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2021年内蒙古自治区呼伦贝尔市统招专升本高数自考模拟考试（含答案）学校:班级:姓名:考号:
一、单选题（题）20设函数…则其第一类间断点为A.x=1B..r=-1C.4=0D.=±1父二等是函数，二」一的tan.rcA.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第一类间断点设8k=1+sin2/d/.则夕]=J•A.
2.rsin\r2B.2,rl+sin\rC.
2.r+sinJ J,2D.
2.r1+si nW下列函数在I-*0时与/为等价无穷小的是A.21B.2X-1C.ln14-2x D.心iar一—一一工已知lim J2—2%2=3,则/一义=A.3B.J C.-3D.一J［答案］c【精析】呵占=却1+吉］1+占=一=已故应选C.
9.C［答案］c1「♦【精析】/I=cJ z=cJ•j/CjOd.r=wc，d、r=2d—c,dr=—1cr+C.J J.
10.A［答案1A【精析】由F/d在X=JTo处有二阶导数，/“Zo=10且/QO=0,则H=XQ为yx的极小值点.
11.C【精析】/x的定义域为[1,2],则1域1+1ILT42,解之得l4一4e.
12.A[答案]A【精析】由于/]是cosa的一个原函数，故/]=sinx+G，dfx=sinw+C.
13.D平面图形的面积「=皂密f=《，故应选S=cosZwr D.J0do/
14.B【精析】直线L的方向向量s=3,—1,4,平面北的法向量为〃=6,—
2.8•显然$//〃.故直线与平面垂直.
15.C、一I1【精析】-yzW-由于MT==|A IA-.可得尸一2AB5|AB|•ABoA BAB=2AB—I I I I•尸T=|4AB厂II=r IAB174-,4||H|=I=一『
16.D【精析】由/x在m=处连续可知=/0♦lim/T=lim—sin1=J-*I.r-*u5X,1Sin亏1^,1lim—•--------=丁.于是有a=/O=lim/x=胃•故应选Df.T［答案］A/【精析】Hm=lim—-----------------=—
2./COSJC1,1—*i1»，=
717.A2【精析】lim—=Iim—n=
0.
18.D…5…
519.A［答案1A【精析】当时，所以i f01—cosa*〜J/〜tr,m=J,〃=
2.J—
20.Cc［答案］【精析】在（一1,1）上/）o,所以在区间［―1•门上/Q）单调增加.又在（一
1.1）上/（w）=2加-1）0,所以曲线/（小在［—1,1］上是凸的，故应选C3sin2Z•cosZ sin/,.Hui dy精则-----=—tanz,cosZ3cos t•—sinz-----ax
21.-1=G+e-y【精析】微分方程对应的特征方程为产+2r+1=（r+1）2=0,所以入2=—1（二重根），故方程通解为.y=（G+G.r）-\e【精析】4=T+=乙L〃/—fV-»QQ/〃
24.2ex［答案］2小【精析】因为/（瓜,）=21+1=2e~+l•所以/（T）=2e」+1/（幻=2e=…,/“）（/）=2d.所以尸和⑼
（1）=2e\dvE-dvd7d7_dz
25.1叶•・・十••・「十••【精析】-「山、=一/‘=八所以收敛,且收敛于crd.r
1.J P1J U
26.］1+7Vdyy*［答案］声
⑥-1±工【精析】两边同时对了求导,得1+丁用+L=
0.即、a+1dy+y1dJ-=0,d vv.7hr所以dr=—1+,dy y
27.1222r re，-1d ez—1d/_i\.2］o【精析］lim--------—=lim—......,-----=lim---------=limarctairr4«r l乙厂/LO LOXLO
28.4A［答案14A【精析】由于/ICOS1|在-8,+8连续，以贰为周期，且为偶函数，则根据周期函数在任一周期上的积分相等以及偶函数的积分性质可得•寅「工1=2f|COSJ-|di=22/I cosxI di=42/*|cosi|di=4A.J0J J0—y
29.49*»、5•力r【精析】由于］/1=lim1+j=lim1+=J所以/In2=e2ln=
4.
30.1丫【精析】由第二重要极限公式可得出.
3132.N［答案］X【精析】lini/,r=lim3c=3Jim f,r=lim arctanei+〃=—JO=3,c a,r-o T-J.r-l-,r-l由［I在JC=0处连续可得=lim/.r=f0,因此=3—e..r
33.Y【精析】Iim/jr=lim eu,—^=1—a.lim j\jc=lim acos2_r+/=a,由/r x--x ur—O4if的连续性,知】一a=，即〃=乙
34.N【精析】令J JC=jlru—1•fJC=IM+.r♦—=ln.r+1,令/.r
0.得/工•故函数fix在2,3上单调递增；2=21n2-l0,/3=31n3-l0•所以e方程在区间
2.3内无实根.
35.N曲山【精析】=cosf,所以=COS/L-=—1,当，=ff业［答案］x所以f=穴处的切线方程为了一1=—11—兀•即.r+1—1—7T=
0.
36.Y【精析】y=半=9打=土也一1+9打1+xy ckrxl+y ya\y/=1+!严
37.N【精析】V limcos2-不存在一••不可利用极限的四则运算法则计算.x-MX【精析】为连续函数，,V/x lim/J=/.r=a
038.Y八%^
39.N【精析】通解中含有任意常数，故.y=sin/不是方程的通解，但「=sirur满足/+了=•是该方程的解.
40.Y,所以「8rdK收敛，且收敛于=1L30e【精析】--dr-
41.原式=—Jarctan.rd.r2=【精arctan.r——J析】w w乙=1^arctan.-lf—.r2arctan.i-./1—arctan.r+4匕
42.方程两边同时对才求导,得，+）（小）一击+34siixr•—-1把/=Of v=e原式=lim【精/-♦0CO代人上式•得J析】sinz•1-cos/=limcos.rj-0整理可得•lim―--一0cos/=e-e~•j=
043.
44.【精把m=代人方程,得丫=0e析】【精析】由题意知UC4-/=1•■+2/jir=e+—2〃.所以,由题意知2uc.ac I2b=3ac I2〃=
0.由
①和
②解得以—.b=
3.c原式=+3ydr+v]dv+JT2一【精析】添加辅助线段A.它与L所围区域为Q,则
46.a2+3ycLr+v—Qdy【证明】ITry在—]㈤a连_续J，j2在+3j〃O-而可导，且2FCr Fa=O,FS=b-a fb=
0.djrdy+五石.1；L—第18题图所以F（JC）在［a,句内满足罗尔定理条件.故有卜（）=，O aV Vb,Z（）（工一）（）（）（）F J7=2a/z+N—a2/z,在［，］连续，在（，）可导，且（）（）所以aa SF a=O,F=0,F（外在［内满足罗尔定理条件，a£l故有（（）Fe=Oq£e a,岂）U a.
47.，【证明】令F（/）=一］+由F（i）=—1+2i=0得唯一驻点/=4■•且e4♦F（x）=2O・F/［｝=------------^+1=------------^-（晨\^/e I4e4所以尸信）为函数FJr）的最小值.故对任意1都有下加〉》尸廿）=十一｝
0.即x+J20,eR|J h-M.e
48.【精析】设每小时的燃料费为止比例系数为为（/（））•则y=kv\把，〃=I2・y=720代入，解得£=
5.设全程的燃料费为y，由题意可得（_200_10007•口=不丁所以/2000加u—8）—1000/1000/—16000vV=---------------------------------=--------------------------.（V—8）2（v—8）-令=0,解得77=16•因为驻点唯一，且实际问题最值存在•所以当v=16km/h时.全程燃料费最省$此时船的实际速度为（16—8）=8km/h.
49.=2在点门处的导八V【精析】1因为曲线V V数为〉=1，所以在点处曲线的法线方程为y_l=_卜一:卜即》=1-.z.于是，曲线V=2]与法线y=，一
①围成的平面图乙形如图所示.第22题图fi q1q11故所求面积为八=_、2一-2y2d、y=yv-一不’2所求旋转体的体积为V.i=nf4■•兀•3•3=华兀.J o
3450.【精析】画出图形，如图所示.y与w轴有3个交点，且才G1,2时，y,当父£―1,1时，y0,则有「2「2了r2-2|d.rI Id-11|x1—
1.r—2dw—ri2—1+2cLr4231+2]2+2i•-------1・——3712,
51.精析】企业的利润函数tLp=pQ—=p120—8p—C1OO4-5120—8/]=—8p2+160/—
700.L p=—16〃+160,令1/p=
0.得唯一驻点p=10,由于Ip=-16Vo，所以衣=10是函数乙〃的极大值.且是最大值.此时•最大利润为L=-8X102+160X10—700=
100.即当每件产品的定价为10元时,企业的获利最大•最大利润为元.
10052.【精析】当0〈时•/（,）＞.故所求旋转体体积为17TId#+p cLr=冗（“rfe式.1+ln2函数e=arcsin+3r+，/+vJ—1的定义域是（）•1A.｛（.r.y）|1十/V4｝B.｛（工,了）|1M十W4;C.（（八y）|1，/+J力D.｛（「.y）|1+.y2*
7.过点2,2・3且与平面3i+y=^+2垂直的直线方程是A.-,、i+2D.C-=
8.B.—A.e C.e2D.0e极限网』广的值是
9.设e，是/.r的一个原函数•则xf ad.r=+cA.xe B.（-r+2）erCC.（^-l）er+C D.（i+l）e,+C
2.已知函数/在1=八处有二阶导数，且f=O4/o=1，则下列结论正确J的是A.X=lo为/7的极小值点B.1=Jo为J/的极大值点C.1=入不是/Q的极值点D.入・_/网是曲线y=/.r的拐点设函数/（x）的定义域是[1,2],则函数/（1+lnx）的定义域为（）-1-]A.Ll,l-ln21B.—J C.[l,e]D.[OH]e设/%是COSJ的•个原函数,则|d/、r=A.sin.r IC
13.—sin.r IC C.—COSJ*・C D.ccs.r I・由曲线V=cos2ww0,之轴，3轴所围成的平面图形面积为A.y B.1C.7T D.y乙乙
6.r-2v+8^-7=0的位置关系是B.直线垂直于平面D.两者斜交直线三」与平面大3—14A.平行但不共面C.直线在平面上
1、t1设A,B都是〃阶方阵，|A|=-2,|B|=3，则——7r AB”=A22i4”o2n-l rc—=—D——A.L,33M0—sini H0$若函数/1=«*在ma,x=0=0处连续，则a=.A.0B.1C-1D.55极限lim=.，-0cos.r—1A.-2B.—3C.2D.1丁Jim—=n-cx0Q5A.3B.4Cl D.
019.当i f0时.1—cos.r与〃九r为等价无穷小•则A.，〃=}■〃=2B.m=1•〃=1乙乙C.〃1=
2.〃=2D.〃1=
2.〃=
120.若在区间［-
1.1］上有/
（2）=（2—1尸,则曲线/（X）在区间［-1J］上是A.单调减少且是四的B.单调减少且是凹的（二单调增加且是凸的D.单调增加且是凹的、填空题（题）10X=cos3/,确定，唬设函数力由参数方程y=y4[y=sin3/
21.微分方程的通解是+2v+v=
022.工+，「」极限lim乙〃
0.A8设函数才则=Xlmr=2I
1.
24.积分c rd.r=
25.“由方程确定的隐函数（）的微分1y+hry=11=u vcLr=
26.一e1d/极限li m;o
27.2ar ctan j
328.设/（/）在［0,1］上连续.|djr=A,贝lj/=/|COSJT|dr oCOST设函数2j-r/I=Jiml I—\才w则03/ln2=一
29.
30.已知函如（X）在x=0的某邻域内连续，且〃0）=0,/,
（0）=-2,则极限lim止工2sin x
三、判断题（题）10e..否是A B.35,0,若函数/（］）=在7=0处连续，则a arctane.rx
032._1是连续函数，则〃函数y.r=否A.B.“cos2H+/，/
033.否是A.B.34方程.m i=°在区间（2,3）内有唯一实根.A.否B.是
35.，.r=I.参数方程在，=近处的切线方程为.『+），-1=.（）\y=1+sin/方程”=告荒分离变量可化为（1+力di=（1+扑》否
36.A.否是A.B.是B.,lim^cos2-=linu•limcos-=
0.JC uT才~*01一•
037.否是A.B.勿若当Jr fio时，连续函数/（/）的极限存在为，则/（o）=Jo.否A.是B.是方程』+的通解.siar y=0否是A.B.广义积分「°收敛.e=dr否是
40.A.B.
四、计算题（题）5求不定积分,r•arctairrd/r.
42.tarur——sinj求极限lim-r~*O设函数）由方程））所确定求.y=yQ sinQ—In=19V/=o已知点是曲线了=〃的拐点，求常数〃的值.（1,1）3+4・2a，计算（汁+3y）dr+（y—i）dv.其中L是上半圆周v=，4上—从（X
0.0）到A（
4.0）.J L・•
五、证明题（题）2设/（灯在0㈤二阶可导，且/（W=0,又设Fix）=证明在（a,〃）内至少存在一点加使/（》=0・证明对任意L都有a—/e
六、应用题（题）5已知A」3两地相距200km•一只船从A地逆水（沿水流方向的反向）行驶到8地，水速为8km/h,船在静水中的速度为v km/h（8v40）.若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当〃=12km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省.船的实际速度为多少？
49.平面图形由抛物线、与该曲线在点处的法线围成.试求:V=2r J该平面图形的面积；1求由V=V
50.与轴围成图形的面积.—11—21该平面图形绕/轴旋转-周形成的旋转体体积.
251.假设某企业生产的一种产品的市场需求量Q件与其价格〃元的关系为Q0=120-8其总成本函数为CQ=100+5Q.问当力为多少时企业所获的利润最大.最大利润为多少？
52.1+*
25.已知函数7T=.求由v=/、#,I=
0.1=l.y=0所围成图形绕胃轴旋%/1+M转一周的旋转体的体积.参考答案
1.A［答案］A2_1r1L=【精析】函数八］=在无=OJ处没有定义.所以工=,1为其间断点.丁2―1除此之外处处连续.而=lim-；---------------------------—=8•所以父=为f的第二类T.一丁,r-*U IJT I—1间断点中的无穷间断点；lim/.r=lim~3-=lim:-与=.，7Ll I X I才—1L1I£IX—1lim土兽=
2.所以/=1为八］的可去间断点,属于第一类间断点.1】I工I
2.B［答案］B【精析】因为lim产=0,所以1=弓是函数，=的可去间断点,故选B.n taiu2tairr
3.D［答案］D【精析】/（a）=（1+sin，）df=（1十sin*）»（M）=
2.r（1十sin），故应J I■■选D.
4.D［答案1D……r2”「2J—11,2”ln2【精析】lim—=8,hm----------------5—=hm———=8,才-0X XZxi・ln（1+2x）2x i・xsinr「x
2.故选lim-----------；-----=lim—=oo Jim——；—=lim==1,1）.x xx xDLO DD
5.C［答案］C［精析］八二二八二二W）lim L”122（）
（二）
（二）二（二二］）=lim/—2—2z―/2+/2/2u-*OHmJC.r-U JC一一/（-+/（—一八一一a=-2lim［））,f”-Z.r2—2222ljmx一（）（）（）=-2/-2+/-2=—/-2=
3.故，（）-2=-
3.
6.C［答案］C【精析】在arcsin=廿中，应有斗炉《1•即〉+/W4;在T丁中，4I4应有/+VL函数的定义域是以上两者的公共部分•即《（”.了）门w».
7.A［答案］A【精析】平面的法向量〃=（3,1・一1）.直线与平面垂直，则直线的方向向量$=〃=（3,1,—1）,又直线过点（2,
2.3）,故直线方程为二^==二=二61-
18.C。
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