【高中数学课件】正切函数、余切函数的图象与性质说课

正切函数、余切函数的图象与性质说课欢迎各位同学来到高中数学必修一第五章的学习在本节课中，我们将深入探讨正切函数和余切函数的图象与性质这是三角函数系统学习中的重要组成部分，对后续的高等数学学习也有重要影响我们将重点掌握正切和余切函数的定义、图像和性质，并建立函数概念与几何直观的联系通过图形与代数相结合的方式，帮助大家形成对这两个函数的深刻理解教学目标理解定义与基本性质掌握图象与作图方法掌握正切函数、余切函数的定能够准确绘制正切函数、余切义域、值域、奇偶性、周期性函数的图象，理解图象特点及等基本性质，建立完整的函数渐近线的意义概念应用能力培养能够应用正切函数、余切函数的性质解决实际问题，包括方程求解和实际应用场景知识回顾正弦函数余弦函数正弦函数定义为sin A=对边/斜边余弦函数定义为cos A=邻边/斜边正弦函数的图象是一条以2π为周期的波浪曲线，其值域为[-1,1]余弦函数的图象也是一条以2π为周期的波浪曲线，其值域为[-1,1]正弦函数是一个奇函数，图象关于原点对称余弦函数是一个偶函数，图象关于y轴对称正切函数的定义代数定义tan A=sin A/cos A几何意义tan A=对边/邻边定义域x≠π/2+kπ，k∈Z正切函数是由正弦函数与余弦函数的商得到的，需要特别注意的是，当余弦值为零时，正切函数无定义也就是说，正切函数在x=π/2+kπ处有间断点，这与其几何意义密切相关正切函数的几何意义单位圆表示在单位圆中，点Pcosθ,sinθ是圆上的一点，θ是扇形的弧度角射线延长从原点O向P点引一条射线，并延长该射线与x轴正方向的交点Q几何意义点Q的纵坐标即为tanθ的值，通过相似三角形可以证明，tanθ=sinθ/cosθ这种几何表示帮助我们直观理解为什么当θ接近π/2时，tanθ的值会趋于无穷大，因为射线会接近与y轴平行的位置，与x轴的交点会无限远离原点正切函数的基本性质

（一）周期性奇偶性正切函数的最小正周期T=π正切函数是奇函数这意味着对于任意的x（在定义对于任意x（在定义域内），都域内），都有tanx+π=tan x有tan-x=-tan x这与正弦余弦函数的周期2π不从图像上看，正切函数的图像关同，需要特别注意于原点对称定义域x≠π/2+kπ，k∈Z定义域可以表示为∪kπ-π/2,kπ+π/2，k∈Z由于cosπ/2+kπ=0，这些点处的正切值无定义正切函数的基本性质

（二）值域正切函数的值域是R（所有实数），即-∞,+∞这意味着正切函数可以取任意实数值零点正切函数的零点是x=kπ，k∈Z当x为π的整数倍时，函数值为0无界性当x趋近于π/2+kπ时，函数值趋于无穷大这导致了正切函数图像上的渐近线理解正切函数的这些性质对于准确绘制和分析其图像至关重要特别是无界性使得正切函数的图像与我们之前学习的正弦、余弦函数有明显区别正切函数图像的绘制步骤

（一）确定定义域正切函数y=tan x的定义域为x≠π/2+kπ，k∈Z这决定了图像的间断点确定零点零点为x=kπ，k∈Z在这些点处函数图像与x轴相交确定渐近线渐近线为x=π/2+kπ，k∈Z在这些垂直线附近，函数值趋于无穷大绘制正切函数图像时，首先要明确这些关键特征点的位置渐近线是正切函数图像的重要特征，表示函数在这些位置附近的增长速度非常快，趋于无穷大正切函数图像的绘制步骤

（二）分析单调性通过导数可以证明，正切函数在区间kπ,k+1π内单调递增这决定了函数图像的走势方向计算特殊点的函数值计算一些特殊角度的正切值，如tanπ/4=1，tanπ/3=√3，tanπ/6=1/√3这些点可以作为绘图的参考点连接成图像根据已知的零点、单调性和特殊点的函数值，绘制曲线注意渐近线附近函数值的快速变化在绘制过程中，我们需要特别注意函数在渐近线附近的变化趋势当x从左侧接近渐近线时，函数值趋于正无穷；当x从右侧接近渐近线时，函数值趋于负无穷正切函数的图像正切函数的单调区间单调递增区间代数证明几何解释正切函数在区间kπ,k+1π内单调递正切函数的导数是sec²x=1/cos²x，由从单位圆的角度看，当角度增大时，增，k∈Z于cos²x0，导数恒为正正切值的变化率始终为正也就是说，在两个相邻渐近线之间，根据导数的正负判断函数的单调性，这可以通过观察正切的几何定义直观函数值始终保持增长趋势可知函数在定义域内单调递增理解练习正切函数的函数值计算特殊角计算过程正切值π/4tanπ/4=sinπ/4/cosπ/4=√2/2/√2/2=11π/3tanπ/3=sinπ/3/cosπ/3=√3/2/1/2=√3√3≈

1.732π/6tanπ/6=sinπ/6/cosπ/6=1/2/√3/2=√3/3≈

0.5771/√3=√3/3计算特殊角的正切值时，我们可以利用已知的正弦和余弦值，然后应用正切的定义公式tan x=sin x/cos x进行计算熟练掌握特殊角的正切值对于解题和绘图都非常重要注意到tanπ/4=1，这是一个容易记忆的重要值另外，tanπ/3=√3和tanπ/6=√3/3这两个值之间存在倒数关系，这也是一种辅助记忆的方法余切函数的定义代数定义几何意义1cot A=cos A/sin Acot A=邻边/对边定义域与正切关系x≠kπ，k∈Z cotA=1/tan A余切函数是正切函数的倒数，它表示三角形中邻边与对边的比值需要注意的是，当正切值为零时，余切值无定义，即余切函数在x=kπ处有间断点余切函数的几何意义单位圆表示在单位圆中，点Pcosθ,sinθ是圆上一点，θ是扇形的弧度角从原点O向P点引射线，与y轴的交点Q的横坐标绝对值即为cotθ通过相似三角形可以证明，cotθ=cosθ/sinθ当θ接近kπ时，余切函数值会趋于无穷大，因为此时射线几乎与x轴平行，与y轴的交点会无限远离原点这种几何解释帮助我们理解余切函数在渐近线附近的行为余切函数的基本性质

（一）周期性奇偶性定义域余切函数的最小正周期余切函数是奇函数x≠kπ，k∈ZT=π对于任意x（在定义域定义域可以表示为对于任意的x（在定义内），都有cot-x=-∪kπ,k+1π，k∈Z域内），都有cotx+πcot x=cot x余切函数的这些基本性质与正切函数有许多相似之处，两者都是奇函数，周期都是π但它们的定义域互补，一个在kπ处有间断点，另一个在π/2+kπ处有间断点余切函数的基本性质

（二）值域余切函数的值域是全体实数R零点零点为x=π/2+kπ，k∈Z无界性3当x趋近kπ时，函数值趋于无穷大余切函数的值域与正切函数相同，都是全体实数集但它们的零点不同，余切函数的零点正好是正切函数的渐近线位置同样，余切函数在x=kπ处的渐近线，正好是正切函数的零点位置理解这种互补关系，有助于我们更好地理解两个函数的图像特征和变化规律余切函数图像的绘制步骤

（一）确定定义域余切函数y=cot x的定义域为x≠kπ，k∈Z确定零点零点为x=π/2+kπ，k∈Z确定渐近线渐近线为x=kπ，k∈Z绘制余切函数图像的步骤与正切函数类似，但关键点的位置不同余切函数的渐近线位于x=kπ处，而零点位于x=π/2+kπ处，正好与正切函数互补在绘图过程中，首先标出这些关键位置，有助于我们准确把握函数图像的基本框架余切函数图像的绘制步骤

（二）分析单调性余切函数在区间kπ,k+1π内单调递减这决定了函数图像的走势方向计算特殊点的函数值计算一些特殊角度的余切值，如cotπ/4=1，cotπ/3=1/√3，cotπ/6=√3这些点可以作为绘图的参考点连接成图像根据已知的零点、单调性和特殊点的函数值，绘制曲线注意渐近线附近函数值的快速变化余切函数与正切函数的单调性正好相反正切函数在其定义区间内单调递增，而余切函数在其定义区间内单调递减这种差异在图像上表现为曲线的走势方向相反余切函数的图像余切函数的单调区间单调递减区间代数证明几何解释余切函数在区间kπ,k+1π内单调递余切函数的导数是-csc²x=-1/sin²x，从单位圆的角度看，当角度增大时，减，k∈Z由于sin²x0，导数恒为负余切值的变化率始终为负也就是说，在两个相邻渐近线之间，根据导数的正负判断函数的单调性，这可以通过观察余切的几何定义直观函数值始终保持下降趋势可知函数在定义域内单调递减理解练习余切函数的函数值计算特殊角计算过程余切值π/4cotπ/4=cosπ/4/1sinπ/4=√2/2/√2/2=1π/3cotπ/3=cosπ/3/√3/3≈

0.577sinπ/3=1/2/√3/2=1/√3=√3/3π/6cotπ/6=cosπ/6/√3≈

1.732sinπ/6=√3/2/1/2=√3计算特殊角的余切值时，我们可以利用已知的正弦和余弦值，然后应用余切的定义公式cot x=cos x/sin x进行计算也可以利用cot x=1/tan x的关系，通过已知的正切值求余切值注意到cotπ/4=1与tanπ/4=1相等，而cotπ/3=√3/3与tanπ/6=√3/3相等，cotπ/6=√3与tanπ/3=√3相等，这体现了互补角之间的关系正切与余切函数的关系代数关系图像关系tan x·cot x=1（当两者都有定义时）关于y=x对称零点与渐近线定义域互补一个函数的零点是另一个函数的渐近线互补角关系tanπ/2-x=cot x正切函数和余切函数之间存在紧密的数学关系最基本的关系是它们互为倒数，即tan x·cot x=1这种倒数关系导致了它们的图像关于y=x对称，并且单调性相反正切与余切函数的图像对比正切函数余切函数y=tan xy=cot x渐近线x=π/2+kπ，k∈Z渐近线x=kπ，k∈Z零点x=kπ，k∈Z零点x=π/2+kπ，k∈Z单调性在区间kπ,k+1π内单调递增单调性在区间kπ,k+1π内单调递减图像特点从负无穷增加到正无穷图像特点从正无穷减少到负无穷通过上表对比可以看出，正切和余切函数的渐近线和零点位置正好互补，单调性正好相反这种互补关系使得两者的图像呈现出一种对称美感，体现了三角函数系统的内在联系正切余切的相互转换基本转换公式cot x=1/tan x或tan x=1/cot x（当两者都有定义时）互补角关系tanπ/2-x=cot x或cotπ/2-x=tan x定义域判断转换时需注意定义域的限制，特别是在零点和渐近线处在解题过程中，我们经常需要在正切和余切之间进行转换例如，若要求解余切函数值，但已知正切函数值，可以直接取倒数另外，利用互补角关系，也可以在正切和余切之间建立联系需要特别注意的是，在进行转换时，必须考虑定义域的问题，确保在进行运算的点上，两个函数都有定义其他三角函数的关系正弦函数余弦函数sin xcos x值域[-1,1]值域[-1,1]余割函数正切函数csc x=1/sin xtan x=sin x/cos x6值域-∞,-1]∪[1,+∞值域-∞,+∞正割函数余切函数sec x=1/cos xcot x=cos x/sin x值域-∞,-1]∪[1,+∞值域-∞,+∞三角函数家族包含六个相互关联的函数正切函数是正弦与余弦的比值，余切函数是余弦与正弦的比值正割函数是余弦的倒数，余割函数是正弦的倒数理解这些关系，有助于我们灵活运用三角函数解决问题正切函数的变换

（一）y=tanax周期变化图像压缩或拉伸原函数y=tan x的周期为π当a0时，图像沿x轴压缩|a|倍变换后函数y=tanax的周期为当a0时，图像沿x轴压缩|a|倍后π/|a|再关于y轴对称当|a|1时，周期缩短；当|a|1渐近线位置变为x=π/2a+时，周期延长kπ/a，k∈Z实例分析例如，当a=2时，函数y=tan2x的周期为π/2零点位置变为x=kπ/2，渐近线位置变为x=π/4+kπ/2图像比原函数压缩为原来的一半正切函数的变换

（二）y=tanx+φ图像平移渐近线变化实例分析函数y=tanx+φ的图像是y=tan x沿x轴向左平渐近线位置变为x=π/2-φ+kπ，k∈Z例如，当φ=π/4时，渐近线位置变为x=π/4+移φ个单位kπ当正切函数发生相位变换时，整个图像会发生平移这种平移导致渐近线位置的改变，使得函数的定义域也相应变化理解这种变换对于分析复杂的三角函数尤为重要值得注意的是，虽然图像发生了平移，但函数的周期和单调性保持不变这是因为相位变换不影响函数的本质特性，只改变了图像在坐标系中的位置正切函数的变换

（三）y=AtanxA0时的图像拉伸当A0时，函数y=Atanx的图像是y=tan x沿y轴方向拉伸A倍函数值的增长速度变为原来的A倍A0时的图像翻转当A0时，函数y=Atanx的图像是y=tan x沿y轴方向拉伸|A|倍后再关于x轴对称单调性改变在区间kπ,k+1π内从单调递增变为单调递减3实例分析例如，当A=2时，函数值的变化速度是原来的2倍当A=-1时，函数变为y=-tan x，图像关于x轴对称通过引入系数A，我们可以控制正切函数图像在y轴方向的伸缩和翻转特别地，当A为负值时，函数的单调性会发生改变，这也会影响函数的其他性质，如增减区间等余切函数的变换

（一）y=cotax周期变化图像压缩或拉伸原函数y=cot x的周期为π，当a0时，图像沿x轴压缩|a|变换后函数y=cotax的周期倍；当a0时，图像沿x轴压为π/|a|当|a|1时，周期缩缩|a|倍后再关于y轴对称渐短；当|a|1时，周期延长近线位置变为x=kπ/a，k∈Z实例分析例如，当a=2时，函数y=cot2x的周期为π/2零点位置变为x=π/4+kπ/2，渐近线位置变为x=kπ/2图像比原函数压缩为原来的一半余切函数的变换

（二）y=cotx+φ实例分析渐近线变化例如，当φ=π/4时，渐近线位置变为x=-π/4图像平移渐近线位置变为x=kπ-φ，k∈Z+kπ函数y=cotx+φ的图像是y=cot x沿x轴向左零点位置变为x=π/2-φ+kπ，k∈Z零点位置变为x=π/4+kπ平移φ个单位这种平移不改变函数的周期和单调性余切函数的相位变换导致图像的平移，这种平移使得渐近线和零点的位置都发生相应的变化理解这种变换有助于我们分析和解决涉及余切函数平移的问题余切函数的变换

（三）y=Acotx时的图像拉伸时的图像翻转A0A0当A0时，函数y=Acotx当A0时，函数y=Acotx的图像是y=cot x沿y轴方向的图像是y=cot x沿y轴方向拉伸A倍函数值的变化速度拉伸|A|倍后再关于x轴对称变为原来的A倍，但单调性不单调性改变在区间kπ,变k+1π内从单调递减变为单调递增实例分析例如，当A=2时，函数值的变化速度是原来的2倍；当A=-1时，函数变为y=-cot x，图像关于x轴对称，单调性从递减变为递增正切与余切函数的综合变换确定周期变化分析ax项确定新周期π/|a|确定平移量分析x+b形式确定水平平移量确定拉伸或压缩分析系数A确定竖直方向变换确定上下平移根据常数项c确定竖直平移量对于复杂的正切或余切函数变换，如y=Atanax+b+c或y=Acotax+b+c，我们需要逐步分析各个参数对函数图像的影响一般的变换顺序是先进行横坐标变换ax+b，再进行纵坐标的伸缩变换A，最后进行纵坐标的平移变换+c通过这种分步骤的分析方法，我们可以清晰地理解复杂三角函数图像是如何从基本函数图像变换而来的例题正切函数的图像与性质分析函数形式例1求函数y=2tanπx/2的周期、奇偶性和单调区间与基本形式y=Atanax比较，得A=2，a=π/2确定周期由于a=π/2，所以周期T=π/|a|=π/π/2=2因此函数的周期是2判断奇偶性计算f-x=2tan-πx/2=-2tanπx/2=-fx所以函数是奇函数确定单调区间渐近线位置πx/2=π/2+kπ，解得x=1+2k因此单调区间为2k,2k+1，k∈Z例题余切函数的图像与性质分析函数形式例2求函数y=-cotπx+π/4的周期、奇偶性和单调区间与基本形式y=Acotax+b比较，得A=-1，a=π，b=π/4确定周期由于a=π，所以周期T=π/|a|=π/π=1因此函数的周期是1判断奇偶性f-x=-cotπ-x+π/4=-cot-πx+π/4由于cot是奇函数，且函数形式包含平移，所以此函数既非奇函数也非偶函数确定单调区间渐近线位置πx+π/4=kπ，解得x=k-1/4由于A=-1，原函数单调递减区间变为单调递增区间因此单调区间为k-1/4,k+1-1/4，即k-1/4,k+3/4，k∈Z例题正切函数的值域问题分析函数函数变形例3求函数y=tan2x-tanx的值域利用和角公式进行转化确定值域求取值范围综合分析得到最终答案分析转化后函数的取值情况求解步骤首先利用正切的和角公式tanα+β=tanα+tanβ/1-tanα·tanβ，得tan2x=tanx+x=tanx+tanx/1-tanx·tanx=2tanx/1-tan²x将此结果代入原式y=tan2x-tanx=2tanx/1-tan²x-tanx=tanx2-tanx+tan²x/1-tan²x进一步分析，当tanx取遍R且x在定义域内时，原函数的值也可以取遍R，因此值域为全体实数集-∞,+∞例题余切函数的解析式问题已知条件例4已知函数fx=A·cotωx+φ满足fπ/6=1，求fx的解析式代入条件将x=π/6代入函数表达式解方程确定参数利用特殊角的余切值写出解析式代入求出的参数值解答过程将x=π/6代入得A·cotωπ/6+φ=1为了简化计算，我们可以假设ωπ/6+φ=π/4，因为cotπ/4=1这样就有A·1=1，得A=1解得ωπ/6+φ=π/4，得φ=π/4-ωπ/6因此函数解析式为fx=cotωx+π/4-ωπ/6=cotωx-π/6+π/4还有其他可能的取值，例如令ωπ/6+φ=5π/4，也能得到cot值为1的情况完整解答需要考虑不同情况下的解例题正切余切函数的应用例测量高度问题5由第一个方程得h=x·tanα从地面上一点P观测某建筑物顶端A的仰角为α，沿着同一方向前由第二个方程得h=x+d·tanβ进d米后，再测得仰角为β求建筑物的高度h联立这两个方程x·tanα=x+d·tanβ解答思路设观测点到建筑物底部的水平距离为x，则有解得x=d·tanβ/tanα-tanβ

1.在第一个观测点tanα=h/x代入h=x·tanα得h=d·tanα·tanβ/tanα-tanβ

2.在第二个观测点tanβ=h/x+d这样就得到了建筑物的高度h的表达式，它只与观测角度和行走距离有关正切函数的导数导数公式导数的几何意义tan x=sec²x=1/cos²x导数表示函数图像在某点处的切线斜率这是一个重要的导数公式，经常用于微积分计算正切函数的导数值随x的增大而增大由于cos²x0，导数恒为正，印证了正切函数的单调递增性当x接近π/2+kπ时，导数值趋于无穷大，表明图像在渐近线附近几乎垂直应用举例可用于求正切函数的极值点和拐点在物理学中描述振动系统的变化率在优化问题中判断函数的增减性余切函数的导数导数公式几何意义应用举例cot x=-csc²x=表示余切函数图像用于分析余切函数-1/sin²x在各点处的切线斜的变化速率率这一导数恒为负，解决与余切函数相印证了余切函数的负值表明图像始终关的优化问题单调递减性向下倾斜推导方法可从cot x=1/tanx入手，利用导数的链式法则也可从cot x=cosx/sin x直接求导正切余切函数与其他三角函数的关系关系类型等式表达应用情境正弦与正切sin x=tan x/√1+tan²x已知正切求正弦余弦与正切cos x=1/√1+tan²x已知正切求余弦正弦与余切sin x=1/√1+cot²x已知余切求正弦余弦与余切cos x=cot x/√1+cot²x已知余切求余弦毕达哥拉斯恒等式变形1+tan²x=1/cos²x三角恒等变换三角函数之间存在丰富的联系，掌握这些转换关系对于简化计算和解决复杂问题非常有帮助例如，当我们遇到既有正弦余弦又有正切余切的表达式时，可以利用这些关系将其统一为一种三角函数的形式三角恒等变换中的正切公式两角和的正切两角差的正切tanα+β=tanα+tanβ/1-tanα·tanβtanα-β=tanα-tanβ/1+tanα·tanβ推导过程倍角公式tanα+β=sinα+β/cosα+βtan2α=2tanα/1-tan²α应用实例=[sinα·cosβ+cosα·sinβ]/[cosα·cosβ-sinα·sinβ]除以cosα·cosβ，得到上述结果这些公式在三角方程求解、验证恒等式和计算特殊角的正切值时非常有用三角恒等变换中的余切公式两角和的余切cotα+β=cotα·cotβ-1/cotβ+cotα这一公式可以从tanα+β的公式通过cot=1/tan的关系导出两角差的余切cotα-β=cotα·cotβ+1/cotβ-cotα注意公式中分子分母的符号变化余切的倍角公式cot2α=cot²α-1/2cotα这可以从tan2α的公式转换得到应用实例这些公式在处理含有余切函数的复杂表达式时非常有用例如求解cotπ/8可以利用cot2α的公式和cotπ/4=1解三角形中的应用正切定理在任意三角形ABC中，如果引入角A,B,C和边a,b,c的记号，则有a/sin B·sin C=b/sin A·sin C=c/sin A·sin B=2R其中R是三角形的外接圆半径实际测量应用利用正切和余切函数可以测量高度、距离和角度例如，已知一点到物体的距离和仰角，可以计算物体的高度解三角形实例已知三角形两边及其夹角，求第三边和其他角可以利用正弦定理和余弦定理结合正切函数进行求解正切和余切函数在实际测量中有广泛应用，特别是在测量高度、距离和角度方面例如，测量员通过测量角度和距离，利用三角函数关系可以确定难以直接测量的高度或距离正切函数在解方程中的应用基本方程解法复杂方程解法对于方程tan x=a，其通解为x=arctan a+kπ，k∈Z对于形如A·tan x+B=0的方程例如，tan x=1的通解为x=π/4+kπ，k∈Z

1.先将方程化为标准形式tan x=-B/A

2.求出arctan-B/A求解步骤

3.写出通解x=arctan-B/A+kπ，k∈Z

1.求出方程的一个特解x₀=arctan a解含多个三角函数的方程时，可以尝试将其他三角函数转化为正

2.利用正切函数的周期性，得到通解x=x₀+kπ切函数注意检查解的有效性，特别是对定义域的限制余切函数在解方程中的应用1基本方程解法对于方程cot x=a，其通解为x=arccot a+kπ，k∈Z例如，cot x=1的通解为x=π/4+kπ，k∈Z2转化为正切方程由于cot x=1/tan x，方程cot x=a等价于tan x=1/a（当a≠0时）这样就可以将余切方程转化为正切方程求解3复杂方程解法对于形如A·cot x+B=0的方程，可以化为cot x=-B/A，然后求解对于含有多个三角函数的方程，通常需要将其统一为一种三角函数4注意事项解方程时需要考虑定义域的限制，确保解在余切函数的定义域内要特别注意arccot函数的取值范围，通常为0,π正切余切函数的参数方程表示参数方程形式几何意义应用示例通过参数t可以表示为x=cost，y=参数t通常表示单位圆上的点对应的角度在描述圆和椭圆等曲线时，参数方程表sint示更为简洁进一步有tan t=y/x，cot t=x/y正切值表示从原点出发的射线与x轴交利用正切和余切函数可以方便地表示某点的纵坐标些特殊曲线这建立了直角坐标与参数表示之间的联系余切值表示从原点出发的射线与y轴交在物理中描述周期性运动时也常用参数点的横坐标方程课堂练习1基础题计算tanπ/12和cotπ/12的值提示可以利用和角公式tanα+β或tanα-β2中等难度题求函数fx=3tan2x-π/3的周期、奇偶性和单调区间提示分析函数的各种变换效果3难度题已知tanα+tanβ=a，tanα·tanβ=b，求tanα+β和tanα-β的值提示利用两角和与差的正切公式4应用题一个人距离一座高塔500米，测得塔顶的仰角为30°，求高塔的高度提示利用正切函数的几何意义本节课重点内容总结定义与几何意义正切函数tan x=sin x/cos x，表示对边与邻边的比余切函数cot x=cos x/sin x，表示邻边与对边的比两者在单位圆中有明确的几何表示和意义图像与性质掌握两函数的周期、奇偶性、单调区间和值域理解渐近线的位置和意义能够绘制基本图像并进行变换3应用与拓展能够应用正切余切函数解决实际问题理解与其他三角函数的联系掌握三角恒等变换中的重要公式学习方法指导公式运用多样练习掌握关键公式并理解其推导通过不同类型的题目巩固知过程图像分析识注意不同公式的适用条件能够准确绘制基本图像注重解题思路的形成和方法概念理解错误分析理解参数变化对图像的影响的归纳注重对定义的理解，而不是归纳常见错误，建立正确认机械记忆知建立几何直观与代数表达之如混淆定义域、渐近线位置3间的联系等课后思考与拓展三角函数在现实生活中有着广泛的应用声学中用于分析声波频率，电学中用于描述交流电，天文学中用于计算天体位置，工程学中用于设计桥梁和建筑结构下一节课我们将学习三角函数的解析式变换与图像变换，进一步加深对三角函数的理解和应用能力请同学们课后复习本节内容，并尝试完成教材上的相关习题。