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年内蒙古自治区鄂尔多斯市统招专升2021本高数自考模拟考试（含答案）学校:班级:姓名:考号:
一、单选题（题）
20.通解为》=为任意常数）的微分方程为（）A.『+y=0B.\—v=0c.yy=1D.y—）/+1=0/=「d/;二/（F7）dy转化为极坐标下的二次积分•则/=（）一工J0J-V4r^rf7A.d6fO•尸d尸B.d・—T•0J0上*JL i*2r0f「•rdrC frdrD.fc dJ-f Jt JD0frdr Jo设『COW则严w=A.-B,C.一COST COSTsinxD.sirtr下列函数在给定区间满足罗尔定理条件的有A.y—工B1」]B.y=12=〜.[—1,1]十H1C.y=[-bl]D.y=likr2,[—1»1]1十i［答案1DT1【精析】令r=rcosd.y=rsin,其中1r
2.0〈427r•则二^~~7七=JJ-+V-s2nrdr=ln2—Ini d0=2n\n
2.
8.B［答案1B【精析】函数/（.『）在定义域内连续可导，且/（O）=/（—1）=/（-3）=
0.故由罗尔中值定理可得存在两点6（-1・）•£（一3•一1）使得/（）=O，/（G）=
0.又/
（1）=0是一元二次方程.因此/（I）=0有两个根.
9.D.［答案］D岸22r-1【精析】对于D,cd.r=c4=c--1J（1+.r）d,r=（x+—a2\=人应有.u1J u\LJue*djr（14-w）di•故D选项错误.《J IJ
010.B［答案1B【精析】微分方程的特征方程为产+厂+解得25=0,r=-l±2i,微分方程的通解为y=erGcQs2；c+Gsin2i,*/v*=—e Cicos
2.r+Cisin2x+e-J―2clsin2z+2c2cos
2.JFAy=1=2oZ=一G+2%=0,解得G=
2.C=U,r=b,i=«la故微分方程的特解为y=e2cos2/+sin2j.【精析】Hmll.A…
12.D［答案］A［答案1D【精析】因为…旧是有界的,所以山……心吟是有界函数•故应选D.［答案］A.1sin一【精析】当〃f8时，［im〃sin—=lim—3=1,又0一］，sin—0,故级数H£sin十和级数t十敛散性相同，显然£十发散，则t§山｝发散.］R］
14.C「答案1C
2.r—.1》仇［
0、y
2.【精析】联立,2x—1一可解得1取二者交集可得0,r2,仝尸W1，1-3*］
44.故选C.
15.Bftf2/Cd/•得I=尸d.r—21,贝IJT「2」1128HU1/、」83/=T.o必=5•V0=§,即=y.
16.C【精析】A项中若%=工,结论不成立;〃B项中若“=一11结论不成立;D项中若u=-1结论不成立；nn由绝对收敛的定义知项正确.
17.D［答案］D【精析】因「/-xdT Pft•-ldr=「ftdt=「/Crd*积J-a Ja J-o J-a分数值与积分变量用什么字母表示无关，所以选项D正确.
18.A【精析】fw=、，」「,=7^——十R•在点w=1处无定义•但Iim/Q、=-2,x—3x十/2w—2w—1r・l所以/I在］=1处为可去间断点，故选A.
19.A【精析】为顺时针方向，由格林公式，知L［］03JT-ydi+x-2ydy=-J1--l cLrdD=—2^|d/dy=-2X yX4X2D=-
8.
20.D［答案］D【精析】由定积分的比较性质可知,故应选ddx1+1da D.J iiJ07r1-
21.1,4【精析】积分区域D为圆域.故选择在极坐标下计算二重积分•且D可表示为｛（仇厂）I/0（W I）627T.Or《a｝，故［答案］/⑺3sin———=3lim sin—3…【精析】limrsin—=lim3♦-
3.
724.3【精析】Fz,r dr=Fx+C*N Fj-cLrJz=［Fi+C1=F.r=/、r.
25.［答案椭球面1【精析】《+三=空间直角坐标系卜表示的曲面是椭球血.4+1Z33「，「出Z2「，02*-［精析］lim--------—lim-----=lim=
1.1U丁…2x八十1,U，1十2」-arctancos/+C［答案］—arctancos.r+C［精析］产JcLr=-…-d=-arctan+C.i1十J1十cos/COST COSJCOSF31【精析】.所以||『|=•《=I A|=3A|A-1|=|33I1=3”3f1JTfsin/2dr sin/2d/.■Hy JoI-~C「sirt，［稍析J lim；/--------------3—=lim------------3------=hm-:、、，w lnI+，一.尸…
3.广
30.0【精析】lim八+九一八=lim八一八］,2=2/1,因为/Q在r-0K x-*0111+2|ixI=1处可导•且取得极小值，所以/I=0,因此lim=
0./L+2—-£1—o J
31.Y【精析】因为/sin-r在［一五,冗］上是奇函数.所以J1siirrcLr=
0.
32.N［答案］X【精析】lim-j-^------J-r=lim--------=1,lim--------------J-r=lim y--------=—
1.r—|，I1-1I,f1-1-
1.f|I7-1|』一厂1-X”一；；由于.因此极限不存在.lim#lim―广I r-1I一「I父一1【精析】边际利润=RQ-Ca=95一，当了=60时，1605,即【精析】Q=2才，/2=4,而=
0.
34.N晋仁=卢=lim lim【精析】«r+0J-T
35.Y【精析】eJJ f=eZ r•
2.rf=2eZj.
36.Nlim【精析】=
8.二’
37.Y-r
38.N再增加一单位的产量.利润增加5单位.【精析】通解中应含有与方程阶数相等的任意常数，故通解为了=G/+C
39.N［答案］X【精析】令欧=-1尸•则当〃为偶数时,lima”=1;当〃为奇数时，lima,,=-•・・一—1,故该数列发散.[答案]X【精析】「-1是收敛的.clz=lim/2\=2,
40.NLT…I」
41.【精析】/]7=1+3y2—2xy+Sx,
6.工./川=f.x,y=2x—2y-\-
8.f jc,y=6y—
22.f——
2.fr yjy yyfxv=2”-2v+8=O.T令.”.解得驻点为W=—6”，=一
2.]f19y=6y-=Oyt2JC
2.对于驻点一
6.—
2.A=f,—
6.-2=
2.B=f—
6.-2=yyC=f—6w—2=6,yy于是长一又因为AC=4-2X6=-
80.A=
20.所以函数在-处取得极小值/一6,-26,-2=-
24.【精析】由//在处连续•则r=0lim/.r=lim/.r=/O,Asin.r+cos/dzlim limAcos.r+2=%+1=
1.得〃=0・COST」一q
43.【精析】f e3/-1・建・3=3e3/•/e一1，$=//，所以空,3f0_a一ywT于年dt9LC T【精析】d.r7^dz
44.21——m.=1al.1HM
3345.
27.【精析】积分区域如图所示.由被积函数知•该题必须先积〃故有第27题图「「sirur」」f1siirr.」f1,」----d.rdv=----d.r dv=|sirudr3/fc*0JCv0J0DI=COSE=1-cosl.【证明】因fix=+y-x J+fLf*r-f-XJ而】［/］—/一”］是奇函数，J1/r+/一，］是偶函数.，L故I y［yx—y—x］dx=
0.所以「知*+/-JHd.=2f XJdx=f1+/-jr_d.r.J u或j/jdj=P f.rd^+［J-a J-«J Q而1fjrdxf—ldl=o—jrd;r•o故1/jrdx=J1/］—/—rJdz9COSX1「7「COSM1COS—J-------------------------------------d TrecoTCOST1+e，十1十/J，l.X1+Jo l-r1+e，•J Iacosxdjr=sinxJ fl0I
47.【证明】令=/J-—W.•••/⑺在［0,l］上连续.，Gw在［0,1］上连续.;对Vi€［
0.1］均有o/I
1.01,0/IKAG0=/0-0=/00,Gl=/1-140,•••由零点定理知，至少存在一点£610,口•使得G0=
0.即八“一日=0,，在［依门上至少有一点小使得/»=5【精析】
（1）投放方型产品的金额为W万元，则投放4型产品的金额为10—/万元.则总补贴为L（x）=In（1+7）.
①£［
1.9］；一「
（2）当〃？=春时，L=二+为］（1+//一+令=0,解得510（）5105x4-1X=3//
（3）=-J（）,故］•=3为极大值点，又驻点唯一•且为实际问题,则］=3也为最大值点，此时L=
1.26,因此当投放3型产品的金额为3万元时,消费者得到的总补贴最多•且最多总补贴为
1.26万元.
49.【精析】由于水池侧面单位造价为〃.所以池底单位造价为
24.设总造价为6则v=27tHi♦a+nr2•2a•又水池的体积为167T.即nrh=16冗.故有h=学.r因此y=2n广吧•a+支尸•2a=24n（+尸）•1由实际问题知厂〉•故只需求了在（0,十二）内的最小值.令《/=0,得唯一驻点厂=2,故当尸=2/=4时，总造价最低,最低造价为24«.
50.=
2..A x=41解得在第一.l/4v=【精析】所求图形的区域如图所示.联立「了I24x二14y=象限的交点为（
2.D,则面积4=1；（［_§|=（舌—2叫=等一21n
2.绕H轴旋转所得的旋转体的体积匕=｛［（了）—（句心=式儒7）一石兀_57【精析】令/=rcos=»=rsiiM积分区域可表示为表,厂）|04夕42式J4「42）》,则・2万广？原式=dO J.0J
152.【精析】设每套公寓租金为工,所得收入为察°贝（）（二—）=击（一/一）lj y=50_200+
720011400000.卫=（―），令）」=得
2.r+72000i=3600,又因为=一《V即是函数的最大值点.y0,1=3600故当租金定为每套元时•获得收入最大，最大收入为元.3600115600设/（x）在区间［a同上连续，则（％）小-J7（，助的值为A.OB.l C.2D.
36.=0为函数./（X）=J-COS~的A.跳跃间断点B.无穷间断点C.可去间断点D.连续点
7.------已知区域DJ44,则7!7IT=
8.r+yA.21n2B.nln2C.4-ln2D.2nln2B.2C.1[.0设fx=+11+
3.则/1=0的根的个数为
9.下列不等式中不成立的是JLrIn.r2d.r B.sirudr A.e2COS2N-0sin2
①2ln1•.rd.r i\1I.rd.rI.B.e2cos21+sin2iC.c-r cos
2.r+sin2aD.c-J cos
2.r—sin
2.r
10.
11.设函数z=f（r.y）有连续偏导数•则微分方程/+2J+5），=o满足初始条件,y=的特解为、y=lim一仆7）I./+3C.（.丁，y）+/.YD.f*,ZV—/.Y7,3r
12.A.奇函数B.偶函数C.周期函数D.有界函数函数/i=1+arcsin在其定义域内是当〃f8时]im〃sin—=1,则级数〉sin—一〃M〃A.发散B.收敛C.和为1D.敛散性不确定函数y=一七一arcsin红y」的定义域为A.[-3,4]B.-3,4C.[0,21D.0,
215.,设连续函数满足/I=X2—|,则/.rd.r=J TP8r4ClB-VJ oJ o
16.已知级数2〃”，则下列结论正确的是n=1coA.若limw„=0,则Z收敛L8〃=188B.若的部分和数列有界，则收敛刁w=1=1oo ooC.若Un收敛,则绝对收敛2|I“=1〃=1IX若2I人I发散•则也发散”=】n-I
17.设/Jr在［-a，］上连续，则定积分/—iLr=B.2/.rLrJu/dx D.
18..2_i函数/X=-彳―，J.--在点r=1处为A.可去间断点B.跳跃间断点C.第二类间断点D.不能确定
19.设L是以A-1・
0.8—3・
23.0为顶点的三角形区域的边界.方向为ABCA•则一A.8B.O C.8D.20，》、又一3i—d r+2ydv=
20.1Inidai ln.r2d.r B.sinjdu V{i ELTln1+dr V.rd.r i1+di uTD.c.卜列不等式不成立的是「一,,J1cLrdy=
21.其中闭区域为工，+/DD4MQ o.
二、填空题题10曲线，工——的拐点为3/+
622.若则［了=Fjr=/1♦FQ Lr极限lim.rsin-=八
23.8r方程+《+=1在空间直角坐标系下表示的二次曲面是235V“L+’极限,df limsin/1+cos
227.“I4设为”阶矩阵,且|则A4|=3,II AI AT|=
28.-J-sin/尸山极限如THE
29.3在点处可导•且取得极小值，则包士i=1lim
30.…
三、判断题题1031sin/cL=
0.「一’否是31A.B.极限lim J一的值是
1.:r-*l|.r-1否是A.B.
33..设某产品的边际成本与边标收入都是产量的函数，即3i CCr=5+!r,Ri=100一九则当』=时,再增加一单位的产量，利润增加单位.605否是A.B.设9=犬.因为.所以/2=4/2=4=
0.
34.否是A.B.已知极限为”=则=lim L否是
35.…A.B.U=2\e否是
36.A.B.应lim—=否是
37.…A.B.
38.方程yf—+3了=0的特征根为厂［=八a=3,则其通解为了=否是A.B.
39.数列｛—1”＞是收敛的.否是A.B.瑕积分di是发散的.否是A.B.
四、计算题（题）5求函数f（、r.y）=/+3y—2y+的极值.
41.
42.1—COSCLV J.V0,T设/⑺、=J6sin.r+cos/2d/=在处连续,试求常数」，.I i=0a,J-0=/⑺一7T,,Jv的值.设其中/可导,且/（）求宇JO WO,=/（」-1）・也
43.1求由曲线及所围成的平面图形的面积.y=a-.V=v7计算『”£山山,其中区域由直线/及围成.27D y=0-=I=1J JH
五、证明题（题）
246.设/（8在［一心］上连续（”0,为常数），证明“/（I）心=t/G）+/（—r）］r，并计Jr J琳cor j.—J-于1+e设函数/（T）在［
0.口上连续•并且乂寸于［
0.1］上的任意I所对应的函数值/㈠）均右o（）W1,证明在［0，口上至少有一点S，使得/（包=J J
六、应用题（题）5为倡导低碳生活•某节能产品生产厂家拟举行消费者购买产品获补贴的优惠活动.若厂家投放A、B两种型号产品的价值分别为万元时,则消费者购买产品获得相应的补贴分别为缶.加ln（l+力万元3〃0且为常数）.已知厂家把总价值为10万元的A、B两种型号的产品投放到市场.□A、B两种型号的投放金额都不低于1万元，参考数据ln4Q1,4）
（1）设投放8型产品的金额为4•万元,请写出这次活动中消费者得到的总补贴函数/，（）・并求其定义域.
（2）当〃？=工时•当投放型产品的金额为多少万元时•消费者得到的总补贴最多•并求5出最大值.要建造一个容积为16n（单位mD的圆柱形蓄水池.已知恻面单位造价为单位元）.池底单位造价为恻面单位造价的两倍，问应如何选择蓄水池的底半径，・和高/，.才能使总造价最低.求由曲线=2,4v=/及I=4所围成的图形的面积.并求此图形绕1轴旋转所得的旋转体的体积.计算二重积分/J+Jclrdy,其中D是环形域14二+，
44.
52.某公nJ有50套公寓耍出租.当月租金定为2000元时，公寓会全部租出去,当月租金每增加100元时，就会多出一套公寓租不出去，而租出去的公寓每套每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？参考答案【精析】y=Ce2=yr=C^=yf—y=0,应选B.l.B
2.A［答案1A【精析】直角坐标下的积分区域转化为极坐标系下ei rqjJ_______________伯r2可表示为｛I0r
2.-Lr_____y1dy=dZ fr•川二_/\/JT+J0J/
1./JJi所以/=♦【精析】所以c“尸cos1+1009n+==sirtr,故应选D.
3.D
4.A因为CO5U［答案］A【精析】B选项中y-l#yl;C选2项01中9，4y—1不存在且yl—1；D选项中函数在1=0处不连续；A选项中，函数在［—1,1］上连续，在一1,1内可导,y—l=yD，符合罗尔定理条件,故应选A.
5.A
6.C［答案1C【精析】因为函数/Q在/=0处无定义，且limcosL=0•所以父=0是函数fCr一0x的可去间断点.故选C
7.D。
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