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年吉林省松原市统招专升本高数自考2021模拟考试含答案学校:班级:姓名:考号:
一、单选题20题
9.设函数/⑺在区间一1,1内连续，若/€一1・时・//0；.r W0，D时,/10,则在区间一1,1内A./0是函教/.r的极小值B,/0是函数/.r的极大值C/0不是函数/Q的极值D./0不一定是函教j\x的极值设函数/、在点/=1处可导2一八1=
4.则/1=C.x D.不存在47n L微分方程》=ycosx的通解为dj\.y=eCsinB.y=C”C.y=insinj-+CD.y=Clnsinxi.1r如果函数八7的定义域是一
5.
3.则的定义域是-1-1B.1A.-
3.告B,[-3,0UO IOC.一8,—31U D.——【精析】因/⑺的定义域为T-
43.则在/由中，一9+
3.需分—
3.工两种情况讨论，故解之得/-3或l
10.7-
06.A1・Ini2=得,故应选A.【精析】1I ln.rdl I In.r［答案］
7.D原式【精析】显然A项等于0；B项中-2=0；C项中
0.
51.
52.
50.5=0；22=12,故选D.
0.
52.52—
58.A，［答案］【精析】0且0VV1,故sin£0项ljX%为交错级数，又sin a\jn\Jn dnn=i.a—sin——sin/_____Jimu=，根据莱布尼茨定理可知u是收敛的.又lim—=a,根据n nVn+1f8»=i-8上8COP-级数收敛条件知w4是发散的，又由比较判别法的极限形式可知级数2In=1N n=1是发散的，所以是条件收敛而不是绝对收敛，故选A.n=l
9.C［答案1【精//dz=2]/r.即/«山是21・/12的一个原函数.
10.D【精析】因丁=2屈1一・.士―1=警二产,故打=也巨产乩♦
11.C［答案］C【精析】函数在一点处极限存在与在该点处有无定义无关•如果函数在一点连续•则在该点处有定义，且定义值与极限值相同.许【精析】因为翌=产一小
12.B故应选B.
13.D【精析】/\cos
2.r=sin
2.r=1—COS
2.7,,则/才=1—X^f.T=1—.
71.7-=［答案1D［一.故应选II』—十c.又yxo）=o得r=o所以f（,r）=x♦♦
14.B［答案］B【精析】因为_i.inn eJ_-e
1.e e_//_t.inr,—1tan.r-，vlim--------；---=lim----------；------=lim------------；--T•2f尸.rai.scc.r—1i・tan\r八=lim—--------------=
0.=咱FT--n LXJ故当r f0时,＞是0k2—1的低阶无穷小.故应选艮
15.B3；_±【精析】lim--=lim-—r=1■故应选B.37+137+11+3一；［答案］
16.A【精析】lim fx=lime==lim〃+sin2i=b=/O•r-»p由/（
①）在处可导知/（）在才=处连续•所以1=0x00=
1.l+sin2i—J.=limCLrdzdvdz-••Mz2+z2dd/=+skd/127=na Vfi一/0p”一iJ_0==lim-----------lim./-♦U工—0所以.故选4=2A.
17.D［答案］D」.一【精析】由所给的函数定义域知.函数不具有奇偶性.且fr+T=arclan域r4/+2八丁.故函数不具有周期性,另一方面arctan-^=白故应选D.
2.十，Z
18.C［答案］C【精析】AB=O•则I AB I=0,即I AIIBI=0,得到I AI=0或I6|=0•故选C.
19.B［答案1B【精析】lim9gl=2m IimcoSw♦lim,一hni,—1，Mt
2.f一,7,口Cl aaT…u T
20.D［答案1D8【精析】2收敛•故A项绝对收敛:lim3中0•故B项发散；£I3J-,27+1—=［•级数2二收敛•故82一=收敛,所以8c项绝对收敛；［［发，2〃3+4OQ«=1晨8一11散由莱布尼茨判别法知收敛，故D项条件收敛.内«=1，2刀+4I户
21.y=a resin1［ln\rJ—1j［答案］y=arcsin3［Inx-1］【精析】u=arcsiiw=arcsinInZ=arcsinClnjr2-1析故y=1=arcsin「lnM—1精
22.［答案］o【精析】.r fa时•sin-—►0,|1—cos.r|
2.所以lim1—cos.rsin—=
0.【精析】对⑺山=V两边求导得2fd—1=e1—=1-2丁•即/2/—1=设，=21一1,则］=
11.代入得ft=1e f.c.1所以fCr==20一年.415巧F【精析】+3，cLrdy=|dd r•rdr=27r令片=rcosO^y=rsin^T则1厂W25092冗与故用3【精析】/]=3/+
2.则由拉格朗日中值定理得./l一/0=/el-
0.0£八即3—0=3^+2,所以5=《，则£=g.0o2e2【精析】函数了=/Q的微分为dv=e2xdr,HP f.r==⑵=2e./+2y+3之一8=0【精析】当2=0时・.r=0・y=1,之=
2./=ecosl,y=2cos/—sin/,J=3e5/•则y0=l,/0=2,J0=3,于是法平面方程为工+2y-D+3z-2=0,即才+2y+3之一8=
0.一2,一目【精析】函数丫=7rM=1------------_6--.由于-14sinjr41・2W sin.r+
34.51m+3sin.r+3于是J~《4■•故1-1_4-，RIJyG1-2,一；1・4sin.r+
322421.0［答案］
（10）【精析】定义域为（O,十8）.=2+=2-4=纪二.令/=o•得/、厂、厂才=
1.当0V/V1时,$V0;当/1时・丁
0.故拐点为（1・0）,
30.\/.r—1［答案］必=1【精析】令y=./Cr）=V+1,则
①=刀一1,故fix）的反函数为y=—1口6R
31.Y【精析】边际利润L（I）=RQ）-C（l）=95一口M，当才=60时，1
（60）=5,即再增加一单位的产量,利润增加5单位.
32.N［答案］x【精析】由题可知/=2-两边积分可得y=/十C.将点（1,4）带人可得4=1—C解得c=3,故所求积分曲线为y=.1-
3.
33.N［答案1X
34.N［答案］x2|n【精析】因为lim---------［-an=lim［14a〃+2］=2,所以+1=
0.即a=-L［答案］X【精析】r--1dz=lim/2=2,是收敛的.
35.N Ji…
36.N［答案］Xd v【精析】半=半==COSf,所以=CO5/L-=-1,当，=时=7T WV=1•dr cLr1ffdf所以t=穴处的切线方程为y—1=—l（i—穴）•即1十y—1—=
0.IT
37.N［答案］X【精析】依题意得八］）=21=
2.
38.N【精析】令H（卫）=J（x）—g（jr）Jl\x）=/（i）—g,Q）0▼只能得出/（I）—g（
①）单调递增.例如，在区间（0,1）内，/Q）=ng1）=,，则/Q）=1,/（川可知在（
0.1）上/（/）,但g（\r）.［答案］V【精析】siriT|《1,故/（sin）=
1.Y
40.N【精析】•••/（=）=yr,A/（X）=一！产，由拉格朗日中值公式得存在ww（1,4）,使/⑷一/⑴=1472辰【精析】分离变量得r1+鱼=
0.即1（—^一,）心+鱼=
0.—41丁4\x—4x Jy两边积分得《（In|1-4|—In|^|）+In Iy I=G♦4故原方程的通解为（x—4））」=Cr.T93-31O11r［精析］S=（\/x—
①2）di=（一石）=1—v=T-J o\o o/o o oo【精析】/（］）=y（r-l）2+l.f（.r）=2（L1）•=工1,2y（.r-D-Hl7（x-1）^I1令/（）•解得、z=0r=L当i1时JQ）0；当i1时./（才）VO,故函数的凹区间为z）•凸区间为（一/（.r（
1.I co.D；拐点为（
1.0）.【精析】方法一原式=f^l+co.rS drJsin\rd T+cot，d、=f-Vdsin.r+csc\i-1d.rJ sim.sitr vJ-4——COtJ--J-sin r、1-2sin-y----------------d.r方法二原式—2s+J2-yd.r-chCSC4^J=卜力fd=—cot-y—.r+C.w
45.【精析】该线性方程组所对应的增广矩阵为，一11-2B=A.b=1-1-2-2-3收十2rl-3-lr|与原方程组同解的最简方程组为自由未知数取任意常数人则该线性方程组的通解为1-3^+40r-3—5A+1k为任意常数.
46.【证明】设/I=Ins,则/1在f,1+，上可导，-且「1=
1.才由拉格朗日中值定理知•存在一点wef.i十q,使八:八一/⑺二f⑷,即ln14-O—In/—ln1+:=已，111又/则]+,—V WV1+I•y故当f0时.出ln1+77-
47.【证明】原不等式即为—oz+a-10•设/X=I—ax+a—1♦则1当/=1时•/1=1—a-|-a—1=0■即
①“一ax-p a—1=0成立；2当0V wV1时・/1=LTU1—a=a—^―；—10•故f z单调增加.可得fT V/1=0,即、r“-ar+a-10成立；3当工〉1时./r=心I—a=〃［三一
10.故/单调减少.JC可得/1=0g即、d—+a—10成立.CLV综上所述，当I
0.0V aV1时,不等式/一ar+a-10成立•即/-ar WI
48.【精析】设底面半径为广,圆柱高为人，则v=仃24+导+,5=3++2式吊，h=上71■厂，代入S得S=-|-7rr2+--»汽厂33r所以S=厂一,令s=0得唯一驻点厂=/!匕，且宁=B+W0,故为极3产y3r5K小值点，在此问题中也为最小值点，代入〃解得人=/!匕,即当该直圆柱的底面半径为V57rJ叱，高为入/叱时，其表面积最小.V VO7T
49.【精析】积分区域D如图所示.由被积函数及积分区域特点可知利用极坐标计算较为简便.示为04J•・CO3W1•所以1—cos3069在被坐标系下积分区域可表=《「「、dj—cos2^dsin^第题图31J oJ01811T=—^―sintf+—sin o6on_2百一百
50.【精析】D总利润函数为LQ=RQ—CQ=-
0.01Q2+5Q-100,当Q=200时.L2OO=500；因为总利润函数为2LQ=-
0.01Q-+5Q—
100.所以边际利润函数为广Q=-
0.02Q+
5.产量为千克时的边际利润为200L200=-4+5=
1.
51.
150052.【精析】设切点为、“八%，，=,则切线方程为右一
2.r—2V=21，代人曲线方程.得2』-15=-一+9•解出E=9・Jo=±
3.切线方程为Y=
4.1和丫=一8八所求面积为S=./—2,r+9+rch+|M—
2.r+9—4j d.r=F+61+9d.r+6+9d.r J2—JT♦J—3叼=*iL+i+I=9-27+27+9-27+27=
18.
6.1+\njc jd.r=33A RA.2B..2c4D.e
7.下列行列式不等于零的是123123B.222A.
1110.5L
52.5-
0.8-
0.8—
0.8153—11-1121D.4—
120.
542.512—
58.OO设/=―lTsin0则无穷级数X/■\Jn n=lA.条件收敛B.绝对收敛C,发散D敛散性与a的取值有关
9.A.J\x的一个原函数的全体原函数BJH设/.r是连续函数•则I/⑺df是C\•/V的一个原函数[.2x♦fx2的全体原函数
10.函数N=Eln1—1了的微分dy=21ri121ri1一「21ri1一4A.di—.r
①—1JI1——x1—.r若存在.则/z在点工处是A.一定有定义B.一定没有定义C.可以有定义，也可以没定义D.以上都不对叮=人+1・，已知.9则学y=可+〃+
3.dr，=i设/‘cos=sir.Fl./0=
0.则D.
1、i1A.cos.r十—cos.rJA.a=2J=1C.X+^JCZ JB.低阶无穷小当0时•/是1m-eJ的D.同阶无穷小，但非等价无穷小A.高阶无穷小C.等价无穷小C,可去间断点D.第二类间断点点7=0是函数》=I--的3+1A.连续点民跳跃间断点，处可导,则“、〃的值为j0,若/I=J在］=B.a=1・〃=2|b+sin
2.r•x
2017.A.奇函数B.周期函数C.偶函数D.有界函数函数仆arcian*在定义域内是
18.，如果〃阶方阵A rO・B#O,且满足条件AB=O.则必有A.|A+B|=0B.A+B=OC.I A|=0或I6|=0D.I Al+l B|=
019.已知当i f时，2/COJU、」与是等价无穷小,则a=A.1B.2C3D.4
二、填空题（10题）
20.由函数y=由〃=arcsinvT»=Inf=V—1构成的复合函数是♦下列级数中条件收敛的是8一11lim1—sin—=D.£COST w=
122.一B
2.r]设f/d/=we则/w=♦
23.设是1W/+炉4所围成的闭区域，则函数/.r=〃+2”在区间［0,1］上满足拉格朗日中值定理的g可取为26设函数y=//的微分为dy=bcb.则//=
27.函数\*=台的值域为Zo.空间曲线rx=|ecos〃d〃・y=2sin/+cost,z=1+e在」=0处的法平面方程是函数的拐点为y—2lnw+./—1zy.函数/=V+1的反函数是、y=
三、判断题10题
3.设某产品的边际成本与边际收入都是产量I的函数，即CCr=5+±r,R』=100一九则当』=60时,再增加一单位的产量，利润增加5单位.A.否B.是在切线斜率为2/的积分曲线族中,通过点
1.4的曲线是y=21十
2.A.否B.是Pf=arccosj+C.J7rA.否B.是若lim^~~•an\=
2.则a=L….In/A.否B.是产1瑕积分—d、r是发散的.Ji\/x—\A.否B.是，才=i.参数方程在，=近处的切线方程为.『+，-1=.\y=1+sin/A.否B.是设/为/I的原函数，则/，z.rcLr=
7.38若/⑺9项―人.否B.是A.否B.是
39.、L|.r|1,f设函数/1=J则/sinj=
1.
0.I工I〉LA.否B.是
40.7,设函数[1,4],由拉格朗日中值公式得存在（
1.4）•使坐二pH4—1=相（）A.否B.是
四、计算题（5题）求微分方程）rdx+（/—4N）dy=0的通解.求由曲线=/及=在所围成的平面图形的面积.33设函数/（X）=「—+求曲线了=/Q）的凹凸区间和拐点.V I计算不定积分L dr
41..1-COST2,—q+、不3-
2.|=11J J解线性方程组，一为十心十24十=
0.叩—・门-21《I2才|=—y,
42.
一五、证明题（2题）证明当/时•金+证明当彳0♦0a1时V—ar41—a.♦
六、应用题（5题）
48.设一物体其下端为直圆柱形，其上端为半球形，如图所示.如果此物体的体积为V.问这物体的尺寸各是多少时，才能使其表面积最小
49.
18.计算［T■匕,其中D是由I=6=了..产+y=r及J轴围成的在第一象限的封闭区域.
50.某加工厂生产某种产品的总成本函数和总收益函数分别为C（Q）=100+2Q十
0.02QF元）.R（Q）=7Q+
0.01Q（元），求
（1）产量为200千克时的总利润；
（2）边际利润函数及当日产量为200「克时的边际利润.X7500+
500.02/某工厂生产计算器，若日产量为台的成本函数为仕=工_，收入
800.03/，函数为/为=工-且产销平衡，试确定日生产多少台计算器时利涧最大？
52.求由曲线3,=M—2々+9与该曲线过原点的两条切线所围成图形的面积参考答案
1.A【精析】由极值第一判定定理.可知/0应为函数/Q的极小值,故应选A［答案1D【精析】f1=lim-2一2A力一/1J.lim/（1—2卜）—./
（1）s—2h
2.D故应选D.
3.D［答案］【精析】1•由于左右极限不相等.故lim LL二不存在，故应选I.乙
12.r—
4.B【精析】将微分方程分离变量得8,=cos.也.两边积分得In|J，I=-1，故微分方程通解为了=叫
5.C。
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