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年内蒙古自治区呼和浩特市统招专升2021本高数自考模拟考试（含答案）学校:班级:姓名:考号:
一、单选题（题）20定积分「月警一d.r的值为（）u-I乙£十COSXA.0B.1C.-1D.2（）设Z=f—3x—『,则它在点1,0处【】取得极大值无极值取得极小值无法判定是否有极值A.B.C.D.
3.
1.si/1一『舟一1»才+2C.0D-f
4.卜.歹”等式中不正确的是C./Edu=/aD.d/J=/x—CB.d fxdx=/.rcLr
5.卜列级数中，绝对收敛的是A.夕sin-B,V-l”sin生CuC.V-lwsin4I.夕cos〃冗it=彳一dr_____【精析】+C,3^—13JC—故应选A
10.A【精析】£2,=，l+
2、r
2.
2、r=2/1+47」故选A.d；r Joll.C3【精析】因为辱•而£士收敛•所以£丁J是收敛的，故选〃”=】zr十1lim1=3C…”=in2［答案1C「【精析】y=2•ln2•cos.r=—ln2•2•siru.•LxJL乙
13.A/11*1•
2.i〃-1!故【精析】=（-1）=-+77^l+i.以T》=y［答案］A应选A.
14.C［答案1C【精析】平面7T的法向量〃=（
1.
2.一3八直线/的方向向量$=（
1.2,-3）=〃,两向量平行•从而平面兀_L直线/.
15.A［答案］Aw+c,11ttf1・2=（一1厂【精析】y=一•,=-r+^^=I+7应选A.
16.D【精析】因此上.一lnl+/=£_ii i
1.〃”=i
17.A［答案1A【精析】由题意可知设点M处的坐标为（与,则满足刈=髭+1,乂因过点M处的切线平行F直线丁=4工+1,则可知斜率相等，乂y工2八所以2x0»»4,3=4+1♦
①与
②联立得/解之得人=2tjr（j—
5.［2xc=4,所以点M的坐标为（2,5）.
18.A【精析】/（工——）—/（—）+/（口）一/（01TQ+—n n=limf（・Tu）—/（I——）=lim--------------------------------...-lim・•I“fg（力））==-2/
2.
19.D［答案1D【精析】区域D为孑y.OrL于是|］T[•,（）d8/r cos^w rs in rdr.3与3l
20.D［答案］D【精析】令/（用=乎,则，（工）=三里:，令=0•贝Ij x=e,且当上＞e时•/
（1）V
0.所以/（/）在（e,+8）上单调递减•所以〃（〃）=—在（3・+8）上单调递减.乂因为lim—=
0.所以工（-1）—满足莱布尼兹定理条件，收敛,”-3n士n则£（一1尸空收敛.故选D.tr=
121.［答案］y=Ce【精析】坐=3y=—dv=3d—dv=3dmin|丫|=
34、+v=3，所d.r v vv.以通解为了=cm.
22.［答案］当鱼且/网、3bd ck2a_d I_3〃山业31M_、_2a__3b、【精析】*d.r2dr4u2/*dr2I总2at2a2at=i\a2d
723.2JTI【精析】e1+llimjf—»ln/+1d/M+D【精析】lim上=lin=hm2=L1-cos.rn SUIT
24.1［答案1［答案］
25.【精析】大极大值点.由极值的第二判定定理可知满足/（入）=0,/（入）V0的点支0为/3）的
26.y;dd-jr+1v-3z-2-2【精析】由题可知所求直线的方向向量S平行于已知平面的法向量，即可取S=
3.-2,1,故所求直线方程为
27.【精析】两边取对数得ln/T=si■Ini，两边求导得J J，/=COSNIIKT+J xsinxdlrtr-hoc【精析】=—0—1=LIn/尸In Je
28.
129.L答案」卜orln.r+JC-2Y3用~-21【精析】3-w—22[1/女-丁-、X疗-10＜.n=
030.0十〃f0,所以lim12【精当f3时・z—3—►0,则必有JT JC2x-*3析】3a十方=0,利用罗必达法则，有lim*+也十°X—L3=lim2jr+a=6十a=6,所以3L30,这时b=—
9.
31.Y【精析】因为小siar在［一冗,九］上是奇函数•所以.r1sirti dr=
0.
32.Y【精析】/x＞的定义域是・r+120,即的定义域是R，则/x与g.r不是同一函数.【精析】f a是最小假./〃是最大值.•JL、【精析】e2Tz=eZr•
2.r=2e汽
34.N
35.Nj4-h一/
①o_/lim-【精析】To.h-
036.N【精依题意得9=/，==析】i=
2.
37.N0ln1+11=lim一—』一7-2-7=Hm—=—1【精析】lim ej1—e’x*0「o1一I—e o♦JC，2e,【精析】v=----=
0.2L0‘JC
739.Y
40.Y［答案］1•2-7,••••1___、然】【精析】♦Vfff V1+T3JJI/11!TT7-1TTTr-
41.rii2+e=ln-【精析】d2+e,=ln2+e*
42.二=0为一阶线性方程,其中Px=-L・Q1=、/【精微分方程3,——y—u析】则通解为》浦小山丘°y=e,j3“L+
43.162226〕1-1-1一411L-1-5-2034—0-3-3-3-1212n—4ig]661rl一541101T Y_0050000000000【精析】设该线性方程组对应的系数矩阵为则对应的增广矩阵为A,rB=rA=
24.所以方程组有无穷多6解.644-5力■一萨-铲一=1-25同解方程组为J其中之3，力为自由未知量,令=k—155550则通解为
0044.411•其中岛为任意常数.41-1011O一1【精析】A-21=0-200—1—1010r-1-101001-1-1O[GA-2DI]=0-1-do10・一A0—10-10-1001o i1—101—2-2ri-2-2—9-1-1VAX=2X+A,且|A-2/\=-
2..A-2i可逆.X=A-2IT}A.010-2001—10-20111一1-10100-2-111—1—10即（AH111■MM---WB222i_JL1T1i-rO0因此X=（A-21）fA=一小1—101L-111—1021【精析】sintfcosrd/=sinJ.rcos
2.rd sirusin
2.r1-sin2jd sin_r
45.4sin3—1-51sin，—sin1d sin/Jx——sin/十,1«
46.【证明】设F才=/a g2J-.因为八均在[a.一上连续在心.〃内可导♦♦所以FCr在上连续.在d内可导•且F.r=/7//+2/,r月又/〃=//；=0■则F=F/;=
0.u由罗尔中值定理知,在・〃内至少存在一点小使F=・即/§/»十2八0/尊晨3=，又因为g工r o’所以g»#0,两边同除以gs•可得八，M3+2/E=
0.【证明】令Fw=〃*•则由题意可知FQ在[0,1]上连续，在0,1内可导，且F0=F1=
0.故由罗尔定理可知至少存在•点
60.1,使得Fa=o.即[/1+xjf1]=0,・，一•・S=—C【精析】设X.为w m.则1V1V
4.由题可知圆柱和圆锥的底面半径相同•且R=，3」一Q—1尸=，9—.1匕则帐篷的体积为V=1-R-•Q—1+九尺[1=+♦=[9—a—I]7rVz=x♦-21-12+n•[[9—才—1尸]=TT—k+4♦J J■一令V=0得.r=2,且V，2=-故炉在/=2处取得极大值•由于实际问题最值存在，且ITTVO,驻点唯一.故V在彳=2处取最大值•即当顶点到底面中心的距离为2m时.帐篷的体积最大.【精析】1由题可知.总成本函数CP=IQ+200=600—8P,总收益函数RP=P•Q=1OOP-2P2；2总利润函数为九？=^P-CP=108P-2P2-
600./F=108—4P.令/尸=0得P=
27./27=-4•故函数九P在尸=27取得极大值，又驻点唯一，也为最大值，此时Q=46,即当产量为46时，该商品的总利润最大.【精析】画出图形，如图所示.y与w轴有3个交点，且才G1,2时，y V0,当父£―1,1时，y0,则有■2C2S=|y|d.r=|.r2—1—2|d.zJ-i J-i=[/—1w—2d、r—Q—1w—2cLrJ-i J]=,r2—
2.r2—x+2cLr—a3—2z—i+2cLz-3712,
51.D y2,04（2,由题知，积分区域为《工所以y，【精析】•一i•i
52._2I2D联立‘•可得二者围成的立体的投影区域为/故立【精析】\z=a2体体积为J—、/+y2]心=曲]a2—r2rdr=[=手.
6.民】CO设/.r是连续函数,则dj/才d、r=A./i d.r B.J idr C.f xD74sine1-1已知w0,函数/i=0若fx在
①=处连续•则a=xz+a■.r40,A.B.10C.2D.3r d一・*J12—4/+3r—B.In--5+C—3JCE=A.2Ml+靖C.fB.y1+
4.Z2下列级数收敛的是A.V2〃sin—仁o〃o D.，1+473oo cy—,J/+13//HB.S1+〃〃”=iD,ln1一1一ln—3+CJ设函数y=2”,则J=A.2,3|n2B.—2esinzC.-ln2•2cM♦sini D.-2nM Jsirkr
13.设y=ln1+w,则=A.―1尸n\//—I!C.-1尸I.-1尸1+父尸1+xT平面4加+25—3/=0与直线八卡工=与=三二的位置关系是1Z—3A.平行但不在平面内B,在平面内C.垂直D.相交但不垂直〃一1!n—1!A.-1B.-11+7”1+TW1+TU72—1!C.-I-D.一1尸1+l”T设,=ln1+,则*J
16.将/I=Inl+/展开为I的幕级数的是OOB.22-1r，-1—*—11〃——1OO g2„D.£一1尸・二，一1w
①w1c.SN=
117.若曲线卫=、1+1上点M处的切线与直线了=41+1平行.则点M的坐标为A.2,5B.-
2.5C.1,2D.-
1.
218.设函数/（工）在点N3口处可导,且/（工0）=1•则liin nf/.B.
219.7r所围成的区域.则『八3）加=D设D是山y=x•v=—i和v=v16r1dj/rcosi9*rsin^rdr B.AO/rcos^,rsi n9drC.d8/rcosj.rsindr D.10/r co姐♦rsinJ rdrTJ•
20.下列级数收敛的是88A.B.―1〃cos〃冗（）（）V-1«
2.«rr=]8Lc.2-iy+5“=】/0
二、填空题（题）109=3y的通解为微分方程
121.
22.ar0#函数y=，丫（？）由参数方程」所确定.其中r
0.则¥H3dr极限n lim/Id\=2x（）ln/—1dz lim---------------=241—cosj,
25.如果f（JT）=，/（々0），则/（之）在辽0处取得极0____值）），“过点（一1,3,2且垂直于平面—2++5=0的直线方程为设（）丁人.其中w则小]）=/.1=0,
27.M3=）”将函数展开成（工一2的辕级数为
29.一/已知lim+q=6,贝I]=a一3JC
一三、判断题（题）1031sin/cL=
0.否是
30.A.B./（Z）=（/r+1上与g（.r）=忆+1不是同一函数.不日
31.A.pqb B.7E（）如果/Q）在上单调增加，则/a是极小值是极大值.人33否是B.U=
34.否是A.B.函数v=x在K0处可导,则lim-
35.A.八‘°否是B.设/为f（JL）的原函数•则
36.x/z.rcLr o-=
7.lim否是A.B.ln1+.r2i
37.--------------=1否是T1-er,A.B.函数v=11121,则了=
0..否是A B.Jo.极限limxlnx=
0.否,是
39.LA.B
40.设），=ln（l.丁）,则了⑺=（—I）-*匚弋（1+.
7、）否是A.B.
四、计算题（题）5求定积分晨”eJ
41.求微分方程上乂=0的通解.
42.、、
①・z i+6/2+213+24=6力+、门+△+已知线性方程组，s=2•4a、12H-
3、丁3-l-—•!,JC2x）—3r+13+hi=
0.2问方程组是否有解？若有解•有唯一解？还是有无穷多解？如果有解,求出全部解.］1-10已知4=01—1,且满足AX=2X+A,求矩阵X.-101k J求不定积分sin2jrcos3jrch\
五、证明题（题）2证明［若f（i）.g（］）在上连续•在（〃/八内可导.n.f（a）=/（ft）=Oeg（x）wo.则至少存在一点3€（，八〃）・使/（6必
（3）+2/（»〃3）=U.设/G）在［0,1］上连续9在（
0.1）内可导，且/
（0）=1/
（1）=
0.证明在（0J）内至少存在一点，使得/（«、）=—也
2.C
六、应用题（题）
525.要求设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m的圆柱体.上部的形状是母线长为3m的圆锥（如图所示）.试问当帐篷的顶点到底面中心3的距离为多少时.帐篷的体积最大？设某工厂生产某种商品的固定成本为200•每生产一个单位商品成本增加
1.且已知需求函数Q=100—2P（其中P为价格,Q为产量）.这种商品在市场上是畅销的.
（1）试分别列出该商品的总成本函数C（P）和总收益函数的表达式；in
（2）求出使该商品的总利润最大的产量.第25题图求由v=/
50.—1）（1—2）与1轴围成图形的面积.计算二重积分ye”did、y,其中D是由y轴，直线y=1,.y=2及曲线刀=2所围成的平面区域.求由抛物面£=*与平面之=2所围成的立体的体积.参考答案［答案］A【精析】“
一、在［—1，1］上是偶函数.tan］在［—11］上是奇函数.所以COSN在［-1，1］上是奇函数，故该定积分的值为
0.乙H十COS.Z-，嚏/一晦所以Q,0不是驻点,函数不会存在极值=3=T,
2.B
3.AJ，故应选A.•11-4•尸=p1【精析】=lirn—一四1二十2-1-T+2［答案］A［答案1CI*【精析】/I d.r=/.r+C.
4.C「
5.C-l-sin,，广7【精析】选项C中必=一Asin〉则51=sin-79n「答案1CSID rF所以级数£与玄同敛散，而级数£收敛，所以7T,1J犷nrvr IM=1W=:hm-z-=nm—；J.L**Ia-.44£；〃・收敛，所以£-1飞小勺绝对收敛.X-H-1才A［答案］AW3JI*•2»3JT2__Xr*1*＞【精析】hni—sin—=hm—一=—.一
6.A5x5x5L［答案1B，【精析】根据不定积分的性质知d/.rd.r=id/・故应选B.
7.B
8.B【精析】lim/、r=lim-----------------=lim—~-=
1.lim/:r=/0=,因为J-O+I-o+4r-o+1/-»0-f工在、r=0处连续,所以a—1,故选B.。
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