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《拓扑学》作业
一、单项选择
1.关于笛卡儿积，下面等式成立的是A A-BxC-D=AxC-BxD BAxC nBxD=AnBxcnDC AUBxCUQ=AxCU5xD当且仅当A==O
2.设/x fy是映射，A,氏cP x,C,DGP y,则下面结论不成立的是A尸CUO=尸©U尸Q B/-1cnr=/-1c nr1DC/AUB=/AU/BD“4D3=/A rW
3.在字典序拓扑空间Z+xZ+中，子集{2}xZ+是A开集，非闭集B闭集，非开集C即开，且闭集D即非开集，也非闭集
4.设d:R-fR为映射，R表示实数集合，Vx^eR,下面关于d的定义中是R的度量的是22oA dx,y=x-y~B dx,y=x-y Cdx,y=|x|+lyl Dd x,y=1[0x=y
5.设X,T是平庸拓扑空间，a力wX,awb,则交错序列反力…在拓扑空间X,T中的收敛点集合是:A0B{a}C{a.b}D X
6.设乂={,},丫={1,2,3},1={0,乂,{“},{,圻},7={0,匕{1,2},{2,3},{2}},A={b},B={1},则在积空间X Xy中AxB等于A{}B{瓦l,C,l}C{如,上2}D{瓦l,3,2,c,l,c,2}
7.设X={a,c,d},T={0,M{a,b,c},{b,c,d},{Hc}},y={a,c,d},A={〃4},则在子空间丫中A的内部等于A0B{a}C{c}D{a.c}
8.拓扑空间的LindelGff性，可分性，紧致性，完全正则性中是有限可积性质的有Al个B2个C3个D4个
9.下列拓扑空间的蕴涵关系中，成立的有完全正则空间n正则空间，完全正则空间n正规空间，连通空间n局部连通空间，度量空间二可分空间，度量空间-LindelGff空间（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
10.拓扑空间的可分性，紧致性，LindelGff性，连通性中在连续射下保持不变的性质有:（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
11.设RqXxX是一个等价关系，则R不满足的条件是A AX[R BRAR1=0C RQRJRD R=R~
12.设/x fy是映射，{A°〃=P x,{i〃£「}[P y则下面等式中不成立的是A/UAQ=u/4B zn AJ=naej aQaeJ awJC尸IM二U尸⑸.D尸ne n广8,「/*eF reFre
13.在字典序拓扑空间Z+xZ+中，子集{1}XZ+是A开集，非闭集B闭集，非开集C即开，且闭集D即非开集，亦非闭集
14.设乂=伍,c},T={0,x,{〃},{〃,}},则在拓扑空间X,T中常值序列a,〃,・••的收敛点集合是A{a}B{a.c}C[a,b}D X
15.设乂=伍力,c},y={1,2,3},T={{0,x,{a},{c}},工={0,丫,{1,2},{2},{2,3}},A={〃,b},B={l,2},则在积空间XxY中，Ax3°等于:A0B{凡1,a,2}C{b,l,s,2}D{a,l,a,2,S,l,S,2}
16.设X=,T={0,X,{b,c,d},{a,c,d},{c,d}},Y={a,c,d},A={c},则在子空间Y中，A的闭包等于A{c}B{c.a}C{c.b}D{a.d.c}BT「工C T=T D3PXAX/d
17.设（X,T）是拓扑空间，（X,T）是可度量空间是指存在X的度量（X fR使得由诱导的拓扑T”满足:
18.拓扑空间的可分性，LindelGff性，正规性、完全正则性中是遗传性质的有（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个满足第二可数理空间n可分空间正度量空间-LindelGff空间规空间n完全正则空间正规空间=度量空间n满足第一可数公理空间完正则空间全正则空间一正则空间（C）3个（D）4个（A）1个（B）2个
19.下列拓扑空间的蕴涵关系中成立的有
20.设（X,T）是拓扑空间，则对X中任意两个不相交闭集存在连续映射了:X使得/（A）c{0},〃为={1}当且仅当（X,T）是:（A）正则空间（B）完全正则空间（C）正规空间（D）4空间
21.设X是全集，ABeP（X）,则当且仅当A AfC\B=0B AC\Bf=0C A\JB=AD AC\B=B
22.设y是映射,ABePCv,则下面结论不成立的是A r1u=rl Aur1B B广AC|8=尸A n尸3AD
23.在字典序拓扑空间{1,2}xZ+中,子集{2}xZ+是A开集，非闭集B闭集，非开集C即开，且闭集D即非开集，亦非闭集
24.定义度量d:R2xR2R,VX=M，X2，丫=必，乃£非，则度量空间R2,d中的单位球是BAD
25.设X,T是离散拓扑空间，a,beX,awb,则在X,T中交错序列见力…的收敛点集合是A0B{a}C{a.b}D X
26.设乂={〃,/,c,d},T={0,X,{〃,b,c},{b,c,d},{b,c}},Y=[a,b,c],A={b}则在子空间丫中A的闭9包等于A{b}B{a,b}C{b,c}D{a.b.c}
27.设X={〃力,c},y={1,2,3},工={0,X,{“,},{圻,g,c}},7；={0,y,{l},{l,2}},A=b,c},B={1,3}则在积空间X Xy中A X8等于A0B{41,S,2}o{S,D,c,l}D{S,1,S,2,G1,C,2}
28.拓扑空间的连通性、紧致性、可分性、完全正则性，LindelGff性，满足第二可数公理性中是可遗传性质的有A1个B2个C3个D4个
29.下列拓扑空间之间的蕴涵关系中成立的有满足第二可数合理空间n可分空间,度量空间=满足第一可数公理空间完全正则空间n正则空间，紧致空间OLindelGff空间A1个B2个C3个D4个
30.设X,T是拓扑空间，则对X中任意两个不相交闭集A3存在连续映射［0,1］使得/A o{0},/8{1}当且仅当*1是A正则空间B完全正则空间C正规空间D7；空间
31.设/［XxR/是映射，则了满足的条件是A/t y=x；如果,为,,乃£则乃=为B=X；如果%”,82，»W/，则％1=%2C fX=Y；如果％,%,%,乃W/,则％=乃D/X=Y；如果1],丁,12，丁£/，则用=
1232.设RCXXRABWP KXCDePX,则下面等式成立的是A R-IAU3=RTAURT8B RTAnB=KA nRT5CH门=氏加尺D RC-D=RC-RD
33.在字典序拓扑空间{1,2}xZ+中，子集{2}xZ+是A开集，非闭集B闭集，非开集C即开，且闭集D即非开集，亦非闭集
34.设X,d是度量空间，「是X的由d诱导的拓扑，UET”，则下列关于的结论不正确的是A存在X,£0使得U=3x,eB Vx£「几£Z+使得B尤,‘nC\/工£月£〉0使得3无£之D存在%乂,£0}使得=UB°
35.设X={〃,4c},T={{0,X,{a},伍力}},则在拓扑空间X,T中常值序列区区,…的收敛点集合是A{a}B{a.c}C{a.b}D X
36.设乂={〃,b,c},T={0,X,{a,,c},{瓦cd},{6,}}，Y={a,c,d},A=[a,c}则在子空间丫中A的内部9是A0B[a]C{c}D{a.c}
37.设乂={〃,c},y={l,2,3}，X={0,X,{a}」a,}},七={0,匕{1,2},{2},{2,3}},A={b},B={\}则在积空间9XxY中，AxB等于A{0,1}B{b,l,Gl}C{瓦1,九2}D{@,lQ2,c,l,c,2}
38.拓扑空间的可分性,LindelGff性,紧致性，正规性，连通性中是有限可积的性质有:A1个B2个C3个D4个
39.下列拓扑空间之间的蕴涵关系中成立的有正规空间n正则空间完全正则空间n正则空间局部连通空间二连通空间满足第二可数公理空间=可分空间度量空间n满足第一可数公理空间度量空间n可分空间（A）l个（B）2个（C）3个（D）4个
40.设（X,T）是拓扑空间，则对X中任意闭集A及xW A,存在连续映射/xf[0,1]使得/（%）=0,/（A）c{1}当且仅当（X,T）是（A）（空间（B）正规空间（C）完全正则空间（D）7；空间二.证明题
1.设x,y是两个拓扑空间，fy是映射，证明若/是连续映射，则VB£P（Y）,.
2.设y是一一映射，而且\MEP（X）,/（A°）卫（/（A））°,证明了是一个连续映射.
3.设（XJ）,（丫工）是两个拓扑空间，/x fy是映射，证明若/是连续性映射，则（广⑷）广®4,设x,y是拓扑空间，/x fy是映射，且满足x/A£P（x）,了（了）e7两，证明了是连续映射
5.设（X,T）是拓扑空间，Y是x的连通子集，A,B是x的隔离子集，y=氏证明或者或者y
136.设（X,T）是拓扑空间，x,ycX,是连通的，E「X是即开且闭集，证明或者,或者3£
7.设（X,T）是连通拓扑空间，AeP（X）-{0,X},证明S（A）w
08.设（X,T）是一个连通空间，A是一个非空真子集，证明（A）w09•证明正则的T空间是右空间
10.设R表示实数集合，K={-\neZJ nB={（6Z,Z）-E|6/,/eR,a h.E K}证明
（1）存在R的唯一拓扑T以B为拓扑基.
（2）证明R-KwT.
11.设（X,T）是一个紧致空间，y是x中的一个闭子集，证明y是x的一个紧致子集
12.设R表示实数集合，B={[〃,/）\a.beR,ab}o证明
（1）存在R的唯一拓扑1以B为拓扑基
（2）在拓扑空间（R,Q中证明\/a,beR,a b,a.b eT.AZ
13.设（X,T）是一个拓扑空间，s至X,X*=XU{s},T*=TU{X*}证明
（1）（X*,T*）是一个拓扑空间
（2）（X*,T*）不是7；空间
14.设X是集合，oo eX,X*=X U{8},T*=PX U{U“X*|是X中的有限子集}证明
（1）（X*,T*）是拓扑空间
（2）（X*,T）是一个正则空间
15.设R表示实数集合，表示有理数集，令B={3,山一E|E q,二v b,b£R}证明
（1）存在R的唯一拓扑T以B为拓扑基（）2R-QET.
16.设X是一个集合,8至X,X*=XU{8},T*=P（X）U{UCX*|8GU,X*—U是有限集}
（1）证明（X*,T*）是一个拓扑空间
（2）证明（X*,T*）是一个紧致空间
17.设（X,T）是正则空间，A是X紧致子集，尸是X中闭集，方P|A=0证明存在,V$T,UCIV=0使
18.设（X,T）是一个右空间，A是（X,T）中的一个紧致子集，x eA,证明存在U,VcT,UClV=0使得x eU.A^VQ。
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