还剩3页未读，继续阅读
文本内容:
《拓扑学》参考答案
一、单项选择l.B,
2.D,
3.D,
4.D,
5.D,
6.B,
7.D,
8.C,
9.A,
10.D,ll.B,
12.B,
13.A,
14.D,
15.B,
16.D,
17.C,
18.A,
19.C,
20.C
21.B,
22.D,
23.B,
24.B,
25.A,
26.D,
27.C,
28.B,
29.D,
30.C,
31.A,
32.A,
33.B,
34.A,
35.D,
36.D,
37.C,
38.C,
39.C,
40.C
二、证明题
1.VBG P（Y）,B°^B）0f-l（B）,「.（广［（B））°口（尸⑶）又/为连续映射，为开集，因此/T（非）为开集，.・・（/T（/）y=/T（/）・・•小尸（丫）,尸@）［（尸
（3））设是中的任意开集，则
2.U YU0=U由于（）（）因此/（（尸（）））（/（尸（））），由/是满射知/（尸（）），广（）r t/eP x,U=u|S卫从而/-（/（（/-,o,由/是单射知r1（/（（r1（t/r））=（/_|（^））°，（/一上））“卫r\u）,1（3分）・・.（77（U）y=/（U）,・・・/T（U）是开集，・・・/连续
3.V8（y）,B匚艮/.f-\By cf-\B\•・•/连续,百是y中闭集f-（石）是中闭集r（B）=广（B）广®C
⑧（）〃）
4.设是y中任一闭集，则/T U£X”（广（））〈/（尸（U）），又（U））=U・••/（（U）卜U,.-.尸（U）cC（u））b（）・・・/是连续映射5,假设y0A,y0氏由y=得y=（Any）U（Bpiy）由于A,B是x中隔离子集，・・.4口匕3丫是y中隔离子集又Any.Y是不连通子集矛盾，从而必有或者或丫口YqA,5•假设乏旦由于连通/.三连通子集丫令则氏且为用勺隔离子集,6x eE,y x,y s.t.x,y eY,A=£DRB=ECIK x eAye A,B因此不连通，矛盾，从而或者羽丁£旦或者羽至£Y y.假设则是中即开，且闭子集，70A=0,A X又为非空真子集，因此不连通，A A矛盾，从而AW0假设则是一个即开,且闭集
8.A=0,A又是非空真子集，因此是一个不连通子集A A矛盾，故A W0o
9.设5,/eX,石w工2，由性知3开集U,s.t.eU,x~e U2o再由正则性知三开集匕£丫口声三S
7.X]因此有百£匕々£‘三且是开集VDD=0,W因此是空间X，且
10.1•/LB=R VB]=a],b]-E”B=a,b-E,%e B,PlB,22222则%£4]力]0〃2也一£]11石2=值双1，2，111^4也一£2£2，而与0石27£，故存在R的R-拓扑T以为基B11,/X/a.b^R,ab,a,b-k eB,「.U{a,b-K|a,b£R,a vb}£T,而U{a/-K|a，bGR=U{/I£R}-K二-左R因此K TR—E设是的任意一个开覆盖『}是的一个开覆盖，IL AY AcT J0A U{X由的紧致性知与以，…,『}是的开覆盖，x u,j NAu{x从而{5，・・・,U〃}-{『}qA是y的开覆盖，也是A的有限子覆盖，故Y是紧致子集且对
12.1UB=R,4=[%,4,B=[a,b\xe BjAB o2222必有x£[max{a.a},min{^,Z},x22因此，存在R的唯一拓扑7；以B为基因为26/,Z=U{[a+—,b171G Z},+n而{[〃+,O|〃£ZJ=B，因此〃，b n由已知
13.1a v0eT,/.0eT1X%T”b VABeT:若或A ET或B ET则ADB ET从而AD^ET*若且与,则*AeT BT An3=X*£Tc设T][T*若乂*至T1,则U—GT，从而U—GT*，若X*WT1,则UTI=X*从而UT1CT*,因此*是乂的一个拓扑T2Vxw X,则oo£{x};且X*,.•.{%}ET*,，{幻不是闭集，・・.X*,T不是7；空间
14.⑴a V0EPX,/.0eT；又乂=0有限，,X*wT*bVABeT*，若或者A EPX,或者B e PK,则Ap|5£PK,从而AET*;若且贝必是中有限子集,A ePK,5ePK,B・・.AnB=4U3为中有限子集，.・・4^3£丁*c设T]cT，若oo[JT],则UT1EPX,「.JreT*;若8£1/1]则三0eT s.t.seU0x从而为中的有限集U X・・.UT]=nvyu，.・.urj为中有限集，・・.5\/*综上述知，T是x的一个拓扑VeT[由*的定义知中的闭集为中的有限集和任一含有8的集合2T lX*,T PX对于任意及闭集至X£X Rxb则必为中有限集，因此为*中的元素，亦为*中元素，故a x=8,F PXX*-F TF T尸二，尸，尸三尸3X—£/£7X—x£X—bXEX,则{x}为开集，再取U={x}=X*—{幻则亦为开集，故前x},{x}kT,使得%G{%},F cX*-{%},{%}n X*故是正则空间-{X}=0,X*,T又=%,瓦一
15.1,VxGR,Wxex-l,x+leB,/.x eLB,7=UB X/B]E,B=6Z,Z-E,X eBJ Pl2222x emax{4,a},vcm{b^b}-{E UEc B,Cl B,22x22・・・存在R的唯一拓扑T以B为基2Vx^R-Q,3X-1,X+1GB s/.x£x-l,x+1-Q1R-Q,故R-QwT
16.1a0GPX,.\0GT\又X*=0有限，.・.X*£T*b设AB ET*,若或A wPx,或BEP x,必有A BEP x,・,.AET若且则是中有限集,AmP X,BGP X,X*-A,X*-3X・・・4c3=AU3=X*—AUX*—3为有限集，.,・405£丁”设若8至，则,从而若cT]CT,IJT]UE IJTj eTSEUT卜则三/从而X*—U0为有限集，从而IJT/=S°=X*-U为有限集，UwT*/.ijr^T由a,b,c知X；T”是拓扑空间设是的任意开覆盖，则存在2A X*U0£A,s.t.co eU.从而由知乂*—为有限集令={小乙}，由是开覆盖知t/eT X*—A2…,A X*oVi£{l,・・・，2},mUj£A,S.t.Xi eUi[u|i G{i,…M}U{U}是A的有限子覆盖，・・.X,T是紧致空间
17.・・・A F=0,・•.Vx eA则%e£由正则性知、，匕，且3t/,V eT,s.t.x GU Fc U,QV=0v由于A是紧张子集，{U/xcA}是硼开覆盖・・・王久，...,1}7{UX£A}“UNw…=A令仆%u=U%,…,uj v=i=\则AqU,FcV,uny=0,且U,V ET则,.由性知
18.Vy£A,y W%,.5BU.V eT,U QV=0s,y.xeU ye Vy y yyyv又{匕是的开覆盖，为紧改子集1£A}A A・・.3{V,・・・J1{匕|y£A},U{V,,・・・MJ oAyi远程教盲学B完取=力,,，丫=0匕,，则U,V ET,Up|V=0AcV,xsU i=l i=\。
个人认证
优秀文档
获得点赞 0
