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年云南省昆明市统招专升本高数自考2021模拟考试（含答案）学校:班级:姓名:考号:
一、单选题（20题）
1.已知函数八.「）=|-F-1I•则？=1为的（）A.极大值点B.极小值点（.非极值点D.间断点
2.况+4+入％3=0,C.入=1且|B|=0的系数矩阵为4且存在3阶方阵li rO,使
9.设齐次线性方程组力+Q+八=0，+1,2+拉3=0k B.A=-2且I B|大0AB=•则D.A=一1且|B|#0A,久=一2且|B|=
03.广义积分「竺又叫di=A.-7-—In-^2B.^+ln721D.-4+ln/2C.—4—In v
24.设y=ln1+1,则yn=n—1!A.7i1+工厂〃！//-D!C.-1尸D.（一1尸1+3”1+
①尸
5.［答案1A
9.A［答案1A【精析】把一文代人函数得3―1=―.r2cos—2=，/•所以y=COST是偶函数.K%OSZ
10.D［答案1【精析】选D.,所以芈oatsin/_asinf+fcosf_sin/+/cos/at cos/da一故应♦aco*f—/sin/cos/—l^int7t【精析】呵—=如/冷”=岬霜=故应选A-ll.B［答案］B【精析】/—l的定义域为［o,，门•则一1W工一14a—1，即/工的定义域为［-1•“一］
1.【精析】=2•所以该广义积分收敛.
12.D【精析】依题意得y=4=3,所以k=%L=3=-L=5lim2VTI=lini2—2^
4713.B工》…o+I”3-
14.A【精析】y=3N°++6,y=2a,由于点一1,0是拐点，故一6+2a=0,即a=3,又曲2OJC6H+线过点一1,0,因此一1+3—〃+1=0,得〃=
3.
15.D【精析】*=ccsQj•丁•则^4=—y sin^5«2•3产=-y^s\nxy
2.2力CJJC
16.B[答案1B【精析】山条件知D=J1•vI〈I w
1.l wv W—{]•、Iw yW1•/〈才W,,故应选民［答案1B【精析】由题意Ji=2,为正整数,则—airijr=lrvr+上•—=ltiz+
1.所以卢＞=ye]=Irtr+I
17.B方程可化为半+4=也,所求通解为d.r x【精析】
18.A21n.r・血d、r+CX2•—da*+C=工卜片口—
19.C
20.Doo-=4r0,故B项发散;%/2【精析】收敛，故A项绝对收敛；lim„=1\J/广8/2，产+],.一二.\/2+4V2，级数£2收敛，故一.收敛,所以c项绝对收敛；♦2发oo―]1散・X由莱布尼茨判别法知收敛，故D项条件收敛.n=
121.ar【精析】i arcsine巾im=—=a.
22.［答案］Vdz+2/y dycosa》［答案1江=cos^v2•=y2cosjry
2.红=cos.ry2•2xv=2xycosxy2•贝I]【精析】dydz―3，cosa;y2dr+2N，cosa;y2dy=cLr+2
①了dycos工y.
23..2er-Ddz0”ez-ld/【精析】lim2x e‘一1=lim----------------=limr.0arctan.r L0LO
24.Ce3［答案］i rir【精析】.=3y=—dy—3dl今一dy—3d/=ln1yl=3i+C；以通解为丁=Ce
25.rid2z+3【精析】2i+322门32-12_22w+
326.【精析】lim/.r=limuc==/0,lim/r=lim XC03—+11，由于XJfIJ［答案］=0处连续，故a=/0=1,即a=
1.
27.
28.4亡…【精析】=sini尸sinar•贝lj yeJ,［答案］4=【精析】山题可知当if1时分子的极限为
0.故1而（/-.1I—4丁+4=—+4=
0.所以a
29.［答案1Z与*W-4”【精析】//=—=才上-------------7=J•---------------，•因为］J,=Z-14+1—441—41+111H-----一1/Q=中:=.一0・
8.k-l\1/k-
130.3产dz+
2.心dy cos.rvJ【精析】4=cosa v2•y2=v2cosjv2•—=cos.rvJ•2/y=213cos_rv・则Ji*dy=v2cos工n2di+vcosxy2=溜cLr+vdycos2J2JJCV
1.
31.Y【精析】7―-^=+kJ+…+万三x/w+ir x/l+n y/2+zr Jn+〃一］11由两边夹准则可知「丁+方钎:+…+）=lim/
1.+,广广，〃+〃，/-8I，1，2+，
32.N【精析】令J1=/Ina—
1./1=liu-+—=Iru，+1,令/n0,得T♦I.15,故函数/.r在
2.3上单调递增，2=21n2-l0,/3=31n3-l0,所以方程在区间（
2.3）内无实根.
33.N［答案］X【精析】由题可知y=2八两边积分可得y=M十C.将点（1,4）带人可得4=1-C\解得（=3,故所求积分曲线为y=M-
3.
34.N【精析】当〃为奇数时.数列收敛于1当〃为偶数时.数列收敛于0J工0•故该数列发散.
35.N【精析】方程两边分别对1求导数，得《/=d+zd』，整理可得丁=^—7♦1-re，_e-2—y
36.Y［答案］U【精析】分离变量可得一），汩，=「，两边积分可得1—/（^=
24.，解得一1力VVJ+G=鼻.即/+了3=cO
37.N【精析】通解中含有任意常数,故.y=sin.r不是方程的通解，但,y=siM•满足/+,=•是该方程的解.
38.N［答案］x【精析】/I=_1_l4_l==x=o—Z/i，/i-1h ZL
139.Y［答案］71,fr.」j—arctaru a—arctanj—ju—arctan/d/lim lim
2.rsin.r2［精析】lim——3--------------------------.4-sin/d/J0---------------------17„一］_1:_+/_1:TVm5hmj.…6］.—
6.r1+.r_1=T【精析】/Q的定义域是.r+l》O,即z2一l,gCr的定义域是R,则/Q与gi不是同一函数.
41.“精析】原方程对应的二阶齐次方程的特征方程为六—2r=
0.解得h=
2.所以对应的齐次=
0.Q方程的通解为不=G+的2A=2是特征方程的特征单根•故设原方程的特解为歹=则3=『『A-+5+心2Ar+2B+A・v9Yf=e24Ar+IB+2A+j e24Ar+4b+4A,A产代人原方程得e4Ar+4B+
2.4+工€匕44才+4B+4A—2e^Ar H-B—22Ar+2B+A=・即4Ar+26+2Ae=匕•所以4A=1,2B+2A=0,解得A=3,8=—4••故44原方程的通解为y=g+G/+Z匕十］一十卜
42.【精析】令67=Z,、r V，r=2tdtf则—2zd/=esinfdz=jsin/de2t JJ原式==ezsinZ—ecos/d/=e^inZ—cos/dez=e^sinZ—ezcosi—esin疝,r i.M（sin fx-COSA/F）+C.乙所以esin/dz=—ez（sin/—cost）+以故原式=J乙
43.产工业【精析】tan-Zsec/,c°y df=\17d（sin，）千sin/j stir/J1sin/
44.【精析】VR=lim[=
1.•〃十1N•••收敛区间为I E—1|V L故收敛区间为（
0.2）.2〃（1一1尸=（、r—=（r—i）「g（r—I）ft—i t»-i Ld—[=（大—i“；—J—3—i y（）\1—a—1/—IJC（2—才）
245.【精析】设F（i.».z）=口+y3+31ya2+2之一1,则F7=
2.
1、十2^F=33十31之
2.F,=6工了之+2•y因为
6.r）y+2手
0.所以上=一£/,r r.__21+（）z__F3v2+
3.rz2v64匕+2F-6,ryz+2,
46.【证明】令f工=Inx——+-cos2zdz,e Jo显然/⑺在［e.e3］上连续，且卜,-------------------P/e=Ine——十-cos2Hdze Jo=J\—cos21dz=2y/2〉0•J
03、丁/e3=Ine3——+x/1—cos2zdze Jo=3-e2+2/26-e
20.由零点定理得，在（e,e3）内至少存在一个已使得=
0.又“工）=_L—」■，在（e.e）内工）＜
0.eJC所以/（z）在（el）内单调减少.综上所述，方程Inz=---1—cos2/cb在区间（e,/）内仅有一个实根.e Jo=arctan1+arctan^【证明】令F\r=/z+/；Fw=—5—1一了十1十-2TT
747._^._L_+=
0、产+1十i+/,则可知FQ）=C,C为常数.当i=1时.F⑴=C=/⑴+/⑴=彳+孑=会故当才0时,F.r=/i+/_=/恒成立.
48.【精析】由于水池侧面单位造价为〃.所以池底单位造价为2〃.设总造价为了•则v=2itrh♦a+nr2•2a・又水池的体积为167T.即穴，h=16n.故有h=学.r因此y=2n广四•a+江尸•2a=
2.冗（+尸卜1由实际问题知厂〉•故只需求了在（0,+:）内的最小值.令《/=0,得唯一驻点厂=2,故当尸=2/=4时，总造价最低,最低造价为24na.
49.解:平面图形D如图所示11抛物线与X+2尸1=+2广1=；=厂V把D看作X型区域，s=q［（T）Lk=（%+#4叶磊%T2
（2）根据对称性，所求平面图形绕于轴旋一周所成旋转体的体积就是尸轴,有转-U平面图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积展2可3（1_/）_e_$）卜=24［夕+#春）心=2司，+，-1/丫=-.1464儿3=2Q十
1.【精析】
（1）山题可知•产量为Q时的总成本C=总收入R=PQ=（6—竽）Q=6Q—竽，一字+4Q-1故利润函数L=R—（=6Q—字一2Q—1=-一
（2）1/=—Q十
4.令=0♦可得Q=
4.又//=所=-10以当Q=1（百件）时.利涧最大.最大利润L（］）=7（万元）.【精析】1由题可知I.总成本函数CP=IQ+200=600—8P,总收益函数RP=P•Q=1OOP-2P2；2总利润函数为nP=RP-CCP=108P-2P2-600,/P=108-4P.令/P=得P=
27./27=-
40.故函数冗尸在P=27取得极大值，又驻点唯一，也为最大值，此时Q=46,即当产量为46时，该商品的总利润最大.
52.【精析】设扇形的半径为小则弧长为/—2w.其中0O V4-设扇形的面积为门则山题总得V=y/-
2.rkr=—二+］小・令«=一
2.1十J•得乙J J_I,一不唯一的驻点即为最大值点.故当扇形的半径为工时,扇形的面积最大.4A.cJ,+1C\c+c-r D.c2r—c
6..则其第一类间断点为a—1B.i=-1D.1=±1已知d[cr f_r[=cr d.zt•/0=已则/J=
7.下列方程在区间（o,i）内至少有一实根的为A.sinj-+j-+1=0B.x5—3x=1D・ln1++4文+3=
08.sin21—xD-fCo工一1叮才+2函数y=COS1是A.偶函教C.单调增函教D.有界函数设1=afcosf♦v=asinfa W
0.且为常数.则空=cLr ttonoA.0B.-C.4D.一二n Lit设函数/Q-D的定义域为[O,a]•其中a0,则/z的定义域是A.[l.a+1]B.[—1—1].[1一
49.-11D.[a—l.n+l一
12.,广义积分A.发散C.1D.
213.A.3B.9C,12D.16・函数V=Zlru在1=3的斜率为3,则£=.若曲线y=./+必z+Ar+1有拐点《一
1.0），则常数〃=B.-3Cl D.O
14.
15.设函数、=sinQy»则哀A,v1cos2TV C.y1sin,rv:IX y1sin,rv
216.设/Q-~）为连续函数.
4./,Wdy交换积分次序后为ii|dy/.vd
17.iiC.dy.,yctr设炉=/1旧〃
2.为正整D.dy/x♦y dx/J t数・则3,3=**IY-A.r+ln.r B.—aC.一1〃—!D.O・/LJKA
18.微分方程xdy+2（、y—lni）di=0的通解为y=B.12r-+cJD.a2In.r------Ir.r2C.In.z,----设丁=约=12—2,则曲线（只有垂直渐近线工=0广B.
19.）只有水平渐近线＞，=-2A.既有水平渐近线y=-2,又有垂直渐近线1=0C,,无水平，垂直渐近线D.1，2九3+
420.卜列级数中条件收敛的是arc sinaalitn%
21.…
二、填空题（题）10设二元函数之=sinj;y2,则全微分dz=
22.一e1d/极限lim3----------------
23.arctan.r1-»微分方程乎=3y的通解为」1,定积分t2工十3尸’
25.
24.山
26..7£0予若1=!1在一=0处连续♦则a=.rcos------F1r0由函数:v=sina•构成的复合函数为
27.已知极限lim『一厂一I1存在.则a=
28.…1一1将“彳）=工展开成（1一4）的品级数是
29.4设二元函数之=sinQ/）,则全微分ck=
三、判断题（10题）F极限匣（得亍+湍/…+32方程川广】=在A•区间A.否（
2.3）内有唯一实根.A.否B.是
33.在切线斜率为2/的积分曲线族中,通过点（
1.4）的曲线是y=2/+
2.A.否B.是数列｛（尸｝是收敛的.-1A.pq
0.7E由方程所确定的隐函数的导数为/=三y=
7.
35.y A.否B.是微分方程U十与=的通解为./+/=C.（）,■尸A.否B.是了=乂是方程、“+、=的通解.sin
036.A.否B.是设函数/（J）在点r=1处可导，且lim凶绰=4■，则/⑴=Y-A-i h乙4A.否B.是—.r2—I arctan/dflim-------幺--------=《.（）.n.6I sin/d/A.否B.是/（工）=（/r+1尸与乂（/）=1+1不是同一函数.__
37.A.否B.是
四、计算题（5题）求微分方程/一的通解.2=w求不定积分］也呼心J277求定积分1dw.
38./，1+合求幕级数＞＞（］一1）”的收敛区间与和函数.H-J设函数工=之丫）由方程M十丫+3八—+2z=1所确定.求（其中
6.rv^+）2W
0.
五、证明题（2题）证明方程InZ=--e
46.—cos2jrdz在区间（e,e3）内仅有一个实根.
047.已知函数/Q）=arctan・证明当1＞0时，恒有/（.r）+/
（7）
六、应用题（5题）
48.要建造一个容积为16n（单位mD的圆柱形蓄水池•已知侧面单位造价为〃（单位元）•池底单位造价为恻面单位造价的两倍，问应如何选择蓄水池的底半径，・和高/，.才能使总造价最低.（）设抛物线y=l-i与直线工+2_1=0所围成的平面图形为小1求平面图形的面积；（）2求该平面图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积.一工厂加工某种产品.固定成本1万元.每多生产一百件产品,成本增加2万元•总收人H（单位万元）是产量Q（单位百件）的函数•设需求函数为=12—2R
（1）求利润函数；
（2）产量为何值时.利润最大？最大利涧是多少？设某工厂生产某种商品的固定成本为200•每生产一个单位商品成本增加
1.且已知需求函数Q=100—2P（其中P为价格,Q为产量）.这种商品在市场上是畅销的.
（1）试分别列出该商品的总成本函数C（P）和总收益函数的表达式；
（2）求出使该商品的总利润最大的产量.在周长为定值,的所有扇形中当扇形的半径取何值时所得扇形的面积最大？♦参考答案
1.B［答案］B【精析】因为lim_/（.r）==0=/（I）.所以彳=1是函数的连续点;当？V17-*1+时•/（］）=1-才./（l）=-10；当了1时=1一
1./“（才）=
10./；
（1）=lim2----------/⑴=1,，
（1）=lim/）-------------=—
1.所以函数在e=1处不可导.X—1,-X—1M•u但左右两侧导数异号•故1是函数的极小值点.
2.C［答案］C【精析】因为O.AB=O,所以AX=O有非零解，故|A|=0且A不为零矩阵.A1A2即1/1=（人-1户=0•解得久=
1.11A若I5I#0,则B1存在,AB•=A=O.显然矛盾.故|5|=0,故选C.
3.B【精析】arctan.rd^-j-----arctairz r.rr^cLrCd-i+/dr=T+ln［答案］
4.A]m【精析】=—I-〃T!故i+/2y1+1以［答案］应选A.
5.B［答案1【精B析】把山d[e/Q[=ecLr两边积分得e*r/T=e1+C.即f x=/⑹=0代人得C=-l,/i=/一/,故应选B.
6.A［答案］A2_1【精析】函数f（Z）=1L=r在无=0J处没有定义.所以H=（），l为其间断点.X|（X—1）除此之外处处连续.而=lim-；~~—^―-=8•所以父=为/、（/）的第二类一八.…|jr|）（-1T间断点中的无穷间断点；lim/（.r）=lim~3-=lim（:-与=,7Ll IX I（才—1）L1I£I（X—1）外需=
2.所以/=1为/（，）的可去间断点,属于第一类间断点.
7.C［答案］C【精析】对于C选项.设/（］）=4才一2则八0）=-
1./⑴=
2.所以由零点定理知/I）=4/一2,在（0,1）内至少有•个零点，即4i=2,在区间（0,1）内至少有•实根.故选C
8.A。
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