《初等数论基本概念》课件

初等数论基本概念初等数论是数学中研究整数性质和规律的基础分支，对后续数学学习、计算理论和密码学发展都具有重要价值通过深入了解数论基本概念，我们能够揭示整数世界中蕴含的丰富规律与美妙结构，建立解决实际问题的数学思维方法目录整除性掌握整除的基本概念、性质与带余除法素数与合数理解素数定义、性质及判别方法算术基本定理学习唯一分解定理及其应用最大公约数与最小公倍数掌握计算方法及应用场景同余理论理解同余关系及一次同余方程求解应用实践什么是初等数论定义研究对象重要性初等数论是数学的一个基础分支，专注主要研究对象包括整数的整除性、素数于研究整数及其性质、规律和应用与分布、最大公约数、同余关系等基本性高等数论不同，初等数论主要使用基础质，以及由此衍生出的各种定理和算的代数和逻辑方法，不依赖于复杂的高法等数学工具数的分类自然数整数计数的基本单位，包括等正整1,2,

3...包括负数、零和正整数的集合数素数与合数奇偶数素数仅有和自身为因数，合数有其他1奇数不能被整除，偶数能被整除22因数整除及定义整除的定义整除的符号实例说明若存在整数，使得，则称整除若整除，记作，因为÷（整数）c b=ac a a b a|b12|484812=4，记作b a|b若不整除，记作∤a b a b整除意味着两数相除没有余数，是整数理论中最基本的关系之一整除的性质自反性对任意非零整数，有成立，即任何非零整数都整除自身a a|a传递性若且，则例如且，所以这是整除关系a|b b|c a|c2|66|242|24中最常用的性质之一线性组合性若且，则对任意整数和，有这说明能被整a|b a|c mn a|bm+cn a除的数的线性组合仍能被整除a倍数性带余除法带余除法定理对任意整数和正整数，存在唯一的整数和a bq r表达式，其中a=bq+r0≤rb各项含义是被除数，是除数，是商，是余数a bq r带余除法是整数运算中的基本工具，在数论中有广泛应用例如，当我们计算除以时，得到×，其中商73973=98+1q=，余数8r=1理解带余除法对掌握同余理论、辗转相除法等后续内容至关重要，也是许多算法和证明的基础整除性典型例题1问题描述解题思路解答过程判断在什么条件下，整数能被多项式对多项式进行因式分解，或寻找与的当时×，不能n n n=11³+21²+1+2=6整除关系被整除n³+2n²+n+21这类问题需要利用整除性质，寻找多项分析特殊情况，如等情况下的当时×，能被n=1,2,3n=22³+22²+2+2=18式的特点和规律，通常需要进行适当的整除性整除2变形和分析寻找规律，得出一般性结论经变形n³+2n²+n+2=nn²+2n+1+2=nn+1²+2故当且仅当时，多项式能被整n|2n除整除性典型例题21问题描述证明对任意正整数，数都是合数n n+1n+2n+3n+4+12关键思路寻找合适的因子，证明该数可被某个整数整除，从而是合数3证明过程设，分析被整除的可能性A=n+1n+2n+3n+4+1A注意到是连续的四个整数，其中必有一个是的倍数n+1,n+2,n+3,n+454结论证明若，则其他因子n+k=5m1≤k≤4A=n+1n+2n+3n+4+1=5m·+1因此，即除以的余数为，不能被整除A≡1mod5A515但某整数某整数A=n+1n+2n+3n+4+1=5·+1=n+k·+1可以证明可被整除，因此是合数A n+k+1A素数的定义定义特殊情况素数是指大于且只能被和自身整除的自然数既不是素数也不是合数，是唯一的偶素数1112前几个素数重要性素数是整数理论的基石，在密码学和计算机科学中有重要应2,3,5,7,11,13,17,19,23,

29...用素数可以看作整数世界中的原子，不可再分解的基本单位通过素数的性质，我们可以更深入地理解整数结构，也能解决许多实际问题，从密码加密到数据压缩都离不开素数理论合数与质因数合数定义大于且不是素数的自然数1质因数分解将合数表示为素数乘积的形式分解方法从最小素数开始尝试分解合数是可以被分解为两个或多个素数乘积的自然数例如，×，×，等质因数分解是将合数表示为素数乘积4=226=238=2³的过程，是数论中的基本操作质因数分解的一般步骤是首先尝试用最小的素数去除，如果能整除则记下这个因子，然后继续用除；如果不能整除，则尝试下一个素22数，以此类推，直到完全分解例如，的质因数分解过程为÷，÷，÷，最终得到360602=30302=15153=560=2²××35素数的性质1奇偶性素数间隔除了以外，所有素数都是奇随着数值增大，相邻素数之间的2数这是因为任何大于的偶数平均间隔逐渐变大2都能被整除，因此不可能是素2这是数论中著名的素数分布规数律，由素数定理给出了精确描这一性质使我们在寻找大素数述～，其中πx x/lnxπx时，可以直接跳过偶数，大大提表示不超过的素数个数x高效率素数对相差为的素数对称为孪生素数，如、、等23,55,711,13孪生素数猜想认为存在无穷多个孪生素数对，但至今仍未被严格证明素数的性质2素数无穷定理欧几里得证明思想例题解析素数的数量是无穷的，没有最大素数假设存在有限多个素数₁₂考虑前三个素数的乘积加p,p,...,p1ₙ××235+1=31构造数₁×₂××N=p p...p+1ₙ这一重要结论最早由欧几里得在《几何是素数，不能被、、任一整除31235不能被任何已知素数整除，余数总是N原本》中证明，是数论中最基本的定理再考虑×××××123571113+1=30031之一因此要么是新素数，要么有新的素因×，发现了新素数N30031=59509子两种情况都证明假设错误，素数必定无穷素数判别方法埃拉托斯特尼筛法一种古老而高效的找出给定范围内所有素数的方法从开始，每找到一个素数，就筛掉它的所有倍数2试除法判断是否为素数，只需尝试用不超过的所有素数去除若都不能整除，则为素数n√n n费马小定理若为素数，为任意整数且不是的倍数，则可用于素性测试p a p a^p-1≡1mod p现代算法等概率算法和等确定性算法，能高效判断大数是否为素数Miller-Rabin AKS素数判别例题算法描述优化思路算法流程编写一个判断正整数是否为素数利用优化若不是素数，则首先排除特殊情况小于的数不n√n n2的简单算法，要求时间复杂度优必有一个因子不大于因此只是素数，是素数，偶数中只有√n22于需检查到的整数是素数然后检查从到的奇On2√n3√n数是否为的因子n以下是判断素数的伪代码实现function判断素数n:if n2:return falseif n==2:return trueifn%2==0:return falsefori=3to√n步长为2:ifn%i==0:return falsereturntrue算术基本定理定理内容唯一性每个大于的自然数都可以唯一地表示1分解结果中素因子及其指数完全确定，为素数的乘积（素因子按从小到大排列）2顺序无关重要性表示形式建立了整数与素数的基本联系，是数论₁₁×₂₂××n=p^αp^α...的基石，其中₁₂p^αpp...pₖₖₖ例如，的唯一分解为××算术基本定理告诉我们，这种分解方式是唯一的，不存在其他不同的素数组合能得到6060=2²3560理解算术基本定理对解决许多数论问题至关重要，包括计算因数个数、求最大公约数和最小公倍数等算术基本定理应用1因数个数公式若₁₁×₂₂××，则的正因数个数为n=p^αp^α...p^αnₖₖ₁₂α+1α+

1...α+1ₖ2因数和公式的所有正因数之和可表示为n₁₁₁₁₂₂₂1+p+p²+...+p^α1+p+...+p^α...1+p+...+p^αₖₖₖ3欧拉函数计算利用₁₁×₂₂××，可得n=p^αp^α...p^αφn=n1-ₖₖ₁₂1/p1-1/p...1-1/pₖ4和计算GCD LCM通过素因子分解，可以直观地求出最大公约数（取共有素因子的最小幂）和最小公倍数（取所有素因子的最大幂）最大公约数（）GCD定义符号与记法实际意义两个或多个整数共有的最大因数，记为最大公约数通常记为或最大公约数表示可以同时整除两个数的gcda,b a,b或最大整数，具有重要的实际应用gcda,b a,b例如，因为是在中文数学书籍中也常写作或例如，要将×个物品平均分成相同的gcd24,18=6624a,b a a b和的共有因数中最大的与的最大公因数组，每组包含和的公约数个物品，则18ba b最多可分为组gcda,b最大公因数性质基本性质交换律对任意正整数，有，，，最大公约数与参数顺序无关a gcda,a=a gcda,1=1gcda,b=gcdb,agcda,0=a结合律线性组合性，计算多个数的最大公存在整数和使得这是贝祖定理的核gcda,gcdb,c=gcdgcda,b,c xy ax+by=gcda,b约数时可任意分组心内容，在解不定方程和同余方程中有重要应用最小公倍数（）LCM定义能同时被两个或多个整数整除的最小正整数记号通常记为或lcma,b[a,b]计算方法可通过算术基本定理或与最大公约数的关系求得最小公倍数在实际问题中有广泛应用例如，要确定两个周期性事件何时同时发生，就需要求这两个周期的最小公倍数计算实例求首先分解质因数×，×取各素因子的最高次幂××因lcm12,1812=2²318=23²2²3²=49=36此lcm12,18=36最小公倍数还可以通过与最大公约数的关系来计算×÷对于上例，×÷lcma,b=a b gcda,b lcm12,18=12186=36最大公约数与最小公倍数的关系1核心关系式对任意正整数和，有××a bgcda,b lcma,b=a b2推导原理基于算术基本定理，比较、的素因子分解形式a b3计算优势已知最大公约数可快速计算最小公倍数，反之亦然4推广多个数的情况更复杂，不能简单类推这一关系式非常重要，它揭示了最大公约数和最小公倍数之间的对偶性质通过这个公式，我们只需计算其中一个值，就可以轻松得到另一个例如已知，则×÷验证gcd24,36=12lcm24,36=243612=72×，×，因此××，结果一致24=2³336=2²3²lcm24,36=2³3²=89=72辗转相除法（欧几里得算法）原理基于性质，其中表示除以的余gcda,b=gcdb,a mod b a mod b a b数算法步骤给定两个正整数和，若则

1.a bb=0gcda,b=a若，则计算除以的余数

2.b≠0a br将赋给，将赋给

3.b ar b重复步骤，直到

4.1-3b=0简单示例计算gcd48,18÷余，4818=212gcd48,18=gcd18,12÷余，1812=16gcd18,12=gcd12,6÷余，126=20gcd12,6=gcd6,0=6因此gcd48,18=6辗转相除法例题手算演示实现时间复杂度分析Python计算辗转相除法的时间复杂度为gcd24,18def gcda,b:，是一种非常高效的Ologmina,b×while b:24=181+6算法a,b=b,a%b×18=63+0return a当输入为相邻的斐波那契数时，算法需要的步骤最多因为余数为，所以0gcd24,18=6#测试对于常见的计算，通常只需要几步就能printgcd24,18#输出:得到结果6printgcd48,36#输出:12更高阶扩展欧几里得算法算法扩展扩展欧几里得算法在计算的同时，还能找到整数和，使得gcda,b xy ax+by=这一方程被称为贝祖等式，和被称为贝祖系数gcda,b xy应用价值在求解线性丢番图方程、一次同余方程以及计算模逆元时有重要应用特别是在密码学的算法中，需要用它来计算私钥RSA基本实现扩展欧几里得算法通过维护额外的变量，在辗转相除的过程中递推计算贝祖系数算法的递归实现简洁优雅，迭代实现则更为高效例如，对于，扩展欧几里得算法可以找到和，使得×gcd24,18=6x=-1y=

1.524-×由于贝祖系数不唯一，还有很多其他解，如和等1+

181.5=6x=2y=-

2.5该算法的时间复杂度与标准欧几里得算法相同，为，是解决模逆元和线Ologmina,b性丢番图方程的最佳选择整除、、小结GCD LCM整除性整除是数论的基础，表示一个数能被另一个数除尽，无余数若整除，记作，表示存在整数使得整除具有反身性、传递性和线性组合性等重要性a b a|b kb=ka质最大公约数最大公约数表示能同时整除和的最大正整数可通过质因数分解或更高效的辗转相除法计算辗转相除法基于性质，是求gcda,ba bgcda,b=gcdb,a modb的最佳算法GCD最小公倍数最小公倍数是能被和同时整除的最小正整数可通过质因数分解求得，也可借助计算×最小公倍数在周期性问题中有lcma,ba b GCDlcma,b=a b/gcda,b广泛应用同余的定义基本定义同余类实例说明若整数减去能被整除，则称与对对于固定的模，所有模同余于的，因为ab m abm m r17≡5mod1217-模同余，记作整数构成一个同余类，记为，能被整除m a≡b mod m[r]5=1212形式化表示模下共有个不同的同余类这表示和除以的余数相同，都a≡b mod m m m

[0],17512⟺（为整数）是m|a-ba=b+km k

[1],...,[m-1]5⟺同理，，29≡5mod12-7≡5等mod12同余的性质1反身性对任意整数，有aa≡a mod m对称性若，则a≡b mod m b≡a mod m传递性若且，则a≡b mod m b≡c mod m a≡c mod m算术运算性若且，则a≡b mod m c≡d modm（加法同余）

1.a+c≡b+d modm（减法同余）

2.a-c≡b-d modm××（乘法同余）

3.a c≡b d modm若，且，则（除法同

4.gcdc,m=1c≡d modm a/c≡b/d modm余，需满足条件）同余变形与推理简化大数利用同余性质，可以将大数计算简化例如，计算3^100mod时，可以利用，递推73^2≡2mod73^4≡4mod7余数计算求大数除以的余数时，可以对各项分别取模再组合如m a+bmod m=a modm+b modm modm3周期性识别同余能帮助识别数列的循环模式例如，斐波那契数列模有周m期性，这在密码学中有应用4典型例题求除以的余数利用的循环性2^202372^3≡1mod7质，只需计算2^2023mod3=2^2=4一次同余方程基本形式，求解ax≡b modm x解的存在条件2，即与的最大公约数要能整除gcda,m|ba m b解的结构若有解，则模下有个不同解m gcda,m求解方法4转化为的线性丢番图方程ax+my=b特殊情况当时，解唯一，可用扩展欧几里得算法gcda,m=1模反元素（逆元）定义存在条件求解方法若整数与互素，即，模的逆元存在的充分必要条件是扩展欧几里得算法求解a mgcda,m=1a m

1.ax+my则存在唯一的整数⁻，使得⁻中的，即为⁻a¹a·a¹≡gcda,m=1=1x a¹这个⁻被称为模的1modm a¹a m当为质数时，对任何费马小定理（当为素数）m1≤a

2.m乘法逆元⁻a^m-2≡a¹modm若，则在模下没有逆gcda,m1am逆元是解决模运算除法和一次同余方程元穷举法对于小范围的模，可以尝

3.的关键工具试到，找到满足1m-1a·x≡1mod的m x一次同余方程求解步骤检查解的存在性对于方程，首先计算若不能整除，则方程无解；若，则方程有解ax≡b modm d=gcda,m db d|b等价转换将原方程简化为，其中，，，且ax≡b modm a=a/db=b/dm=m/d gcda,m=1求逆元使用扩展欧几里得算法求在模下的逆元⁻，满足⁻ama¹a·a¹≡1modm求出特解计算₀⁻，得到转换后方程的解x≡b·a¹modm生成所有解原方程的所有解可表示为₀，其中x≡x+k·m modm k=0,1,...,d-1典型同余方程例题问题描述解题分析求解过程最终结果求解同余方程首先计算用扩展欧几里得算法求原方程15x≡6gcd15,2115x≡6mod的所有解检查是否整除在模下的逆元的所有解为mod21=335721÷，满足解663=2×，即7=51+2x≡5mod7x存在条件≡5,12,19mod×5=22+1将原方程化简为5x≡21×，此时2=12+02mod7校验×155=75≡6gcd5,7=1回代得×5-，mod21×，×1+71=25-×1512=180≡6，所以1≡2mod7，mod21⁻5¹≡-1≡6mod×1519=285≡67mod21因此5x≡2mod7的解为×x≡26≡12≡5mod7欧拉函数定义φn基本定义素数情况欧拉函数表示小于或等于且与1当为素数时，，因为除φn n n pφp=p-1p互素的正整数的个数外所有小于的正整数都与互素p p互素乘积素数幂4若，则当为素数，时，gcdm,n=1φmn=p k≥1φp^k=p^k3，欧拉函数满足乘法性质φmφn-p^k-1=p^k1-1/p欧拉函数是数论中的重要函数，在密码学（特别是算法）中有重要应用理解欧拉函数的性质和计算方法对学习同余理论和RSA模运算至关重要欧拉函数性质乘法性质若，则这一性质使得我们可以将欧拉函数的计gcdm,n=1φmn=φmφn算分解为素数幂的情况通用计算公式对于任意正整数₁₁×₂₂××，有n=p^a p^a...p^aₖₖ₁₂φn=n1-1/p1-1/p...1-1/pₖ₁₁₁×₂₂₂××=p^a1-1/pp^a1-1/p...p^a1-1/pₖₖₖ除数和性质对于任意正整数，有，其中遍历的所有正因数这一性质在莫比乌n∑φd=n dn斯反演公式中有应用计算实例计算×，所以φ3636=2^23^2××φ36=361-1/21-1/3=361/22/3=12验证与互素的数有，共个361,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,3512欧拉定理欧拉定理是数论中的一个重要定理，由瑞士数学家莱昂哈德欧拉提出定理内容为若为正整数，与互素，则·n an a^φn≡1这里是欧拉函数，表示不超过且与互素的正整数个数mod nφn n n欧拉定理是费马小定理的推广，适用于所有正整数，而不仅限于素数这一定理在现代密码学中有重要应用，特别是加密算n RSA法的安全性基础就来自于欧拉定理费马小定理定理内容常用公式重要作用若为素数，为整数且不是的倍数，则当需要计算（为素数）时，费马小定理是素数判定、模幂运算、求模p ap a^b mod p p可以利用简化计逆元等问题的基础a^p-1≡1mod p a^p-1≡1mod p算另一种等价表述对任意整数，有在密码学中，费马小定理用于、aa^p RSA特别地，若需计算在模下的逆元，且等加密算法的设计与分≡a mod pap pDiffie-Hellman为素数，则析a^p-2≡a^-1modp该定理也是许多概率性素数测试算法（如测试）的理论基础Miller-Rabin欧拉定理与费马定理联系定理联系应用范围证明思路费马小定理是欧拉定理的特例当模数费马小定理仅适用于模数为素数的情费马小定理的证明可通过排列组合或为素数时，，此时欧拉况，表达更简洁，应用更直接归纳法证明n pφp=p-1定理即为费马小a^φp≡1modp欧拉定理适用于任意模数，更为一般欧拉定理的证明利用缩系概念，证明定理a^p-1≡1modp化，但计算欧拉函数值可能较复杂过程更为抽象两个定理都揭示了模幂运算的周期性在实际应用中，当模数为素数时倾向使两者证明的核心思想类似，都涉及到元质，是模运算体系中的核心定理用费马小定理；当模数为合数时，只能素在模运算下的分组和置换性质使用欧拉定理例题欧拉定理与快速幂问题计算3^100mod13这是一个典型的模幂运算问题，可以通过欧拉定理和快速幂算法高效求解欧拉定理应用由于是素数，根据费马小定理（欧拉定理特例），有13φ13=123^12≡1mod13因此，问题转化为计算3^100≡3^100mod12≡3^4mod133^4mod13快速幂算法快速幂是计算的高效算法，时间复杂度为a^b modm Ologb基本思想将指数表示为二进制，根据二进制位的贡献计算结果b例如₂3^4=3^100=3^4=3^2^2=9^2=81≡3mod13验证结果可以通过直接计算×××确认3^4=3333=81÷余，因此8113=633^4≡3mod13所以，原问题3^100mod13=3加密理论基础RSA素数选择选择两个大素数和，计算乘积×的值会作为公钥的一部分，而和则p qn=p qn pq需保密欧拉函数计算计算，这是利用了欧拉函数的乘法性质的值在生成密φn=p-1q-1φn钥时使用，但不会公开密钥生成选择整数使得e1计算满足，作为私钥指数d ed≡1modφn d加密与解密消息加密m c≡m^e mod n密文解密c m≡c^dmodn解密的正确性基于欧拉定理×m^ed≡m^1+kφn≡mm^φn^k≡×m1^k≡m modn初等数论在密码学中的应用安全基础素数、因数分解、离散对数等数论难题加密算法

2、、椭圆曲线密码学RSA Diffie-Hellman安全协议3数字签名、身份认证、密钥交换现实应用4电子商务、网上银行、数字货币数论在密码学中的核心作用在于提供单向函数容易计算但难以逆向求解的函数例如，大整数分解问题两个大素数相乘容易，但已知乘积求素因子——非常困难，这就是加密算法的安全基础RSA类似地，离散对数问题也是密码学中广泛应用的数论难题，是密钥交换和加密系统的基础现代公钥密码学的发展与数论研究Diffie-Hellman ElGamal密不可分，数论为信息安全提供了坚实的理论支撑产生伪随机数方法线性同余法参数选择最常用的伪随机数生成算法之一，基于1乘数、增量和模数的选择影响随a c m递推关系式X=aX+cₙ₊₁ₙ2机数的周期和分布特性modm周期特性分布性质合理选择参数可使周期达到最大值，m通过理论分析和统计测试评估生成序列适当条件为与互素，是所cma-1m的随机性和均匀分布程度有素因子的倍数伪随机数在计算机科学中有广泛应用，包括蒙特卡洛模拟、游戏开发、密码学等领域线性同余法是最基本的伪随机数生成方法，虽然现代密码学已有更复杂的随机数生成器，但线性同余法仍广泛用于非密码学场合线性同余生成法例题问题描述序列计算参数分析使用线性同余法生成伪随机序列，₁×线性同余法的最大周期为在本X=71+11mod100=18m公式为例中，周期只有，远小于X=aX+c4ₙ₊₁ₙ₂×X=718+11mod100请分析当，说明参数选择不佳modma=7,c=11,m=100=137mod100=37₀时，生成的序列m=100,X=1对于×，若要达到m=100=2²5²特性X₃=7×37+11mod100最大周期，需要与互素（已c100=270mod100=70满足），且是和的倍数，a-1425₄×X=770+11mod100即是的倍数，因此a-1100a≡1=501mod100=1mod100发现₄₀，说明序列开始循X=X环，周期为4改进建议更好的参数选择如a=21,c=11,此时×，m=100a-1=20=45是和的倍数，可以验证这组参45数能产生周期为的序列50若选择为素数，如，则mm=101更容易获得良好的随机特性和较长周期数论在计算机安全中的应用数字签名数字签名利用公钥密码体系，特别是算法，实现信息发送者身份的验证发送者使用私钥对消息摘要进行加密，接收者可用发送者公钥验证，确保信息未被RSA篡改且来源可靠哈希函数密码学哈希函数如将任意长度消息映射为固定长度摘要，基于数论中的模运算和复杂操作好的哈希函数满足单向性（不可逆）和抗碰撞性（难以找SHA-256到具有相同摘要的两条消息）秘密共享基于多项式插值和有限域运算的秘密共享方案，如门限方案，允许将秘密分割为多份，只有集齐足够数量的份额才能恢复原始秘密这种技术在分布式系Shamir统中用于保护敏感信息捕捉数论的美数论的美在于它的简洁与深刻贝祖定理揭示了任意两个整数和的最大公约数可以表示为形式，这一看似简单的结论却有abax+by着深远的应用孤独素数（如）与友爱数（如和，各自的真因数和等于对方）展示了整数之间的神秘联系173220284数学之美还体现在数论中的开放问题上哥德巴赫猜想、孪生素数猜想等问题表述简单，证明却极为困难，吸引了几代数学家的努力数论中的规律与对称性，如模运算下的循环模式，斐波那契数列的特性等，都反映了整数世界的内在和谐与结构之美学习数论的建议推荐教材《初等数论》（冯克勤）系统全面，适合入门《数论导引》（）理论与应用并重，案例丰富Kenneth H.Rosen《》（）直观易懂，英文原版A FriendlyIntroduction toNumber TheoryJoseph H.Silverman实践方法勤做习题数论学习重在实践，多动手解题编程实现用等语言实现欧几里得算法、筛法等Python参与竞赛、等竞赛有丰富的数论题目ACM NOIP在线资源包含大量数论编程挑战Project Euler（整数序列在线百科）研究数列性质的宝库OEIS交互式数学学习平台，有专门的数论课程Brilliant.org学习路径先掌握基础整除、素数、最大公约数等核心概念再学习应用同余、欧拉定理等进阶内容最后探索密码学应用、开放问题等拓展领域常见题型归纳整除与同余类题目判断整除性证明一个表达式能被某数整除求解同余方程如ax≡b modm周期性质寻找数列在模下的循环节m素数与分解类题目素性测试判断给定数是否为素数质因数分解将数分解为素数乘积素数计数求给定范围内素数个数3最大公约数与最小公倍数求利用欧几里得算法或因式分解GCD/LCM线性丢番图方程求解ax+by=c互素条件判断何时两数互素数论函数题目欧拉函数计算及其性质φn因数函数如因数个数函数、因数和函数dnσn莫比乌斯函数及其应用μn经典竞赛题目分析中国数学奥林匹克（）全国信息学奥林匹克（）国际大学生程序设计竞赛CMO NOIACM例题证明对任意正整数，总存在一个的例题给定，求小于的所有正整数中，与例题给定，求满足nnnnn a,b,ma^x≡b倍数，使得它的十进制表示中只含有数字和互素的数的个数的最小非负整数0modmx1解析这是一个直接应用欧拉函数的问解析这是离散对数问题，可以使用φn Baby-解析考虑余数序列₁₂，题若₁₁×₂₂××算法求解时间复杂度为r,r,...,r n=p^ap^a...step Giant-stepₙ₊₁其中rᵢ=10^i-1modn由抽屉原理，p^a，则φn=n1-1/p₁1-O√m logm算法先将问题转化为ₖₖ必有两个余数相同，设rᵢ=rⱼij，则n1/p₂...1-1/p编程实现时，可以先a^x·a^-km=b，然后分别计算左右两侧ₖ整除，对进行质因数分解，然后应用公式计算的值并在中间相遇10^j-10^i=10^i10^j-i-1n因此数字（个）后跟个是的倍

10...0j-i0i1n数数论前沿进阶拓展——中国剩余定理二次剩余解决形如₁₁研究形式的二次同x≡a modm,x≡x²≡a modp₂₂余方程是否有解，以及如何求解a modm,...,x≡a modₖ的同余方程组mₖ勒让德符号和雅可比符号是判断二次当模数两两互素时，方程组有唯一解，剩余的重要工具且可以通过构造法求得二次互反律是数论中的一个优美结果，应用广泛，如日历设计、密码学中的连接了不同素数之间的二次剩余性质密钥恢复等不定方程基本形式为的线性丢番图方程，可用扩展欧几里得算法求解ax+by=c更复杂的形式如佩尔方程，需要使用连分数理论x²-dy²=1高次不定方程如费马大定理的研究推动了代数数论的发x^n+y^n=z^nn2展小结与复习建议知识点重要性复习建议整除与带余除法★★★★☆理解整除性质，熟练应用带余除法素数与合数★★★★★掌握判别方法，理解素数分布规律最大公约数★★★★★熟练使用辗转相除法，理解扩展算法同余理论★★★★☆深入理解同余性质，解决实际问题欧拉定理★★★★☆掌握欧拉函数计算，应用于模幂运算应用实例★★★☆☆理解原理，尝试编程实现RSA推荐刷题资源力扣数论专题、洛谷数论题单、数论问题集定期复习，循序渐进，不断深化对数论概念的理解与应用能力LeetCode OJProject Euler谢谢观看！培养逻辑思维应用于信息安全提高算法能力理解数学之美拓展学术视野。