4随机游走鞅指数鞅条件期望鞅设是独立同分布的随机变量，设是独立增量、均值为的随机游走设是可积随机变量，是递增的代数{Zₙ,n≥1}{Sₙ}0X{Fₙ}σ-，定义定义，其中序列定义证明是鞅E[Zₙ]=0Var[Zₙ]=σ².Sₙ=Z₁Mₙ=expθSₙ-n·ψθψθ=Xₙ=E[X|Fₙ]{Xₙ}和验证是证明是鞅+...+ZₙXₙ=Sₙ².a{Sₙ}logE[expθZ₁]{Mₙ}解析由条E[Xₙ₊₁|Fₙ]=E[E[X|Fₙ₊₁]|Fₙ]鞅；是鞅b{Sₙ²-nσ²}解析E[Mₙ₊₁|Fₙ]=E[expθSₙ₊₁-件期望的塔性质，E[E[X|Fₙ₊₁]|Fₙ]=解析aE[Sₙ₊₁|Fₙ]=E[Sₙ+Zₙ₊₁|Fₙ]=Sₙn+1ψθ|Fₙ]=expθSₙ-E[X|Fₙ]=Xₙ，因此{Xₙ}是鞅这表明条件期望本身就是一个鞅，是鞅理论的基础结+E[Zₙ₊₁|Fₙ]=Sₙ+E[Zₙ₊₁]=Sₙ+0=nψθ·E[expθZₙ₊₁-ψθ|Fₙ]=Sₙ，因此{Sₙ}是鞅b可以展开Sₙ₊₁²-Mₙ·E[expθZₙ₊₁-ψθ]=Mₙ·expψθ-果nσ²并验证条件期望与Sₙ²-nσ²相等ψθ=Mₙ，因此{Mₙ}是鞅习题讲解停时问题

7.5游戏次数获胜概率第八章时间序列分析平稳性检验模型建立验证时间序列的统计特性是否稳定构建描述数据生成机制的数学模型模型识别确定合适的模型类型和阶数预测分析参数估计基于模型进行未来值预测从观测数据中估计模型参数时间序列分析是研究按时间顺序排列的数据的统计方法，广泛应用于经济学、金融、气象等领域其核心目标是理解数据的内在结构（如趋势、季节性和周期性），以便进行有效预测和控制本章将介绍时间序列分析的基本概念、主要模型和实用技术，特别关注模型族及其应用ARMA时间序列模型

8.1模型模型AR MA自回归模型表示为移动平均模型表示为ARp X_t=MAq X_tφ₁X_{t-1}+φ₂X_{t-2}+...+=ε_t+θ₁ε_{t-1}+θ₂ε_{t-2}，其中是，其中是φ_pX_{t-p}+ε_tε_t+...+θ_qε_{t-q}ε_t白噪声过程模型假设当前值白噪声过程模型表示当前AR MA是过去个值的线性组合加随机值是当前和过去个随机冲击的p q扰动，适合描述具有记忆特性线性组合，适合描述短期冲击效的序列和是最常用应模型总是平稳的，而AR1AR2MA AR的自回归模型，分别能捕捉单调模型在参数满足特定条件时才平趋势和振荡模式稳模型ARMA自回归移动平均模型结合了和模型的特点，表示为ARMAp,q ARMA X_t=φ₁X_{t-1}+...+φ_pX_{t-p}+ε_t+θ₁ε_{t-1}+...+θ_qε_{t-q}模型能同时捕捉长期依赖性和短期冲击效应，是时间序列分析中最ARMA为灵活和广泛使用的模型类型平稳性检验

8.2平稳性的重要性单位根检验检验ADF平稳性是时间序列分析的基础假设，单位根检验是判断时间序列是否平稳增广（）检验是Dickey-Fuller ADF意味着序列的统计特性（如均值、方的标准方法模型单位根检验的增强版，考虑了序列可AR1X_t=差和自相关）不随时间变化平稳序中，若，序列能的自相关结构检验通过拟合φX_{t-1}+ε_t|φ|1ADF列更容易建模和预测，非平稳序列常平稳；若（存在单位根），序列回归方程φ=1ΔX_t=α+βt+γX_{t-1}+需转换（如差分）以达到平稳检验是随机游走，非平稳单位根检验的δ₁ΔX_{t-1}+...+δ_pΔX_{t-p}+平稳性是模型识别的第一步，影响后原假设通常是序列含单位根（非平，检验系数是否显著小于（即ε_tγ0续所有分析步骤平稳性分为严平稳稳），备择假设是序列不含单位根序列是否平稳）检验可以包含ADF（所有统计特性不变）和弱平稳（仅（平稳）最常用的单位根检验包括常数项和趋势项，以适应不同类型的

一、二阶矩不变）检验及其扩展版本非平稳性Dickey-Fuller模型识别与估计

8.3模型识别是时间序列分析的关键步骤，目标是确定适当的模型类型（AR、MA或ARMA）和阶数自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）是模型识别的主要工具对于ARp过程，PACF在滞后p后截尾，而ACF呈指数或震荡衰减；对于MAq过程，ACF在滞后q后截尾，而PACF呈衰减；对于ARMAp,q过程，ACF和PACF都呈衰减一旦确定了模型类型和阶数，下一步是估计模型参数常用的估计方法包括最小二乘法、最大似然法和矩法最大似然估计在理论上具有最优性质，但计算可能较复杂；最小二乘法计算简单，在样本量大时结果接近最大似然估计估计后，需通过残差分析、信息准则（如AIC、BIC）和预测表现评估模型拟合质量习题讲解时间序列模型识别

8.4数据可视化1绘制时间序列图，观察趋势、季节性和异常值平稳性检验2应用ADF检验确定序列是否需要差分分析3ACF/PACF根据自相关图和偏自相关图识别可能的模型模型比较4使用信息准则选择最佳模型习题给定以下月度时间序列数据（略），请a检验序列是否平稳，若非平稳则进行适当转换；b识别适当的ARMA模型；c估计模型参数并进行诊断检验解析a时间序列图显示明显的上升趋势和季节性波动，ADF检验p值为

0.

450.05，无法拒绝单位根假设，说明序列非平稳对序列进行一阶差分后，再进行季节性差分（周期为12），得到平稳序列b差分后序列的ACF在滞后1和12处有显著峰值，PACF在滞后

1、2和12处有显著峰值，表明可能是SARIMA1,1,11,1,1₁₂模型c使用最大似然法估计参数，得到φ₁=

0.43，θ₁=-

0.85，Φ₁=

0.32，Θ₁=-

0.67残差的Ljung-Box检验p值为

0.

380.05，表明残差为白噪声，模型拟合良好习题讲解参数估计

8.5123最小二乘估计最大似然估计惩罚极大似然基于最小化误差平方和的参数估计方法基于最大化观测数据概率的参数估计方增加正则化项防止过拟合的估计方法法习题考虑模型，其中，独立同分布给定观测数据，求参数AR1X_t=c+φX_{t-1}+ε_tε_t~N0,σ²{x₁,x₂,...,x_T}和的最大似然估计φσ²解析对于模型，条件概率密度函数条件似然函数AR1fx_t|x_{t-1}=1/√2πσ²exp-x_t-c-φx_{t-1}²/2σ²取对数得到对数似然函数Lc,φ,σ²|x₁,...,x_T=∏_{t=2}^T fx_t|x_{t-1}lc,φ,σ²=-T-1/2log2πσ²-对、和求偏导并令其为，解得最大似然估计1/2σ²∑_{t=2}^T x_t-c-φx_{t-1}²cφσ²0ĉ=∑x_t-φ̂∑x_{t-1}/T-，，1φ̂=∑x_t-x̄x_{t-1}-x̄/∑x_{t-1}-x̄²σ̂²=∑x_t-ĉ-φ̂x_{t-1}²/T-1第九章随机微分方程随机积分随机过程积分的定义与计算方法伊藤公式随机微积分的基本变换法则微分方程随机动力系统的数学描述随机微分方程是描述随机动力系统演化的数学工具，将确定性微分方程与随机扰动相结合在金融、物理、工程和SDE SDE生物学中有广泛应用，能够捕捉系统中的随机性和不确定性本章将介绍随机积分、伊藤公式和求解方法等基本内容，SDE为理解和应用随机动力系统模型奠定基础伊藤积分

9.1伊藤积分的定义伊藤积分的性质与黎曼斯蒂尔杰斯积分的区-别对于适当的随机过程，伊藤积伊藤积分具有以下性质线性性ft,ω1分定义为均方极限；伊藤积分是关于布朗运动的随机积∫₀ᵗfs,ωdBs∫af+bgdB=a∫fdB+b∫gdB2lim_{n→∞}∑ᵢftᵢ,ω[Btᵢ₊₁-Btᵢ]，零均值若f满足一定条件，则分，而黎曼-斯蒂尔杰斯积分是关于有其中是区间的分割与黎曼积；伊藤等距公式界变差函数的积分关键区别在于，{tᵢ}[0,t]E[∫fdB]=03分不同，伊藤积分的值依赖于选取；马丁格尔布朗运动几乎必然不具有有界变差，E[∫fdB²]=E[∫f²ds]4的时点，标准选择是区间左端性质若适当，则是这导致积分的不同定义和性质伊藤ft,ωf{∫₀ᵗfdB,t≥0}点（伊藤约定）鞅这些性质使伊藤积分成为随机分积分特别适合于随机微分方程的研析的有力工具究，而黎曼斯蒂尔杰斯积分更适用于-确定性分析伊藤公式

9.2一维伊藤公式若Xt满足随机微分方程dXt=μt,Xtdt+σt,XtdBt，函数ft,x具有连续的偏导数f_t,f_x,f_{xx}，则Yt=ft,Xt满足dYt=f_t dt+f_x dXt+1/2f_{xx}dXt²=[f_t+μf_x+1/2σ²f_{xx}]dt+σf_x dBt，其中dXt²按照替换规则dt·dt=0,dt·dBt=0,dBt·dBt=dt计算多维伊藤公式对于多维随机过程Xt=X₁t,...,X_nt，伊藤公式有类似的扩展形式，包含混合二阶偏导数项多维情况下，考虑随机过程之间的相关性（协方差）变得尤为重要多维伊藤公式在多资产金融模型和高维随机系统分析中有广泛应用伊藤公式的应用伊藤公式是随机微积分的基本工具，可用于1求解特定形式的SDE；2推导随机过程的统计特性；3金融衍生品定价（如Black-Scholes公式）；4随机控制理论伊藤公式类似于确定性微积分中的链式法则，但包含额外的二阶导数项，反映了布朗运动的二次变差特性随机微分方程求解

9.3线性随机微分方程非线性随机微分方程形如dXt=aXt+bdt+一般形式的SDE dXt=cXt+ddBt的方程称为线性bt,Xtdt+σt,XtdBt通常SDE当系数a,b,c,d为常数时，没有显式解，需要数值方法常用可通过变量替换和伊藤公式求解的数值方法包括欧拉-马卢亚姆方特别地，几何布朗运动dXt=法、米尔斯坦方法和隐式方法等μXtdt+σXtdBt的解为Xt这些方法在计算金融、系统模拟等=X0expμ-σ²/2t+σBt，领域有广泛应用欧拉-马卢亚姆这是金融资产价格建模的基础方法是最简单的SDE数值方法，类似于常微分方程的欧拉方法弱解与强解SDE解的概念比常微分方程更复杂强解要求解过程适应于原布朗运动生成的信息流，并满足SDE几乎必然；弱解则允许在不同概率空间上构造解和布朗运动，只要它们具有相同的有限维分布在实际应用中，弱解概念更为灵活，而强解概念在理论分析中更为严格习题讲解伊藤积分计算

9.4基本伊藤积分指数鞅随机积分的方差习题计算∫₀ᵗBsdBs习题证明随机过程Mt=expσBt-习题计算伊藤积分It=∫₀ᵗ是鞅，其中是常数的方差σ²t/2σsinBsdBs解析令，则应用伊fx=x²/2fx=x藤公式，dB²t/2=BtdBt+解析令ft,x=expσx-σ²t/2，应用伊解析由伊藤等距公式，E[I²t]=E[∫₀ᵗ1/2dt因此∫₀ᵗBsdBs=B²t/2-藤公式，dMt=[-σ²/2·Mt+σ·Mt·0sin²Bsds]由于Bs是布朗运动，t/2这个结果展示了伊藤积分与普通积分+1/2·σ²·Mt]dt+σMtdBt=sin²Bs的期望是1/2（假设足够长的时的区别，额外的-t/2项反映了布朗运动的二σMtdBt这表明Mt是局部鞅进一间），因此Var[It]=E[I²t]-E[It]²次变差特性步可证明E[Mt]=1∞，因此Mt是真=E[∫₀ᵗsin²Bsds]-0²≈t/2这说明随鞅这个结果在金融数学中用于构造等价鞅机积分的方差随时间线性增长测度习题讲解随机微分方程求解

9.5时间t Xt的期望Xt的方差习题求解随机微分方程dXt=2Xtdt+XtdBt，X0=1，并计算Xt的期望和方差综合习题讨论难点问题解析本节将讨论课程中遇到的一些典型难题，这些问题通常涉及多个章节的知识点交叉，或者需要特殊的解题技巧我们会详细剖析解题思路，强调关常见错误分析键步骤和常见陷阱例如，涉及鞅与布朗运动结合的问题、需要使用生成函数的马尔可夫链问题等学习随机过程中最常见的错误包括混淆不同类型的平稳性概念、错误应用伊藤公式、忽略马尔可夫性的条件、不正确处理停时等通过分析这些错误的根源，我们可以帮助同学们更深入理解相关概念，避免在实际问题解题策略指导中犯类似错误针对随机过程不同类型的问题，我们提供有效的解题策略例如，处理马尔可夫链问题时，首先厘清状态空间和转移机制；分析平稳过程时，从自相关函数入手；求解SDE时，考虑使用伊藤公式进行变量替换等好的解题策略能够让复杂问题变得条理清晰复习要点重要概念回顾关键公式总结方法论提炼回顾随机过程的核心概念平稳性、马尔归纳课程中的重要公式总结随机过程分析的方法论生成函数Chapman-可夫性、独立增量性和鞅性质这些基本方程、更新方程、伊藤公式法、鞅方法、变换技术和数值近似等不Kolmogorov性质是区分不同类型随机过程的关键，也和鞅收敛定理等这些公式是解决随机过同问题可能需要不同的方法，灵活运用这是解决实际问题的理论基础程问题的有力工具，熟练掌握它们将大大些技术能够应对各种复杂情况提高解题效率结语与展望10100+核心章节经典例题本课程覆盖随机过程的基础理论与应用通过丰富习题培养解决实际问题的能力∞应用前景随机过程理论在各领域有无限应用可能本课程系统介绍了随机过程的理论基础和主要应用，通过大量习题讲解，帮助同学们建立了解决随机问题的思维框架和技术能力随机过程作为现代概率论的核心内容，其重要性随着不确定性分析需求的增长而不断提升展望未来，随机过程理论仍在快速发展，新的随机模型和分析工具不断涌现机器学习、量子计算、气候预测等前沿领域对随机过程理论提出了新的挑战和应用方向希望同学们能够在本课程的基础上，继续深入学习，探索随机世界的奥秘，并将所学知识应用到各自的研究和实践中。