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年吉林省四平市统招专升本高数自考2021模拟考试（含答案）学校:班级:姓名:考号:
一、单选题题
20.下列级数中条件收敛的是10严》£-14A.w=1严£-1siJB.“T〃㈠尸W-〃62+1D.g若直线y=5x+m是曲线/=jr*+3H+2的一条切线.则常数1=TA.0B.1C.5D.6设L是以A-l.
0.8-3・2,C
3.0为顶点的三角形区域的边界•方向为ABCA.则3i—5d、r+-2ydy=J LA.-8B.O C.8D.
206.D［答案1D【精析】,空=口产，所以=2/ye-dz—ev2»cLr+dj.
7.C［答案］C【精析】因为函数/，在处无定义，且所以是函数r=0lim.rccsL=
3.r=/i..I JT的可去间断点，故选C.［答案］A.33sin-r5k，［精析］lim----------------=lim——＞，1+1—1―r、
8.A
29.A［答案］A1“1【精析】cos1—3J-d.r=——cos1—3id1—3J=——sin1—3,r+C.
10.C［答案1c【精析】原希级数可化为£「白产十上¥二中夕纽=12I=lim OO«5”」“一I LJ1•故收敛半径为4=工=3；X二M2一中仆=1而|3|=•收敛半径为七J pi3=3…|a,,|4故原解级数的收敛半径为•故应选=-=3,3C.【精析】显.然只有迎红=.其他三个都不存在，故应选lim2B.
11.B1【精析】
12.B
13.B［答案］B【精析】两边对.r求导得//・21=21，所以/f=1,从而/2O2O=1,故选B.
14.A【精析】方程可化为平也,所求通解为+4=dx XKy=e-J7^•eJ*d.r+=4•a2d.r+C=［卜，ln、r-X2•-dj-+C=a2ln.z-----1-.r2+C=ln,r-y+-j.
15.D【精析】因为/才是/、的原函数.所以/
①=故选+4412+4]=2W+4,/=2,I.
16.C［答案］C【精析】对于选项cj/e,e」d.r=|/edeD=Re十C.故应选C.
17.B［答案］B【精析】两边求导得i/「=1,则/［、=
1.故/\d/=I dr=1+C../.r J
18.A［答案］A【精析】原式=f1I ln.rdl Iln.r=9__普211=|■，故应选A.
19.A
20.D［答案］D【精析】因为A，=1A I-.V1=2Al所以I A*l=|24Tl=2”•J=21,所以J1|2A*B-1|=2ff|A•||/T】|=2”•21•「1=
一、-.
21.［答案］空,J9o【精析】7=2=§.co J
22.1/x+ve,*，d r+2cos2v+门dv因为/x=1•则/；=所以/f【精析】要=2z+ve”.婴=2cos2V【精析】
23.1/2+,rel•Jz一cy-［答du=翌d«r+尊d v=2»r+yectr+2cos2v+/e、dy.案］12【
5.精lim rInn-.—析】i-4［答案］eyijcy^ry2+1一f r/14-----7+irAlu\n-2【
4.精eTy•yx+y+产=e,v xy+J+1•析】5dlna「【精=—0—1=chc Irtr/Ina e析】J ejr\nT
26.
127.-1=e*+代入微分方程/+ay=e”，得e，++chi eJ=e•解得以=1+aud=
028.8【精析］因为ds=J/；尸+y；2出=ycos2/+sin/:，d/=df.Jf+y_J sin”+-1+nosP2=，2-2cosf=/4sin—=2|sin—r__________Q.t r2x.t t=
8.0所以［G+\ds=2sin—I d=2sin—dt=-4cos—
2.o22J LJ
029.1/2［答案］I【精析】因函数在一8・+8上连续•故函数在分段点1=0处一定连续•则lim/T=lim/r=/0；•-一_»•-a而lim/.r=lim.r+tcos
2.r=alim/,r=lim c—a=I—a J0=1—a・j-.z•
1.•・•“.z•1故a=1-4,=-y.
30.【精析】对等式两边关于，求导得才y-_y+•y心T则即半=J=IV+/+厂di234-r〜［答案］X【精析】«=/Q”）为达到降阶的目的,需令N p.s=p;al y=•JA•JLi
32.Y二【精析】当1f1时,工’——1-*0,工—21+1f
0.lim——~t1=lim—-=1X-11—11存在，可以使用洛必达法则•故正确.
33.N［答案］x2|n【精析】因为lim十+a〃=+a〃+2］=2,所以1=0,即a=-Lfi,ii n••••
34.N【精析】因为+=Iim［l+a〃+21=2,所以a+1=0,即〃=一LN*g71n-［答案］V【精析】lim--------=lim+
235.Y…？…丫【精析】由第二重要极限公式可得出.
36.
37.Y【精析】因为岬浩=8,吧浩=-所以曲线的垂直渐近线为/=±!./COST./_―s\n.rjrz—COST♦2i_—/sin/-2cos工【精~=P=P析】
38.N【精析】•**v=—2i・，，=./—2,当i W1—
5.—叵］时，3r0,单调递增;当o才6一,11时・yV•单调递减.【精析】由数列收敛的性质可得.
40.Y
41.【精析】显xf\.rdx Jifjraf=I jd/x=I—|/jrcLr=d—J00Io Jo.0然af Q表示矩形ABOC的面积，i/Tdi表示曲边梯形ABL的面积，所以原积分的面积即为两者之差.即是曲边三角形的面积.ACD
42.『ro fti【精析】原式=「—+1,J
2.J-il+e Jo1+o cii=ln1+eJ+[7=-i Jo1+Zx=ln2—ln1+e-1+Jarctan2iJ=ln2—ln1+J+3o.【精析】积分区域如图所示.27=-COST=1-COSI.o
44.
43.由被积函数知•该题必须先积.故有y「辿上心=「—dj civ=simdr第27题图［精析］原式=；s*+华能二华法十s.id］Z.siru,+COSE=—+二吗+3dz/J sin.r+cos.r11^1=x———-------------------------d sin.r+cos.r
22.sin/十COSJT
45.sirtr+cos.r|+C.【精析】由/）在（—一,十z）内连续.知/—1=lim./J=lim f.r l.r•-J/,•一}—a-b=1•］1-a-a=1,/I=lim f1=lim/O.b=
1.b=L【证明】设八］=Ini.易知/3在区间［〃“〃］L满足拉格朗日中值定理条件.即至少存在一点8e〃“〃.使得\nm—Inn_1■—,m-n g又因为0V〃V3V7,故!J V工,从而有m g〃1\nm-Inn
1..1—V------------------------------------------------=—一■m m—〃g n整理得或二ln-史二^m nn【证明】要证£—lnl+］,即证1+.rlnl+/—/0成立即可,1十1设/=1+^ln1+—其中
0.TJC则//=ln1+/+1—1=ln1-f-
0.10,J所以/在［
0.+8上为单调增加函数,fi/0=
0.JC即当才;0时•1+a ln1+M一才
0.故原不等式成立.【精析】设面积八=式，，厂=10cm,△尸=
0.05cm.「•△A gcLA=de二=2五「•2=2兀X10X
0.05=兀cm
2.因此加热后金属圆片面积增大了五cm,.
49.【精析】,则切线斜率,故切线方程为/r=./=2i k=
2.r=4—4=r-2即、4x—2,v=4r—
4./y=41—4•/才=-2•・/x=2•联立或！4|V=—r+4H V=—14[y=/2所以S=[—x2+4^一4x、一4[cLr=2―x2+4dz-=3-2«*
50.【精析】由两条曲线丁=及两条直线才cos.ro=sin1所围成的平面图形如图所示,依题意，旋=0=*b转体的体积为V=KCOS2-jusinhcLr0Y9A式.D卷用=彳兀.-it cos
2.rd.r——sin
2.rj Zo
451.解:平面图形如图所示D抛物线，=1一/与x+2y—l=0联立得交点加项，；.把看作型区域，且0D Xxe24平面图形的面积为1D91-16,根据对称性，所求平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积就是轴2y y右侧平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积，有yV=2^[^x1—x2-fy-XJ取=2万C yx+^-x2—j/\dx
52.【精析】平面图形如图所示，由“=‘得第一象限内的交点为Ml・3,所求面积为A=[1—JI所求体积为―3/d=”一＞一汐厂=泽r内..荻V=TT1—V M3vJ3J.v2+d信S=n4y-1「十”.旷7十L畀“1曲线土的渐近线V=11厂—3A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线D.既无水平也无垂直渐近线
5.3-31已知A=C3^=，且•则AX+I=3X=一11}1A B.01/11D.0—I设二=J，♦则其全微分Az=A.e*v2
①d/+dvJCC.y2xydy4-.rL d.rB.e，ivdi+jJdv terD,e*v21Vd.r+xz dv点才=0为函数/.r=J-COS—的.r跳跃间断点A.C.可去间断点B.无穷间断点连续点D.,3sin—J若极限lim二-----------------------=十才一L““11A.3B.2C.1D.0Jcos1-31di=B.-^-sinC1—3x+C*A.-gsin1—3a+CD.3sin1—3JC+C客级数、3+-lw的收敛半径是3M-A.6B.C.3D.
10.
11.皿B.limA.lirn e’C.lirncos D.I inixd-*十2—10下列极限存在的有
12..定积分B4A.0设/⑺在0,+8上连续，且/f出=•则八2020=无法定A.0B.1D.D
13.
14.CA.1n.z-—x2xdy y=微分方程+
2、y—lnidi=0的通解为C.In.z-------D.口；In.r--y.
15.A.C.D.2设八彳的一个原函数为八则//=M+
416.设/“）是连续函数,且J J（）a）di=F/+C.则下列等式成立的是A.//h=Fl+C7B./3z+2di=F3H+2C./e，e,d、r=Fer+C D./In2x cLz=Fln2x+C
17.若xf xd.r=-y,r2+C,则J乙B.#+CD.yln.r+C
18.D.ec
419.上+产.=1d2v设曲线（/为参数），一d则AA B-fD.3/4/
20.设A・B均为〃阶矩阵.I A|=
2.I B|=一3•则12Am|=wD.—
二、填空题（题）10已知函数则其周期y=2sin3«r+L T=
21.,则全微分d“=_____________.=1的一个特解为J=,则a=已知函数/a=/，则
22.x=sin/・lim————
23.”“C111一1J其中0f《27r.则曲线积分[y=-1+cos/,设u=+sin2v+•设u=e,，v.r+y.则学
24.J/M o.
25.・e.r lnj2为-
2.18上的连续函数■则=•J0cr已知微分方程y+”=
27.已知曲线L的参数方程为，/2+V2d5=A Je-a■设函数//=v.r1acos
2.r已知二=】n/y，则驱.V〜d.r
三、判断题（题）
1031.已知yz=/（八〉,令/=立・则y=P半.13—2/+1-3/—2--w-==
1..否
32.A.B.否是A.B.
33.若㈣中•叫.则=2a=1•否是A.B.=
1.
35.是否B.A.limJI-0否是A.B..lim/1H------\=e.〃/
36.否B.是A.曲线=三者的垂直渐近线为v1=±
1.犷-.否是
37.1A B./§才、,_cosz__sirur=■=一云，否是
38.A.B.函数=（一上在区间［］上单调减少.y2—5,1否是
39.°A.B.当且仅当limq=a lima%=limjr2Hl=%“♦8J»T8否是
40.A.B.
四、计算题（题）
541.
12.如图，曲线段的方程为y=/G），函数/（T）在区间［O,a］上有连续的导数,试求定积分表示的图形面积.
42.1白10,--11+4x2求定积分”、/Q z\设/x=J-ieJ z
0.+内
143.计算山山,其中区域由直线及围成.
27.2:D y=0,3，=z I=1J g«2T电”.求不定积分一—山.J siru+COSJ-19JC-1t设/（、r）=x2+r+〃♦—1V、r1,在（一z,+z）内连续，求a和〃.L.71
五、证明题（题）2证明不等式匹二^V In曳V斗二口，其中〃V加为正整数.证明不等式尸—一丁）,其中ln（l I
0.1,a
六、应用题（题）5半径10cm的金属圆片加热后，半径伸长了
0.05cm,问其面积增大了多少求/（支）=/在点（2,4）处的切线与y=—/+
4.r所围图形面积.求由两条曲线V=cos.r.y=sin.r及两条直线,「=0,.r=与所围成的平面图形绕0I轴旋转而成的旋转体体积.
51.设抛物线与直线=所围成的平面图形为以求平y=l-x+2y_i1面图形的面积；求该平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积.2y
52.求抛物线了=一/与直线、、•及、轴所围成的第一象限内平面图形的面4y=3y枳.并求该图形绕轴旋转一周得到的旋转体的体积.y参考答案
1.B
2.B[答案1B【精析】由题设可知,切线斜率为.解得工=代入曲线方程得即切=J=21+3=
51.1=6,点坐标为代入切线方程解得故选民
1.6,y=51+,m=
1.
3.A【精析】为顺时针方向，由格林公式，知L[31-ydi+x—2ydy=-j|[1-―l]didyL D=-2』did=-2X yX4X2D=—
8.
4.B[答案H B【精析】2,lim=
0.lim勺+,=
8.所以、是水平渐近线•]=土乃是垂直渐近线,仙线既有水平渐近线乂有垂直渐近线，y=0故应选B.
5.D【精析】由题可知一八则厂-AX=8A B—Q=〜13:1-
2.«1011111=/X,X=.01!0-10-1。
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