《工科线性表》课件示例

《工科线性代数》课件示例欢来线数课课应线数迎到《工科性代》程！本程特色在于面向工程用的性代内将论问题结线教学容，抽象理与具体工程相合，帮助工科学生真正理解性数代的实用价值们将结现计辅让杂数计观我合MATLAB实算机助教学，复的学算变得直可过论践结将问题数视通理与实相合的教学模式，您掌握解决实际工程的学工具和方法课将现线数仅础数课问题跟随本程，您发性代不是一门基学程，更是工程求解的强大工具课程概述课程重要性教学目标线数为数养阵维性代作工程学的基石，培学生的矩思和向量空间计计线数应在电气工程、机械设、算机概念，建立性代与工程用图领应练线形学等域有着广泛用掌的联系，使学生能熟运用性线数杂问题数识问题握性代是解决复工程代知解决实际工程的必备能力学习资源课讲们线习题库除堂授外，我提供MATLAB教程、在集和工程案例，帮助识识学生从多角度掌握知点，构建完整的知体系课论讲践时本程采用理解+案例分析+实操作的教学方法，考核方式包括平践报试请作业（30%）、MATLAB实告（30%）和期末考（40%）务必按时项习完成各学任务！第一章线性方程组与矩阵工程应用问题解决实际工程矩阵表示简线组洁表达性方程线性方程组问题数工程的学模型问题转为线组结关压关线组工程通常可以化性方程求解例如，在构分析中，构件上的力和变形系、电路中的电流和电系都可用性方程表示阵为杂线组简规计为为线组矩表示方法复的性方程提供了洁的表达形式，使大模算成可能高斯消元法作求解性方程的经典方法，在水利计结内领应工程的流量算、构工程的力分析等域有广泛用线性方程组的几何意义二元方程组三元方程组线组为标线线组对应维这二元性方程在几何上表示平面直角坐系中的两条直三元性方程三空间中的三个平面三个平面的公共组为这线标当线时组方程的解即两条直的交点坐两直平行，方程交点（若存在）就是方程的解三个平面可能相交于一点（唯组当线时组穷线穷没无解；两直重合，方程有无多解一解）、一条直（无多解）、有公共点（无解）或完全重穷合（无多解）结线组应结节线组这组在工程实例中，构平衡方程就是典型的性方程用例如，桁架构中各点的力平衡方程构成性方程，解个方程可内线组们观组以得到各杆件的力理解性方程的几何意义，有助于我直把握方程解的特性和物理含义矩阵的定义与表示矩阵的基本概念特殊矩阵阵数计阵矩是由m×n个按照m行n列工程算中常见的特殊矩包数记单阵对线为排列成的矩形表，作括位矩I（主角元素阵为对阵对A=aijm×n矩提供了表示1，其余0）；角矩（非线换线组线为阵和处理性变、性方程的角元素全0）；三角矩线数区为强大工具，是性代的核心概（上/下三角域元素全0）；对称阵关对线对念矩（于主角称）稀疏矩阵阵为阵结刚工程中常见的稀疏矩是指大部分元素零的矩例如，大型构的度阵导纳阵阵储计矩、电网的矩通常都是稀疏矩，需要特殊的存和算方法过创阵对阵在MATLAB中，可以通命令如A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]建矩于稀疏矩，数节储计阵进续可使用sparse函省存空间并提高算效率掌握矩表示方法是行后矩阵础运算的基高斯消元法回代求解前向消元开构建增广矩阵从最后一个非零行始，逐步向上代入已知变过换将阵转为阶通初等行变，增广矩化行梯形量值，求解出所有未知量的值将线组数阵数项阵换性方程的系矩与常合并，形成矩主要操作包括交两行位置、用非零阵这数将数增广矩[A|b]，是高斯消元法的起点常乘以某一行、某一行的倍加到另一行计杂为对组计较应节压高斯消元法的算复度On³，于大型方程求解，算量大在实际工程用中，如电路分析的点电求解，利用高斯消元法可以系统计节压状态地算出各个点的电值，从而分析整个电路的工作矩阵的初等变换行交换换阵交矩的两行行倍乘数用非零乘某行行倍加数某行的倍加至另一行阵换换换换线组时为矩的初等变包括行变和列变两类行变在求解性方程最常用，而换则阵计阵过换列变常用于矩的因式分解和特征值算两个矩通有限次初等变可以互转称为阵相化，等价矩换对应换阵换过换每一种初等变都一个初等变矩初等变可以通左乘（行变）或右乘换应阵现数（列变）相的初等矩实在MATLAB中，可以使用函如rowexchange、现阵换简计过rowscale和rowadd实矩的初等行变，大大化了算程行阶梯矩阵与简化行阶梯矩阵行阶梯矩阵特点简化行阶梯矩阵特点为阵阶阵•零行（全0的行）都在矩底部•具备行梯矩的所有特点侧为•非零行中，首非零元（主元）所在列在前一行主元的右•每个非零行的主元1为为•主元所在列下方元素都0•主元所在列的其他元素都0阶结简阶约当结将阵为这线组计阵行梯形式是高斯消元的果，而化行梯形式是高斯-消元法的果矩化两种形式可用于解性方程、算矩阵的秩、求逆矩等多种操作计计误导论为结断数阈在实际算中，由于算机的舍入差，可能致理上零的元素变成很小的非零值，影响果判解决方法是引入值值，当绝对阈时将为元素值小于设定值其视零第二章矩阵运算及其应用矩阵加减法矩阵乘法状态线换描述系统叠加表示性变的复合逆矩阵矩阵幂运算现导实系统的逆向推描述系统多次演化阵线数内们仅数阵为线换这标换图矩运算是性代的核心容，它不有代意义，更具有深刻的几何和工程含义矩乘法可以理解性变的复合，在坐变、领应像处理等域有广泛用阵则为们阵络结计领练应阵许杂问题逆矩我提供了求解矩方程的有力工具在控制系统、网分析、构算等工程域，熟用矩运算可以高效解决多复矩阵的加减法运算运算规则物理意义阵阵须阵矩加减法要求两个矩必是在物理系统中，矩常用于表示阵数数刚阵结同型矩（行和列相同）物理量例如，度矩表示对应进刚质阵质加减运算元素行，即C=A构的度特性，量矩表示阵过±B，其中cij=aij±bij矩量分布不同系统的叠加可通满换结应阵加法足交律和合律相矩的加法表示实现MATLAB阵在MATLAB中，矩加减法直接使用+和-运算符，如C=A+B或C=A-B还阵标阵MATLAB提供了矩的量乘法，如2*A表示矩A的所有元素都乘以2阵应刚阵工程中矩加减法的用非常广泛例如，在有限元分析中，整体度矩是由各单刚阵组质元度矩装（本上是特殊的加法）而成；在控制系统中，多个子系统的并阵阵杂联可以用系统矩的加法表示掌握矩加减法的物理意义，有助于理解复系统组为的合行矩阵的乘法运算计算规则几何意义特性注意为阵为阵为线阵满换设A m×p矩，B矩乘法可以理解矩乘法不足交阵则为换阵p×n矩，C=AB性变的复合若矩律，即通常AB≠BA阵别线这线换m×n矩，其中元素A和B分表示两个性一特性与性变次换则执阵cij=∑aik•bkj，k变，AB表示先行序的重要性相符矩阵换执换满结从1到p矩乘法要求B变，再行A变的乘法足合律和分配阵数结左矩的列等于右矩复合果律阵数的行应标换阵在工程用中，坐变是矩乘法的典型例子例如，在机器人运动学关节换阵过阵计执中，各的运动可以用变矩表示，通矩乘法可以算出末端行态维图转缩器的位置和姿同样，在三形学中，物体的平移、旋和放都可以阵现用矩乘法实矩阵的幂运算定义阵为为矩A的n次幂定义A^n=A•A•...•A（n个A相乘）要求A方阵数数阵为单阵，即行等于列矩的0次幂定义位矩，即A^0=I对角化简化阵对阵为对若矩A可角化，即存在可逆矩P，使得P^-1AP=D（D角阵则对阵简单对矩），A^n=PD^nP^-1角矩的幂运算非常，即线对应角元素的次幂马尔可夫链应用链状态转阵状态转马尔可夫中，移矩P的n次幂P^n表示n步后的移概这络队论领应率在通信网、排理等域有广泛用计阵对计在MATLAB中，算矩的幂可以使用^运算符，如A^n于高次幂，直接算可导数稳时应虑对数阵能致值不定，此考使用角化方法或其他值算法矩幂运算在迭络预测领应代系统分析、网流量、人口模型等域都有重要用逆矩阵概念定义性质对阶阵阶则于n方A，若存在另一个n方若A可逆，A^-1唯一；A^-阵为单B，使得AB=BA=I（I位矩1^-1=A；AB^-1=B^-1A^-阵则称为阵记顺换），B A的逆矩，作A^-1（注意序交）；A^T^-阵阵阵1不是所有方都有逆矩，有逆1=A^-1^T矩可逆的充要条阵阵称为阵为矩的方可逆矩或非奇异矩件是其行列式不零阵计算方法阵阵换约当求逆矩的方法有多种伴随矩法、初等变法（高斯-消元法）、分块矩阵对阵数法等于大型矩，通常采用值算法如LU分解法求解阵应为线组则为逆矩在工程中的用极广泛在性方程Ax=b的求解中，若A可逆，解络络节过应阵x=A^-1b在网流量分析中，网点间的流量分配可以通求解相的矩方程获传数阵稳关得在控制系统中，系统的递函矩的逆与系统的可控性和定性有密切系矩阵分块分块矩阵定义将阵为阵矩按行和列划分若干子矩分块矩阵运算阵规则遵循与普通矩类似的运算大型矩阵处理3计数稳提高算效率和值定性阵阵过将阵为阵阵结简计阵分块矩是处理大型矩的有效工具通大矩分解小的子矩，可以利用子矩的特殊构化算分块矩的加减法要求分对应进阵阵规则对阵块方式相同，块行运算；分块矩的乘法遵循矩乘法的，但操作象是子矩对阵阵对线为阵这结计应结分块角矩是一种特殊的分块矩，其非角块均零矩种构在系统解耦、并行算中有重要用在大型构分析中，整结为结结对应阵过阵现体构可以分解若干子构，每个子构一个子矩，整体分析可以通分块矩运算实初等矩阵阵单阵过换阵换阵为换阵阵阵阵结初等矩是由位矩经一次初等变得到的矩根据变类型，初等矩可分三类行交矩、行倍乘矩和行倍加矩每种初等矩都有其特定的质构和性阵阵为阵积阵现换将阵阵换阵初等矩的重要性在于，任何可逆矩都可以表示有限个初等矩的乘用初等矩实行变，只需初等矩左乘原矩例如，要交矩A的第i行和第j应换阵行，只需左乘相的行交初等矩阵阵将过换转为终为阵这观编现求逆矩的初等矩法是[A|I]通一系列初等行变化[I|B]，最得到的B即A的逆矩种方法直且易于程实第三章行列式二维行列式阶为积当时线瘪线积为二行列式|A|表示由A的列向量边的平行四边形面|A|=0，两个列向量共，平行四边形成一条，面零三维行列式阶为积当时瘪积为三行列式|A|表示由A的列向量棱的平行六面体体|A|=0，三个列向量共面，平行六面体成一个平面，体零工程应用应断线组计换缩断阵观数质行列式在工程中有广泛用，如判性方程是否有唯一解、算几何变的放因子、判矩是否可逆等理解行列式的几何意义有助于直把握其代性行列式的定义几何定义代数定义阶为维阶为项从几何角度看，n行列式|A|可理解n空间中，以A的列向n行列式定义所有排列的之和|A|=∑-为积这观释量棱的超平行体的有向体一定义直地解了行列式的1^τp•a1p1•a2p2•...•anpn，其中许质为线关多性，如行列式零表示向量性相p=p1,p2,...,pn是1,2,...,n的一个排列，τp是排列p的逆序数这虽论导一定义然抽象，但便于理推数对数对对数为数排列的逆序是排列中逆序的目例如，排列3,1,4,2中的逆序有3,

1、3,

2、4,2三，所以逆序3逆序的奇偶性开项负决定了行列式展的正号计过开换简阶阶对线则计行列式算可以通展定理或初等变化例如，二行列式|A|=a11a22-a12a21，三行列式可以用角法算，但该仅阶方法适用于三以下行列式行列式的性质1转置性质阵转这对对称质矩与其置的行列式相等，即|A|=|A^T|表明行列式行和列具有性，行的性同样适用于列2行列互换性质换将换为互行列式的两行（或两列），行列式变号例如，第i行和第j行互得到的新行列式值-这质数|A|一性源于排列的逆序变化3线性性质数行列式的某一行（或列）各元素都乘以同一k，等于用k乘以原行列式若行列式有两行（或则为对满列）成比例，行列式零行列式某一行（或列）足加法分配律4乘法性质阶阵积们积这质证许两个n矩的行列式之等于它乘的行列式，即|AB|=|A|•|B|一性在明多行列时式恒等式非常有用质简计过换将为利用行列式的性可以大大化行列式的算例如，通初等行变行列式化上三角形式，其值等对线积问题过观阵结质断组于主角元素的乘在实际工程中，常通察矩构，利用行列式性快速判方程是否有解行列式的展开定理数元素a_ij代余子式A_ij余子式M_ija_11-1^1+1M_11=M_11去掉第1行第1列后的行列式a_12-1^1+2M_12=-M_12去掉第1行第2列后的行列式a_21-1^2+1M_21=-M_21去掉第2行第1列后的行列式a_22-1^2+2M_22=M_22去掉第2行第2列后的行列式开计将阶计归结为阶计为阶阵为行列式的展定理是算行列式的重要方法，它n行列式的算n个n-1行列式的算设A n矩，其中元素阶数a_ij，元素a_ij的余子式M_ij是删除A的第i行和第j列后余下的n-1行列式；代余子式A_ij=-1^i+jM_ij开开按第i行展|A|=a_i1•A_i1+a_i2•A_i2+...+a_in•A_in按第j列展|A|=a_1j•A_1j+a_2j•A_2j+...+a_nj•A_nj开时应选择较计展包含多零元素的行或列，以减少算量范德蒙德行列式是一类特殊的行列式，形如Vx1,x2,...,xn=|x_i^j-1|，其值等于所有可能的x_i-x_j（i克莱姆法则方程组表示线组为数阵为为数性方程AX=b，其中A n×n系矩，X未知向量，b常向量值计算D计数阵算系矩的行列式D=|A|值计算D_i计阵将换为阵算A_i矩的行列式D_i=|A_i|，其中A_i是A的第i列替b后的矩解的表示则组若D≠0，方程有唯一解，其中x_i=D_i/D莱则则线组该则数阵克姆法（Cramer法）提供了一种用行列式表示性方程解的方法法要求系矩A是阵为莱则论计为当组规较方且行列式不零（即A可逆）克姆法的理意义大于实际算价值，因方程模时计数大，算行列式的工作量很大，不如高斯消元法等值方法高效应莱则规线组静结在工程用中，克姆法可用于分析电路方程、力平衡方程等小模性方程例如，在定莱则内莱则节构分析中，可以用克姆法求解杆件力；在电路分析中，可以用克姆法直接表示各点电压第四章向量与向量空间几何向量代数向量标数组数规则具有大小和方向的量，可在坐系中表示有序，遵循特定的代运算维数组•力、速度、位移等物理量•n表示观满•直的几何表示•足向量空间公理工程应用向量空间问题工程的向量表示与求解数数结具有加法和乘运算的学构结•构分析4数计•抽象学概念•电路算数对数•统一处理多种学象•据分析平面与空间中的向量几何向量表示向量的模与方向向量的代数表示带线维为标标轴几何向量可用箭头的段表示，箭头二向量v=x,y的模|v|=√x²+在坐系中，向量可以用其在各坐线轴夹维指向表示向量的方向，段长度表示向y²，方向可用与x正方向的角θ=上的投影（分量）表示如二向量v=维₁₂₁₂别轴量的模（大小）在物理学中，力、速arctany/x表示三向量v=x,y,z v,v，其中v和v分是v在x为轴维为度、加速度等物理量都是向量，具有大的模|v|=√x²+y²+z²，方向可用和y上的分量三向量类似，表示₁₂₃小和方向两个特性两个角度（如地理中的经度和纬度）表v=v,v,v示应为在工程力学中，力的分解与合成是向量运算的典型用例如，斜坡上物体受到的重力可分解平行于斜面和垂直于斜面两个分力；过数问题础多个力作用于同一点，可通向量加法求合力掌握向量的几何和代表示方法，是解决工程力学的基向量的运算⋅×2基本运算点积（内积）叉积（外积）数⋅结标结向量加法和乘是向量空间的两种基本运算u v=|u||v|cosθ，果是量u×v=|u||v|sinθn，果是向量满则为对线为数当数为负时还向量加法足平行四边形法，即两向量作邻边构成的平行四边形的角即和向量乘运算改变向量的大小，系会改变方向向量积积们夹积该积的点是两向量模的乘与它角余弦的乘，几何上表示一个向量在另一个向量方向上的投影与向量模的乘积积夹积为积向量的叉是一个新向量，其方向垂直于原两向量所在平面，大小等于两向量模的乘与角正弦的乘，几何上表示由两向量边的平行四边形面积计积积计积这领应在物理学中，点用于算功（力与位移的点），叉用于算力矩（力与力臂的叉）些向量运算在工程力学、电磁学等域有广泛用向量空间的概念向量空间定义欧氏空间一般向量空间维欧ⁿ数对向量空间是指一个集合V与两种运算（加法和最常见的向量空间是n氏空间R，其中向量空间的概念可推广至更抽象的学数数结满维数欧来阵项数乘）一起构成的代构，足8条公理元素是n实向量氏空间的概念源于象例如，矩空间、多式空间、函空结换数满这数加法合律、加法交律、加法零元素存物理空间的学抽象，是最容易理解的向量间等只要足向量空间的公理，些学负数结数单观释对为进在、加法元素存在、乘合律、乘空间类型，具有直的几何解象集合都可以作向量空间行研究数对位元素存在、乘加法的分配律（两条）该维线数子空间是向量空间的一个非空子集，子集本身也构成向量空间例如，三空间中的平面或直都是其子空间函空间是一类重要的向量空间，其元数区连续数数数维素是函例如，所有定义在间[a,b]上的函构成的集合C[a,b]，配合通常的函加法和乘，形成一个无限的向量空间线性相关与线性无关组₁₂线组₁₁₂₂₁₂数数组为数₁₁₂₂ₙₙₙₙ向量{v,v,...,v}的性合是指形如c v+c v+...+c v的表达式，其中c,c,...,c是实系若存在一不全零的系，使得c v+c v+...则称组线关则称为线关ₙₙ+c v=0，向量性相；否性无线关组线组线关为维线关几何上，性相意味着向量中至少有一个向量可以用其他向量的性合表示例如，平面上三个非零向量必然性相，因平面是二的，最多只能有两个性无向线关组过线组计组阵来量性无向量的判定可通求解齐次性方程或算向量成的矩的秩完成组线关组组选线关线关组数组张维数线关数向量的极大性无是指从向量中取的最大性无向量子集极大性无的向量个等于向量所成的子空间的在工程中，性相性分析用于确定参独测数的立性、消除冗余量据等基与维数基的概念坐标表示该线关选为向量空间的一个基是空间的一个性无定基后，空间中任一向量可唯一表示基组这线组线组数为该向量，且些向量的性合可以表示空向量的性合，系即向量在此基下标间中的任意向量的坐维数定理坐标变换数这换标组向量空间的所有基包含的向量个相同，更基后，向量的坐会发生变化，两坐数称为维数标转换关换阵个空间的间的系由变矩确定质给标给观维基的一个重要性是，空间中任意一个向量在定的基下有唯一的坐表示不同的基可以出同一向量空间的不同察方式例如，二平面可标来标换过换阵现以用准基{1,0,0,1}，也可以用其他基如{1,1,1,-1}表示不同基之间的坐变通变矩实态线为态线组这组在振动分析中，模基是一个重要概念一个性系统的自由振动可以分解若干个基本振型（模）的性合些基本振型构成一基，任这组过选择当将杂问题为简单独问题何振动都可以在基下表示通适的基，可以复的振动分解的立振动第五章矩阵的秩工程应用问题1求解实际工程秩与方程组的解结维数确定解的构和矩阵的秩阵关键标衡量矩信息量的指阵线数阵组线关数阵关线组矩的秩是性代中的一个核心概念，它反映了矩的行（或列）向量中性无向量的最大目矩的秩直接系到性方程质断组结关键解的性，是判方程是否有解及解的构的应阵结识领结结刚阵来断结在工程用中，矩秩的概念广泛用于构分析、信号处理、系统辨等域例如，在构力学中，构度矩的秩可以用判稳论阵观测构是否定；在控制理中，系统矩的秩用于确定系统的可控性和可性矩阵的秩秩的定义行秩等于列秩阵记阵组矩A的秩，作rankA，是A的行矩的行秩（行向量的秩）等于列秩组线关组组这质们（或列）向量中极大性无所含（列向量的秩）一性使得我数为阵为计阵向量的个秩也可以理解矩化可以从行或列的角度算矩的秩，取阶数计较为简行梯形式后非零行的个，或者是在算便的方式阵阶矩的所有子式中非零子式的最高数秩的计算方法计阵将阵为阶计数算矩秩的常用方法包括高斯消元法（矩化行梯形式，算非零行）、初换过换简阵结检阶等变法（通初等变化矩构）、子式法（查各子式是否有非零值）满阵阵较维数阵对阵则称为秩矩是指秩等于矩小的矩于m×n矩A，若rankA=minm,n，A满阵满阵质关则对应线组秩矩m×n秩矩的性取决于m和n的系若mn，性方程Ax=b可能无解阵质对阵矩的秩具有一些重要性于矩A和B，有rankA+B≤rankA+rankB，rankAB这质阵对线组时≤minrankA,rankB些性在分析矩运算性方程解的影响非常有用秩与线性方程组数阵阵方程类型系矩A的秩增广矩[A|b]的秩解的情况组维齐次方程Ax=0rn r有非零解，解空间数为n-r组齐次方程Ax=0r=n r只有零解组非齐次方程Ax=b rrank[A|b]r+1无解组穷非齐次方程Ax=b r=rank[A|b]n r有无多解，解空间维数为n-r组非齐次方程Ax=b r=rank[A|b]=n n有唯一解阵应线组质对线组当数阵数矩的秩决定了相性方程解的性于齐次性方程Ax=0，系矩A的秩r小于未知个数时组础线关当时组线n，方程有非零解，基解系包含n-r个性无向量；r=n，方程只有零解非齐次性方组数阵阵程Ax=b有解的充要条件是系矩A的秩等于增广矩[A|b]的秩组结为对应组对组₀方程通解的构可表示特解加上齐次方程的通解于有解的非齐次方程Ax=b，若x是其则为₀组组一个特解，通解形式x=x+x_h，其中x_h是齐次方程Ax=0的通解方程解的任意性程度由矩阵亏亏A的秩rankA-n决定，秩越大，解的自由度越高超定方程与最小二乘法正规方程的推导与求解最小二乘解的概念问题转为规超定方程组的特点求解最小二乘，可化求解正方程A^TAx=残欧数当时时为满阵最小二乘解是指使差向量Ax-b的几里德范（即A^Tb A^TA可逆（此A列秩矩），最小组数数线组这残寻为超定方程是指方程多于未知的性方程种差平方和）最小的向量x即求x，使||Ax-b||²最二乘解唯一，表示x=A^TA^-1A^Tb组没寻这当组方程通常有精确解，但可以求一个最佳近似解小相于找到使方程近似平衡的解侧，使得方程左右两的差异最小数应给组数线这组数过最小二乘法在据拟合中有广泛用例如，定一据点，需要找一条最佳拟合直y=ax+b可以构造超定方程，每个据点提供一个方程，通最小二乘法数数线求解参a和b，使得所有据点到拟合直的距离平方和最小测数计领测误数满论时在工程量、信号处理、参估等域，由于量差和随机因素的存在，收集的据往往不能精确足理模型此，最小二乘法提供了一种合理处理冗余信息、降测误低量差影响的有效方法第六章特征值与特征向量物理背景问题稳弹质频阵对应态则特征值源于物理系统的振动分析、定性分析等例如，簧-量系统的自由振动率是由系统矩的特征值决定的，的振动模由特征向量描述几何意义线换压缩则换缩这释杂从几何角度看，特征向量是性变下保持方向不变的非零向量（可能被拉伸或，但方向不变）特征值表示特征向量在变下的伸比例一解使复的特征值问题观变得直可理解实际应用阵过阵对简计为杂稳计特征值和特征向量是矩分析的强大工具通矩角化，可以化算系统的长期行、分析复系统的定性、降低信号处理中的算量等特征值与特征向量的定义数学定义特征方程与特征多项式阶阵数则称须满这关设A是n方，如果存在λ和非零向量x，使得Ax=λx，要使A-λIx=0有非零解，必足|A-λI|=0个于λ的n对应称为称为项λ是A的一个特征值，x是A于特征值λ的特征向量方程Ax=次方程A的特征方程，左边的行列式|A-λI|A的特征多写为这线组为λx可改A-λIx=0，是一个齐次性方程式特征方程的n个根即A的全部特征值（可能重复）对过线组对应单现则于每个特征值λ，通求解齐次性方程A-λIx=0，可以得到的特征向量若λ是特征值（特征方程中只出一次），对应维则对应维数特征向量空间是一的；若λ是k重特征值，特征向量空间的可能达到k（但不总是等于k）线换换缩从几何角度理解，特征向量是性变A下方向保持不变的向量特征值λ表示特征向量在变后的伸比例例如，λ1表示拉伸，压缩缩结结频对应态0λ1表示，λ0表示反向伸在构振动分析中，特征值与构的固有率平方成正比，特征向量表示的振动模（振型）矩阵的对角化相似矩阵概念阵则称阵阵若存在可逆矩P，使得P^-1AP=B，矩A与B相似相似矩具有相换阵许质同的特征值，但特征向量一般不同相似变保持矩的多重要性可对角化条件阶阵对线关n矩A可角化的充要条件是A有n个性无的特征向量A的每个特征值数数对应维数λ，其重（特征方程中的重根次）≤特征子空间的（即A-λI的零维数空间）对角化步骤计对应这组算A的特征值；求每个特征值的特征向量；用些特征向量成可逆矩阵则对阵对线P，D=P^-1AP是角矩，角元素是A的特征值4应用简化矩阵幂运算则这简阵计为对若A=PDP^-1，A^n=PD^nP^-1极大化了矩幂的算，因阵计对角矩D的幂只需算角元素的幂实对称矩阵的特征值实对称矩阵的特性正交相似对角化对称阵满许对称阵对骤实矩（足A^T=A）具有多实矩A的正交相似角化步质为数对良好性特征值全部实；不同特找出A的特征值和特征向量；特征向对应对称阵进标征值的特征向量正交；实矩量行施密特正交化得到准正交基；对过阵现这标组阵必可角化，且可通正交矩实用些准正交向量成正交矩Q，阵为对则为对阵（即存在正交矩Q，使得Q^TAQ Q^TAQ角矩阵角矩）主轴定理对称阵换为对阵对实矩A可被一个正交变化角形式，即存在正交矩Q，使得Q^TAQ=Λ（阵这组轴这轴角矩）几何上，意味着存在一互相垂直的主，在些的方向上，二次型取得极值对称阵应为许惯阵刚阵对称阵实矩在工程中有重要用，因多物理量（如性矩、度矩）都可用实矩应维应状态对称阵应张表示主力分析是一个典型例子三空间中的力可用3×3实矩（力量）表为应为应示，其特征值主力，特征向量主力方向过对应应这通正交相似角化，可以找到使力达到极值的三个互相垂直的方向（主力方向）些方应为纯压应没向上的力拉力，有剪切分量，有助于分析材料的强度和潜在破坏模式第七章二次型二次函数项变量的二次多式矩阵表示对称阵简用矩洁表示标准形变换简为轴化主形式优化应用问题求解极值项应领结弹应二次型是变量的二次齐次多式，广泛用于多个工程域在构力学中，性变能是位移的二论诺数选论标数约次型；在控制理中，李雅普夫函常用二次型；在优化理中，目函和束常包含二次型将为标质别对稳二次型的研究重点是其化准形，便于分析其性特是正定二次型的判定，于定性分析问题过换项简和优化非常重要通正交变，可以消除二次型的交叉，使其表达式更加洁明了二次型的定义代数定义矩阵表示法项₁₂ᵢⱼᵢ₁₂对称阵ᵢⱼₙₙ含有n个变量的二次齐次多式fx,x,...,x=∑∑a xx引入向量x=[x,x,...,x]^T和矩A=a，二次型ⱼ称为数满ᵢⱼⱼᵢ简为阵称为阵对i,j=1,2,...,n n元二次型其中系足a=a（可可洁地表示fx=x^TAx矩A二次型的矩，其过数现这对称阵对应称论积项通重新定义系实），使得二次型与矩一一性确保了无如何排列变量的乘，都能得到相同的二次型轭转阵满复二次型是复变量的二次型，形如z^*Az，其中z是复向量，z^*是z的共置，A是厄米特矩（足A^*=A）复二次型在信号处领应理、量子力学等域有重要用数质弹势在工程中，二次型函表示各种物理量例如，点系统的动能是速度的二次型；性体的能是变形的二次型；电路中的耗散功率质这为稳是电流的二次型了解二次型的性有助于分析些物理系统的行和定性二次型的标准形正交变换法配方法阵对将为标过数骤项对利用矩的正交相似角化，可二次型化准形若二次型通代配方步，逐步消除二次型中的交叉例如，于阵为则阵对将写为的矩A，存在正交矩Q，使得Q^TAQ=Λ（角矩fx,y=ax²+bxy+cy²，可其改fx,y=ax+阵过换为为项）通变量替y=Q^Tx，原二次型化fx=y^TΛy=b/2a•y²+c-b²/4ay²，从而化无交叉的形式配方法₁₁₂₂计观现ᵢₙₙλy²+λy²+...+λy²，其中λ是A的特征值适用于手工算，直且易于实惯数标数项数惯论线换将为标数项数性指是指二次型准形中正系的个；性定理指出，无用何种可逆性变二次型化准形，正系的个不负数项数惯数阵负关变，系的个也不变性指是二次型的重要不变量，与二次型矩的特征值正符号有弹数弹势为标对应过性能量函是二次型的典型例子一个性系统的能通常可表示位移的二次型，其准形系统的主振动模式通找出主简计这结振动模式，可以化系统的分析和设，在构动力学、机械振动分析中非常重要正定二次型定义对则称为对应阵为若任意非零向量x，都有二次型fx=x^TAx0，fx正定二次型，的矩A阵负负正定矩类似地，可定义定二次型、半正定二次型、半定二次型和不定二次型特征值判定法阵为数负对应为负对应矩A正定的充要条件是其所有特征值都正；定所有特征值；半正定所有负为负对应为对应特征值非且至少有一个零；半定所有特征值非正且至少有一个零；不定既负有正特征值又有特征值顺序主子式法阵顺为阵矩A正定的充要条件是其所有序主子式都正即A的左上角k×k子矩的行列式Dk0这（k=1,2,...,n）提供了一种不需求特征值的判定方法阵许质对线为阵正定矩具有多良好性所有主角元素正；可逆且逆矩也正定；存在唯一的正定平方单阵这质阵许应别根；合同于位矩些性使得正定矩在多用中特重要稳关键数诺在定性分析中，正定二次型起作用例如，在控制系统中，若系统的能量函（李雅普夫函数导数负则渐稳结刚阵证）是正定的，且其是定的，系统是近定的在构分析中，度矩的正定性保了结稳问题标数构的定性在优化中，目函的正定性确保了最小值的唯一性第八章线性变换线换标满对标性变是向量空间之间保持向量加法和量乘法的映射形式上，若T:V→W是从向量空间V到W的映射，足Tαu+βv=αTu+βTv（任意向量u,v∈V和任意量则线换α,β），T是性变线换线结这们阵给线换对应阵这对应关们将性变的核心特征是保持性构，使得它可以用矩完全表示在定基下，每个性变唯一一个矩，反之亦然种系使我可以抽象的变换转为阵化具体的矩运算线换标换滤状态转图换线换线换论在工程中，性变无处不在坐变、信号处理中的波、控制系统中的移、像处理中的几何变等，都可以用性变描述掌握性变理，有助于系问题统分析各类工程线性变换的定义数学定义核与像线换满质线换性变T:V→W足两条性加性变T的核kerT是使Tv=0的标法保持性Tu+v=Tu+Tv和量所有向量v的集合；T的像imT是对乘法保持性Tαv=αTv，任意TV，即所有Tv的集合，其中标这质满u,v∈V和任意量α两条性可v∈V核和像都是向量子空间，且为线质维数合并性性Tαu+βv=足公式dimker T+dimimαTu+βTv T=dim V矩阵表示给线换阵对换定V和W上的基，性变T可由矩A表示，使得任意向量v∈V，其变Tv标阵标线换阵的坐等于矩A乘以v的坐不同基下，同一性变有不同的矩表示转线换关轴换实例平面的反射和旋都是典型的性变例如，于y的反射变Tx,y=-线绕时针转换x,y是性的；原点逆旋θ角的变Tx,y=x•cosθ-y•sinθ,线这换计图应x•sinθ+y•cosθ也是性的些变在算机形学、机器人学中有广泛用线性变换的矩阵1基的选择线换阵赖选维选组性变的矩表示依于所的基在n向量空间中，定一基₁₂线换阵ⱼ该标ₙ{e,e,...,e}后，性变T的矩A的第j列就是Te在基下的坐2基变换组线换阵别为则若在两不同的基B和C下，同一性变T的矩表示分[T]_B和[T]_C，们满关⁻过阵它之间足系[T]_C=P¹[T]_BP，其中P是从基B到基C的渡矩3特征向量与对角化线换线关则选择这为若性变T有足够多的性无特征向量，可些特征向量作基，使T阵对阵简计的矩表示成角矩，极大化算线换内对不变子空间是指在性变T下映射到自身部的子空间W，即任意v∈W，都有Tv∈W特张线换杂问题征向量成的子空间就是典型的不变子空间找出性变的不变子空间，有助于分解复为简单问题的子寻阵对应寻过当标在振动系统分析中，找系统矩的特征向量找系统的自然振动模式通适的坐变换换将为独这（基变），可以耦合的振动方程解耦立的方程，每个方程描述一个自然振动模式简线换论应种解耦大大化了振动分析和控制，是工程中性变理的重要用第九章奇异值分解图像与数据处理数1强大的据分析工具计算SVD稳数定高效的值方法奇异值与向量阵矩的重要特征量线数阵应阵阵将阵为阵奇异值分解（SVD）是性代中最有用的矩分解之一，它可以用于任意矩，不限于方SVD一个矩分解三个矩的乘积阵对阵阵转一个正交矩、一个角矩和另一个正交矩的置阵内结识别数关数压缩习领SVD的强大之处在于它能揭示矩的在构，出据中的主要模式和系在据、信号处理、推荐系统、机器学等域，问题别图图压缩脸识别SVD是解决的核心工具特是在像处理中，SVD可用于像、降噪、人等任务奇异值分解的概念定义几何解释SVD阵为线换转任意m×n矩A都可以分解A=UΣV^T，其中U是m×m正交从几何角度看，SVD描述了性变A的作用先由V^T旋，阵对阵对线标轴转应ᵢ矩，Σ是m×n角矩（只有主角上可能有非零元再由Σ沿各坐拉伸，最后由U旋奇异值σ表示在相方阵对线称为单这换椭椭轴ᵢ素），V是n×n正交矩Σ的角元素σA的奇异值，通向上的拉伸因子位球在一变下变成球，球的半长₁₂ᵣ常按降序排列σ≥σ≥...≥σ0，其中r是A的秩度正是奇异值关阵则为负数奇异值与特征值的系若A是方，A^TA和AA^T的非零特征值相同，且均非；A的奇异值是A^TA（或AA^T）的特征值的这关们过问题来计平方根U的列向量是AA^T的特征向量，V的列向量是A^TA的特征向量一系使得我可以通求解特征值算SVD数计阵计虽在MATLAB中，可以使用svd函算矩的奇异值分解[U,S,V]=svdA若只需要奇异值，可使用s=svdASVD的算然杂现稳规阵复，但MATLAB中的实高效定，能处理各种模的矩的应用SVD12低秩近似图像压缩对应阵数图储时觉质保留最大的k个奇异值及的奇异向量，可得到矩A的最佳k秩近似（在Frobenius范意义下）利用低秩近似原理，可大幅减少像存空间，同保持视量34噪声过滤伪逆计算对应过断这伪⁺⁺问题小奇异值通常噪声，通截些分量可有效降噪A的逆A=VΣU^T，用于求解最小二乘应则为证满过阵ₖₖₖₖ低秩近似是SVD最重要的用之一若A=UΣV^T，其k秩近似A=UΣV^T，其中Σ只保留Σ的前k个奇异值，其余置零Eckart-Young定理明，A是足||A-B||_F最小的所有秩不超k的矩B图压缩图为阵过较对应储图在像中，一幅像可视一个矩，其元素是像素灰度值通SVD分解并只保留大的奇异值及的奇异向量，可大幅减少存需求例如，一个1000×1000的像，若只保留50个奇异值，储⁶约⁵压缩约为时较觉质存量可从10减少到10，率90%，同保持好的视量第十章线性代数的工程应用信号处理控制系统阵换阵态利用矩变处理信号用矩描述系统动特性换状态•离散傅里叶变•空间表示滤计稳电路分析数据科学•波设•定性分析图计阵•像处理•控制器设线数数用矩方法求解电路方程用性代方法分析据节•点分析•主成分分析归•网孔分析•最小二乘回应计习•电路响算•机器学算法线数问题过阵维将杂简为数计结计现性代是解决各类工程的强大工具通矩思，可以复的物理系统洁地表示学模型，便于分析和算合MATLAB等算工具，可以高效实各种数规计值算法，处理大模工程算电路分析应用基尔霍夫定律的矩阵表示节点分析与网孔分析电路仿真MATLAB压节节压基尔霍夫电流定律（KCL）和电定律点分析法基于KCL，求解点电；网MATLAB提供了强大的电路分析工具通阵对节环这过节导纳阵（KVL）可用矩形式表达于有n个孔分析法基于KVL，求解路电流两构建电路的点矩Y或网孔阻抗矩关阵为导线组阵阵稳态点和b个支路的电路，联矩A（尺寸种方法都致性方程，可用矩方法Z，可以求解直流电路和交流电路节连关对线组数阵对杂专n×b）描述了点与支路的接系求解于性电路，方程的系矩于更复的电路，可使用Simulink或为对称数KCL方程可表示AI=0，其中I是支路电通常是正定的，具有良好的值性门的电路仿真工具箱质流向量信号处理应用控制系统应用状态空间表示法可控性与可观测性线时状态阵ẋ性不变系统可用空间方程描述=Ax+Bu；y=Cx+系统可控性取决于可控性矩M_c=[B ABA²B...A^n-1B]的状态观测观测阵Du其中x是向量，u是输入向量，y是输出向量，A/B/C/D秩；可性取决于可性矩M_o=[C^T A^TC^T阵这计这阵满则是系统矩种表示法适用于多输入多输出系统，且便于算A^T²C^T...A^T^n-1C^T]^T的秩若些矩秩，现别观测机实系统分是完全可控和完全可的稳过状态阵为负则渐稳为则系统定性可通分析矩A的特征值确定若所有特征值的实部均，系统近定；若存在实部正的特征值，系统不稳为对应单则临稳频数定；若最大实部零，且的特征值是根，系统界定特征值分析也可用于确定系统的自然率和阻尼系计数创状态数计MATLAB控制系统工具箱提供了强大的控制系统分析和设功能例如，可用ss函建空间模型，用ctrb和obsv函算可控观测阵数还状态馈计观测计鲁级性和可性矩，用eig函分析系统特征值工具箱支持反控制器设、器设、棒控制等高功能数据科学应用主成分分析（）最小二乘回归PCA维术数协线归PCA是一种降技，基于据性回模型y=Xβ+ε中，最小二阵过计̂方差矩的特征值分解通投影乘估β=X^TX^-1X^Ty最小化残这计过阵到特征值最大的几个特征向量上，差平方和一估可通矩数时计可以在保留据主要信息的同降的QR分解或奇异值分解高效算，维应数规数低度PCA广泛用于据可视适用于大模据分析数压缩化、据和特征提取机器学习中的线性模型许习质线数线数多机器学算法本上是性代操作例如，性分类器使用超平面分割寻阵术协过滤据；支持向量机找最大间隔超平面；矩分解技用于同和推荐系统了这线数础解些算法的性代基有助于理解其性能和局限性数维应组线数术维在据降与分类的实际用中，可以合多种性代技例如，先用PCA降，再应线这轻维数难问题现这术时用性分类器，样可以减灾，提高分类准确率实些技，有阵计数效利用矩运算的并行性和稀疏性，可以大幅提高算效率，处理海量据课程总结基础概念回顾线数论掌握性代核心理体系方法工具掌握练阵问题熟运用矩分析解决工程实践应用3将论识转为理知化工程能力线数课讲线组阵内过践将论应《工科性代》程系统解了从性方程、矩运算到向量空间、特征值分析等核心容，并通MATLAB实，抽象理与具体紧结线数为数仅问题养结数维用密合性代作工程学的基石，不提供了解决的工具，更培了构化的学思能力进阶习关数线数阵现论议们进习数课线数学可注值性代、矩分析、代控制理等方向建同学一步学《值分析》《信号与系统》等程，拓展性代专领应践项尝试开线数计项竞赛应对论在业域的用实目方面，可发基于性代的算工具、参与科研目或，在用中深化理的理解。