【数学课件】探寻几何学的奥秘：访问数学教授张博士

探寻几何学的奥秘访问数学教授张博士欢迎参加2025年6月数学教育系列讲座，本次我们有幸邀请到北京数学研究所首席研究员张博士，为我们深入探讨几何学的奥秘张博士将带领我们穿越几何学的历史长河，解析古今几何学的发展历程，展示其在现代科技中的广泛应用，并分享前沿研究成果本次讲座旨在启发数学爱好者和教育工作者，通过张博士的专业视角，重新认识几何学的魅力与价值无论您是数学教育工作者、学生，还是对几何学有浓厚兴趣的普通观众，都能从中获取宝贵的知识与见解讲座概述几何学基本概念与历史演变我们将从几何学的起源谈起，探讨从古埃及、巴比伦到现代的几何学发展脉络，理解基本概念如何随时间演变和扩展张博士的研究成果与见解深入了解张博士在计算几何学领域的创新研究成果，以及他对几何学未来发展方向的独特见解和预测几何学在现代科技中的应用探索几何学如何在计算机图形学、建筑设计、机器人技术、人工智能等现代科技中发挥关键作用教学方法与学习策略分享几何学教学的有效方法和学习策略，帮助教育工作者提升教学效果，帮助学习者克服学习障碍张博士简介学术职位研究成就张博士现任北京数学研究所首席研究员，领导计算几何研究团作为计算几何学领域的国际知名专家，张博士著有《现代几何队，同时在多所顶尖大学担任客座教授，指导博士研究生与应用》等多部重要著作，发表高水平学术论文百余篇，被引用次数超过一万次荣誉奖项国际影响张博士曾获国家自然科学奖二等奖，并被授予国际几何学会荣他的研究成果在国际学术界产生广泛影响，经常受邀在世界顶誉会员资格，是亚洲地区在此领域获此殊荣的少数学者之一级数学会议上作主题演讲，并担任多个国际数学期刊的编委几何学的起源古埃及几何学最早可追溯到古埃及，起源于尼罗河泛滥后的土地重新测量和划分的实际需求埃及人发明了测量土地的工具和方法，为几何学奠定了实践基础古巴比伦巴比伦人发展了六十进制计数法，这对角度的测量产生深远影响他们留下的泥板记录显示，他们已掌握了计算面积和体积的方法，并能解决一些实际几何问题古希腊欧几里得的《几何原本》标志着几何学作为严格数学学科的诞生这部巨著系统地阐述了平面几何和立体几何的基本定理，建立了公理化的数学体系中国古代中国古代数学著作《周髀算经》记录了勾股定理的早期应用，而且中国数学家独立发展了丰富的几何知识体系，解决了土地测量、建筑等实际问题几何学的基本元素体三维空间具有长度、宽度和高度三个维度面二维空间具有长度和宽度两个维度线一维空间只有长度一个维度点零维空间无维度，没有大小几何学的基本元素构成了空间认知的基础点作为最基本的几何元素，没有长度、宽度和高度，只表示位置；线由无数个点组成，只有长度；面由无数条线组成，有长度和宽度；体则是三维空间中具有长、宽、高三个维度的物体理解这些基本元素之间的关系和性质，是掌握几何学的第一步这些概念虽然抽象，但与我们的日常空间感知紧密相连，为更复杂的几何理论奠定基础平面几何基础三角形内角和定理三角形内角和等于180度，这是平面几何中最基本也最重要的定理之一通过这一定理，我们可以推导出三角形的许多其他性质，如外角定理、三角不等式等四边形性质与分类四边形按照边和角的性质可分为平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等每类四边形都有其特殊性质，如平行四边形对角线相互平分，矩形对角线相等等圆的性质与定理圆是平面上到定点（圆心）距离相等的点的集合关于圆的重要定理包括圆周角定理、切线性质、弦切角定理等，这些定理构成了圆几何的理论基础相似形与全等形全等形是完全相同的图形，而相似形保持形状但大小可以不同理解相似形与全等形的判定条件，对解决许多几何问题至关重要立体几何基础多面体的定义与分类棱柱与棱锥的体积计算旋转体的表面积与体积多面体是由有限个多边形围成的立体图棱柱的体积等于底面积乘以高，棱锥的旋转体是由平面图形绕一条直线旋转一形，包括正多面体、棱柱、棱锥等正体积等于底面积乘以高的三分之一这周形成的立体图形常见的旋转体有圆多面体仅有五种正四面体、正六面体些计算公式源于古代数学家的智慧，通柱、圆锥和球体计算旋转体的表面积（立方体）、正八面体、正十二面体和过积分方法可以严格证明和体积需要运用微积分知识正二十面体，被称为柏拉图立体了解这些体积计算公式及其推导过程，球的表面积公式S=4πr²和体积公式多面体的欧拉公式顶点数V减去棱数E有助于理解立体几何的基本思想和方V=4/3πr³是最著名的旋转体公式，反映加上面数F等于2（V-E+F=2），是多面法，为解决实际问题提供工具了球体的完美对称性体拓扑性质的重要定理几何学的变革者张博士访谈

（一）研究道路的起点关键转折点当代研究挑战我在中学时期就被几何问题的优雅解法所博士期间接触计算几何是我研究生涯的转当代几何学研究面临的主要挑战是多维数吸引，特别是那些看似复杂却能通过简洁折点当时，计算机图形学和机器人技术据的处理和可视化随着大数据时代的到方法解决的问题张博士回忆道，高中正迅速发展，需要高效的几何算法支持来，我们需要开发新的几何工具来理解高老师对几何的热情感染了我，让我意识到我意识到这是一个将传统几何学与现代计维空间中的数据结构，这要求我们打破传几何不仅是规则和公式，更是一种思维方算技术结合的绝佳机会，于是决定专注于统思维，创造性地应用几何学原理式这个领域欧几里得几何1五大公理体系欧几里得在《几何原本》中提出的五条公理奠定了几何学的逻辑基础这五条公理分别涉及直线的连接、延长、圆的作图、直角的相等性以及平行线的性质，构成了一个完整的逻辑体系2平行公理的重要性第五公理（平行公理）是欧几里得几何中最具争议性和启发性的部分它表述为过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行对该公理的质疑和重新解释导致了非欧几何学的诞生3构造问题的历史古希腊几何学家提出了许多著名的构造问题，如三等分角、倍立方和化圆为方这些问题在欧几里得几何框架内的探索持续了两千多年，直到19世纪才被证明在尺规作图下不可解4尺规作图的局限性尺规作图只允许使用直尺和圆规两种工具，这限制了可构造的数高斯和伽罗瓦的工作最终证明了哪些数可以通过尺规作图构造，揭示了欧几里得几何方法的内在局限非欧几何的突破黎曼几何罗巴切夫斯基几何黎曼几何研究球面等正曲率曲面上的几研究双曲面等负曲率曲面上的几何，在何，在球面上两条直线（大圆）总会这种空间中，过一点可作无数条与给定相交，不存在平行线直线平行的直线曲面上的最短路径平行公理的突破在非欧几何中，最短路径称为测地线，19世纪数学家通过质疑欧几里得第五公球面上的测地线是大圆弧，这一概念拓理，创造了全新的几何体系，拓宽了数展了直线的定义学视野非欧几何的发展彻底改变了人们对空间的理解从欧几里得平面几何的单一范式，到承认多种几何模型的并存，这一突破不仅拓展了数学的边界，还为现代物理学特别是相对论提供了数学工具解析几何的革命笛卡尔坐标系统代数与几何的联系曲线与方程的对应关系17世纪，法国数学家笛卡尔创立了坐标解析几何最伟大的贡献在于建立了代数在解析几何中，平面曲线可以表示为关几何学，他引入了直角坐标系，允许我与几何之间的桥梁每个几何问题都可于x和y的方程例如，圆可以表示为x-们用数对x,y表示平面上的点这一创以转化为相应的代数问题，而代数方程a²+y-b²=r²，椭圆、双曲线、抛物线等新将空间中的位置与数值建立了对应关的解又可以对应到几何图形上这种双二次曲线都有其特定的方程形式这种系，为几何问题的代数处理开辟了道向转换极大地丰富了数学的研究方法对应关系使得研究曲线性质变得更加系路统化例如，通过解方程组求解两条直线的交笛卡尔坐标系的建立，使得几何图形可点，比传统几何作图要简单得多解析通过分析方程，我们可以研究曲线的各以通过方程来描述，几何变换可以通过几何方法的强大之处在于其普适性和系种性质，如切线、曲率、拐点等，而无代数运算来实现，大大简化了复杂几何统性，能够统一处理各类几何问题需依赖几何直观这种方法的优势在处问题的解决过程理复杂曲线时尤为明显向量几何与线性代数向量的几何表示向量在几何上表示为有大小和方向的量，可用带箭头的线段表示在平面或空间中，向量可以通过其坐标分量来描述例如，平面向量a可表示为a=a₁,a₂，其中a₁,a₂分别是x和y方向的分量向量的几何意义直观明确，便于我们理解物理中的位移、速度、力等带方向量的概念，成为连接几何学与物理学的重要桥梁向量运算的几何意义向量加减法在几何上对应于向量的平行四边形法则或三角形法则向量的点积a·b=|a||b|cosθ反映了两向量的夹角关系，向量的叉积a×b表示垂直于两向量所在平面的向量，其模反映了以两向量为边的平行四边形面积这些运算不仅具有代数性质，更具有深刻的几何意义，使复杂的几何关系可以通过简洁的向量表达式来描述和计算线性变换的几何解释线性变换是保持向量加法和数乘运算的变换，在几何上对应于旋转、缩放、反射、投影等基本变换通过矩阵乘法可以实现这些变换，使得复杂的几何变换可以通过简单的代数运算来完成线性变换的特征值和特征向量具有重要的几何意义，反映了变换的主轴方向和缩放比例，是理解线性变换几何本质的关键张博士访谈

（二）研究方法论几何直觉与严格证明的平衡如何培养几何思维几何研究需要直觉与严谨的平衡，张博士强调，几何直觉常常指引我们发现培养几何思维需要大量练习和对问题的深入思考我建议从经典几何问题开新的定理和联系，但最终必须通过严格的数学证明来验证这些发现许多重要始，理解古人是如何解决这些问题的，然后尝试用不同方法重新解决观察自的几何发现源于直觉性的猜想，然后经过严密的推理得到证明我常告诉学然界中的几何现象也是培养几何直觉的好方法此外，绘制图形和构建模型可生，要相信你的直觉，但更要怀疑它，直到你能够证明它以帮助发展空间想象力，这是几何思维的关键组成部分研究中的创造性思考方法跨学科思维的重要性面对难题时，我常采用的策略是寻找特殊情况或极限情况进行分析有时候，现代几何研究越来越依赖跨学科思维我的许多研究灵感来自物理学、计算机将问题变换或重新表述能带来突破性进展另一个有效方法是类比思考，尝试科学甚至生物学例如，拓扑优化算法的设计借鉴了生物进化理论，而计算几将问题与已知的类似问题建立联系创造性往往来自于打破常规思维模式，尝何中的许多问题源于计算机图形学的实际需求能够在不同学科间建立联系，试从不同角度看待问题往往能发现传统方法难以察觉的解决思路微分几何学12曲线曲率曲面曲率曲线在一点的曲率κ度量了曲线在该点偏离直线的程度，数学上可表示为κ=dθ/ds，其中θ是切线角，s是高斯曲率K是曲面在一点的主曲率k₁和k₂的乘积，K=k₁k₂，是曲面内蕴几何的重要不变量弧长参数34测地线流形测地线是曲面上两点间的最短路径，是直线概念在曲面上的推广，满足测地线方程的解流形是局部类似于欧氏空间的空间，是微分几何研究的核心对象，地球表面是二维流形的典型例子微分几何学利用微积分工具研究曲线和曲面的性质，是连接几何学与分析学的桥梁高斯的曲面论奠定了微分几何的基础，他的绝妙定理揭示了曲面高斯曲率是曲面的内蕴量，不依赖于曲面在外部空间中的具体嵌入方式微分几何的概念和方法在现代物理学中有广泛应用，爱因斯坦的广义相对论使用黎曼几何描述弯曲的时空，将引力解释为时空几何的弯曲此外，微分几何在计算机图形学、机器人学、计算机视觉等领域也有重要应用射影几何学射影几何学研究投影变换下保持不变的性质，最初源于文艺复兴时期艺术家对透视法的研究在射影几何中，平行线被视为在无穷远点相交，这一概念统一了平行线和相交线的处理方式射影几何的核心是射影变换，它将直线映射到直线，保持共线性和交比等性质射影不变量是射影变换下保持不变的量，如交比是四点间的一种射影不变量现代射影几何在计算机视觉、摄影测量学等领域有广泛应用，例如从多角度照片重建三维场景的算法基于射影几何原理分形几何自相似性分形维数自然界中的分形分形的核心特征是自相似分形维数是描述分形复杂程自然界中的许多结构都显示性，即部分与整体具有相似度的量度，通常是非整数出分形特性，如云朵、山的结构这种特性使得分形例如，科赫雪花曲线的分形脉、海岸线、树枝、闪电、在不同尺度下呈现相似的复维数约为

1.26，介于一维线血管系统等分形几何为描杂性，与传统几何图形形成和二维面之间，反映了其蓬述这些不规则但有序的自然鲜明对比松程度形态提供了有力工具计算机图形应用分形算法广泛应用于计算机图形生成，可创建逼真的自然景观、纹理和艺术图像分形压缩技术利用图像的自相似性，能高效存储和传输复杂图像计算几何点集处理算法研究如何高效处理大规模点集数据，包括最近邻查询、范围查询等图与三角剖分Voronoi DelaunayVoronoi图将平面分割为最近点区域，Delaunay三角剖分是其对偶图，广泛应用于GIS和网格生成凸包算法计算点集的凸包，即包含所有点的最小凸多边形，有Graham扫描和快速凸包等算法最近点对问题在平面或空间中找出距离最近的两点，通过分治法可实现On logn时间复杂度计算几何是研究几何问题的算法设计与分析的学科，是理论计算机科学的重要分支它结合了传统几何学与现代算法设计方法，专注于解决计算机图形学、地理信息系统、机器人学等领域中的实际问题张博士是计算几何领域的杰出贡献者，他开发的高效点集处理算法在大规模三维建模中得到广泛应用计算几何的实际应用极为广泛，从建筑物三维重建到自动驾驶车辆的环境感知，从分子结构分析到虚拟现实场景生成，都离不开计算几何算法的支持拓扑学的奇妙世界拓扑不变量欧拉公式与多面体莫比乌斯带与克莱因瓶拓扑不变量是在连续变形下保持不变的性欧拉公式V-E+F=2揭示了凸多面体顶点数莫比乌斯带是只有一个面和一个边界的表质，如欧拉示性数是描述曲面拓扑性质的V、棱数E和面数F之间的基本关系，这面，而克莱因瓶是一个没有内部和外部之重要不变量这些不变量帮助我们区分和一优美公式是拓扑学中最著名的结果之分的闭合表面这些奇特的拓扑结构挑战分类不同的拓扑空间，即使它们在形状上一，展示了看似不同图形间的深层联系了我们对空间的日常直觉，展示了拓扑学看起来完全不同的奇妙魅力张博士访谈

（三）前沿研究量子几何学计算几何学量子几何学是当前最前沿的研究方向之一，它尝试将量子理论与几何在计算几何学方面，我们团队最近在高维数据处理算法上取得了显著学结合，探索极小尺度下的空间结构我们正在研究如何用几何学工进展传统算法在高维空间面临维数灾难，我们开发了新的降维技术具描述量子现象，以及量子效应如何影响空间的几何性质这一领域和索引结构，大大提高了算法效率这些成果已经应用于大规模点云有望在理解宇宙本质方面带来突破性进展数据处理和三维重建领域与几何未解难题AI人工智能与几何学的结合是另一个令人兴奋的方向我们正在开发几几何学中仍有许多未解决的难题，如里奇流的收敛性质、四维空间中何深度学习模型，这些模型能够直接在三维几何数据上进行学习，而的微分结构、流形上Willmore能量的极小化等这些问题不仅具有理不需要将其转换为图像或体素表示这种方法在三维形状分析、分类论意义，解决它们还可能带来应用价值我鼓励年轻研究者关注这些和生成方面表现出优越性能基础问题，它们通常是重大突破的源泉几何学与物理学的交融爱因斯坦广义相对论时空弯曲与引力场高维几何与物理理论爱因斯坦的广义相对论是几何学与物理在牛顿力学中，引力被视为力的作用；现代物理理论如超弦理论和M理论引入学结合的典范该理论将引力解释为时而在广义相对论中，引力是时空几何效了额外的空间维度，需要复杂的高维几空几何的弯曲，质量和能量导致周围时应质量使周围时空弯曲，其他物体沿何描述这些理论中的卡拉比-丘流形、空的弯曲，而物体则沿着这弯曲时空中着这种弯曲的时空结构运动，看起来就G2流形等几何结构对理解基本粒子和力的测地线运动像受到了引力的统一至关重要这一革命性理论使用黎曼几何描述四维黑洞是极端弯曲时空的例子，其引力如高维空间的几何性质可能解释为什么我时空，爱因斯坦场方程G_μν=8πT_μν精此强大以至于光线也无法逃脱事件视们观测到的物理规律和常数是这样而不确地表达了物质分布（能量-动量张量界、引力透镜等现象都是时空几何性质是那样，这种思路催生了宇宙景观理T_μν）与时空几何（爱因斯坦张量的直接体现，展示了几何学在理解宇宙论，试图从几何角度解释宇宙的基本性G_μν）之间的关系结构中的重要性质几何学在计算机图形学中的应用三维建模的几何基础三维计算机图形依赖于几何数据结构和算法多边形网格、NURBS表面和细分曲面等建模技术都基于几何学原理，用于创建逼真的虚拟物体和场景几何算法如网格简化、平滑和参数化对于高效处理复杂三维模型至关重要曲线与曲面的参数化表示参数化曲线和曲面是计算机图形学的基础工具贝塞尔曲线、B样条和NURBS提供了灵活的方式来表示光滑曲线和曲面，这些数学工具使得设计师能够精确控制形状，创造复杂且美观的几何形体参数化表示还便于计算机进行渲染和操作曲线与曲面NURBS非均匀有理B样条（NURBS）是现代CAD系统和计算机动画中广泛使用的数学模型它们能够精确表示从简单几何形体到高度复杂的有机形状的各种曲面NURBS的数学性质使其特别适合设计应用，可以保证曲面的光滑性和连续性计算机动画中的几何算法计算机动画依赖于几何变形、碰撞检测和物理模拟等算法骨骼动画、蒙皮技术和基于物理的模拟都需要复杂的几何计算例如，布料模拟需要解决曲面离散化、碰撞检测和约束求解等几何问题，才能创造逼真的视觉效果几何学在建筑设计中的应用几何学在建筑设计中的应用由来已久，从古希腊神庙的黄金比例到现代参数化设计的复杂曲面黄金比例（约为1:

1.618）被认为具有特殊的美学价值，广泛应用于古典建筑的柱间距、门窗比例等方面现代建筑师如安东尼·高迪运用复杂的几何曲线和曲面，创造出独特的有机建筑风格非欧几何建筑案例展示了当代设计的革新性，如扎哈·哈迪德的流线型建筑，弗兰克·盖里的解构主义设计参数化设计利用计算机算法生成复杂几何形体，使建筑师能够探索传统方法难以实现的创新形态同时，结构力学与几何形态优化相结合，确保这些大胆的设计不仅美观，还具有结构稳定性和建造可行性几何学在机器人技术中的应用机器人运动学路径规划利用几何变换描述机器人各关节和连杆使用几何算法如Voronoi图、可见性图之间的空间关系，通过齐次变换矩阵计和快速扩展随机树等，为机器人规划从算机器人末端执行器的位置和姿态起点到目标点的无碰撞路径自主导航工作空间分析结合SLAM算法（同时定位与地图构通过几何计算确定机器人能够到达的所建）和几何特征提取技术，使机器人能有位置集合，分析工作空间的形状、体在未知环境中构建地图并实现精确导航积和特性，优化机器人设计几何学是机器人技术的核心基础之一，从机械设计到控制算法，几乎每个方面都依赖于几何概念和计算张博士的研究团队开发了一种基于计算几何的新型机器人路径规划算法，能够在复杂动态环境中实时生成最优路径，大幅提高了机器人的适应性和效率张博士访谈

（四）教学经验激发兴趣激发学生对几何的兴趣，关键在于展示其在现实世界中的美和应用我常用自然界中的几何现象、艺术作品中的几何结构，以及现代技术中的几何应用作为引入点，让学生感受到几何学不仅是抽象概念，而是与我们的生活息息相关克服障碍空间想象力不足是最常见的学习障碍我鼓励学生通过手工制作几何模型、使用动态几何软件进行探索，以及从多角度观察物体来培养空间想象力对于复杂的概念，我会提供渐进式的例子，从简单到复杂，帮助学生建立直观理解数字技术数字技术在几何教学中发挥着越来越重要的作用动态几何软件如几何画板、GeoGebra等工具使学生能够交互式地探索几何性质和定理虚拟现实技术则提供了全新的方式来感知和理解三维几何空间，特别有助于研究复杂的高维几何结构创新方法我的创新教学方法包括问题驱动学习和几何实验室在问题驱动学习中，我设计一系列开放性问题，引导学生自主探索和发现几何原理在几何实验室中，学生通过设计和实施几何实验，验证猜想并发现规律，培养科学思维和实践能力几何可视化工具几何画板软件几何画板（Geometers Sketchpad）是一款强大的动态几何软件，特别适合平面几何的教学和研究它允许用户创建精确的几何构造，并能通过拖动点来动态观察几何关系的变化该软件支持轨迹绘制、测量工具和脚本编程，使用户能够探索和验证各种几何猜想动态几何软件GeoGebra将几何、代数、表格、绘图、统计和微积分结合在一个易于使用的软件包中，成为全球数学教育的热门工具它的特点是能够同时显示几何图形和代数表达式，帮助学生理解数形结合的思想GeoGebra的网络版允许教师和学生在线共享和协作，促进了远程教学和学习三维几何可视化Cabri3D和Mathematica等软件提供了强大的三维几何可视化功能这些工具能够创建和操作复杂的三维几何对象，执行空间变换，计算体积和表面积等先进的渲染功能和截面工具帮助用户理解三维形体的结构和性质，克服了平面表示空间几何的局限性虚拟现实技术虚拟现实VR和增强现实AR技术为几何学习提供了沉浸式体验学习者可以在虚拟环境中走进几何世界，从不同角度观察几何体，甚至与之互动这种技术对于理解高维几何特别有价值，能够通过三维投影和交互式操作，帮助用户建立对高维空间的直观认识几何教学中的常见误区形式化教学的危害过度注重几何的形式化教学，忽略了几何的直观本质和历史发展，会使学生失去学习兴趣形式化教学往往将几何简化为符号和公式的机械操作，学生可能会知其然而不知其所以然，缺乏对几何概念的深入理解和应用能力忽视直观理解与空间想象力培养几何学是视觉的数学，直观理解和空间想象力是学习几何的关键能力许多教师忽视这一点，过分强调抽象思维，导致学生在处理复杂几何问题时缺乏必要的直观支持，特别是在立体几何的学习中尤为明显过分依赖公式而忽视几何本质许多教学过程中，公式被视为解决问题的唯一工具，而忽视了几何问题的本质思考学生可能会盲目套用公式而不理解背后的几何原理，这限制了他们解决非常规问题的能力，也阻碍了几何思维的培养缺乏实际应用案例将几何学与现实世界隔离开来，不提供足够的实际应用案例，会使学生感到几何学是抽象且无用的缺乏对几何学在科学、技术、艺术等领域中应用的介绍，使学生难以建立知识的连贯性和实用性认识培养几何直觉的方法动手操作与模型构建亲手制作几何模型是培养几何直觉的有效方法通过折纸、剪纸、搭建立体模型等手工活动，学习者可以触摸和感受几何形体的性质，建立对几何概念的具象理解这种实体经验对于理解复杂几何结构特别有帮助，例如多面体截面、曲面展开等难以在平面上直观表达的概念图形分解与重组训练学习将复杂几何图形分解为基本元素，然后重新组合，有助于培养几何洞察力这种训练可以通过七巧板、几何拼图等游戏开展，也可以通过设计几何变换问题来进行例如，探讨如何将一个正方形分割后重组成为一个等面积的三角形，这类活动能够发展灵活的几何思维多角度观察与思考从不同角度和维度观察几何问题，可以加深对问题本质的理解例如，同一个几何问题可以从综合几何、解析几何和向量几何等不同角度进行分析，每种方法都提供了独特的见解此外，尝试将平面问题推广到空间，或将三维问题类比到高维，也是拓展几何视野的好方法从实际问题中抽象几何模型学会从日常生活和实际应用中识别几何模式，并将其抽象为几何模型，是应用几何思维的关键能力例如，观察建筑结构中的几何形态，分析交通网络的拓扑特性，或研究自然界中的对称现象，都能帮助学习者将抽象几何知识与具体实践联系起来，加深理解中学几何教学重点难点三角形全等与相似的证明圆的性质与证明立体几何中的空间想象三角形全等与相似的证明是中学几何的核圆的性质涉及切线、弦、圆周角等多种元立体几何要求较强的空间想象能力，学生心内容，也是学生常感困难的部分困难素之间的关系，概念多且相互联系紧密常常难以从二维表示中正确理解三维结主要在于如何选择适当的证明方法（如学生常在圆幂定理、切线性质和弦切角定构特别是在处理复杂的截面、投影和二SSS、SAS、ASA等）以及如何设计证明思理等方面遇到困难理解这些性质需要建面角计算时，空间关系的正确把握成为关路辅助线的添加和关键点的构造常常是立清晰的几何图像，并能灵活应用这些性键使用实体模型、动态几何软件和多视解决此类问题的关键，需要通过大量练习质解决复合问题图训练可以帮助克服这一难点培养直觉张博士访谈

（五）学习建议建立扎实的几何基础解决几何问题的策略自学几何和资源推荐要建立扎实的几何基础，首先需要充分解决几何问题时，我推荐以下策略首自学几何时，系统性和实践性同样重理解基本概念和定理我建议学生从欧先，准确绘制图形，标明已知和待求元要建议按照历史发展脉络学习从欧几里得《几何原本》开始，即使不通读素；其次，考虑是否可以应用标准定理几里得几何到解析几何，再到现代几全书，也应了解其中的基本定理和证明或公式；如果问题复杂，尝试添加辅助何《几何原本》、希尔伯特的《几何方法基础阶段应注重动手操作和图形线、分解问题或使用特殊点；最后，验基础》、柯克斯特的《几何导论》是值绘制，这有助于建立几何直觉证结果的合理性得推荐的经典著作同时，不要忽视坐标几何和向量几何等遇到难题不要气馁，有时需要换一种思在线资源方面，Khan Academy提供了现代方法，它们提供了解决几何问题的路或方法例如，综合几何方法不奏效优质的几何教程，GeoGebra社区有丰富强大工具理解不同几何方法之间的联时，可以尝试坐标法或向量法；或者考的交互式几何应用对于研究生和专业系，能够从多角度分析问题，形成全面虑问题的特殊情况，然后推广到一般情人士，推荐阅读Springer出版的《几何工的几何认知体系况保持思维的灵活性和开放性非常重具箱》系列和《微分几何讲义》等专业要著作，以及关注几何与拓扑学的顶级期刊文章几何证明的艺术几何证明是数学推理的艺术，不同的证明方法适用于不同类型的问题直接证明是最常见的方法，它从已知条件出发，通过逻辑推理直接得出结论反证法（也称为归谬法）则假设结论的否定为真，推导出矛盾，从而证明原结论成立数学归纳法主要用于证明与自然数相关的几何命题，如多边形内角和公式代数与几何证明的结合展现了数学的统一美解析几何将几何问题转化为代数方程，利用代数技巧求解；向量方法则通过向量运算简化几何关系的表达和处理张博士强调，优美的几何证明应具备简洁性、见解性和启发性，能够揭示几何问题的本质，并为类似问题提供思路一个经典例子是欧几里得对无穷素数定理的证明，它简洁而深刻，被高斯誉为纯几何之珠几何问题解决策略综合问题解决整合多种方法，灵活应对复杂问题变换思想运用几何变换简化问题特殊情况分析从简单特例入手，推广到一般情况辅助线添加巧妙构造辅助元素，揭示隐藏关系辅助线的添加是解决几何问题的关键技巧有效的辅助线能揭示图形中隐藏的关系，创造新的几何元素，帮助建立关键联系常用的辅助线包括连接特殊点（如中点、垂足）、作平行线或垂线、延长已有线段、补全特殊图形（如平行四边形）等选择合适的辅助线需要几何直觉和经验，这种能力需要通过大量练习培养变换思想在几何问题解决中非常强大通过平移、旋转、反射、相似等变换，可以将复杂问题简化或转化为已知问题数形结合是另一重要策略，它综合利用几何直观和代数技巧，扬长避短例如，复杂的角度关系可以通过三角函数处理，繁琐的距离计算可以通过坐标法简化掌握这些策略，能够使几何问题解决变得更加灵活高效几何学中的经典问题四色定理费马点问题任何平面地图都可以用四种颜色着色，在平面上给定三个点，找出第四个点使使得相邻区域颜色不同这个看似简单得它到给定三点的距离之和最小这个的定理直到1976年才被证明，其证明使问题有优美的几何解若三角形的各内开普勒猜想三大作图难题用了计算机辅助验证大量情况，成为数角都小于120°，费马点是三条120°角等关于三维空间中球体最密堆积方式的猜学史上第一个依赖计算机的重要定理证分线的交点；若有一个角大于等于古希腊数学家提出的三个著名问题倍想，由开普勒于1611年提出猜想认为明120°，则费马点就是该角的顶点立方（用尺规作出边长是给定立方体两面心立方堆积和六方密堆积实现了最大倍体积的立方体）、角三等分（将任意密度约

74.048%这个猜想在1998年由角三等分）和化圆为方（作出与给定圆美国数学家托马斯·黑尔斯证明，证明过等面积的正方形）这三个问题在仅使程极其复杂，需要大量计算机验证用直尺和圆规的条件下被证明不可解现代几何学趋势计算几何学的发展计算几何学作为理论计算机科学的一个分支，研究几何问题的算法设计与分析近年来，面对大数据处理的需求，高维计算几何算法取得重要突破，如局部敏感哈希、近似最近邻搜索等技术的改进，使高维几何数据的处理效率大幅提升离散微分几何离散微分几何研究曲线和曲面的离散表示，建立离散情况下的微分几何理论这一领域近年来快速发展，为计算机图形学、物理模拟和数字制造提供了理论基础离散最小曲面、离散共形映射和离散曲率流等研究不仅具有理论意义，也有广泛的实际应用几何深度学习几何深度学习是机器学习与几何学交叉的新兴领域，专注于设计能处理非欧几何数据（如图、流形、点云等）的神经网络架构图卷积网络、点云网络等模型突破了传统深度学习对规则网格数据的依赖，能够直接在几何结构上进行学习，在三维形状分析、分子设计等领域展现出强大潜力量子信息几何量子信息几何研究量子状态空间的几何结构，以及量子信息处理的几何方法量子态之间的距离度量、量子纠缠的几何表示、量子错误修正的几何解释等主题成为研究热点这一领域的进展不仅有助于理解量子力学的基本性质，也为量子计算和量子通信的发展提供了新视角张博士访谈

（六）学科交叉张博士谈到几何学与其他学科的交叉融合时强调几何学的思维方式和方法正在各个领域产生革命性影响在人工智能领域，几何学提供了处理高维数据的工具和理解神经网络内部结构的视角我们开发的几何深度学习模型能够直接在非欧几何数据上操作，如分子结构、社交网络等，突破了传统深度学习的限制关于生物学与几何的结合，张博士解释生物结构如蛋白质折叠、DNA螺旋、细胞膜形态等都可以用几何模型描述我们应用微分几何和计算几何方法分析这些结构，帮助理解其功能和演化过程在材料科学中，晶体结构、纳米材料、超材料的设计都依赖于几何学原理特别是准晶体的发现，展现了非周期性几何图案在材料中的实现社会网络分析也越来越依赖几何方法，我们开发的几何算法能够揭示网络中的社区结构和影响力传播模式几何学在数据科学中的应用高维数据可视化高维数据可视化是数据科学中的关键挑战几何学提供了降维和投影技术，如主成分分析PCA、t-SNE和UMAP等，能够将高维数据映射到二维或三维空间进行可视化，同时保留数据的关键几何结构这些技术帮助数据科学家识别数据中的模式、聚类和异常值流形学习与降维流形学习基于数据点可能位于低维流形上的假设，通过保持局部几何结构发现这种隐含的低维表示算法如等距映射Isomap、局部线性嵌入LLE和拉普拉斯特征映射等，能够捕捉数据的非线性几何结构，比传统线性降维方法效果更好，广泛应用于图像处理、自然语言处理等领域几何深度学习几何深度学习将深度学习方法扩展到非欧几何数据结构上，如图、点云和流形图卷积网络GCN、点云网络PointNet和流形卷积等模型能够直接在这些几何结构上学习特征，而不需要将其转换为规则网格数据这些方法在分子特性预测、三维形状分析、社交网络分析等任务中表现出色拓扑数据分析拓扑数据分析TDA利用代数拓扑工具研究数据的形状特性持续同调Persistent Homology是TDA的核心技术，能够识别数据中的拓扑特征（如连通分量、环和空腔）及其稳定性TDA已成功应用于复杂系统分析、科学图像处理和生物医学数据分析等领域，提供了传统方法难以获取的数据洞察几何学与艺术的交融透视法则与绘画艺术文艺复兴时期，艺术家发展了科学的透视法则，将三维空间准确投影到二维画面上阿尔贝蒂、布鲁内莱斯基和达·芬奇等人通过研究射影几何，创造出具有逼真空间感的艺术作品透视法不仅是一种技术，更成为西方艺术传统的基础，塑造了人们对视觉空间的认知伊斯兰艺术中的几何图案伊斯兰艺术以其复杂精致的几何图案闻名于世由于宗教禁忌对具象表现的限制，伊斯兰艺术家发展出极其精湛的几何装饰艺术这些图案基于正多边形的复杂排列和对称变换，创造出令人惊叹的视觉效果，阿尔罕布拉宫的装饰就是这种艺术的杰出代表埃舍尔作品中的几何学荷兰艺术家M.C.埃舍尔的作品将数学与艺术完美结合他创造的不可能物体、周期性镶嵌和空间扭曲等作品，展示了对拓扑学、射影几何和晶体学的深刻理解埃舍尔通过视觉悖论和几何变换，挑战观者的空间感知，创造出既有艺术美感又具数学深度的作品自然界中的几何现象植物生长中的数学规律动物形态中的对称性植物生长展现了惊人的数学规律向日对称性在动物世界中普遍存在大多数葵的种子排列、松塔的鳞片、树叶的分动物展现双侧对称，这与运动方向相布常遵循斐波那契序列，形成有效的空关；而海星、水母等则表现出辐射对间填充黄金角（约

137.5°）在许多植称昆虫的翅膀、蝴蝶的花纹、斑马的2物的叶序中出现，确保每片新叶获得最条纹都体现了几何对称性，既有进化功大阳光能，也创造了自然美学雪花与晶体结构最小表面与泡沫结构雪花的六角对称性源于水分子的晶体结肥皂泡膜形成最小表面，遵循能量最小构每片雪花虽然独特，但都遵循相同化原理多个泡沫连接处形成的普拉托的结晶规律，体现了微观几何与宏观形界面，总是以120°角相交，这是自然寻态的联系矿物晶体、盐晶等也展示了求最优解的表现类似的最小表面原理原子排列的几何规律，创造出迷人的多在细胞结构、蜂巢和自然形成的网络中面体形状都能观察到张博士访谈

（七）几何思维的力量几何思维对科学发现的推动几何思维在科学史上催生了许多重大发现爱因斯坦的广义相对论本质上是将引力重新诠释为时空几何，这一几何视角彻底改变了我们对宇宙的理解同样，DNA双螺旋结构的发现也与沃森和克里克对分子几何构型的洞察密不可分几何思维的价值在于它能捕捉事物的结构关系，揭示其中的规律和模式几何直观在理论突破中的作用许多理论突破始于几何直观例如，阿蒂亚和辛格的指标定理，将拓扑学与微分方程联系起来，最初就源于几何洞察我自己的研究中，解决复杂算法问题时，常常先通过几何图形理解问题本质，再设计算法几何直观不仅帮助理解已知理论，还能引导我们发现新问题和新联系跨领域思考的几何基础几何学为跨领域思考提供了共同语言例如，神经网络的训练过程可以理解为高维空间中的优化问题，这一几何视角帮助研究者改进算法同样，材料科学中的相变现象可通过几何相变来理解，生物系统中的结构可通过几何形态分析几何概念如距离、角度、曲率等，为不同领域的问题提供了统一的描述框架培养几何思维的建议培养几何思维首先要打好基础，理解基本几何概念和定理；其次要多观察，从自然、艺术和科技中发现几何模式；然后要多实践，通过解题、绘图和建模来锻炼几何能力；最后要多思考，尝试用几何方式理解各种问题我建议学生养成图形思考的习惯，遇到问题先画图，这往往能带来意想不到的洞察几何学的哲学思考几何学的本体论问题柏拉图理念论与几何形式公理系统与完备性几何学的本体论核心问题是几何对象柏拉图的理念论认为可见世界只是理念几何学公理系统的一致性与完备性问题是否客观存在，还是纯粹的心智构造？世界的阴影，几何形式则属于永恒理引发了深刻的数学哲学争论希尔伯特柏拉图主义认为几何形式作为理念是独念在《蒂迈欧篇》中，柏拉图将宇宙的《几何基础》建立了欧氏几何的完整立于人类心智而存在的；构造主义则认基本元素与正多面体对应，展示了他对公理系统，但哥德尔不完备性定理揭示为几何对象是人类思维的产物，仅通过几何学与自然本质联系的深刻思考了任何包含基本算术的形式系统都不可构造过程而存在能同时保证一致性和完备性柏拉图学院门口据说刻有不懂几何者不现代数学哲学中，结构主义观点认为几得入内的字样，反映了古希腊人对几何这一发现对几何学的哲学基础产生深远何对象的价值在于它们的关系结构，而学作为思维训练和哲学基础的重视几影响，挑战了传统观念中数学真理的确非单独的实体这一观点与现代几何学何学被视为理解理念世界的阶梯，引导定性和完整性现代几何学不再追求单的发展相呼应，例如，微分几何和拓扑心灵超越感官经验，把握永恒真理一的绝对真理，而是探索多种几何模型学更关注几何对象间的关系，而非个体及其相互关系，如欧氏几何、黎曼几性质何、双曲几何等教育技术与几何学习动态几何软件的教学应用动态几何软件如GeoGebra、几何画板等彻底改变了几何教学方式这些工具允许学生通过拖动图形元素实时观察几何关系的变化，从而建立更深入的理解教师可以设计交互式活动，让学生探索几何定理，自行发现规律，培养主动学习能力虚拟现实技术与空间想象虚拟现实VR技术为几何学习提供了沉浸式体验，特别有助于提升空间想象能力学生可以在虚拟环境中操作三维几何体，观察从不同角度的投影，理解复杂的空间关系这种技术对立体几何和高维几何概念的教学尤为有效，能够克服传统平面表达的局限性增强现实技术的几何展示增强现实AR技术将虚拟几何对象与现实环境结合，创造出独特的学习体验通过AR应用，学生可以在现实环境中放置和操作三维几何模型，测量角度和距离，进行虚拟构造这种技术特别适合连接抽象几何概念与实际应用，增强学习的相关性和趣味性交互式几何课件设计现代几何课件强调交互性和探究性，超越了传统的静态演示优质课件通常包含探究任务、即时反馈和适应性内容，根据学生的操作提供个性化指导数据分析功能可以帮助教师追踪学生的学习进程，识别常见误解，优化教学策略几何课件制作技巧几何画板软件新功能应用最新版几何画板软件加入了多项强大功能，如三维可视化、脚本编程和网络协作三维可视化模块允许创建和操作立体几何图形，观察三维截面；脚本编程功能支持用户创建自定义工具和自动化构造流程；网络协作功能则使师生能够在线共享和共同编辑几何构造，有效支持远程教学和小组项目参数控制与动态演示设计有效的动态几何演示应设计滑块控制参数，让用户能够连续调整变量并观察结果例如，通过滑块控制多边形边数、圆锥截面角度或变换矩阵参数设计时应注意保持界面简洁，突出关键变化，设置适当的参数范围，并添加视觉提示（如轨迹、颜色变化）以突显重要关系这种交互式演示能够直观展示几何概念的连续变化过程三维几何可视化技巧三维几何可视化需要特别注意视角控制、透明度设置和截面展示应提供多视角控制选项，让用户从不同方向观察几何体；为复杂立体设置适当透明度，显示内部结构；使用动态截平面，展示三维物体的内部构造配色方案应有助于区分不同元素，阴影和光照效果则能增强空间感知交互式几何问题设计设计交互式几何问题时，应构建开放性问题，鼓励探索而非简单验证；提供足够但不过多的初始条件，留给学生探索和发现的空间；设置阶梯式难度，从基础观察到深入分析；集成即时反馈机制，但不直接给出答案，而是提供思考方向的提示；最后，预设多种解决路径，适应不同学习风格和思维方式张博士访谈

（八）面向未来人工智能时代的几何教育面向应用的几何课程设计数字化时代的几何素养人工智能正在改变几何教育的方式一传统几何课程往往过于抽象，与实际应在数字化时代，几何素养的内涵已经扩方面，AI辅助工具能够识别学生的解题用脱节面向未来的几何课程应强调跨展除了传统的几何知识和空间想象能模式和困难点，提供个性化学习路径；学科连接和实际应用例如，将计算机力，还包括算法思维、数据可视化能力另一方面，几何问题求解器和证明系统图形学中的几何算法、建筑设计中的几和批判性思考面对AI生成的几何模型使教师能够专注于培养学生的几何直觉何原理或数据科学中的几何方法融入课和可视化结果，人们需要能够判断其准和创造性思维，而非机械计算程，让学生理解几何在解决实际问题中确性和适用性的价值我认为，未来的几何教育将更加注重培我们应该从小培养全面的几何素养幼养与AI互补的能力几何直觉、空间想项目式学习是一个有效方法我们可以儿园可以通过积木和拼图培养空间感象力、问题建模能力和创造性思维我设计如基于激光三维扫描的建筑模型重知；小学阶段引入基本几何概念和直观们需要重新思考评估方式，从测试记忆建、优化城市交通网络等项目，让学生理解；中学深入几何推理和证明；高校转向评估理解和应用，鼓励学生利用AI将几何知识应用于真实场景这种方法则将几何与各专业领域结合，培养专业工具进行更深层次的探索不仅加深理解，还培养了团队协作和创化的几何应用能力新能力几何学习评估方法1几何思维能力的评估维度全面的几何思维评估应包括多个维度空间想象能力（理解和操作空间对象）；几何推理能力（进行逻辑推导和证明）；几何建模能力（将实际问题抽象为几何模型）；几何问题解决能力（运用几何知识解决问题）；以及几何应用能力（将几何知识应用于其他学科或实际场景）2空间想象力测试方法空间想象力可通过多种方法测试心理旋转测试（判断旋转后的物体）；空间关系测试（识别不同视角下的物体）；折纸测试（预测纸张折叠和展开后的形状）；截面想象（推断三维物体的平面截面形状）；以及三维构建任务（根据二维图纸构建三维模型）VR技术为这些测试提供了新的实施方式3几何问题解决策略评价评价几何问题解决策略时，应关注以下方面问题分析（正确理解问题并识别关键元素）；策略选择（选用合适的解题方法）；辅助元素构造（添加辅助线、辅助点等）；解题过程的条理性和逻辑性；以及解法的多样性和创新性可以通过思维过程记录、有声思维法或解题过程分析来评估这些能力4过程性评价与结果性评价的结合有效的几何学习评估应结合过程性评价和结果性评价过程性评价关注学习过程中的理解构建、策略应用和反思调整；结果性评价则检验最终掌握的知识和能力教学实践中可采用多元评价工具观察记录、作品分析、学习档案、动态几何探究报告、同伴评价和自我评价等，形成全面的评估体系几何教学个性化学习风格与几何教学方法分层教学策略探究式几何学习活动设计分层教学根据学生能力水平设不同学习风格的学生需要不同计不同层次的教学内容和方探究式几何学习活动强调学生的几何教学方法视觉型学习法基础层关注基本概念理解主动发现和建构知识有效的者通过图形和模型学习效果最和简单应用；提高层强调概念探究活动应具备清晰的探究问佳，应提供丰富的视觉材料；间联系和中等难度问题解决；题，适度的支持结构，充分的动觉型学习者通过操作和实践拓展层则挑战学生探索开放性操作和思考空间，以及反思和理解几何概念，适合动手制作问题和高阶应用分层教学应交流环节例如，让学生探究几何模型和使用操作性软件；动态调整，允许学生根据不同圆内接多边形的周长变化规听觉型学习者则受益于口头解主题在不同层次间流动律，或研究不同截面产生的锥释和讨论，可设计小组讨论和形截面类型口头阐述任务几何学习困难学生的辅导策略对几何学习有困难的学生，可采用以下辅导策略打破复杂概念为小步骤；提供多感官学习体验；使用类比和实际模型建立直观理解；提供即时反馈和成功体验；针对特定障碍设计专项训练对空间想象力弱的学生，可通过实物模型和渐进式三维任务进行针对性训练张博士的研究成果展示中国几何学研究现状24%137全球引用占比重点实验室中国几何学研究论文在全球引用中的比例，较十年前增长了三倍全国设有几何学及相关方向研究的重点实验室数量亿

5.818%年度投入年增长率国家自然科学基金委员会和科技部对几何学研究的年度经费投入（人民币）中国几何学及应用研究论文发表数量的年均增长率中国几何学研究在微分几何、计算几何和应用几何领域取得了显著进展特别是在离散微分几何、几何深度学习和高维数据分析方面，中国学者的贡献得到了国际认可与国际前沿相比，中国在理论几何方面已经达到较高水平，但在几何学交叉应用领域仍有提升空间人才培养方面，中国高校几何学专业教育质量稳步提升，但创新型人才培养机制仍需完善未来发展机遇在于数字化转型带来的几何应用需求激增，以及国家对基础数学研究的持续支持主要挑战包括跨学科融合不足、应用转化渠道不畅，以及国际高端人才引进困难等张博士访谈

（九）寄语青年学子夯实基础打牢几何基本概念和方法，理解而非记忆建立联系将几何与其他学科知识融会贯通，发现共通之处勤于实践通过解题、建模和应用培养几何直觉和能力勇于创新跳出传统思维框架，探索问题新角度和新方法对未来数学教育者，我希望你们能平衡传统与创新，既重视几何基础知识的传授，也关注现代技术与方法的融入数学教育不应只关注技能培养，更应注重思维方式的塑造几何教学尤其要避免公式化和机械化，应鼓励学生通过探索和发现建立自己的理解对所有数学爱好者，我想说数学之美不在于复杂的公式，而在于简洁统一的原理；数学之力不在于繁琐的计算，而在于深刻的思想方法几何学作为数学中最富直观性的分支，是理解这种美和力量的绝佳入口无论你将来从事何种职业，几何思维都将是你分析问题、寻找解决方案的有力工具保持好奇心，保持探索精神，你会发现几何世界的精彩远超想象互动环节几何思考题现在我们进入互动环节，以下是几道经典几何思考题，邀请大家一起思考第一题求证一个平面上的任意四边形，其对角线中点连线所形成的四边形必为平行四边形第二题三个半径相等的圆彼此外切，求证这三个圆的切点恰好在一个圆上接下来是开放性探索问题在平面上随机选取n个点，连接成多边形，这个多边形被对角线分割成若干区域，请探索点数n与区域数的关系，尝试找出一般规律这些问题旨在训练几何直觉和创新思维，我们鼓励大家尝试多种解法，并思考这些问题在实际应用中的意义，例如如何将第一个定理应用到机械设计中，或者第三个问题与计算几何的关联资源推荐经典几何学著作优质在线学习平台几何软件工具与专业资源《几何原本》（欧几里得）西方数学中国大学MOOC平台提供多所知名大几何软件GeoGebra、几何画板的经典之作，系统阐述了平面几何和立学的几何学课程，包括微分几何、计算（Geometers Sketchpad）、Cabri3D体几何的基本原理几何等等动态几何软件《几何直观》（希尔伯特、库恩）探学堂在线北京大学、清华大学等高校专业期刊《计算几何理论与应讨几何学与直观的关系，深入浅出地介的几何课程，配有丰富的交互式内容用》、《离散与计算几何》、《微分几绍几何思想何期刊》等GeoGebra在线社区提供众多几何教学《微分几何讲义》（陈省身）微分几资源和可交互的几何应用数学会议国际计算几何研讨会何的经典教材，内容严谨而富有洞见SoCG、微分几何国际会议、国际几何芝诺学院（Brilliant.org）提供有趣的与拓扑学大会等《什么是数学》（柯朗、罗宾）包含几何问题和系统化的几何课程丰富的几何内容，适合广泛读者群体在线资源库中国知网几何学专题、ArXiv几何预印本、国际几何中心资源库等结语几何之美与智慧几何学的永恒魅力学习几何的人生价值几何学跨越三千年历史长河，始终保持着学习几何不仅是掌握一门学科知识，更是独特魅力从古希腊神庙的比例到现代建培养一种思维方式几何思维教会我们如筑的曲线，从艺术作品的构图到科学理论何观察、分析、推理和创造它培养我们的基础，几何之美无处不在这种美源于的空间想象力、逻辑思维能力和问题解决几何的和谐、对称与简洁，体现了人类对能力，这些能力在人生各个领域都有深远秩序与规律的追求价值未来探索的无限可能张博士的最后寄语几何学仍在不断发展，高维几何、计算几几何不仅是关于形状的科学，更是关于何、量子几何等前沿领域充满无限可能思考的艺术希望大家能够从几何学中获同时，几何学与人工智能、生物科学、材取知识，培养能力，更重要的是，发现美料科学等领域的交叉融合，将催生更多创丽世界背后的规律与智慧无论你的职业新成果几何探索的道路无止境，期待更道路如何，几何思维都将成为你宝贵的财多年轻人加入这一探索之旅富。