2025届福建省三明市三地三校高三下学期5月联考试题

2025届福建省三明市三地三校高三下学期5月联考试题考生请注意

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上

3.考生必须保证答题卡的整洁考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回

一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.已知直四棱柱ABCD-4旦G2的所有棱长相等，ZABC=60°，则直线5G与平面4加4所成角的正切值等V6R MAnA.-------B.-----------------------------C・——D.---------

44552.集合A={x Y一％一2},B=,则A B=A.lx x\]B.lx则A B=C.{xx2}A.[-1,1B.-1,1]C.—11D.卜1』］

4.“8二2”是“函数〃x）=（2〃—3b—（°为常数）为幕函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件（）

5.已知复数z=L,则z=1+iA.1+i B.1-z C.y/2D.

26.元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若=32,b=12,则输出的〃=Q1根据几何概率的计算公式可得P=!=「167r Ln故选C.【点睛】本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型.解决本题的关键是要准确求出两区域的面积.

9、D【解析】根据底面为等边三角形，取5C中点，可证明平面从而即可证明三棱锥P—ABC为正三棱锥.取底面等边AABC的重心为可求得P到平面ABC的距离，画出几何关系，设球心为，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积.【详解】设为中点，AA5c是等边三角形，所以又因为Q4_LBC,且P4AM=A9所以平面RV0,则由三线合一性质可知PB=PA=PC,所以三棱锥P—ABC为正三棱锥，AB=4A/3,PA=PB=PC=2卮设底面等边MBC的重心为0,22_________I可得AOAM=4x6=4，PQf=ylPA2-AOf2=420—16=2,所以三棱锥P-ABC的外接球球心在面ABC下方，设为0,如下图所示:由球的性质可知，PO_L平面ABC,且ROJO在同一直线上，设球的半径为R,在MAAO中，AO2=A0f2+00f2解得R=5,所以三棱锥P-ABC的外接球表面积为S=44a=4〃x25=100〃，故选D.【点睛】本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高,属于中档题.

10、B【解析】求得％1+ax5的二项展开式的通项为C；x/.f-，令人=2时，可得/项的系数为90,即C；x a2=90，求得a，即可得出结果.【详解】若=3则X+奴5=%1+3x5二项展开式的通项为cX3仙针,令人+1=3,即左=2，则尤3项的系数为Cj x32=90，充分性成立;当xl+dx5的展开式中V项的系数为90,则有C；x/=90，从而a=±3，必要性不成立.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识，考查考生的分析问题的能力和计算能力，难度较易.

11、C【解析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程，再对照系数求解即可.【详解】4因为准线方程为y=1，所以抛物线方程为Y=一4乃所以3=T,即〃=-§.故选C【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.

12、A【解析】根据实数与满足的等量关系，代入后将方程变形,2°+4〃♦27=1叫+5-毛，构造函数/zx=lnx+5—x,并由导函数求得可可的最大值；由基本不等式可求得小2”+4・2』的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数的取值范围.【详解】函数“X）=x+a-2x g（X）=]nx-4a・2~x,9由题意得/（Xo）_g（Xo）=Xo+,2%_lnx（）+4a・2一%=5,即a・2%+42一°=liu+5—%,♦0（）令/z x=lnx+5-x,•\h9（x\=——1=-——9X X••（X）在（0,1）上单调递增，在（1,+⑹上单调递减，•••MM*=⑴=4，而Q.2%+4・2』2拈42』=4，当且仅当2”=4・2』，即当/=1时，等号成立，/.4a4,06Z

1.故选:A.【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.

二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分413-----5【解析】根据题意可得sino=2cosa,再由sin a+cos a=1,即可得到结论.【详解】由题意，得sino=2coscr,又sin y+cos a=1,解得cosa=±且,5非当cos a=时，贝！I sina=，55兀、此时cos2aH■—=-sin2a=-2xI2j垂当cosof=——-时，贝！I sina=一2^/55此时cos2a+—=-sin2=-2xi-综上，cos2a+—I2；54故答案为一不.J，【点睛】本题考查诱导公式和同角的三角函数的关系，考查计算能力，属于基础题.

14、24【解析】利用等差数列的通项公式以及等比中项的性质，化简求出公差与的的关系，然后转化求解冷的值.【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,则d0,由于

2、

6、《2依次成等比数列，则即（生+41）2=2（2+101），a_/+l°d_182_9i2d0,解得2=81,因此,a a8d4•229故答案为4【点睛】本题考查等差数列通项公式以及等比中项的应用，考查计算能力，属于基础题.

15、20【解析】｛｝设等差数列4的公差为d，由数列］4」\为等差数列，且%=2，根据等差中项的性质可得,2•-------=——+------「解方程求出公差d，代入等差数列｛〃｝的通项公式即可求解.213【详解】｛｝设等差数列4的公差为d,（2222由数列啜为等差数列知,2・二=幺+”,n213因为q=2,所以2,----------————+---------—,213解得d=2,所以数列｛%｝的通项公式为a=4+〃-ld=2+〃-lx2=2〃，n所以如=

20.故答案为20【点睛】本题考查等差数列的概念及其通项公式和等差中项;考查运算求解能力;等差中项的运用是求解本题的关键;属于基础题.

16、24【解析】先求出每地一名医生，3名护士的选派方法的种数，再减去甲乙两名护士到同一地的种数即可.【详解】解每地一名医生，3名护士的选派方法的种数有C；C；=40,若甲乙两名护士到同一地的种数有C；C C；=16,则甲乙两名护士不到同一地的种数有40-16=

24.故答案为

24.【点睛】本题考查利用间接法求排列组合问题，正难则反，是基础题.

三、解答题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17、⑴口,5]⑵-1,3【解析】1零点分段法分工2,2x4,三种情况讨论即可；2只需找到/x的最小值即可.【详解】一2%+6,x21由/%=2,2x

4.2x-6,x4若％W2时，/%=-2x+6W4,解得UW2；若2cx4时，/x=24,解得2%4；若为24时，/%=2%—64,解得4%W5;故不等式/x44的解集为[1,5].2由/%%—2—%—4|=2,有|相一1|2,得-1m3,故实数，的取值范围为-1,

3.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，考查学生的运算能力，是一道基础题.

18、11“=32证明见解析【解析】1根据公式4=S”一得到a=3小〃之2,计算得到答案.n

111、\111A2b=-----------------,根据裂项求和法计算得到=彳1+-——-——-,得到证明.flL\n7+272n+\n+2y【详解】1由已知得〃22时,2S〃一S〃_J=3%—3%_],故%=3%T〃

2.｛故数列qj为等比数列，且公比9=

3._1_1十221__〃+2,log«-log4+23w3T+£__+”2++〃=Jn〃+2,又当〃=1时，2%=3%-3,.・.4=

3..・.=3〃.212n+1n+2【点睛】本题考查了数列通项公式和证明数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.27—

19、1sin Bsin C=-⑵3+33・【解析】[2（）试题分析1由三角形面积公式建立等式=再利用正弦定理将边化成角，从而得出23sin A11（）（）sinBsinC的值；2由cos8cosC=1和sin8sinC=—计算出cos5+C=——,从而求出角A,根据题设632和余弦定理可以求出反和力+C的值，从而求出△/（的周长为3+屈.试题解析

（1）由题设得,Qcsin3=-^,即1五113=不乙.23sinA23sinAi si r\A由正弦定理得一sinCsin5=-——・23sirVl2故sinBsinC=・3

（2）由题设及

（1）得cos5cosC—sin5sinC=—L，即cos（B+C）=—L27r7i所以3+=』，故A=

2.33小斯工殂1J-A2日n心Q由题设得一bcsinA=--------，BP be=

8.23sinX由余弦定理得从+，—儿,=9,即（匕+c『—3力c=9,得+c=屈.故A5C的周长为3+屈.点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是全部转（化为角的关系，建立函数关系式，如丁=45m如+）+力，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.

20、

（1）列联表见解析，有把握；

（2）

①=1200,=—；

②％=40元时【解析】

（1）直接由题意列出列联表，通过计算长2,可判断精英店与采用促销活动是否有关.（）2

①代入表中数据，结合公式求出

②由

①中所得的线性回归方程，若售价为x,单价利润为X-15,日销售（11量为9=——/+1200,进而可求出日利润z=--X2+1200（x-15）,结合导数可求最值.3\3J【详解】解1由题意知，采用促销中精英店的数量为50x

0.12+

0.02x5=35,采用促销中非精英店的数量为50-35=15；没有采用促销中精英店的数量为50x

0.06+002x5=20,没有采用促销中非精英店的数量为50-20=30,列联表为采用促销没有采用促销合计精英店352055非精英店153045合计5050100中为21001050-3002因为胃=—--------------------L x

9.

096.63550x50x55x45・••有99%的把握认为“精英店与采用促销活动有关”.-721一一12

①由公式可得h=--=——,〃=y—bw=

395.5+—x

2413.5=

120021.63319所以回归方程为y=—§/+1200

②若售价为％,单件利润为1—15,日销售为=-；%2+1200,1\故日利润2=——x2+1200%—15,z*=—x+30%—40=0,解得工=

40.I31\当龙武0,40时，z=—X2+1200x—15单调递增；I

31、当x«40,+oo时，z=—X2+1200x—15单调递减.I3J故当售价％=40元时，日利润达到最大为丹四元.【点睛】本题考查了独立性检验，考查了线性回归方程的求法，考查了函数最值的求解.在求函数的最值时，常用的方法有函数图像法、结合函数单调性分析最值、基本不等式法、导数法.其中最常用的还是导数法.

21、1y2=x-i yw.2见解析.【解析】试题分析⑴设〃加,同根据题意得到“，化简得到轨迹方程;AOj,30,%，A8=2/+3…+J=2F+%+J«〉O,构造函数研究函数的单调性，得到函数的最1值.解析1因为抛物线的方程为y=4x,所以b的坐标为1,0,设M加,小，因为圆与元轴、直线/都相切，/平行于X轴,所以圆M的半径为卜，点P日2〃，则直线「方的方程为二=与二，即2〃x—1—丁1-1=0,/2n nv7所以£的方程为y2=x—1ywo.所以n,又所以2m一〃2-1=〃2+],⑵设“2+1,小A0j,30,%，由1知，点处的切线4的斜率存在，由对称性不妨设，0,1，—y1t由所以研t1a所以Vi=W一，%=2广+3,，a t

1.51所以A3=2+3t——+—=2t3+-t+—tQIt令〃…、|得，,则人=6产+|J二号二-5+V73I--、所以在区间o,单调递减，在~~24—57尸,+8单调递心-5；由广⑺0得〉J,由/⑺得0/何+万—5+19时,/取得极小值也是最小值，即AB取得最小值，此时s=/+i=点睛求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如NA・N5=0,可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解

22、1

（2）详见解析

（3）初中生平均参加公益劳动时间较长12【解析】即可运算此类题计算一定要仔细.

（1）由图表直接利用随机事件的概率公式求解;

（2）X的所有可能取值为0,1,2,

3.由古典概型概率公式求概率，则分布列可求;

（3）由图表直接判断结果.【详解】（）1100名学生中共有男生48名,其中共有20人参加公益劳动时间在［10,20）,设男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在［1，20）的事件为A,

（2）X的所有可能取值为0,1，2,

3.•,•尸”）=袅白尸（x=i）=等端;7r31唳=2）=苛=五；P（X=3）=寻=lx%乙乙C/12H,随机变量X的分布列为X012372171P44442222

（3）由图表可知，初中生平均参加公益劳动时间较长.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查超几何分布的分布列的计算，属于基础题.A.3B.4C.5D.

67.把函数/x=Asin2x—g Ao0的图象向右平移:个单位长度，得到函数gx的图象，若函数雇工一间m0是偶函数，则实数机的最小值是57r5〃A.——_7112B.—D.——

68.记集合4={«刈/+,216}和集合3={x,y|x+y4/20,｝yo表示的平面区域分别是5和2，若在区域内任取一点，则该点落在区域2的概率为1117T—2C.—B.一A.——D.--------2万4714万

9.已知三棱锥P—ABC中，AA5C是等边三角形，AB=4y/3,PA=PC=245,PA±BC,则三棱锥P—ABC的A.257r B.75i C.80%D.IOO TT外接球的表面积为

10.若a wR,贝1卜〃=3”是“xl+⑪丫的展开式中V项的系数为90”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件既不充分也不必要条件

11.34A.D.B.-C.------43抛物线/=3c9的准线方程是y=1,则实数

12.已知函数〃x=x+a・2,gx=ln九—44・2一%,若存在实数%,使/%—g%=5成立，则正数，的取值范围为A.0,1]B.0,4]C.[L+oo D.0,ln2]

二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分7T

13.若点Pcos%sinc在直线y=2%上，贝！J cos2+—的值等于.

14.已知公差大于零的等差数列｛〃｝中，出、〃

6、%依次成等比数列，则似的值是______________________.a,

15.已知数列｛为｝与，j均为等差数列N*，且4=2,则为,=.

16.春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北A、3两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有种选派方法.

三、解答题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.12分已知函数/%=|%-2|+|%-4|.1解关于％的不等式/%4；2若函数的图象恒在直线y=|m-1|的上方，求实数机的取值范围

18.12分已知数列｛%｝的各项均为正数，S”为其前〃项和，对于任意的〃wN*满足关系式2S”=3%-

3.｛｝1求数列4的通项公式；.13r7〃〃2设数列｛%｝的通项公式是么=]0，前〃项和为北，求证对于任意的正数%总有7；

219.12分△ABC的内角A、B、C的对边分别为以b、c,已知△ABC的面积为‘一3sin A⑴求sin BsinC;⑵若6cos BcosC=1,=3,求^ABC的周长.

20.12分新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，电子购物平台成为人们的热门选择.为提高市场销售业绩，某公司设计了一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后，对“采用促销”和“没有采用促销”的营销网点各选取了50个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们的年销售总额，并按年销售总额增长的百分点分成5组[-5,0,[0,5,[5,10,[10,15,[15,20],分别统计后制成如图所示的频率分布直方图，并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”.“采用促销”的销售网点“没有采用促销”的销售网点d舞率组即舞率组距006-----------------------

0.04------------------------------------

060.02[

0.008io~io~is_20c jfi

（1）请你根据题中信息填充下塔面长的百列分联表，并判断是否有的把握认为“精英店与采用促销活动有关”;采用促销没有采用促销合计精英店非精英店合计5050100

（2）某“精英店”为了创造更大的利润，通过分析上一年度的售价看（单位元）和日销量％（单位件）（，=1,2,…,10）的一组数据后决定选择y=，+2作为回归模型进行拟合.具体数据如下表，表中的叱.二七2士…加-可10一力2Z（叱-可（％-丁）/=1i=\/=1X y卬Z=

145.

8395.

52413.

54.

621.6-

2.3-

7.2

①根据上表数据计算力的值;

②已知该公司成本为10元/件，促销费用平均5元/件，根据所求出的回归模型，分析售价工定为多少时日利润z可以达到最大.附P（K2k]

0.

1000.

0500.

0100.001k

2.

7063.

8416.

63510.828附

②对应一组数据（%,%）,（4，%），（％，匕），…，（〃〃，匕）,其回归直线口=+的的斜率和截距的最小二乘法估计分（

21.12分）（江苏省徐州市高三第一次质量检测数学试题）在平面直角坐标系X0Y中，已知平行于x轴的动直线/交抛物线Cy2=4x于点0，点尸为C的焦点,圆心不在y轴上的圆〃与直线/,PF,1轴都相切，设的轨迹为曲线E.（）1求曲线石的方程；

（2）若直线4与曲线E相切于点（S/）,过且垂直于4的直线为，2,直线4，4分别与y轴相交于点A,B.当线段A3的长度最小时，求s的值.（

22.10分）为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位小时）的数据，绘制图表的一部分如表.时值\人数[0,5[5,10[10,15[15,20[20,25[25,30性男69101094别女51213868学初中81111107X段高中

（1）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在［10,20）的概率

（2）从参加公益劳动时间［25,30）的学生中抽取3人进行面谈，记X为抽到高中的人数，求X的分布列;（）3当x=5时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长.（直接写出结果）参考答案

一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1、D【解析】以A为坐标原点，A石所在直线为x轴，AD所在直线为轴，AA所在直线为z轴,A建立空间直角坐标系.求解平面ACG的法向量，利用线面角的向量公式即得解.【详解】如图所示的直四棱柱A5C—A4G2，ZABC=60°，取3C中点E,以A为坐标原点，A石所在直线为x轴，AO所在直线为轴，AA所在直线为z轴,建立空间直角坐标系.设=2,则A0,0,0,A0,0,2,0,Cg,1,0Cg,1,2,BCi=0,2,2,AC=6,1,0,M=°，°，

2.设平面ACG A的法向量为H=x,y,z,n-AC=\/3x+y=0,则—取x=l,n•AA=2z=0,12=1,-

3.得;O设直线BC与平面ACC.A所成角为e,X.直线B3与平面ACC.A所成角的正切值等于—故选D【点睛】本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.

2、C【解析】先化简集合A,B,结合并集计算方法，求解，即可.【详解】解得集合A={Mx—2x+10}={X\-1X2}B={X|X1}9所以Au3={x|x2},故选C.【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B,难度较小.【解析】用转化的思想求出B中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可.解由集合3=0k解得3={x|0vx1},【详解】贝!I AU5={x|—l领k0}U{^|0X1}={^|-1X1}=[-1,1故选A.【点睛】本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键.属于基础题.

4、A【解析】根据幕函数定义，求得的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.【详解】•・•当函数/%=2〃-3/—1/为幕函数时，2^2-3/7-1=1,解得6=2或_工2・・.“=2”是“函数/%=2〃-3-1£为嘉函数”的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题考查了充分必要条件的概念和判断，器函数定义的应用，属于基础题.

5、C【解析】根据复数模的性质即可求解.【详解】.一⑵|_2_5故选C【点睛】本题主要考查了复数模的性质，属于容易题.

6、B【解析】分析根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为二；根据流程图中的匕=2〃可知,22每次循环b的值应是一个等比数列，公比为2,根据每次循环得到的力的值的大小决定循环的次数即可.详解记执行第〃次循环时，的值记为有〃，贝!I有记执行第九次循环时，b的值记为有2，则有a=12x2〃./

3、〃.故令32-12x2%则有-4/«4,故选B.点睛本题为算法中的循环结构和数列通项的综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义，是否是求数列的前及和、前几项积等.

7、A【解析】先求出gx的解析式，再求出gx-根m0的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数相满足的等式，从而可求其最小值.【详解】兀jr\/x=Asin2x--G4w0的图象向右平移一个单位长度，I6J4所得图象对应的函数解析式为gx=Asin2x—g—£=Asin2x—2oTj故gx-m=Asin2x-2m-2兀71令2x-2m-------=k/r+—keZ解得x=m+keZ.9932122因为y=gx-加为偶函数，故直线x=0为其图象的对称轴,A1兀k71ir工L Q兀k7l1rrx令加H-----1---=0,keZ,故根=------------------,左£Z,12212257r因为m0,故人《—2,当左=一2时，m j=——.12故选:A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量％做加减，比如把y=/2x的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为y=/[2x-1]=/2%-2,另外，如果％=加为正弦型函数〃x=Asin3%+°图象的对称轴，则有/m=±A,本题属于中档题.

8、C【解析】区域的面积2概率公式P=计算即可得答案.区域外的面积据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求又落在区域2内的概率，只要求A、3所表示区域的面积，然后代入【详解】根据题意可得集合A={x,y|一+所表示的区域即为如图所表示:16}的圆及内部的平面区域，面积为16〃，集合j*,刈中-4,乂y表示的平面区域即为图中的RtAAOB,^=ix4x4=8,。