【高中数学课件】正切、余切函数的奇偶性、单调性

正切、余切函数的奇偶性与单调性欢迎来到高中数学三角函数专题课程！本次课件将深入探讨正切、余切函数的奇偶性与单调性的核心概念，帮助同学们全面掌握这两个重要三角函数的基本性质本课件由XXX老师精心设计，适用于高中阶段的数学必修内容，将通过图像分析、公式推导和应用实例，帮助你建立对这些函数性质的直观认识和理论理解让我们开始这段数学探索之旅，发现正切、余切函数隐藏的数学之美！课程导入回顾已学内容引入新问题在之前的课程中，我们已经详细学习了正弦函数sinx和余弦函那么，作为正弦和余弦函数的商，正切函数tanx=sinx/cosx数cosx的基本性质我们知道正弦函数是奇函数，其图像关于和余切函数cotx=cosx/sinx又有怎样的奇偶性与单调性呢？原点对称；而余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称在单调性方面，正弦函数在区间-π/2,π/2内单调递增，余弦函它们的图像与已学函数有何异同？这些问题将是我们本节课的探数在0,π内单调递减这些性质为我们理解三角函数的变化规讨重点通过对这些性质的深入理解，我们能够更全面地掌握三律提供了基础角函数体系本节学习目标理解正切、余切函数的掌握其奇偶性、单调性定义及证明准确掌握正切函数tanx和余通过严格的数学推导，证明正切函数cotx的定义式、定义切、余切函数的奇偶性，并分域和值域，为后续性质分析打析其在不同区间上的单调性变下基础化规律能分析图像并解决相关题型学会根据函数性质绘制和分析正切、余切函数图像，并能够灵活运用这些性质解决实际问题正切函数定义定义式定义域正切函数是三角函数中的重要一由于分母不能为零，所以正切函员，定义为正弦函数与余弦函数数的定义域为的商x≠kπ+π/2,k∈Ztanx=sinx/cosx也就是说，当cosx=0时，即从几何意义上看，它表示单位圆x=kπ+π/2时，正切函数无定上对应角的切线长度义值域正切函数的值域为整个实数集R，即-∞,+∞这意味着正切函数可以取任意实数值，这一特性与正弦和余弦函数的有限值域形成鲜明对比余切函数定义定义式定义域值域余切函数是正切函数的倒数，定义为由于分母不能为零，所以余切函数的与正切函数类似，余切函数的值域同余弦函数与正弦函数的商定义域为样是整个实数集R，即-∞,+∞cotx=cosx/sinx=1/tanx x≠kπ,k∈Z这使得余切函数能够表示任意大小的数值，在许多数学和物理应用中具有从几何角度看，它表示单位圆上对应也就是说，当sinx=0时，即x=kπ重要作用角的余切线长度时，余切函数无定义正切函数的基本性质周期性正切函数的周期为π，即对于任意x（在定义域内），都有tanx+π=tanx这意味着其图像每隔π就会完全重复一次奇偶性初步描述通过观察可以发现，正切函数关于原点对称，具有奇函数的特性也就是说，对于任意x（在定义域内），都有tan-x=-tanx单调性初步描述正切函数在其定义区间-π/2,π/2内单调递增，且增长速度不均匀靠近区间端点时，函数值变化剧烈，呈现出爆炸式增长的趋势余切函数的基本性质周期性余切函数的周期同样为π，即对于任意x（在定义域内），都有cotx+π=cotx这与正切函数的周期性一致，图像每隔π完全重复一次奇偶性初步描述与正切函数类似，余切函数也关于原点对称，具有奇函数特性对于任意x（在定义域内），都有cot-x=-cotx单调性初步描述余切函数在区间0,π内单调递减，与正切函数的单调递增形成对比在接近区间端点时，余切函数同样表现出剧烈变化的特性奇偶性基本定义奇函数定义偶函数定义常见例子对于定义在对称区间上的函数fx，如果对于定义在对称区间上的函数fx，如果奇函数的例子sinx、x³、x^5对于任意x∈定义域，都有对于任意x∈定义域，都有偶函数的例子cosx、x²、|x|f-x=-fx f-x=fx判断函数奇偶性的关键是验证它是否满则称fx为奇函数从几何角度看，奇函则称fx为偶函数从几何角度看，偶函足对应的函数关系式数的图像关于原点对称数的图像关于y轴对称正切函数的奇偶性证明结论正切为奇函数tan-x=-tanx推导步骤利用定义式和已知性质初始条件sin-x=-sinx,cos-x=cosx现在让我们进行详细的推导过程tan-x=sin-x/cos-x=-sinx/cosx=-sinx/cosx=-tanx上述等式成立，是因为我们知道正弦是奇函数，所以sin-x=-sinx；余弦是偶函数，所以cos-x=cosx将这两个性质代入正切的定义式，可以清晰地得出正切函数是奇函数这也解释了为什么正切函数的图像关于原点对称余切函数的奇偶性证明结论余切为奇函数cot-x=-cotx推导步骤利用定义式和已知性质初始条件sin-x=-sinx,cos-x=cosx下面是余切函数奇偶性的详细推导cot-x=cos-x/sin-x=cosx/-sinx=-cosx/sinx=-cotx这个证明与正切函数的推导类似，只是分子分母互换由于cos-x=cosx（余弦是偶函数）和sin-x=-sinx（正弦是奇函数），所以余切函数cotx也是奇函数这也解释了为什么余切函数的图像同样关于原点对称，展现出奇函数的特性奇偶性直观理解奇函数的图像特征奇函数的图像具有关于原点的对称性如果将图像沿原点旋转180°，则图像与原来完全重合这种对称性是奇函数f-x=-fx性质的几何体现偶函数的图像特征偶函数的图像关于y轴对称如果将图像沿y轴进行翻折，则图像与原来完全重合这是偶函数f-x=fx性质的几何表现正切与余切的对称性正切和余切函数都是奇函数，因此它们的图像都具有关于原点的对称性看图可知，如果我们取正切或余切图像上的任意一点a,fa，则点-a,-fa也一定在图像上单调性基本定义单调递增的定义单调递减的定义₁₁如果在区间I上，对于任意x,如果在区间I上，对于任意x,₂₁₂₁₂x∈I且x x∈I且x fx，则称函数fx在区间I上是单调递减的简言之，自变量增大，函数值也随之增大也就是说，自变量增大，函数值反而减小判别方法函数的导数可以用来判断其单调性若fx0，则fx在该点附近单调递增；若fx0，则fx在该点附近单调递减正切函数的单调性区间1区间确定正切函数的单调区间为−π/2+kπ,π/2+kπ,k∈Z这些区间恰好是正切函数的各个定义区间，每个区间两端都有渐近线2单调性质在每个区间内，正切函数都是严格单调递增的这意味着x值越大，对应的tanx值也越大，没有任何例外3图像特征从图像可以看出，正切函数在每个单调区间内都是从负无穷增加到正无穷特别是在接近区间边界时，函数值的变化变得极为剧烈余切函数的单调性区间1区间确定余切函数的单调区间为kπ,k+1π,k∈Z这些区间同样是余切函数的定义区间，每个区间两端都有渐近线2单调性质在每个区间内，余切函数都是严格单调递减的也就是说，随着x值的增大，cotx的值反而减小3图像特征从图像可见，余切函数在每个单调区间内都是从正无穷减小到负无穷同样，在接近区间边界时，函数值变化十分剧烈正切函数单调性证明利用导数进行证明应用微分学的方法计算的导数tanxtanx=sec²x=1/cos²x分析导数符号证明导数恒为正值首先，我们知道函数fx的导数fx0时，函数在该区间上单调递增计算正切函数的导数tanx=d/dx[sinx/cosx]=[cosx·cosx-sinx·-sinx]/cos²x=[cos²x+sin²x]/cos²x=1/cos²x=sec²x由于cos²x0（当x≠kπ+π/2时），所以sec²x0，即tanx0这证明了正切函数在任意定义区间−π/2+kπ,π/2+kπ内都是严格单调递增的余切函数单调性证明利用导数进行证明1应用微分学的方法计算的导数cotxcotx=-csc²x=-1/sin²x分析导数符号证明导数恒为负值我们知道函数fx的导数fx0时，函数在该区间上单调递减计算余切函数的导数cotx=d/dx[cosx/sinx]=[sinx·-sinx-cosx·cosx]/sin²x=[-sin²x-cos²x]/sin²x=-1/sin²x=-csc²x由于sin²x0（当x≠kπ时），所以-csc²x0，即cotx0这证明了余切函数在任意定义区间kπ,k+1π内都是严格单调递减的单调区间端点分析端点行为分析正切函数的单调区间−π/2+kπ,π/2+kπ和余切函数的单调区间kπ,k+1π的端点不在各自的定义域内，在这些点处函数无定义图像渐近线正切函数在x=π/2+kπ处有垂直渐近线，当x接近这些点时，函数值趋于正负无穷而余切函数在x=kπ处有垂直渐近线，同样表现出接近无穷的特性常见误区需要注意的是，渐近线只是函数图像的辅助线，函数在渐近线处无定义因此，讨论单调性时不应包含这些点，这是学生容易混淆的地方图像正切函数基本图像——正切函数的基本图像具有以下特点首先，曲线穿过原点，且在原点附近近似为一条直线这是因为当x接近0时，tanx≈x其次，图像关于原点对称，体现了其奇函数的性质在x=±π/2处有垂直渐近线，函数值在接近渐近线时迅速趋于正负无穷正切函数的图像在每个定义区间内都从负无穷单调递增到正无穷，形成了其特有的S形曲线由于周期为π，图像每隔π就完全重复一次图像余切函数基本图像——余切函数的基本图像具有以下特性首先，曲线不经过原点，这与正切函数有明显区别在原点处，cot0是无定义的，因为sin0=0其次，图像同样关于原点对称，体现了其奇函数特性在x=0和x=π处有垂直渐近线，函数值在接近这些点时迅速趋于正负无穷余切函数在每个定义区间内呈递减形态，从正无穷单调递减到负无穷与正切函数相比，余切函数的图像可以看作是正切图像的翻转，周期同样为π正切函数的周期性周期定义正切周期推导若存在正数T，使得fx+T=fx恒成立，则T2tanx+π=tanx的代数验证为函数周期最小正周期图像验证π是最小的使等式成立的正数图像每隔π完全重复一次正切函数的周期性可以通过代数方法证明tanx+π=sinx+π/cosx+π=-sinx/-cosx=sinx/cosx=tanx这里使用了sinx+π=-sinx和cosx+π=-cosx的性质从图像上看，正切函数每隔π个单位就会完全重复，因此π是正切函数的周期事实上，π还是正切函数的最小正周期，因为没有比π更小的正数能使tanx+T=tanx对所有x恒成立余切函数的周期性周期定义余切周期推导若存在正数T，使得fx+T=fx恒成立，则T2cotx+π=cotx的代数验证为函数周期最小正周期图像验证π是最小的使等式成立的正数图像每隔π完全重复一次余切函数的周期性同样可以通过代数方法证明cotx+π=cosx+π/sinx+π=-cosx/-sinx=cosx/sinx=cotx这里使用了sinx+π=-sinx和cosx+π=-cosx的性质从图像上可以直观看出，余切函数每隔π个单位就会完全重复因此，π是余切函数的周期，同时也是其最小正周期这表明正切函数和余切函数在周期性上是一致的，尽管它们的图像形状不同周期性与奇偶性的关系性质叠加图像对称点当一个函数同时具有周期性和由于奇函数性质，如果点a,奇偶性时，这两种性质会叠加tana在图像上，则-a,-产生更多的对称关系对于正tana也在图像上而由于切和余切函数，它们既是周期周期性，点a+π,tana也在为π的函数，又是奇函数，这图像上这两个性质结合，使使得它们的图像具有更丰富的得点-a+π,-tana也必在图对称性像上例题应用利用这种组合性质，我们可以解决许多与三角函数值相关的问题例如，已知tanπ/6=1/√3，我们可以立即得出tan5π/6=-1/√3，因为π/6与5π/6在一个周期内关于π/2对称比较正弦、余弦、正切、余切奇偶性函数奇偶性对称轴/点数学表达式sinx奇函数原点对称sin-x=-sinxcosx偶函数y轴对称cos-x=cosxtanx奇函数原点对称tan-x=-tanxcotx奇函数原点对称cot-x=-cotx从表中可以清晰地看出，四个基本三角函数中，除了余弦函数是偶函数外，其他三个（正弦、正切、余切）都是奇函数这种奇偶性直接影响了它们图像的对称特性理解这些奇偶性可以帮助我们快速判断函数在不同象限的符号和大小关系，简化计算过程例如，知道了正切是奇函数，我们就可以根据第一象限的值直接推导出第三象限的值，而不需要重新计算比较单调区间与性质总览典型例题讲解正切函数奇1偶性例题计算与的关系tan-x tanx请证明对于任意在定义域内的实数x，tan-x与tanx之间存在怎样的关系？并说明这种关系反映了正切函数的什么性质？解题思路利用正切函数的定义以及正弦、余弦函数的奇偶性，通过代数变形来推导tan-x与tanx的关系然后根据得到的关系式判断正切函数的奇偶性详细解答tan-x=sin-x/cos-x=-sinx/cosx=-tanx由于对于任意x（在定义域内），都有tan-x=-tanx，所以正切函数是奇函数这意味着正切函数的图像关于原点对称典型例题讲解余切函数单调2性例题在内的变化趋势cotx[0,π分析余切函数cotx在区间[0,π内的变化情况，并解释为什么在这个区间内不能说它单调递减？解题思路首先明确余切函数的定义域和单调性，然后分析给定区间内的特殊点和函数行为注意区间端点是否包含在函数的定义域内详细解答余切函数cotx在0,π内单调递减但是，在x=0处，cotx无定义，因为sin0=0所以，严格来说，在[0,π这个区间上，我们不能说cotx单调递减，因为函数在左端点处没有定义⁺正确的说法是cotx在0,π内单调递减，且当x→0时，⁻cotx→+∞；当x→π时，cotx→-∞典型例题讲解正切函数应用32π∞1周期范围解的数量主区间解数方程所有解的周期为π无穷多个解每个周期内1个解例题解方程tanx=1的所有解解答思路首先求出方程在主区间内的解，然后利用正切函数的周期性得到所有解详细解答当tanx=1时，在主区间-π/2,π/2内，x=π/4由于正切函数的周期为π，所以方程的所有解为x=π/4+kπ，其中k∈Z这个例题展示了如何利用正切函数的周期性来求解方程的所有解理解这一性质对解决三角方程十分重要典型例题讲解余切函数应用4问题提出₁₂₁₂若x,x∈0,π且x cotx关键性质余切函数在0,π内单调递减应用证明₁₂x cotx₁₂解答由于余切函数cotx在区间0,π内是单调递减函数，所以当x cotx这个结论可以通过求导证明cotx=-csc²x0，表明在定义域内余切函数始终单调递减该例题说明了余切函数单调性的典型应用在实际问题中，我们常常利用函数的单调性质来判断函数值的大小关系，这是解决不等式问题的重要手段图像理解进阶正切曲线分段1结构分段理解正切函数可以被视为由无数个相同形状的曲线段拼接而成，每段曲线对应一个长度为π的区间−π/2+kπ,π/2+kπ，k∈Z段内单调性在每一段内，函数值从负无穷单调递增到正无穷当x接近区间左端点时，函数值趋于负无穷；当x接近区间右端点时，函数值趋于正无穷渐近线的作用渐近线x=kπ±π/2是正切函数图像的重要组成部分，它们将函数图像分割成不同的区间，并指示了函数值趋于无穷的位置在绘制正切函数图像时，先画出这些渐近线是非常有帮助的图像理解进阶余切曲线分段结构2分段理解余切函数同样可以被视为由无数个相同形状的曲线段组成，每段曲线对应一个长度为π的区间kπ,k+1π，k∈Z段内递减在每一段内，函数值从正无穷单调递减到负无穷当x接近区间左端点时，函数值趋于正无穷；当x接近区间右端点时，函数值趋于负无与的区别tanx穷余切函数与正切函数的主要区别在于它们的渐近线位置不同（相差π/2）；正切函数在区间内递增，而余切函数在区间内递减；正切函数图像经过原点，而余切函数在原点处无定义奇偶性应用函数对称点判别——奇函数公式对称点判别结合周期性对于奇函数fx，有f-x=-fx利用奇函数性质，如果知道函数在某结合周期性和奇偶性，可以求解更复₀₀点x的值，就可以直接求出-x处的杂的问题应用于正切tan-x=-tanx函数值例如，tanπ+x=tanx（周期性），应用于余切cot-x=-cotx例如，已知tanπ/3=√3，则tan-结合tan-x=-tanx（奇偶性），可得π/3=-tanπ/3=-√3tanπ-x=-tanx单调性应用解三角不等式——问题类型对于形如tanxa或cotx解法步骤₀₀首先找出特殊值点，即tanx=a或cotx=b的解然后利用正切函数在−π/2+kπ,π/2+kπ内单调递增或余切函数在kπ,k+1π内单调递减的性质，确定不等式的解集例题应用例如，求解tanx1的解集我们知道tanπ/4=1，而且tanx在-π/2,π/2内单调递增，所以在这个区间内，当xπ/4时，有tanx1考虑周期性，解集为x∈π/4+kπ,π/2+kπ，k∈Z与实际问题结合斜率与正切函数——斜率定义奇偶性的几何意义单调性的应用在平面直角坐标系中，直线的斜率k等于该正切函数的奇函数性质反映在几何上如正切函数的单调递增性质表明随着角度直线与x轴正方向所成角的正切值如果这果一条直线与x轴正方向成角θ，其斜率为的增大（在-90°到90°范围内），直线的斜个角为θ，则k=tanθ这一关系建立了代tanθ；那么与它关于原点对称的直线与x率也单调增大这在工程测量、建筑设计数（斜率）与几何（角度）之间的联系轴正方向成角-θ，其斜率为tan-θ=-中有广泛应用，如坡度计算、道路设计tanθ等拓展复合函数的奇偶性判别判别规则例题分析对于复合函数fgx的奇偶例判断fx=tan2x的奇偶性，需要综合考虑内外函数的性解tanx是奇函数，即奇偶性若gx为奇函数，tan-x=-tanxgx=2x是奇fx为奇函数，则fgx为奇函数，因为g-x=-gx所函数；若gx为奇函数，fx以，fx=tan2x是奇函数的为偶函数，则fgx为偶函复合奇函数，结果是奇函数数；若gx为偶函数，则验证f-x=tan2·-fgx一定是偶函数，无论x=tan-2x=-tan2x=-fxfx的奇偶性如何扩展思考考虑更多复合函数的情况，如tanx²、sincosx等这些函数的奇偶性判断需要综合考虑各个函数的特性例如，x²是偶函数，所以tanx²是奇函数复合偶函数，结果为偶函数拓展复合函数的单调性讨论判别规则例题分析对于复合函数fgx的单调性，需要例讨论fx=cotπ/4-x在区间考虑内外函数的单调性若gx在0,π/4内的单调性解gx=π/4-区间I上单调递增，fx在gI上单调x在0,π/4内单调递减；cott在递增，则fgx在I上单调递增；若0,π/4内单调递减所以，gx在区间I上单调递增，fx在gI fx=cotgx在0,π/4内单调递上单调递减，则fgx在I上单调递增这可以通过求导验证fx=-减；若gx在区间I上单调递减，fx cotπ/4-x·-1=csc²π/4-x0在gI上单调递增，则fgx在I上单调递减；若gx在区间I上单调递减，fx在gI上单调递减，则fgx在I上单调递增应用场景这种复合函数单调性分析在解不等式、求极值等问题中非常有用掌握这一技巧可以帮助我们分析更复杂函数的性质，为解题提供更多思路误区警示端点不可包含定义域认识误区正确表述图像说明许多学生在讨论正切和正切函数tanx的单调从图像上看，正切和余余切函数的单调性时，区间应为开区间切函数在各自的单调区常常错误地包含了端−π/2+kπ,π/2+kπ，间端点处有垂直渐近点例如，认为tanx k∈Z余切函数cotx线，函数在这些点无定在[-π/2,π/2]上单调递的单调区间应为开区间义讨论单调性时只考增，这是不正确的，因kπ,k+1π，k∈Z虑函数有定义的区间为正切函数在x=±π/2在讨论这些函数的单调渐近线是函数图像的一处无定义性时，必须严格遵循其部分，但不属于函数图定义域像本身误区警示符号误判与区间变化单调区间常见错误奇偶性误判混淆各种三角函数的单调区间不恰当地推断复合函数奇偶性定义域忽略特殊值点混淆忽视函数定义域的限制各函数的特殊值点记忆错误一个常见的错误是将正切函数的单调区间与正弦函数混淆例如，有些学生认为tanx在[-π,π]上单调，这是完全错误的正切函数在x=±π/2处无定义，且在[-π,π]内有两个单调区间另一个常见错误是不考虑定义域的限制例如，在解不等式tanx0时，不恰当地得出x∈0,π/2∪π,3π/2的结论，忽视了x=π/2和x=3π/2不在定义域内正确的解应该是x∈0,π/2∪π,3π/2区域分段小结区间划分记忆按关键点划分记忆单调区间性质按区间归纳每个区间内函数的完整性质口诀辅助记忆3使用简单口诀快速记忆正切函数单调区间口诀正切半周期，左开右也开，中间过原点，两端无定义这表示正切函数在-π/2,π/2内单调递增，经过原点，在±π/2处无定义由于周期为π，其他区间可以通过平移获得余切函数单调区间口诀余切一周期，开区间递减，零派无定义，图像不过原这表示余切函数在0,π内单调递减，在0和π处无定义，图像不经过原点通过周期性可以获得其他区间的性质这些简单的口诀和归纳可以帮助我们快速掌握和应用这些函数的性质综合案例讲解问题提出₁₂₁₂已知tanx tanx，求x和x的位置关系分类讨论₁₂需要考虑x和x是否在同一单调区间内，这决定了解题的方向关键性质应用利用正切函数的单调性和周期性进行推理完整解答分情况得出结论并进行归纳₁₂解析正切函数在每个区间−π/2+kπ,π/2+kπ,k∈Z内单调递增若tanx tanx，有两种可能₁₂₁₂情况一如果x和x在同一个单调区间内，由于正切函数在该区间内单调递增，所以x x₁₂₁₂情况二如果x和x不在同一个单调区间内，则无法直接比较需要将x或x平移到同一单调区间后₂₁₁₂再比较例如，可以找到整数k，使得x+kπ与x在同一单调区间，然后比较x与x+kπ的大小图像绘制技巧与记忆绘制步骤记忆技巧绘制正切和余切函数图像的关键步骤如下记忆渐近线位置的方法正切半周期垂线立，余切整周期垂线立

1.首先，明确函数的关键点和特殊值点函数行为记忆正切原点过，左右对称，区内增；余切原点

2.其次，绘制垂直渐近线（对正切为x=±π/2+kπ，对余切为无，中心对称，区内减x=kπ）

3.最后，根据单调性和奇偶性绘制曲线段两函数关系记忆正余互为倒，渐近差半周，一增一减走，原点只过一记住正切图像过原点，余切图像不过原点；正切在区间内递增，余切在区间内递减这些口诀可以帮助我们快速回忆正切和余切函数的图像特征，使绘图变得更加容易图像变化与参数调整影响当正切函数和余切函数中引入参数时，如tanax+b和cotax+b，参数的变化会影响函数图像参数a的作用是水平方向的伸缩|a|1时图像水平压缩，0|a|1时水平拉伸，a0时还会发生翻转参数b的作用是水平平移函数图像沿x轴方向平移-b/a个单位例如，tan2x的图像是将tanx的图像水平压缩为原来的1/2，周期变为π/2；tanx-π/4的图像是将tanx的图像向右平移π/4个单位理解这些变换规律对分析和绘制更复杂的三角函数图像非常有帮助公式总结与口诀归纳奇偶性记忆口诀单调性判别口诀正弦余切皆为奇，余弦正切系数宜；奇加奇是偶，偶加偶是正弦第一象限增，余弦第一象限减；正切半周期内增，余切半偶，奇加偶是奇，奇减偶是奇周期内减这里有个小错误，应该是正弦正切皆为奇，余弦余切奇偶宜单调性快速判断正弦余弦半周期，互补区间反增减；正切余正确的是正弦函数和正切函数都是奇函数，余弦函数是偶函切半周期，原点渐近看位置数，余切函数是奇函数正切函数单调区间正切半周期，左开右也开，左负右则正，复合函数奇偶性口诀奇奇得奇，奇偶得偶，偶偶得偶，偶奇中点是原点得偶这指的是外层函数与内层函数组合后的奇偶性余切函数单调区间余切半周期，左右皆为开，左零右则派，中点是π/2图像加深对比、、、四图sin costan cot通过四个三角函数图像的对比，我们可以清晰地看到它们之间的关系和区别正弦和余弦函数的图像是有界的波浪线，值域在[-1,1]之间；而正切和余切函数的图像是无界的，有垂直渐近线，值域是整个实数集R关于对称性正弦和正切是奇函数，图像关于原点对称；余弦是偶函数，图像关于y轴对称；余切是奇函数，图像关于原点对称关于周期性正弦和余弦的周期是2π；正切和余切的周期是π关于单调性正弦在-π/2,π/2内递增；余弦在0,π内递减；正切在-π/2,π/2内递增；余切在0,π内递减实战训练判断正切函数奇1偶性1问题判断函数2问题判断函数12的奇偶性的奇偶性fx=tan-x gx=tan|x|分析fx=tan-x f-x=tan-分析gx=tan|x|g--x=tanx由于f-x≠fx且x=tan|-x|=tan|x|=gx因f-x≠-fx，所以fx=tan-x为g-x=gx，所以既不是奇函数也不是偶函数gx=tan|x|是偶函数3问题判断函数的奇偶性3hx=tan²x分析hx=tan²x h-x=tan²-x=[tan-x]²=[-tanx]²=tan²x=hx因为h-x=hx，所以hx=tan²x是偶函数实战训练判断余切单调区间21问题判断在区间2问题判断在区间3问题判断在区1cotx2cotx3cotπx上的单调性上的单调性间上的单调性[π/4,3π/4][3π/4,5π/4][1/4,3/4]分析余切函数cotx在0,π内单分析区间[3π/4,5π/4]包含了分析令t=πx，则当x∈[1/4,3/4]调递减区间[π/4,3π/4]⊂0,π，x=π，而cotx在x=π处无定义所时，t∈[π/4,3π/4]我们已知所以cotx在[π/4,3π/4]上单调递以我们需要将区间分为两部分在cott在[π/4,3π/4]上单调递减，减[3π/4,π上，cotx单调递减；在所以cotπx在[1/4,3/4]上单调递π,5π/4]上，cotx单调递减因减此，不能简单地说cotx在整个区间[3π/4,5π/4]上单调递减实战训练图像判读与性质分析3图分析图分析图分析123这是正切函数y=tanx的图像观察可这是余切函数y=cotx的图像观察可这是变形的正切函数图像，可能是见，图像具有以下特征曲线穿过原点；见，图像具有以下特征曲线不经过原y=tan2x或类似形式观察可见，图像周在x=±π/2处有垂直渐近线；图像关于原点点；在x=0和x=π处有垂直渐近线；图像关期变小（为π/2），渐近线间距减小，但仍对称，表明是奇函数；在-π/2,π/2内单于原点对称，表明是奇函数；在0,π内单保持原点对称的特性这说明函数经历了调递增这些特征都与正切函数的性质一调递减这些特征都与余切函数的性质一水平压缩变换，但奇函数特性保持不变致致实战训练性质速记填空题4函数奇偶性单调区间周期值域sinx奇函数-π/2,π/22π[-1,1]cosx偶函数0,π2π[-1,1]tanx奇函数-π/2,π/2π-∞,+∞cotx奇函数0,ππ-∞,+∞填空题练习

1.正切函数的定义域是___（答案x≠kπ+π/2,k∈Z）

2.余切函数在点π/4,1处的切线斜率是___（答案-2）

3.正切函数的图像在x轴上的交点是___（答案x=kπ,k∈Z）

4.若tanα=2，则tanπ+α=___（答案2）拓展思考题问题提出若tanx=cotπ/2-x，说明其图像对应关系代数证明利用三角函数的关系式进行推导tanx=cotπ/2-x=cosπ/2-x/sinπ/2-x=sinx/cosx这个等式是恒成立的，因为cosπ/2-x=sinx且sinπ/2-x=cosx几何解释从几何角度看，这个关系表明正切函数的图像与余切函数的图像存在一种互补关系具体来说，如果将余切函数的自变量做变换t=π/2-x，则得到的函数与正切函数完全相同图像关系这意味着余切函数的图像可以通过将正切函数的图像关于直线x=π/4进行反射获得这也解释了为什么余切函数的渐近线与正切函数的渐近线相差π/2总结回顾综合应用灵活运用性质解决实际问题图像分析理解图像特征与函数性质关系基本性质掌握奇偶性、单调性、周期性完整记忆定义理解正确理解正切、余切函数的基本定义本节课我们系统学习了正切和余切函数的奇偶性与单调性我们证明了正切和余切都是奇函数，且正切在区间-π/2+kπ,π/2+kπ内单调递增，余切在区间kπ,k+1π内单调递减我们还研究了这些函数的图像特征，包括渐近线、对称性和周期性易错点主要有混淆单调区间的端点、忽视定义域的限制、错误判断复合函数的性质要避免这些错误，必须牢记函数的定义域和基本性质，在解题时严格按照数学定义进行推导课堂作业与课后答疑课堂作业推荐学习资源常见问题解答

1.判断下列函数的奇偶性fx=tanx²+

1、《高中数学三角函数图像与性质》专题练习册Q:如何区分正切和余切的单调区间？gx=tanx/x（x≠0）、hx=tanx+tan-xA:记住正切在含原点的区间内递增，余切在

2.求函数y=tan2x-π/3的单调递增区间国家中小学网络云平台三角函数可视化教学资含π/2的区间内递减源

3.若cotα=-1，求cotπ-α和cotα+π的值Q:如何快速判断复合三角函数的奇偶性？数学建模案例正切函数在工程测量中的应用A:先分析内层函数的奇偶性，再根据奇奇得奇，奇偶得偶，偶偶得偶，偶奇得偶的规律判断。