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届安徽省凤阳中学高三下学期期初检测试题2025注意事项
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处〃
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案答案不能答在试题卷上
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效
4.考生必须保证答题卡的整洁考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的4DA.C.2B.--
131.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为
2.A.B.号6=240C.Q[O=19D.§20=381a.a..b
3.已知函数/(x)=2tan(s)30)的图象与直线y=2的相邻交点间的距离为,若定义max{«,/}=bab已知数列{4}的前〃项和为4=1,%=2且对于任意〃1,〃£]满足5,用+31=2(5〃+1),则()3乃JI则函数/zx=maxx,.fxcosx}在区间—内的图象是()J
4.已知点P不在直线人加上,贝!1“过点尸可以作无数个平面,使得直线“小都与这些平面平行”是“直线人相互相【解析】由£4+尸5=0得尸是弦AB的中点.进而得A6垂直于轴,得一Q+C,再结合,瓦关系求解即可a二【详解】因为必+必=0,所以F是弦A3的中点.且A3垂直于“轴.因为以A3为直径的圆经过双曲线的左顶点,所以*「2_jc—=a+c9即-------------=a+c贝!]一=〃,故e=—=
2.a a a故选C【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查,是考查基本知识,属于基础题.
二、填空题本题共4小题,每小题5分,共20分
13、-2【解析】计算得到%+人=伏一3,2左+2,2a-b=5,2,根据向量平行计算得到答案.【详解】由题意可得ka+b=k-3,2k+212a-b=5,2,因为攵a+b与24—力共线,所以有2伏一3—52左+2=,即8左=一16,解得上=—
2.故答案为-
2.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数,意在考查学生的计算能力.
14、V5【解析】根据双曲线方程,可得渐近线方程,结合题意可表示力=2,再由双曲线a,b,c关系表示°=后,最后结合双曲线离心率公式计算得答案.【详解】U22因为双曲线为A-2=14040,所以该双曲线的渐近线方程为y=±—X.a b~ab又因为其一条渐近线经过点1,2,即2=2,则b=2〃,=旧由此可得c=+『2a ne=2=A/5・a故答案为石.【点睛】本题考查由双曲线的渐近线构建方程表示系数关系进而求离心率,属于基础题.
15、-8【解析】先根据定积分求出〃的值,再用二项展开式公式即可求解.【详解】221[1因为J/d;二=—x24=4一X1404所以〃二4X+14的通项公式为T=CX L.y=CRr+l当r=2时,=Cxl4,y=°2=612当〃=3时,T=C1x3=4x34故——2x+l〃展开式中f的系数为4+—2x6=—8故答案为-8【点睛】此题考查定积分公式,二项展开式公式等知识点,属于简单题目.4A/103【解析】由题意可知A+C=»,B+D=7r在AA瓦和ABC中,利用余弦定理建立9方程求cos A,同理求cos8,求sin A,sin3,代入求值.【详解】由圆内接四边形的性质可得NC=180—乙4,/=180—NB.连接50,在八46中,W BD2=AB2+AD2-2AB-AD cosA.在ABCD中,BD2=BC2+CD2-2BC-CD cosC.所以AB+AD2-2AB-AD cosA=BC2+CD2+2BC-CD cosA,人AB2+AD2-BC2-CD262+52-32-423«一/----------------------------Y2=迦nl贝U cosA=------------------------------------=----------------------------=—,所以sinA=Jl—cos-A=77AB2+BC2-AD2-CD262+32-52-421连接AC,同理可得cos5=2AB-BC+AD CD26x3+5x4-192ABAD+BCCD26x5+3x47+2所以=、口耳二处.所以旦二一+苧二亚.V1919sin Asin B2M64103故答案为生叵3【点睛】本题考查余弦定理解三角形,同角三角函数基本关系,意在考查方程思想,计算能力,属于中档题型,本题的关键是熟悉圆内接四边形的性质,对角互补.
三、解答题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
217、1P=-;2见解析,有95%的把握判断了解新高考与年龄中青年、中老年有关联;3分布列见解析,EX=1【解析】1分别求出中青年、中老年对高考了解的频数,即可求出概率;2根据数据列出列联表,求出K的观测值,对照表格,即可得出结论;3年龄在[55,65的被调查者共5人,其中了解新高考的有2人,X可能取值为0,1,2,分别求出概率,列出随机变量分布列,根据期望公式即可求解.【详解】22111由题中数据可知,中青年对新高考了解的概率2=;^=工,3015Q7中老年对新高考了解的概率P=治=
1.22x2列联表如图所示了解新高考不了解新高考总计中青年22830老年81220总计302050火2_50x22x12-8x82«
5.
563.841,30x20x20x30所以有95%的把握判断了解新高考与年龄(中青年、中老年)有关联.
(3)年龄在[55,65)的被调查者共5人,其中了解新高考的有2人,1clc26c°cPX=l=-^=31010则抽取的3人中了解新高考的人数X可能取值为0,1,2,C2cl3PX=2=M^=3C;10X012133p105101o aAE(X)=0x—+lx-+2x—105105【点睛】本题考查概率、独立性检验及随机变量分布列和期望,考查计算求解能力,属于基础题.「13-
18、
(1)GpcosO+夕sin6-4=0;夕=2sin
(2)【解析】
(1)直接利用转换公式,把参数方程,直角坐标方程与极坐标方程进行转化;\OB\
(2)利用极坐标方程将匕后转化为三角函数求解即可.\OA\【详解】
(1)因为所以/的普通方程为瓜+y—4=0,又尢二夕COS〃,y=xsin,,2+y2=p2A9所以X的分布列为l的极坐标方程为J5夕cos+夕sin-4=0,C的方程即为犬+9一2y=0,对应极坐标方程为夕=2sin.42由己知设B/7,«,则P]=F——----------------------------------------,.=2sin a,2,3cosa+sina=—=42sin6ZA/3cos«+sin«=,「V5sin2a-cos2a+l所以,\0A\p4174Lx2sin2a-^]+\I6J57r27r兀TC八TC又一G a-—W2-----W—99\0B\1当2a—工=工,即=工时,666两取得最小值于
612663.c TC TCTCI\0B\3a当2a-------=—即畿=—时,两取得最大值“9623\0B\12所以,的取值范围为QI294【点睛】本题主要考查了直角坐标方程,参数方程与极坐标方程的互化,三角函数的值域求解等知识,考查了学生的运算求解能力.
19、1答案不唯一,具体见解析2证明见解析3证明见解析【解析】1求出g%的定义域,导函数,对参数、b分类讨论得到答案.2设函数力%=/%-3尤+1,求导说明函数的单调性,求出函数的最大值,即可得证.3由1可知x21+lnx,可得工+12炉e21+ln[x+l『esm1,即工+1『©金、221n工+1+5抽入+1又^2+2x+2esinxx+炉esin即可得证.【详解】⑴解:g%的定义域为0,+8,g[%=,当〃0,bvO时,短x0,则g力在0,+8上单调递增;b b八b\当〃0,Z0时,令gx0,得x—,令gx vO,得0x—aa上单调递减,在一,+8,则gx在,一\a上单调递增;当Q0,〃0时,gxvo,则gx在0,+8上单调递减;A Ab b上单调递增,在一,十8当QVO,Z0时,令gx0,得0x-,令gx0,得x〉一,则gx在0,—Cl\CL上单调递减;22证明设函数人%=/%-3=+1,则/1=-------------------+cosx-
3.JC12因为九20,所以-------------e0,2],cosxe[-1,1],X I1贝从而/ix在[0,y上单调递减,所以/zx=/x-3x+l/z0=0,即/x3x+l.3证明当〃=人=1时,gx=x-l-\nx.由1知,=^1=0,所以g尤=九一1一山」之0,即光21+lnx.当%—1时,x+l20,X+12esinx0,则x+12esinx l+ln[x+12esinx],即工+12向1221nx+l+sinx+l,又卜2+2元+2e®11”x+1『eSinx,所以+2x+2en、21nx+l+sinx+l,即〃%〈炉+2%+2户叫【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的单调性,利用导数证明不等式,属于难题.
20、1%=/2证明见解析【解析】1利用S〃与〃的关系即可求解.2利用裂项求和法即可求解.【详解】=2-3」22解析1当〃=1时,qc n+2r当几之2,na=2一一—-n-\tl又•••当〃=1时也成立,・・.〃〃2〃+i2b〃==22〃+12〃十|十12〃+12向+1J1+-〃+1A2Tn=2-------------------1------------------H---------------------:------2+122+122+123+12〃+12,+,+1222=22-----------;--一32向+13【点睛】本题主要考查了S〃与〃的关系、裂项求和法,属于基础题.
21、见解析【解析】把不等式的左边写成[1+a+l+〃+l+c+l+d]试题分析:形式,利用柯西不1+671+Z1+c1+d,等式即证./b12c2d2}证明丁[l+Q+l+Z+l+c+l+d]试题解析:----------------------------111l+〃1+Z1+c1+d,J+c-/+J+dVl+C2=a+b+c+d=1,又l+a+l+Z+l+c+l+d=5,⑴求得/力和gx,由1=1,r«=g,,得d—ln«+l—l=,令°%=d—ln/+l—1,令导数求得函数°1+6/1+Z71+c1+d5考点柯西不等式
22、112k31的单调性,利用0,°0=,即可求解.2解法一:令/%=/%—区+8他—〃0—go,利用导数求得从%的单调性,转化为M%铝/zln仅+1,令,x=x+Z:lnx+Z:—x+llnx+l—而次x0,利用导数得到《力的单调性,分类讨论,即可求解.解法二可利用导数,先证明不等式,ex-x-\0,x-llri¥,x-xlnx-l0,令/x=gx-方+/〃-,“0-g0利用导数,分类讨论得出函数的单调性与最值,即可求解.【详解】1由题意,得/%=—1,g尤=ln%+k,由k=1,/,=g,…
①,得/-In/+=0,因为=/°,所以9,⑺在T,”单调递增,又0=0,所以当一1%o时,^0o,单调递增;当x〉0时,0,夕单调递减;所以e,《eo=o,当且仅当r=o时等号成立.故方程
①有且仅有唯一解r=o,实数/的值为
1.2解法一令妆%=/%-灰+g力-〃0-go%0,贝!!”%=d-仅+1,所以当xln》+l时,/zfx0,/zx单调递增;当0vxlnb+l时,〃x0,Zzx单调递减;故力%之/zln仅+1=/in0+1+g e—/⑼—g⑼—Zln仅+1=Z+Z:lnZ+A:-/2+lln/+l-Z:lnZ:.令/x=x+Alnx+Z—x+llnx+l—AlnA:x0,则f x=lnx+Z:-lnx+l.⑴若,1时,fx0,《X在0,+8单调递增,所以《%《0=0,满足题意.ii若%=1时,1x=0,满足题意.iii若0攵1时,fx0,《光在0,+oo单调递减,所以《%《0=
0.不满足题意.综上述kNl.解法二先证明不等式,ex-x-l0x-llnx,x—xlnx—
10...*.令ox=e—x—19则当%20时,x=-INO,°x单调递增,当xVO时,Ox=e、-10,ex单调递减,所以Ox2o0=0,即e-X-120X£R.变形得,ex x+l9所以犬—1时,xlnx+l,所以当x0时,x-llnx.又由上式得,当x0时,--1In—,l-x-x\wc x-xlnx-
10.x x9因此不等式*均成立.令M%=g%-6+F⑷-/⑼-go%o,则〃=lnx+4一〃,⑴若〃〉ln左时,当%炭—左时,〃%0,1%单调递增;当Ovxve—女时,”x0,单调递减;故力%2/2/一女=ge°/_a._、+/⑷_/⑼-g0二k—la+Z—1—ZdnZ.ii若0aWln攵时,^x0,无⑴在0,+8单调递增,所以/zx/z=/〃—.fO=ea-a-l.因此,
①当0〈人1时,此时lnZ0,〃〉ln攵,hxk-la+k-l-klnkQ9k-l0,则需k-\-kink0,由(*)知,Z—4n左—10,(当且仅当攵=1时等号成立),所以攵=
1.
②当左1时,此时lnZ0,〃〉0,则当〃〉Ink时,h^x)^k-l^a+k-l-klnk(Z-l)InA+Z-l-0nZ:=—In左+左一10(由(*)知);当0alnZ时,h(^x)ea-a-l0(由(*)知).故对于任意〃0,/z(x)
0.综上述k\.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5.一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品,甲每件进价4元,乙每件进价7元,甲商品每卖出去1件可赚1元,乙商品每卖出去1件可赚
1.8元,该商贩若想获取最大收益,则购买甲、乙两种商品的件数应分别为A.甲7件,乙3件B.甲9件,乙2件C.甲4件,乙5件D.甲2件,乙6件
6.设一£(0,;w工,贝!]一=「“是一一二二二二二二二cT的()♦A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件x+y
27.设变量光,丁满足约束条件2%—3y«9,则目标函数z=2%+y的最大值是()xQVA.7B.5C.3D.
28.已知i是虚数单位,则(2+i)i=()1+2z—1+2z—1—2/1—2zA.B.C.D.
9.过抛物线G y2=4%的焦点后且斜率为道的直线交于点M(拉在“轴的上方),/为的准线,点N在Z上且MNLI,则M到直线NF的距离为()V52722G3GA.B.C.D.
10.已知命题/(3,则土是()VxeR,x20Xy
0.A.B.G R,3x x;0%
20.C.e R,D.X/x£R,
011.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()主视图左视图01俯视图5兀兀4乃3242〃A.4+—3B.——D.2+C.33Y22——V
12.过双曲线C:下-==1(4〉0力>0)的右焦点厂作双曲线的一条弦AB,且出+/8=0,若以为直径的圆a b-经过双曲线的左顶点,则双曲线的离心率为()A.V2B.73C.2
二、填空题本题共4小题,每小题5分,共20分
13.已知向量〃=(1,2),〃=(—3,2),若向量攵4+8与2a—匕共线,贝!U=22已知双曲线二—二=1(>0/〉0)的一条渐近线经过点(1,2),则该双曲线的离心率为er b
14.一I\,一
15.已知1:x3dx=n,则--------2x+1〃展开式Y的系数为
2216.如图,已知圆内接四边形A3C0,其中AB=6,BC=3,CD=4,AD=5则-------------------------------+----------=_____________9sin Asin BD
三、解答题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.(12分)新高考,取消文理科,实行“3+3”,成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况,随机调查50人(把年龄在[15,45)称为中青年,年龄在[45,75)称为中老年),并把调查结果制成下表:年龄(岁)[15,25[25,35[35,45[45,55[55,65[65,75频数515101055了解4126521
(1)分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率;了解新高考不了解新高考总计
(2)请根据上表完成下面2x2列联表,是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄(中青年、中老年)有关中青年中老年总计nad-bca+bc+da+cb+P^K2k
0.
0500.
0100.001附K2=k
3.
8416.
63510.8283若从年龄在[55,65的被调查者中随机选取3人进行调查,记选中的3人中了解新高考的人数为X,求X的分布列以及石X.x—{厂a为参数,圆c的方程为y=4-\j3tV+y—12=1,以坐标原点为极点,X轴正半轴为极轴建立极坐标系.1求/和的极坐标方程;715乃\0B\2过且倾斜角为的直线与/交于点A,与交于另一点若二工二工一,求焉的取值范围.612\0A\
19.12分已知函数/x=21nx+l+sinx+l,函数gx=a¥-l-/lnx£R,W
0.1讨论gx的单调性;2证明当工20时,fx3x+l.3证明:当xT时,f xx2+2x+2esin\
20.12分数列{q}满足q+2/+3/++几〃〃=
21.12分[选修45不等式选讲]a2b2c2d21已知力,c,d都是正实数,且a+b+c+d=l,求证/一+—+一+J…上.1+1+/71+c1+d
522.10分已知函数=一x,gx=x+Z:lnx+Z:—x.1若左=1,f\t=g\t求实数f的值.9若2a,bwR+,fa+gbfO+gO+ab求正实数攵的取值范围.9参考答案
一、选择题本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1、A【解析】由给定的三视图可知,该几何体表示一个底面为一个直角三角形,且两直角边分别为1和2,所以底面面积为S=1x1x2=12112高为/z=2的三棱锥,所以三棱锥的体积为V=;S/i=7xlx2=7,故选A.
3332、D【解析】利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式,然后求解数列的和,判断选项的正误即可.【详解】当及..2时,S+=2(
5.+1)nS—S=S—S_+2=a=a+
2.n+i n+i n nnt n+i n[1,n=l所以数列{4}从第2项起为等差数列,=枝,[2〃一2,几.2所以,〃4=6,%0=
18.=囚+(生+)(〃)=(〃_1)+1,S=16x15+1=241,4;_116520=20x19+1=
381.故选D.【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题.
3、A【解析】71由题知/x=2tans30,利用丁二同求出,再根据题给定义,化简求出可力的解析式,结合正弦函数和正切函数图象判断,即可得出答案.【详解】冗,根据题意,/X=2tans口0的图象与直线y=2的相邻交点间的距离为所以/x=2tans30的周期为,则=£=工=1,’712sin x.xe3所以hx=max{2tan x,2sin x]2tan eT71由正弦函数和正切函数图象可知A正确.故选A.【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象,以及正弦函数的图象,解题关键是对新定义的理解.
4、C【解析】根据直线和平面平行的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】点P不在直线/、机上,・・・若直线/、相互相平行,则过点P可以作无数个平面,使得直线/、根都与这些平面平行,即必要性成立,若过点月可以作无数个平面,使得直线/、机都与这些平面平行,则直线/、机互相平行成立,反证法证明如下若直线/、2互相不平行,则/,相异面或相交,则过点P只能作一个平面同时和两条直线平行,则与条件矛盾,即充分性成立则“过点Q可以作无数个平面,使得直线/、机都与这些平面平行”是直线/、相互相平行,,的充要条件,故选C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键.
5、D【解析】由题意列出约束条件和目标函数,数形结合即可解决.【详解】4x+7y50,设购买甲、乙两种商品的件数应分别x,y利润为z元,由题意z=%+
1.8y,x”N,【点睛】本题考查线性目标函数的线性规划问题,解决此类问题要注意判断x,y是否是整数,是否是非负数,并准确的画出可行域,本题是一道基础题.
6、A【解析】根据题意得到充分性,验证二=二二=得出不必要,得到答案.【详解】匚二60J uA+a,当气],口时,log.二=log-Zi,充分性;当一二二”二取二二二二二验证成立,故不必要.故选二【点睛】本题考查了充分不必要条件,意在考查学生的计算能力和推断能力.、7B【解析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】x+y-2=02x-3y-9=0将z=2x+y变形为y=-2x+z,平移直线y=—2x+z,由图可知当直y=-2x+z经过点(3,—1)时,直线在y轴上的截距最大,Z最大值为Z=2x3—1=5,故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”
(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);
(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);
(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.
8、B【解析】根据复数的乘法运算法则,直接计算,即可得出结果.【详解】(2+)=2i—1=—1+2葭故选B【点睛】本题主要考查复数的乘法,熟记运算法则即可,属于基础题型.
9、C【解析】联立方程解得M3,26,根据MN_U得|MN|=|MP|=4,得到△MNb是边长为4的等边三角形,计算距离得到答案.【详解】依题意得网1,0,则直线府的方程是y=Gx—
1.由卜16一1得》=或”=
3.=4x3由在X轴的上方得M3,26,由得|MN|=|MF|=3+1=4又NNMJF等于直线尸M的倾斜角,即NNA=60,因此AMMF是边长为4的等边三角形点M到直线NF的距离为4x走=262故选C【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系,意在考查学生的计算能力和转化能力.
10、B【解析】根据全称命题的否定为特称命题,得到结果.【详解】根据全称命题的否定为特称命题,可得」〃3x e/,看00本题正确选项B【点睛】本题考查含量词的命题的否定,属于基础题.
11、A【解析】观察可知,这个几何体由两部分构成,一个半圆柱体,底面圆的半径为1,高为2;一个半球体,半径为1,按公式计算可得体积【详解】设半圆柱体体积为匕,半球体体积为匕,由题得几何体体积为T7T7T72C14157rV=K+K=〃xl-x2x—+—x»xr x—=——故选A122323【点睛】本题通过三视图考察空间识图的能力,属于基础题
12、C【解析】。
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